高考数学一轮复习第十二篇概率随机变量及其分布第4讲 离散型随机变量的分

卜人入州八九几市潮王学校第4讲离散型随机变量的分布列

【2021年高考会这样考】

1．考察离散型随机变量及其分布列的概念理解；

2．两点分布和超几何分布的简单应用．

【复习指导】

复习时，要会求与现实生活有亲密联络的离散型随机变量的分布列，掌握两点分布与超几何分布列，并会应用．

根底梳理

1．离散型随机变量的分布列

(1)随机变量

假设随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

(3)分布列

设离散型随机变量X可能获得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，那么称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．

(4)分布列的两个性质

①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_.

2．两点分布

假设随机变量X的分布列为

X 1 0 P p q

其中0

3．超几何分布列

在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，那么事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，那么称分布列

X 0 1 … m

P …

为超几何分布列．

一类表格

统计就是通过采集数据，用图表或者其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进展评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进展数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进展分类，分为假设干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码；第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．

两条性质

(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；

(2)第二行所有数的和等于1.

三种方法

(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；

(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；

(3)由互斥事件、HY事件的概率求出离散型随机变量分布列．

双基自测

1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为()．

A．出现正面的次数

B．出现正面或者反面的次数

C．掷硬币的次数

D．出现正、反面次数之和

解析抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为0或者1.

答案A

2．假设X)．

A．X取每个可能值的概率是非负实数 B．X取所有可能值的概率之和为1

C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和

D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

3．随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，那么P(2

()．

A.B.C.D.

解析P(2

答案A

4．袋中有大小一样的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，那么X的所有可能取值个数为()．

A．25B．10C．7D．6

解析X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.

答案C

5．设某运发动投篮投中的概率为P＝0.3，那么一次投篮时投中次数的分布列是________．

解析此分布列为两点分布列．

答案

X 0 1

P

考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列

【例1】►(2021·改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学

(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；

(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．

[审题视点]此题解题的关键是求出Y的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进展检验．

解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为

17,18,19,20,21，

P(Y＝17)＝＝

P(Y＝18)＝＝ 解析 由离散型随机变量的性质得pi≥0，i＝1,2，…n，且i＝1npi＝1.

答案 D

P(Y＝19)＝＝

P(Y＝20)＝＝

P(Y＝21)＝＝

那么随机变量Y的分布列是：

Y 17 18 19 20 21

P

(2)由(1)知E(Y)＝＋＋＋＋＝19，

设这名同学获得钱数为X元，那么X＝10Y，

那么E(X)＝10E(Y)＝190.

(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．

【训练1】某公司有5万元资金用于HY开发工程，假设成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似工程开发的施行结果：

HY成功 HY失败

192次 8次

那么该公司一年后估计可获收益的期望是________．

解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，那么随机变量X的取值分别为50000×12%＝6000(元)，－50000×50%＝－25000(元)．由条件随机变量X的概率分布列是

X 6000 －25000

P

因此E(X)＝6000×＋(－25000)×＝4760

答案4760

考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列

【例2】►袋中装有黑球和白球一共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．

(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．

[审题视点]对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确．

解(1)设袋中白球一共有x个，根据条件＝， 即x2－x－6＝0，

解得x＝3，或者x＝－2(舍去)．

(2)X表示取球终止时所需要的次数，那么X的取值分别为：1,2，3,4,5.

因此，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

P(X＝5)＝＝.

那么随机变量X的分布列为：

X 1 2 3 4 5

P

(3)甲取到白球的概率为P＝＋＋＝＋＋＝.

求离散型随机变量的分布列，首先要根据详细情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．

【训练2】(2021·)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进展一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料一共8杯，其颜色完全一样，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品味后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．假设4杯都选对，那么月工资定为3500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元；否那么月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别才能．

(1)求X的分布列；

(2)求此员工月工资的期望．

解(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，

P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)，

那么

X 0 1 2 3 4

P

(2)令Y表示此员工的月工资，那么Y的所有可能取值为2100，2800,3500，那么P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝，

P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝，

P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝，

E(Y)＝3500×＋2800×＋2100×＝2280，

所以此员工月工资的期望为2280元．

考向三由HY事件同时发生的概率求离散型随 机变量的分布列

【例3】►(2021·)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是互相HY的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．假设P(X＝0)＝，那么随机变量X的数学期望E(X)＝________.

[审题视点]分别求出随机变量X取每一个值的概率，然后求其期望．

解析由条件P(X＝0)＝

即(1－P)2×＝，解得P＝，

随机变量X的取值分别为0,1,2,3.

P(X＝0)＝，

P(X＝1)＝×2＋2××2＝，

P(X＝2)＝2×××＋×2＝，

P(X＝3)＝×2＝.

因此随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3

P

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

答案

此题考察了互相HY事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．

【训练3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直承受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．

解随机变量X的分布列是

X 1 2 3

P

X的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

附：X的分布列的一种求法

一共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：