山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数与方程教案
学习内容 学习指导
即时感悟
学习目标：
1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数。
2、根据函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。
3、体会数形结合、函数与方程、分类讨论的数学思想。
学习重点：函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。
学习难点：理解函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。
回顾﹒预习
1．函数的零点(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x)有 ．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
⊿>0 ⊿=0 ⊿<0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
与x轴的交点
零点个数
3.二分法
(1)二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤：
课前自测
1．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零 点是 ( C )
A．0 B．－1 C．0，－1 D．0,1
1 高考数学总复习第一讲：函数与方程
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．
在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．
一、例题分析
例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．
分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(00，所以得α
例2．已知0
分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=ax(0a，所以a＜aα，从而aα<(aα) α．
高考数学一轮复习---函数与方程知识点与题型
一、基础知识
1．函数的零点
(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
3．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二、常用结论
有关函数零点的结论：
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
三、考点解析
考点一 函数零点个数、所在区间
例、(1)已知函数f(x)＝ x2－2x，x≤0，1＋1x，x>0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)设函数f(x)＝13x－ln x，则函数y＝f(x)( ) A．在区间(1，e)内均有零点 B．在区间1,1e，(1，e)内均无零点
第1页/共5页 高三数学第一轮复习：函数
考生在数学首轮复习中，往往存在两个误区，一是只顾埋头做题而不注重反思，有些同学在做题时，只要结果对了就不再深思做题中使用的解题方法和题目所体现出来的数学思想;二是只注重课堂听课效率，而不注重课后练习，这在文科生中显得尤为普遍，这往往会导致考生看到考题觉得自己会，可一做就错。因此，在数学首轮复习中，林老师提出了五项建议。
一、夯实基础，知识与能力并重。没有基础谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来。这里的基础不是指针对考试、机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟。同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。
二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实的提高。
三、讲究复习策略。在第一轮复习中，要注意构建完整的知识网络，不要盲目地做题，不要急于攻难度大的综合题、探究题。复习要以中档题为主，选题要典型，要深刻理解概念、第2页/共5页 抓住问题的本质，抓住知识间的相互联系。高考题大多数都很常规，只不过问题的情景，设问的角度改变了一下。因此，建议考生在首轮复习中，不要盲目地自己找题，而应在老师的指导下，精做题。
四、加强做题后的反思。学习数学必须要做题，做题一定要独立。做题前要把老师上课时复习的知识再回顾一下，对所学的知识结构要有一个完整的清楚的认识，不留下任何知识的盲点，对所涉及的解题方法要深刻领会。做题时，一定要全神贯注，保持最佳状态，注意解题格式规范，养成良好的学习习惯，以良好的心态进入高考。做题后，一定要认真反思、仔细分析，通过做几道相关的变式题来掌握一类题的解法，从中总结出一些解题技巧，更重要的是掌握解题的思维方式，内化为自己的能力。并总结出对问题的规律性认识和找出自己存在的问题。对做题中出现的问题，注意总结，及时解决。重点一定要放在培养自己的分析问题和解决问题的能力上。
