高考数学二轮复习考点十九《概率、随机变量及其分布》课件

[学生用书P56]

第1讲 概率、离散型随机变量及其分布列

考点一 相互独立事件的概率

[学生用书P57]

[典型例题]

(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率．

【解】 (1)甲连胜四场的概率为116.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为116；

乙连胜四场的概率为116；

丙上场后连胜三场的概率为18.

所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34.

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18. 因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.

(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法

①相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．

②正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

(2)二项分布的判断与概率公式

①对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．

②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．

(3)条件概率的求法

第2讲 概率、随机变量及其分布列

高考定位 1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.

1.(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )

A.518 B.49 C.59 D.79

2.(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

A.13 B.12 C.23 D.34

3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

4.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)

天数 2 16 36 25 7 4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

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专题四

概率与统计

第1讲 概率、随机变量及其分布列

(限时45分钟，满分96分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2019·株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，则图形Ω面积的估计值为

A.13 B.12 C.14 D.16

解析 设图形Ω 的面积为S，

∵由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3

335，6 665，

∴S1＝3 33510 000≈13，∴S≈13.故选A.

答案 A

2．(2019·潍坊模拟)四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是

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A.115 B.110 C.13 D.1130

解析 A，B只能有一个可能为1，题目求最大，令B为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为13.故选C.

答案 C

3．(2019·浙江衢州五校联考)随机变量的分布列如下：

X －1 0

1

P a 13

b

若E(X)＝13，则D(X)的值是

A.19

B.29 C.49

1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

1．A 设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.

2．(2015·湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X.求X的分布列和数学期望．

2．解：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，

A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，

B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，

B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，

C＝{顾客抽奖1次能获奖}．

由题意，A1与A2相互独立，A1A－2与A－1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A－2＋A－1A2，C＝B1＋B2.

因为P(A1)＝410＝25，P(A2)＝510＝12，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)

＝25×12＝15，

P(B2)＝P(A1A－2＋A－1A2)

＝P(A1A－2)＋P(A－1A2)

＝P(A1)P(A－2)＋P(A－1)P(A2)

＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)

＝25×1－12＋1－25×12＝12.