高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文

1 高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文

【最新考纲】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．会画底数为2，10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

1．对数的概念

如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

(2)换底公式：logab＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN，

②logaMN＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．对数函数的定义、图象与性质 2

4.反函数

指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)log2x2＝2log2x.( )

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )

(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )

(4)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) 3

A．a＞1，c＞1

B．a＞1，0＜c＜1

C．0＜a＜1，c＞1

D．0＜a＜1，0＜c＜1

解析：由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.

答案：D

3．(2015·四川卷)lg 0.01＋log216的值是________．

解析：lg 0.01＋log216＝lg1100＋log224＝－2＋4＝2.

答案：2

4．(2015·北京卷)2－3，312，log25三个数中最大的数是________．

解析：因为2－3＝123＝18＜1，1＜312＝3＜2，log25＞log24＝2，

所以三个数中最大的数是log25.

答案：log25

5．函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x＜1的值域为________．

解析：当x≥1时，log12x≤0，当x＜1时，0＜2x＜2，

故值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．

答案：(－∞，2)

4

两种关系

1．ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．

2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．

两点注意

1．在无M＞0的条件下，logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．

2．解决与对数函数有关的问题时，务必先研究函数的定义域．对数函数的单调性取决于底数a，应注意底数的取值范围．

两类方法

1．对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化为同真数后利用图象比较．

2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．

一、选择题

1．2lg 2－lg

125的值为(

)

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：2lg 2－lg 125＝lg22÷125＝lg 100＝2.

答案：B

2．(2016·石家庄一模)已知a＝312，b＝log1312，c＝log213，则( )

A．a＞b＞c B．b＞c＞a

C．c＞b＞a D．b＞a＞c

解析：因为312＞1，0＜log1312＜1，c＝log213＜0

所以a＞b＞c.

答案：A 5

4．函数f(x)＝lg

1|x＋1|的大致图象为( )

解析：f(x)＝lg 1|x＋1|＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．

由y＝－lg|x|的图象可知选D. 答案：D

5．(2016·唐山统考)已知f(x)＝（1－2a）x＋3a，x＜1，ln x，x≥1

的值域为R，那么a的取值范围是( )

A．(－∞，－1] B.－1，12

C.－1，12 D.0，12

解析：要使函数f(x)的值域为R，则有

1－2a＞0，ln 1≤1－2a＋3a，∴a＜12，a≥－1，∴－1≤a＜12. 6 答案：C

6．设f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )

A．(－1，0) B．(0，1)

C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：由f(x)是奇函数可得a＝－1，

∴f(x)＝lg1＋x1－x的定义域为(－1，1)．

由f(x)＜0，可得0＜1＋x1－x＜1，解得－1＜x＜0.

答案：A

二、填空题

7．(2014·安徽卷)1681－34＋log354＋log345＝________．

解析：1681－34＋log354＋log345＝23－3＋log31＝278＋0＝278.

答案：278

8．函数y＝log12(x2－6x＋17)的值域是________．

解析：x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，

则y≤log128＝－3，即函数的值域为(－∞，－3]．

答案：(－∞，－3]

9．(2015·天津卷)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．

解析：由于a＞0，b＞0，ab＝8，所以b＝8a.

所以log2a·log2(2b)＝log2a·log216a

＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，

当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4.

答案：4

三、解答题

10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1. 7 (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)若a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值集合．

解：(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，

则x＋1＞0，1－x＞0，解得－1＜x＜1.

故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}．

(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，

且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)

＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，

故f(x)为奇函数．

(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}内是增函数，所以f(x)＞0⇔x＋11－x＞1，解得0＜x＜1.

所以使f(x)＞0的x的解集是{x|0＜x＜1}．

11．设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a＞0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值．

解：由题意知f(x)＝12(logax＋1)·(logax＋2)＝12(log2ax＋3logax＋2)＝12(logax＋32)2－18.

当f(x)取最小值－18时，logax＝－32，

又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1)．

∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．

①若12(loga2＋32)2－18＝1，

则a＝2－13，此时f(x)取得最小值，

x＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．

②若12(loga8＋32)2－18＝1，则a＝12， 8 此时f(x)取得最小值，x＝12－32＝22∈[2，8]，符合题意，

∴a＝12.