数理统计的基本概念

1 第五章 数理统计的基本概念

一. 填空题

1. 设X1, X2, …, Xn为来自总体N(0, 2), 且随机变量)1(~)(221niiXCY, 则常数C=___.

解. niiX1~ N(0, n2), )1,0(~1NnXnii

所以 21,1ncnc.

2. 设X1, X2, X3, X4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且243221)43()2(XXbXXaY,

则a = ______, b = ______时, Y服从2分布, 自由度为______.

解. X1－2X2～N(0, 20), 3X3－4X4～N(0, 100)

)1,0(~20221NXX, )1,0(~1004343NXX

201,201aa; 1001,1001bb.

Y为自由度2的2分布.

3. 设X1, X2, …, Xn来自总体2(n)的分布, 则._____)(______,)(XDXE

解. 因为X1, X2, …, Xn来自总体2(n), 所以

E(Xi) = n, D(Xi) = 2n (i = 1, 2, …, n)

,)(nXE 22)()(221nnnnXDXDnii

二. 单项选择题

1. 设X1, X2, …, Xn为来自总体N(0, 2)的样本, 则样本二阶原点矩niiXnA1221的方差为

(A) 2 (B) n2 (C) n42 (D) n4

解. X1, X2, …, Xn来自总体N(0, 2), 所以 2 ,1)(),1(~)(222iiXEX 2)(2iXD

nnnnXDnXDADniinii4242214212222))(()()(. (C)是答案.

2011智轩考研数学基础班讲义

1 第六章 数理统计的基本概念【数学1，3】

数理统计是以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客

观规律性作出种种合理的估计和判断。概率论中研究的随机变量分布都是假设已知的，进而研究随机变

量的性质、特点和规律，而数理统计中研究的随机变量分布是未知或不完全知道的，人们是通过对所研

究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而推断随机变量的分布。

一、总体和样本

如检测产品的某一项数量指标（如研究100瓦灯泡的寿命）。需要检测的全体产品称为总体（如60000

个100瓦的灯泡，也可以是无限个），记为X，总体中的每一元素称为样品或个体（如一个100瓦灯泡）。

我们没有必要把全部60000个灯泡都测试，所以，需要从总体（60000个灯泡）中随机抽取n个样品（如

取50个灯泡）组成样本，称为抽样，n称为样本容量，由于抽取的50各灯泡相对于60000个灯泡很小，

故放回与不放回抽样的区别可以忽略，则样本能够看成是n个相互独立且分布相同的随机变量（ 以后简

称 “独立同” ），记为()

1250, ,, XXXL，即50维随机变量，称为简单随即样本。显然，测试前，

()

1250, ,, XXXL就是一个50维随机变量，测试完成后，()

1250, ,, XXXL就对应有一组具体值

()

1250, ,, xxxL，称为样本观察值，即样本值。

注意()

1250, ,, XXXL是一次所选择的需要测试的灯泡，是随机抽取的，对应于每一次的

()

1250, ,, XXXL，而测试样本值()

1250, ,, xxxL是确定的，每次抽取了50个全部测试一次，至于究竟

需要抽取多少次，则由测试要求决定。

如抽取样本（12,,,

nXXX…）10次，每次就相当于一个50维随机向量，10个随机向量称样本空间，

记为W，一次测试所得的一组样本观察值()

第17讲 2分布 t分布 F分布 正态总体统计量的分布

教学目的： 掌握2分布、t分布、F分布及正态总体统计量的分布。

教学重点： 2分布、t分布、F分布。

教学难点： 正态总体统计量的分布。

教学时数： 2学时。

教学过程：

第五章 数理统计的基本知识

§ 2分布、t分布、F分布

1. （

2. 2分布

定理1 设随机变量kXXX,,,21相互独立，且均服从1,0N，则随机变量

kiiX122

的概率密度为

.0,0;0,22121222xxexkxfxkk

我们称随机变量2服从自由度为k的2分布，记作k22~。

注（1）可以证明，2分布具有可加性：即若随机变量21和22相互独立，且

22221221~ ,~kk

"

则

.~2122221kk

（2）上分位数：对于不同自由度k及不同的数10，定义2是自由度为k的2分布上分位数，如果其满足

2222dxxfP

3. t分布

定理2 设随机变量X与Y相互独立，X服从1,0N，Y服从自由度为k的2分布，则随机变量

kYXt

的概率密度为

|

2121221ktkxkkkxf

我们称随机变量t服从自由度为k的t分布，记作ktt~。

注（1）可以证明，当自由度k时，t分布将趋于1,0N。

（2）上分位数：对于不同的自由度k及不同的数10，定义t是自由度为k的t分布上分位数，如果其满足

ttdxxfttP

4. F分布

定理3 设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为1k与2k的2分布，则随机变量

21kYkXF

、

的概率密度为

;.0,00,222221122221212121121xxkxkxkkkkkkxfkkkkkF

根据数理统计知识点归纳总结(精华版)

1. 引言

本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。

2. 概率论基础

- 概率的基本定义和性质

- 随机事件的运算规则

- 条件概率和独立性

- 贝叶斯定理

3. 随机变量和分布

- 随机变量的定义和分类

- 离散型随机变量和连续型随机变量

- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）

- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）

4. 数理统计的基本概念

- 总体和样本的概念 - 估计与抽样分布

- 统计量和抽样分布

5. 参数估计

- 点估计的定义和性质

- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）

- 区间估计的基本原理和方法

6. 假设检验

- 假设检验的基本思想和步骤

- 单侧检验和双侧检验

- 假设检验中的错误类型和显著性水平

- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）

7. 相关分析

- 相关系数的定义和计算方法

- 相关分析的假设检验

- 线性回归分析的基本原理和方法

8. 统计软件的应用

- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）

- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）

9. 结语

本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。

以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。