初三数学10月月考考试题目

2023-2024学年苏州西附初三数学十月月考试卷一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相对应的位置上.1.下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是()A.x -1=0B.x 3+x =3C.x 2+3x -5=0D.ax 2+bx +c =02.抛物线y =-2(x -2)2-5的顶点坐标是()A.(-2，5)B.(2，5)C.(-2，-5)D.(2，-5)3.一元二次方程x 2-5x +2=0根的判别式的值是()A.33B.23C.17D.174.将抛物线y =x 2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是()A.y =(x -3)2+4B.y =(x +3)2+4C.y =(x -3)2-4D.y =(x +3)2-45.在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+k 与y =kx +a (a ≠0)的图象可能是()A.B.C. D.6.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)，若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为x ，则下列方程正确的是()A.x +(x +7)=192B.x (x +7)=192C.x +(x +16)=192D.x (x +16)=1927.已知二次函数y =ax 2-2ax +4的图象开口向上，若点A (-2，y 1)，B (-12，y 2)，C (5，y 3)都在该函数图象上，则y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是()A.y 1<y 2<y 3B.y 1<y 3<y 2C.y 2<y 1<y 3D.y 3<y 1<y 28.对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，有下列说法:①若a -b +c =0，则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)必有一个根为1;②若方程ax 2+c =0有两个不相等的实数根，则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)必有两个不相等的实数根;③若c 是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一个根，则一定有ac +b +1=0成立;④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根，则b 2-4ac =(2ax 0+b )2;其中正确的是()A.②③④B.②④C.②D.①②④二、填空题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.9.若x =1是关于x 的一元二次方程x 2+nx -6=0的一个根，则n =.10.方程x m +4+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则m =.xyOxyOxyOxyO11.二次函数y =-x 2-3x +4的最大值是12.已知抛物线y =x 2-3x -2023与x 轴的一个交点为(a ，0)，则代数式a 2-3a -2024的值为.13.已知关于x 的方程mx 2+n =0的解是x 1=-3，x 2=1，则关于x 的方程m (x -5)2+n =0的解是.14.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程x 2-10x +m =0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为.15.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =82cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A 到的D 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，设△ABP 的面积为S 1，矩形PDEF 的面积为S 2，运动时间为t 秒(0<t <8)，则当t =秒时，S 1=2S 2.16.如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2(x ≥0)与y =14x 2(x ≥0)交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB =.三、解答题:本大题共10小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推算步骤或文字说明.作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔.17.(10分)解方程:(1)x 2-4x -3=0;(2)(3x -1)2=2(3x -1).18.(6分)已知函数y =(m -2)x m+8x -5是二次函数.(1)求m 的值:(2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标.19.(6分)已知关于x 的方程14x 2-(m -2)x +m 2=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围:(2)若方程有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的解.xyA BCDEOy 1=x 2y 2=14x 2第16题图AB CDE FP第15题图S 1S 220.(6分)学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图1)，顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度:若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式.请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式.(1)P1(4，0)，P2(0，0)，P3(6，6);(2)P1(0，0)，P2(4，0)，P3(6，6) .21.(8分)已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)求抛物线与x轴交点坐标:(2)当1<x<2时，求y的取值范围:(3)当2≤y≤3时，求x的取值范围.22.(8分)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉样物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率;(2)从7月起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉样物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？23.(8分)我们规定:对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ，b ]*[c ，d ]=ac -bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如:[3，2]*[5，1]=3×5-2×1=13.(1)若[-4x ，3]*[3x ，2]=-30，求x 的值:(2)已知关于x 的方程[x ，2x -1]*[mx +1，m ]=0有两个实数根，求m 的取值范围.24.(10分)项目式学习:项目主题“亚运主题”草坪设计项日情境迎亚运，展风采，同学们正在参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习.以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程.活动任务一请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边.小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案.驱动问题一(1)项目小组设计出来的四种方案小路面积S 甲，S 乙，S 丙，S 丁的大小有何关系？活动任务二为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米.驱动问题二(2)请计算小路的宽度是多少？活动任务三为了布置设计好的杭州亚运元素，同学们打算建一个面积为6000m 2的矩形油菜花田ABCD (如图)，花田一面靠亚运宜传主题墙(墙足够长)，另外三面用篱笆围成.驱动问题三(3)数学之星小明查阅资料发现:短边为长边的0.618倍的矩形称为黄金矩形.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.为了使长220米的篱笆恰好用完同时围住花田的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形.AB 应设计成多少米？甲：直径简洁型乙：斜径笔直型丙：曲径通幽型丁：弧径优美型AB CD墙25.(10分)阴阳观念是具有鲜明中国特色的哲学思想，它几乎渗透到社会生活、文学艺术、医学等许多方面，以至形成“阴阳对偶律”。

2023-2024学年星海实验中学初三年级10月份月考数学试卷一、单选题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.下列方程为一元二次方程的是()A.x+2y=0B.x2-2=0C.x=2x3+3D.3x+1x=12.用配方法解方程x2-10x+9=0时，配方所得的方程为()A.(x-5)2=16B.(x-5)2=-16C.(x+5)2=16D.(x-10)2=-163.一元二次方程x(x-2)+x-2=0的根为()A.-1B.1C.2或-1D.2或14.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价.某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元.设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是()A.289(1-2x)=256B.256(1+x)2=289C.289(1-x)2=256D.289(1+2x)=2565.关于x的方程(k-5)x2-2x+2=0有两个实数根，则整数k的最大值是()A.4B.5C.6D.76.已知a<-1，点(a-1，y1)，(a，y2)，(a+1，y3)都在函数y=3x2的图象上，则()A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y1<y3D.y3<y2<y17.已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a(x+2)2+b(x+2)+1=0的两根之和为()A.3B.-1C.1D.08.已知等腰三角形的一边长为4，另外两边长是关于x的方程kx2-(k+8)x+8=0的两个根，则这个等腰三角形的周长为()A.7B.8C.9D.10二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)9.如果关于x的方程(m-3)x m2-7-x+3=0是一元二次方程。

那么m=.10.点P(a，9)在函数y=4x2的图象上，则代数式(2a+3)(2a-3)的值等于.11.方程x2+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为.12.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=ax2(a<0)上，且0<x1<x2，则y1y2.(填“<”或“>”或“=”)13.若以方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=11x的图象上，则满足条件的k值为.14.若m、n是方程x2+2x-5=0两个根，则m2+mn-2n=.15.《九章算术》中提出了如下问题:今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是:今有门不知其高宽:有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺:竖放，竿比门高长出2尺:斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺.16.二次函数y =3x 2的图象如图，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y =3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠ACO =120°，则菱形OBAC 的面积为.三、简答题(本大题共11小题，共82分)17.(本题满分6分)解方程:(1)(3x -5)2-16=0(2)x 2-6x +8=018.《本题满分6分)先化简，再求值:x -2x -x -1x +2 ×x 2-4x x 2+4x +4，其中实数x 是方程x 2-x -2=0的一根．19.(本题满分6分)已知二次函数y =-x 2.(1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象.(2)利用图象写出当-2<x ≤1时，y 的取值范围是.xyOBACx ∙∙∙-2-112∙∙∙y∙∙∙∙∙∙20.(本题满分6分).已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1)x +m 2+m =0.(1)求证:无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根;(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若(2a +b )(a +2b )=20，求m 的值.21.(本题满分8分)如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门(建在EF 处，另用其他材料).(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m 2的羊圈？(2)羊圈的面积能达到650m 2吗？如果能，请你给出设计方案;如果不能，请说明理由.22.(本题满分6分)如图，已知一次函数y =kx +b 的图象与二次函数y =ax 2的图象交于点A (1，m )和B (-2，4).(1)求两个函数的解析式;(2)求△AOB 的面积.A B CDE F xyA BOy =ax 2y =kx +b23.(本题满分8分)如图，矩形ABCD 中，AB =16cm ，BC =6cm ，点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动(不与点A ，B 重合)，一直到达点B 为止;同时，点Q 从点C 出发沿CD 向点D 移动(不与点C 、D 重合).(1)若点P 、Q 均以3cm/s 的速度移动，经过多长时间四边形BPDQ 为菱形？(2)若点P 为3cm/s 的速度移动，点Q 以2cm/s 的速度移动，经过多长时间△DPQ 为直角三角形？24.(本题满分8分)如图，正方形纸片ABCD 的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH .设AE 的长为x .(1)四边形EFGH 的面积为.(用含x 的式子表示);(2)当AE 取何值时，四边形EFGH 的面积为10？(3)四边形EFGH 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值;若不存在，请说明理由.25.(本题满分8分)20世纪20年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河.90年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控.通过实践表明，若每天有1000吨污水排入苏州河，则每吨需要500元来进行污水处理，并且每减少10吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少4元，为了使每天的污水处理费用为30万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨？ABCDPQABCDEF GH26.(本题满分10分)如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m 2的矩形地块ABCD 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am 2.【问题提出】小组同学提出这样一个问题:若a =10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题:设AB 为x (m )，BC 为y (m ).由矩形地块面积为8m 2，得到xy =8，满足条件的(x ，y )可看成是反比例函数y =8x的图象在第一象限内点的坐标;木栏总长为10m ，得到2x +y =10，满足条件的(x ，y )可看成一次函数y =-2x +10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x ，y )就可以看成两个函数图象交点的坐标.如图2，反比例函数y =8x(x >0)的图象与直线l 1:y =-2x +10的交点坐标为(1，8)和，因此，木栏总长为10m 时，能围出矩形地块，分别为:AB =1m ，BC =8m ;或AB =m ,BC =m .(1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空.【类比探究】(2)若a =6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.【问题延伸】当木栏总长为a (m )时，小颖建立了一次函数y =-2x +a .发现直线y =-2x +a 可以看成是直线y=-2x 通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2，4)时，直线y =-2x +a 与反比例函数y =8x(x >0)的图象有唯一交点.(3)请在图2中画出直线y =-2x +a 过点(2，4)时的图象，并求出a 的值.【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y =-2x +a 与y =8x图象在第一象限内交点的存在问题”.(4)若要围出满足条件的矩形地块，且AB 和BC 的长均不小于1m ，请直接写出a 的取值范围.A BCD11O 图2xy27.(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC).请解答下列问题:(1)求点B的坐标;(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+2分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标;若不存在，请说明理由.ABCDEFMNxyO。

初三10月月考数学试卷一、选择题（本大共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1.一元二次方程2430x x -+=的解为（ ）A.121,3x x =-=B.121,3x x ==-C.121,3x x ==D.121,3x x =-=-2.一元二次方程2304y y --=配方后可化为（ ）A.21()12y +=B.21()12y -=C.213()24y +=D.213()24y -= 3.若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ）A.0B.－1C.2D.－3 4.关于函数224y x x =-，下列叙述中错误的是（ ）A.函数图象经过原点B.函数图象的最低点是（1，﹣2）C.函数图象与x 轴的交点为（0，0），（2，0）D.当0x >时，y 随x 的增大而增大5.把二次函数211322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（ ）A.21(1)72y x =--+B.21(7)72y x =-++C.21(3)42y x =-++D.21(1)12y x =--+6.已知0a ≠，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（ ）A B C D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.把方程3(1)(2)(2)3x x x -=+-+化成一般形式为 . 8.一元二次方程20x x -=的根是 . 9.抛物线221y x =--的顶点坐标是 .10.若关于x 的一元二次方程2(2)430m x x --+=有实数根，则m 的取值范围为 . 11.已知二次函数2(1)y k x =+的图象上，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是.12.如图所示的抛物线是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，下列结论： ①0abc >； ②20b a +=；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）； ④a c b +>.其中正确的结论有 (只填序号). 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.解方程：（1）2220x x --= （2）3(3)26x x x -=- 14.用配方法求出下列二次函数223y x x =--图象的顶点坐标和对称轴.15.已知抛物线23(0)y ax bx a =+-≠经过点（﹣1，0），（3，0），求a ，b 的值.16.已知1(1)62m y m x x +=++-是二次函数，求m 的值.17.已知关于x 的一元二次方程2220x x m m ++-=有一个实数根为﹣1，求m 的值及方程的另一实数根.四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 2m时，求AB的长.19.已知二次函数当3x=时，函数有最大值﹣1，且函数图象与y轴交于（0，﹣4），求该二次函数的关系式.20.已知关于x的方程21204x kx k-+-=的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围.五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为2642cm，求剪掉的正方形纸片的边长.22.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.（1）请写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？六、（本大题共12分）23.如图，抛物线252y ax bx=++与直线AB交于点A（－1，0），B（4，52），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.(1)求抛物线的解析式；(2)设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出当S取最大值时的点C的坐标.初三10月月考数学试卷参考答案一、 选择题1. C2. B3. D4. D5.A6.C 二、 填空题7. 2320x x -+= 8.120,1x x == 9. (0,-1) 10. 1023m m ≤≠且 11.1k >- 12. ①②③.三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.(1)解：移项，得 (2)解：整理，得222x x -= 3(3)2(3)0x x x ---=配方，得 因式分解，得2222121x x -+=+ (3)(32)0x x --= ……1分2(1)3x -= ………1分 于是得由此可得 30,320x x -=-=或 ……2分(1)x -=……2分 1223,3x x ==……3分1211x x ==…3分 (两小题其它解法酌情给分)14.解：y=x 2﹣2x ﹣3=（x 2﹣2x+1）﹣1﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ………4分 ∴顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1． ………6分 15.解：∵抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a ≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ， ………3分解得，⎩⎨⎧-==21b a ， ………5分 即a 的值是1，b 的值是﹣2． ………6分 (其它解法酌情给分)16.解：依题意得到 ………4分解得m=1. ………6分17.解：设方程的另一根为x 2，则﹣1+x 2=﹣1，解得x 2=0. ……2分 把x=﹣1代入x 2+x+m 2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m 2﹣2m=0，即m （m ﹣2）=0， ……4分 解得m 1=0，m 2=2．所以m 的值是0或2，方程的另一实根是0． ……6分 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 解：设AB 为x m ，则BC 为(50－2x)m.根据题意，得 ……1分x(50－2x)＝300. ……5分 解得x 1＝10，x 2＝15. ……7分 答：AB 的长为10 m 或15 m. ……8分 19.解：根据题意可知顶点坐标为（3，﹣1）， ……2分 设顶点式y=a （x ﹣3）2﹣1， ……4分 把点（0，﹣4）代入，得﹣4=a （﹣3）2﹣1，解得a=﹣31， ……7分∴y=﹣31（x ﹣3）2﹣1. ……8分20.解：设两根为x 1＞1，x 2＜1．那么x 1﹣1＞0，x 2﹣1＜0． ……2分 ∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜0． ……4分 x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＜0．∴12104k k --+<．解得34k>．……7分由判别式△＞0，（2k﹣1）2＞0；12 k≠综上：k的取值范围为34k>. ……8分五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm.由题意，得(30－2x)(20－2x)＝264. ……4分整理，得x2－25x＋84＝0. ……6分解得x1＝4，x2＝21(不符合题意，舍去)．……8分答：剪掉的正方形的边长为4 cm. ……9分22.解：（1）根据题意，列出方程式为：y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]，……3分即y=﹣10x2+280x﹣1600（10≤x≤20）；……5分（2）y=﹣10（x﹣14）2+360，……8分∴当x=14时，y最大=360元，答：售价为14元时，利润最大．……9分六、（本大题共12分）23.解：(1)由题意，得525516422a ba b⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，……2分解得122ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ……4分∴y=－12x2+2x+52. ……5分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,254,0bkbk解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,21bk∴y=12x+12，……7分则D(m，－12m2+2m+52)，C(m，12m+12). ……8分CD=(－12m2+2m+52)－(12m+12)=－12m2+32m+2.∴S=12(m+1)·CD+12(4－m)·CD=12×5CD=12×5(－12m2+32m+2)=－54m2+154m+5. …10分∵－54<0，∴当m=32时，S有最大值. ……11分当m=32时，12m+12=12×32+12=54，∴点C(32,54). ……12分.。

2024北京十二中初三10月月考数 学2024.10（满分100分，时间90分钟）一、单选题（共36分，每题3分）1. 将一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化为一般形式，其中一次项系数是（ ） A. 5B. ﹣4C. 4D. ﹣12. 下列函数中，二次函数是（ ） A. y =8x 2+1B. y =8x +1C. y =8xD. y =281x+ 3. 关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A. a ≤1B. a ＜1C. a ≤1且a ≠0D. a ＜1且a ≠04. 若0k <，则关于x 的一元二次方程210x x k ++−=根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根5. 下列说法正确的是（ ）A. 方程20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程B. 方程234x =的常数项是4C. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解D. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根6. 关于x 的方程()()2212110k x k x −+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 14k >且1k ≠ B. 14k ≥且1k ≠ C. 14k >D. 14k ≥7. 方程（x -1）（x -2）=1的根是（ ） A. x 1=1，x 2=2 B. x 1=-1，x 2=-2 C. x 1=0，x 2=3D. 以上都不对8. 用配方法解一元二次方程22310x x −−=，配方正确的是（ ）．A. 2317416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B. 23142x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C. 231324x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D. 231124x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭9. 二次函数2(2)1y x =+−的图像大致为（ ）A. B. C. D.10. 把抛物线25y x =向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. ()2523y x =−+B. ()2523y x =+−C. ()2523y x =++D. ()2523y x =−−11. 在同一直角坐标系中，直线1y ax =+与二次函数21y ax bx =++的图象可能是（ ）A. B. C. D.12. 二次函数21(0)y ax a =+<，线段AB 中，(1,1)A −−，(3,0)B ，将线段AB 向下平移3个单位得到线段MN ，若21(0)y ax a =+<的图象与线段MN 只有一个公共点，则a 的取值范围是（ ） A. 5a <− B. 409a −≤< C. 459a −<≤−D. 50a −≤<二、填空题（共16分，每题2分）13. 写出一个图象开口向上，且经过点()01，的二次函数的解析式：_______． 14. 已知x =2是关于x 的一元二次方程kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0的一个根，则k 的值为_____． 15. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到新的抛物线的表达式是______． 16. 由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为x ，则由题意可列方程为，_______________．17. 已知函数()21y x =−−图像上两点()12,y A ，()2,a y B ，其中2a >，则1y 与2y 的大小关系是1y ____2y （填“<”、“>”或“=”）18. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程2680x x −+=的一个根，则这个三角形的周长是______．19. 如图，在平面直角坐标系中，点A B ，的坐标分别为(2,2)−，(4,2)−，若抛物线2(0)y ax a =>与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是______．20. 小轩从如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤．你认为其中正确的信息是_______三、解答题（共48分，21题16分，22、23、24、26每题6分，25题8分）21. 解方程（1）()219x −=； （2）2650x x −+=； （3）()3122x x x −=−； （4）22410x x −+=．22. 已知关于x 的方程：()()221100mx m x m m +−+−=≠．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．23. 某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm ，宽8dm 的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为2120dm ，求空白区域的宽度．24. 如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标． 25. 已知二次函数228=+−y x x ．（1）求此二次函数图象与两坐标轴的交点坐标，在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）当5x 0−<<时，y 的取值范围是________； （3）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m =−−>与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交于C ．（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W（不含边界）．m=时，求图形W内的整点个数；①当1②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．参考答案一、单选题（共36分，每题3分）1. 【答案】B【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化为一般形式是5x 2﹣4x ﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 2. 【答案】A【分析】根据二次函数的定义：形如2y ax bx c =++( a ≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可． 【详解】A 、281y x =+符合二次函数的定义，本选项符合题意； B 、81y x =+是一次函数，不符合题意； C 、8y x=是反比例函数，不符合题意； D 、281y x=+不是二次函数，不符合题意； 故选A【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的定义，即可完成． 3. 【答案】D【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且24b ac −＝（﹣2）2﹣4a ＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得a ≠0且224(2)40b ac a −=−−>， 解得a ＜1且a ≠0． 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与b 2﹣4ac 有如下关系：当b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2﹣4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2﹣4ac ＜0时，方程无实数根． 4. 【答案】A【分析】先计算根的判别式的值可得54k ∆=−，再利用0k <即可判断0∆>，最后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：()214154k k ∆=−−=−，而0k <，540k ∴−>，即0∆>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根． 5. 【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关概念．根据一元二次方程的有关概念进行分析即可．【详解】解：A ．对于方程20ax bx c ++=，若0a =，则该方程不是关于x 的一元二次方程，故说法错误；B ．方程234x =整理为一般形式为2340x −=，其常数项是4−，故说法错误；C ．当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法错误；D ．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，说法正确． 故选：D ． 6. 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x −+++=有实数根， ∴()()22121410k k ∆=+−⨯⨯≥−，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥ 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 7. 【答案】D【详解】解：方程整理得：x 2﹣3x +1=0，这里a =1，b =﹣3，c =1，∵△=b 2﹣4ac =9﹣4=5，∴x ．故选D ． 8. 【答案】A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．【详解】解：22310x x −−=， 移项得2231x x −=， 二次项系数化1的23122x x −=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2317416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 9. 【答案】D【详解】解：∵a =1＞0， ∴抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x =﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D ． 10. 【答案】C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．【详解】把抛物线25y x =向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是()2523y x =++ 故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的平移及抛物线解析式的变化规律：左加右减、上加下减． 11. 【答案】C【分析】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．【详解】解：A 、根据一次函数图象知道0a <，与y 轴的交点不是(0,1)，故A 选项错误；B 、根据二次函数的图象知道0a <，同时与y 轴的交点是(0,1)，但是根据一次函数的图象知道0a >，故B 选项错误；C 、根据图象知道两个函数图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，同时也得到0a >，故C 选项正确；D 、根据一次函数图象知道0a <，根据二次函数的图象知道0a >，故D 选项错误． 故选：C ． 12. 【答案】C【分析】本题考查二次函数图象及其性质、线段平移规律，根据线段平移特点求出坐标，再讨论二次函数与线段一个交点的情况，利用排除法即可求解．【详解】解：(1,1)A −−，(3,0)B ，线段AB 向下平移3个单位得到线段MN ，∴(1,4)M −−，(3,3)N −， ∴直线MN 解析式为11544y x =−， 二次函数21y ax =+，当图象过点M 时，将(1,4)M −−坐标代入函数式，得14a +=−，解得5a =−，此时联立2115441y x y ax ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩解得12573,16x x ==−，∵191320−<<， ∴与抛物线有两个交点，故5a =−不符合条件； 故排除D 选项；当图象过点N 时，将(3,3)N −坐标代入函数式，得913a +=−，解得49a =−， 此时联立2115441y x y ax ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩解得12191,20x x =−=， ∵57116−<−， ∴与抛物线只有一个交点，故49a =−符合条件； 故排除A 选项；当1a =−时，联立2115441y x y ax ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩解得12x =−∵111322−<−<−+<， ∴与抛物线只有一个交点，故1a =−符合条件； 故排除B 选项． 故选：C ．二、填空题（共16分，每题2分）13. 【答案】21y x =+等【分析】设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，根据开口向上，a ＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．【详解】设二次函数的表达式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)， ∵图象为开口向上，且经过(0，1)， ∴a ＞0，c=1，∴二次函数表达式可以为：21y x =+(答案不唯一)． 故答案为：21y x =+(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a 的符号和c=1是解题关键． 14. 【答案】﹣3【分析】把x =2代入kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0得4k +2k 2﹣4+2k +4=0，再解关于k 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k 的值即可．【详解】把x =2代入kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0得4k +2k 2﹣4+2k +4=0， 整理得k 2+3k =0，解得k 1=0，k 2=﹣3， 因为k ≠0， 所以k 的值为﹣3． 故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 【答案】()2314y x =−+【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线23y x =向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到新的抛物线的表达式是：()2314y x =−+，故答案是：()2314y x =−+．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 16. 【答案】()250172x +=【分析】可先表示出第一次涨价后的价格，然后可得第二次涨价后的价格，根据两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元列方程即可． 【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x ，则第一次涨价后的价格为()501x +，第二次涨价后的价格为()2501x +，∴可列方程为()250172x +=， 故答案为：()250172x +=．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=． 17. 【答案】>【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成．【详解】10−<，且对称轴为直线1x =，∴当1x >时，函数值随自变量的增大而减小；∵2a >，21y y ∴<，故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键．18. 【答案】13【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解．【详解】解：2680x x −+=，∴()()240x x −−=，解得：1242x x ==，．当4x =时，三边为3，4，6，能组成三角形，∴这个三角形的周长为36413++=；当2x =时，三边为2，3，6，不能组成三角形，故答案为：13．19. 【答案】108a <<或12a > 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，分别把点A B 、坐标代入函数解析求出a 的值，再根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：如图，当抛物线2(0)y ax a =>过点A 时，把()2,2A −代入2y ax = 得，24a =，解得12a =； 过点B 时，把()4,2B −代入2y ax =得，216a =， 解得18a =； ∴当抛物线2(0)y ax a =>与线段AB 没有交点时，由a 的大小与抛物线开口大小关系可知a 的取值范围为108a <<或12a >， 故答案为：108a <<或12a >． 20. 【答案】①②③④⑤【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a<0.∵对称轴x=−2b a =−13，∴b=23a<0，∴ab>0.故①正确； ②如图，当x=1时，y<0，即a+b+c<0.故②正确；③如图，当x=−1时，y=a−b+c>0，∴2a−2b+2c>0，即3b−2b+2c>0，∴b+2c>0.故③正确；④如图，当x=−1时，y>0，即a−b+c>0.抛物线与y 轴交于正半轴，则c>0.∵b<0，∴c−b>0，∴(a−b+c)+(c−b)+2c>0，即a−2b+4c>0.故④正确；⑤如图，对称轴x=−2b a =−13，则a=32b.故⑤正确． 故答案为①②③④⑤点睛：此题考查二次函数的性质，由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．三、解答题（共48分，21题16分，22、23、24、26每题6分，25题8分）21. 【答案】（1）14x =，22x =−；（2）15x =，11x =；（3）11x =，123x =；（4）122x =，222x =． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开平方法，因式分解法，公式法是解题的关键． （1）用直接开平方法，即可求解；（2）将方程左边进行因式分解，化为()()510x x −−=，再解一元一次方程即可求解；（3）整理后，将方程右边的项移到左边进行因式分解，化为()()1320x x −−=，再解一元一次方程即可求解；（4）可求2a =，4b =−，1c =，80∆=>，由求根公式2b x a−=，进行求解即可． 【小问1详解】解：()219x −=，开方得13x −=±，∴14x =，22x =−；【小问2详解】解：2650x x −+=，因式分解得()()510x x −−=，50x ∴−=或10x −=，∴15x =，11x =；【小问3详解】解：()3122x x x −=−，整理得()()31210x x x −−−=，∴()()1320x x −−=，10x ∴−=或320x −=，∴11x =，123x =；【小问4详解】解：22410x x −+=， 2a =，4b =−，1c =，∴()224442180b ac ∆=−=−−⨯⨯=>，∴4242x ±±===，∴122x =，222x −=． 22. 【答案】（1）见解析 （2）1±【分析】（1）说明该方程的判别式大于等于零即可证明结论；（2）利用因式分解法求出方程的两个根，然后结合题意即可解答．【小问1详解】证明：∵()()22221414414410m m m m m m m ∆=−−−=−+−+=>，∴方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：∵()()221100mx m x m m +−+−=≠， ∴()()110x mx m ++−=∴12111,1m x x m m−=−==−， ∵方程的两个实数根都是整数．∴整数m 的值为1±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的个数与∆的关系和利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．23. 【答案】1dm【分析】设空白区域的宽度为dm x ，根据题意，列出一元二次方程，求解即可．【详解】解：设空白区域的宽度为dm x ，根据题意可得，()258582255120x x x ⨯−⨯−⨯−=，解得18x =（舍去），21x =，答：空白区域的宽度应是1dm ．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出一元二次方程．24. 【答案】（1）二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）P （﹣4，5）（2，5）．【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A （1，0），C （0，﹣3）代入）二次函数y=x 2+bx+c 中，求出b 、c 的值，即可得到函数解析式是y=x 2+2x ﹣3．∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3），∴1b c 0{c 3++==−，解得b 2{c 3==−．∴二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）求出A 、B 两点坐标，得到AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标：∵当y=0时，x 2+2x ﹣3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1．∴A （1，0），B （﹣3，0）．∴AB=4．设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10，∴12AB•|n|=10，解得：n=±5． 当n=5时，m 2+2m ﹣3=5，解得：m=﹣4或2．∴P （﹣4，5）（2，5）．当n=﹣5时，m 2+2m ﹣3=﹣5，方程无解．∴P （﹣4，5）（2，5）．25. 【答案】（1）图象与x 轴交点坐标为()4,0−，()2,0，图象与y 轴交点坐标为()0,8−，图象见解析 （2）97y −≤<；（3）27【分析】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求法，正确画出函数图象是解题关键．（1）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象；（2）利用1x =−以及5x =−是求出函数值进而得出答案；（3）利用函数图象和三角形的面积公式得出三角形面积即可．【小问1详解】解：解：()222819y x x x =+−=+−；顶点横坐标为()1,9−−，对称轴为直线1x =−，当0y =，则()2019x =+−，解得：14x =−，22x =，故图象与x 轴交点坐标为：()4,0−，(2,0)，当0x =，8y =−，故图象与y 轴交点坐标为：()0,8−，点()0,8−关于对称轴1x =−的对称点为()2,8−−，这个二次函数的图象如图所示：【小问2详解】解：当5x 0−<<时，由图象知，当1x =−时，二次函数有最小值9y =−，当5x =−时，()25197y =−+−=，故当5x 0−<<时，y 的取值范围是：97y −≤<；【小问3详解】解：如图所示：函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：169272⨯⨯=． 26. 【答案】（1）抛物线的对称轴为1x =，(0,1)C −；（2）①1个；②12m <≤．【分析】（1）先根据二次函数的对称轴2b x a =−可得其对称轴，再令0x =，求出y 的值，从而可得出点C 坐标；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；②先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线221y mx mx =−−的对称轴为212m x m−=−= 令0x =得：1y =−则点C 坐标为(0,1)C −；（2）①当1m =时 2221(1)2y x x x =−−=−−，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W 内的整点只有1个，即点(1,1)−；②将抛物线221y mx mx =−−化为顶点式2(1)1y m x m =−−−则抛物线的顶点坐标为(1,1)m −−，且图象经过定点(0,1)C −结合图象可知，若图形W 内的整点有2个，则这两个整点只能是(1,1),(1,2)−−因此有两个临界点：抛物线顶点为()1,2−和抛物线顶点为()1,3−当抛物线顶点为()1,2−时，12m −−=−，解得1m =当抛物线顶点为()1,3−时，13m −−=−，解得2m =则m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）②，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键．。

2024北京平谷五中初三10月月考数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 已知23(0)a b b =≠，则下列比例式中正确的是（ ） A. 32a b = B. 23a b = C. 32a b = D. 23a b =2. 如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A. 4B. 5C. 6D. 8 3. 抛物线()221y x =−+的顶点坐标是（ ）A. ()12，B. ()21−，C. ()21−−，D. ()21，4. 若两个相似三角形的相似比为2，则它们的面积比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8D. 1:16 5. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）A. B. C. D. 6. 将抛物线22y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A. ()2223y x =−+B. ()2223y x =−− C. ()2223y x =++ D. ()2223y x =+− 7. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m ，与树距15m ，那么这颗树的高度为（ ）A. 5mB. 7mC. 7.5mD. 21m8. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为( )A. x 1＝－3，x 2＝0B. x 1＝3，x 2＝－1C. x ＝－3D. x 1＝－3，x 2＝1二．填空（本题共16分，每小题2分）9. 已知23a b =，则a b a +的值为____________． 10. 请写出一个 开口向下，并且与y 轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________ 11. 如图，在ABC 中，点D 、E AB 、AC 边上，DE BC ∥，若:3:4AD AB =，6AE =，则EC 等于____________．12. 如图，点P 是ABC 中AB 边上的一点，请你添加一个条件使ACP ABC △∽△，这个条件可以是________________．13. 若点()2,8在二次函数()22y x k =−的图像上，则k =____________． 14. 若二次函数2(1)3y x =−+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b , 则a _____b .（填“>”，“=”或“<”） 15. 在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，,AC BE 交于点O ，若:1:2,2AE ED OE ==，则OB的长为______．16. 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：下列结论：①抛物线开口向下；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③线的对称轴是直线12x =；④2(0)y ax bx c a =++≠函数的最大值为2．其中所有正确的结论为____________．三、解答题（17题5分，18-23题、25题每题6分，24、26、27题每题7分，共68分） 17. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.18. 如图，在△A BC 中，点D 在AB 边上，∠ABC =∠ACD ，（1）求证：△A BC ∽△ACD（2）若AD =2，AB =5.求AC 的长．19. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是边AB 上的高．（1）求证：△ABC ∽△CBD ；（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD 的长．20. 在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝12，点E 为DC 的中点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为点F ． （1）求证：△BEC ∽△ABF ；（2）求AF 的长．21. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，2AB AD =，2AC AE =．（1）求证：ADE ABC △△∽；（2）若3AD =，4BC =，求DE 的长．22. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40cm DE =，30cm EF =，测得10m AM =，边DF 离地面的高度 1.5m DM =，求树高AB .23. 已知：抛物线223y x ax a −=−，经过()2,3−．（1）求a 的值．（2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．24. 已知二次函数243y x x =−+．（1）用配方法化成()2y a x h k =−+的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴；（2）画出此函数的图像；（3）利用图象回答：当x 取什么值时，0y >．（4）当03x <<时，y 的取值范围是什么？25. 已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 与y 满足下表：（1）可求得m 的值为____________；（2）二次函数图像所对应的顶点坐标为____________；（3）求出这个二次函数的解析式． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：224y ax ax =−+()0a ≠（1）当1a =时①抛物线L 的对称轴为直线x = .②若在抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，则m 的取值范围是 .（2）抛物线L 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.27. 在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥； （2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果a c b d =，那么ad bc =”进行解答即可得．【详解】解：A 、32a b =，则23a b =，故该选项说法正确，符合题意； B 、23a b =，则32a b =，故该选项说法错误，不符合题意； C 、32a b =，则6ab =，故该选项说法错误，不符合题意； D 、23a b =，则32a b =，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A ．2. 【答案】C【详解】解∶∵AD ∥BE ∥CF ，根据平行线分线段成比例定理可得AB DE BC EF=，即123EF =， 解得：EF =6，故选：C ．3. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象性质：抛物线()2y a x h k =−+的顶点坐标()h k ，，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线()221y x =−+的顶点坐标是()21， 故选：D4. 【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为1:2，∴它们的面积之比是1:4．故选：B ．5. 【答案】D【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，．A.三角形三边分别是2，A 选项错误；B.三角形三边，4，与给出的三角形的各边不成比例，故B 选项错误；C.三角形三边2，3C 选项错误；D.三角形三边2，4，===，与给出的三角形的各边成正比例，故D 选项正确． 故选D ．6. 【答案】C【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键．【详解】解：由题意得 ()2223y x =++；故选：C ．7. 【答案】B【分析】先判定OAB ∆和OCD ∆相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：如图，AB OD ⊥，CD OD ⊥，//AB CD ∴，OAB OCD ∴∆∆∽， ∴AB OB CD OD=， 2AB m ，6OB m =，61521OD m =+=， ∴2621CD =， 解得7CD m =．这颗树的高度为7m ，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．8. 【答案】D【分析】利用抛物线与x 轴的交点关于对称轴对称,根据（-3,0）找到另一个交点即可解题.【详解】解：由图可知,抛物线与x 轴的交点关于对称轴对称,∵对称轴为x=-1,其中一个交点为（-3,0）∴另一个交点为（1,0）,故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x 轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键.二．填空（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】52【分析】本题考查了比例的性质，由23a b =，可设2a k =，3b k =，再代入所求式子中计算即可． 【详解】解：23a b =， ∴设2a k =，3b k =， ∴23522a b k k a k ++==， 故答案为：52． 10. 【答案】221y x x =−++（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a <0，与y 轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．【详解】∵抛物线开口向下，并且与y 轴交于点（0,1）∴二次函数的一般表达式2y ax bx c =++中，a <0，c =1，∴二次函数表达式可以为：221y x x =−++（答案不唯一）.【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y 轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键.11. 【答案】2【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 首先由DE BC ∥得到ADE ABC △△∽，得到AD AE AB AC=，然后代数求出8AC =，由此即可求出EC ． 【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽， ∴AD AE AB AC=，即364AC =∴8AC =∴2EC AC AE =−=．故答案为：2．12. 【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．【详解】∵A A ∠=∠∴可以添加的条件为ACP B ∠=∠∴ACP ABC △∽△．故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．13. 【答案】0或4【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，熟练掌握二次函数图象上点的横纵坐标满足函数解析式是解答本题的关键．将()2,8代入()22y x k =−求解即可． 【详解】解：将()2,8代入()22y x k =− 得，()2822k =−解得0k =或4．故答案为：0或4．14. 【答案】<【分析】直接把点A 和点B 的坐标代入二次函数解析式，求出a 和b ，然后比较大小即可．【详解】当x=0时，a=（0-1）2+3=4；当x=-5时，b=（5-1）2+3=19，所以a ＜b ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．15. 【答案】6【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识，先利用平行四边形的性质得到AD BC =，AD BC ∥，则由12AE ED =：：得到13AE BC =：：，然后证明AOE COB ∽，再利用相似比可计算出OB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∵12AE ED =：：，∴13AE BC =：：，∵AE BC ∥，∴AOE COB ∽，∴OE AE OB BC=，即213OB =， ∴6OB =，故答案为：6．16. 【答案】①②③【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．利用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数的性质对各选项判断即可得答案.【详解】解：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过()1,0−，()0,2，()2,0三点，∴002420a b c c a b c −+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得：112a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为22y x x =−++，∵10−<，∴抛物线开口向下，故①正确；2219224y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭， ∴对称轴为直线12x =，最大值为94，故③正确，④错误； ∴当12x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，故②正确；综上所述：正确的结论有①②③，故答案为：①②③．三、解答题（17题5分，18-23题、25题每题6分，24、26、27题每题7分，共68分） 17. 【答案】AC ＝10．【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理求得EC 的长即可得.试题解析：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC= 即243EC =． ∴EC ＝6．∴AC＝AE + EC＝10．18. 【答案】（1）详见解析；（2【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.【详解】证明：（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A∴△ABC∽△ACD（2）解：△ABC∽△ACD∴AC AB AD AC=∵AD=2, AB=5∴AC5 2AC=∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.19. 【答案】（1）证明见解析；（2）95 BD=【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC ∽△CBD；（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=125AC BCAB⋅=，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴∠A+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°．∴∠A=∠DCB．又∵∠ACB=∠BDC=90°，∴△ABC∽△CBD；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴CD=125AC BC AB ⋅=， ∵CD ⊥AB ，∴95．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．20. 【答案】（1）证明见解析；（2）12013. 【详解】试题分析：由矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，E 为DC 的中点，由勾股定理可求得BE 的长，又由AF ⊥BE ，易证得△ABF ∽△BEC ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF 的长．试题解析：（1）证明：在矩形ABCD 中，有∠C =∠ABC =∠ABF +∠EBC =90°，∵AF ⊥BE ，∴∠AFB =∠C =90°∴∠ABF +∠BAF =90°∴∠BAF =∠EBC∴△BEC ∽△ABF（2）解：在矩形ABCD 中，AB =10，∴CD =AB =10，∵E 为DC 的中点，∴CE =5，又BC =12，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE =13，由△ABF ∽△BEC 得AF AB BC BE= 即101213AF =，解得AF =12013考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.矩形的性质．21. 【答案】（1）见解析 （2）2DE =【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．（1）首先得到AD AE AB AC=，然后结合A A ∠=∠得到ADE ABC △△∽； （2）根据相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：∵2AB AD =，2AC AE = ∴12AD AE AB AC == 又∵A A ∠=∠∴ADE ABC △△∽；【小问2详解】解：∵ADE ABC △△∽ ∴AD DE AB BC =，即124DE = ∴2DE =．22. 【答案】9m【分析】利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB ．【详解】解：40cm 0.4m DE ==，30cm 0.3m EF ==.由题意得10m CD AM ==， 1.5m AC DM ==.∵90BCD DEF ∠=∠=︒，BDC FDE ∠=∠，∴DCB DEF △∽△. ∴BC CD EF DE =. ∴100.30.4BC =， ∴7.5BC =.∴7.5 1.5=9(m)AB BC AC =+=+.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．23. 【答案】（1）1a =（2）抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0−和()3,0；与y 轴的交点坐标为()0,3−【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．（1）将()2,3−代入223y x ax a −=−即可求解； （2）首先得到抛物线解析式为2=23y x x −−，然后分别令0x =和0y =即可求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．【小问1详解】解：将()2,3−代入223y x ax a −=−得，232223a a ⨯−−=−解得1a =；【小问2详解】解：∵1a =∴2=23y x x −−当0x =时，2233y x x =−−=−∴抛物线与y 轴的交点坐标为()0,3−；当0y =时，2023x x −=−解得11x =−，23x =∴抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0−和()3,0．24. 【答案】（1）()221y x =−−，顶点坐标为()2,1−，对称轴为直线2x =； （2）见解析 （3）1x <或3x >（4）13y −≤≤【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键．（1）用配方法即可求解；（2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可；（3）根据函数图象，找出函数图象在x 轴上方的时候x 的取值范围即可；（4）根据图象得到03x <<时图象的最高点和最低点的函数值即可求解．【小问1详解】解：()2224344121y x x x x x =−+=−+−=−−，∴顶点坐标为()2,1−，对称轴为直线2x =；【小问2详解】解：列表如下：【小问3详解】解：由图象可得，当1x <或3x >时，0y >；【小问4详解】解：由图象可得，当03x <<时，13y −≤≤．25. 【答案】（1）3（2）()2,1−（3）243y x x =−+【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．（1）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得m ；（2）根据抛物线的对称轴，并结合表格即可求解；（3）把点()0,3，()1,0，()3,0代入抛物线解析式2(0)y ax bx c a =++≠，利用待定系数法求函数解析式．【小问1详解】解：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点()1,0，()3,0，∴抛物线对称轴为直线1322x ，∴点()0,3关于对称轴的对称点是()4,m ，∴3m =，故答案为：3；【小问2详解】由表可知，二次函数图像所对应的顶点坐标为()2,1−，故答案为：()2,1−；【小问3详解】把点()0,3，()1,0，()3,0代入设抛物线解析式2(0)y ax bx c a =++≠得：0030930c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =−+．26. 【答案】（1） ①. 1 ②. m>2或0m <（2）4132a −<≤−或4a =【分析】（1）把1a =代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线L 的对称轴；②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，进而可得m 的取值范围；（2）根据题意先求出点M 、A 、B 的坐标，再结合图象，即可求a 的取值范围．【小问1详解】①∵当1a =时，抛物线L 为224y x x =−+，∴抛物线L 的对称轴为212x −=−=， 故答案为：1；②当1a =时，抛物线为224y x x =−+，如图，当2x =或0x =时，14y =，∵抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m ，且21y y >，∴()2,m y 在点()0,4左边抛物线上或点()2,4右边的抛物线上，∴m 的取值范围是m>2或0m <；故答案为：m>2或0m <；【小问2详解】∵抛物线L ：224y ax ax =−+的对称轴为1x =，且对称轴于x 轴交于点M ，∴点M 的坐标为（1，0），∵点M 与点A 关于y 轴对称，∴点A 的坐标为（1−，0），∵点M 向右移3个单位长度得到点B ，∴点B 的坐标为（4，0），依题意，抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点，把点A （1−，0）代入224y ax ax =−+可得43a =−；把点B （4，0）代入224y ax ax =−+可得12a =−； 把点M （1，0）代入224y ax ax =−+可得4a =；根据图象可知抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点时可得4132a −<≤−或4a =．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，结合图象作答是解题的关键．27. 【答案】（1）见解析 （2）CD CH =；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明()SAS FCE BCD ≅，得出CFE CBD ，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证()SAS MEC BDC ≅，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．【小问1详解】证明：在FCE △和BCD △中， CE CD FCE BCD CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ()SAS FCE BCD ≅，∴ CFE CBD ，∴ EF BD ∥，∵AF EF ⊥，∴BD AF ⊥．【小问2详解】解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，∵90ACB ∠=，CM ＝CB ，∴ AC 垂直平分BM ，∴AB AM =，在MEC 和BDC 中，CM CB MCE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ()SAS MEC BDC ≅，∴ ME BD =，CME CBD ， ∵222AB AE BD =+，∴ 222AM AE ME =+，∴ 90AEM ∠=︒，∵CME CBD ，∴BH EM ∥，∴ 90BHE AEM ，即90DHE ∠=︒， ∵12CECD DE ， ∴ 12CH DE ， ∴ CD CH =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明90DHE∠=︒是解题的关键．。

2024~2025学年第一学期初三10月月考数学试卷一、选择题（每题3分，共27分）1. 一元二次方程的一次项系数是（ ）A. －4B. －3C. 2D. 32. 抛物线对称轴是直线（ ）A.B.C.D. 3. 若将抛物线y =－x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )A. y ＝－(x ＋3)2－2 B. y ＝－(x －3)2－2C. y ＝－(x －3)2＋2D. y ＝－(x ＋3)2＋24. 将二次函数y ＝x 2﹣4x ＋1化成y ＝a （x ﹣h ）2＋k 形式为（ ）A. y ＝（x ﹣4）2＋1B. y ＝（x ﹣4）2﹣3C. y ＝（x ﹣2）2﹣3D. y ＝（x ＋2）2﹣35. 一元二次方程 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根6. 一元二次方程的解为（ ）A. x=3B. ，C. ，D. ，7. 参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x 人参加活动，可列方程为（ ）A.B.C.D. 8. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A. a ＞0，b ＞0，c ＞0B. a ＜0，b ＞0，c ＞0C. a ＜0，b ＞0，c ＜0D. a ＜0，b ＜0，c ＞0的的的22340x x +-=()221y x =-+1x =-1x =2x =-2x =1212121212230x x -+=230x x -=10x =23x =10x =23x =-11x =23x =()12101x x -=()110x x -=()11102x x +=()2110x x -=9. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图和下表记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共27分）10．若（a ﹣3）x 2﹣3x ﹣4＝0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是 ．11．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x ＋m ＝0有一个根为1，则m 的值为 ．12．若抛物线y ＝x 2﹣6x ＋c 的顶点在x 轴上，则的值为________．13．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为________.14．写出一个过点（0，1）且当自变量x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大的二次函数的解析式 　．15．若关于x 的一元二次方程mx 2＋2x ＋1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是 _____．16．若点A （－2，y 1）， B （1，y 2）在抛物线上，则y 1 _______y 2．（用＞，＜，＝填写）17．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为________．x 02040y54.057.946.2y m x m 2y ax bx c =++0a ≠x y 10m 15m 20m 22.5mc 224y x x c =++18．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，；；若点在此抛物线上，则；若点在此抛物线上且，则．所有正确结论的序号是________．三、解答题（共46分，19题6分，20题4分，21题6分，22－23每题5分，26题6分，27－28题每题7分）19．解方程：（1）x 2＋8x ＝9；（2）x 2－9＝2x ＋6．20．已知，求代数式的值．xOy ()20y ax bx c a =++≠()1,P k -()30A -,①0a <②2b a =-③()2,M m 0m <④(),N t n n c <0t >2210x x --=2(2)(1)(1)x x x -++-21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…－3－2－1012…y…0－3－4－3m5…（1）直接写出表格当中的m值：_____________（2）求这个二次函数的表达式；（3）在图中画出这个二次函数的图象;（4）当－4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．22．已知：关于x一元二次方程x2＋ax＋a－2=0．（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根．23．要利用一面墙(墙长为25 m)围成一个矩形养鸡场，用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成的矩形养鸡场的一边长为x米，面积为y平方米.（1）求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围.（2）当x为何值时，围成的矩形养鸡场的面积为56平方米?的24．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD =10，EF =4，求OE 和BG 长．25．在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象经过点A （﹣1，2）和B （1，4）．（1）求该函数的解析式；（2）当x ＞2时，对于x 的每一个值，函数y＝x ＋n 的值小于函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的值且大于5，直接写出n 的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，点（2，m ）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）上，设抛物线的对称轴为x ＝t ．（1）当m ＝c 时，求t 的值；（2）若c ＜m ，求t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点（﹣1，y 1），（3，y 2）在抛物线上，请比较y 1，y 2的大小，并说明理由．的1227．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，连接DE ．（1）如图1，当△ABC 为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE 与∠BCD 之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE ，CE ，DE 的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE ，CE ，DE 的数量关系．28．我们规定：将图形M 先向右平移a （a ＞0）个单位，得到图形，再作出图形关于直线x =b 的对称图形，则称图形是图形M 的a ，b 平对图形.（1）已知点B （1，2），若a =3，b =1，则点的坐标是______；点的坐标是_____； （2）已知点C （0，3），它的平对图形（4，3），求出a 与b 的数量关系；（3）已知圆O 的半径为1，其中a ≥1，若存在实数b ，使圆O 的平对图形与直线y =ax +b 有公共点，直接写出b 的最小值及相应的a 的值.M 'M 'M ''M ''B 'B ''C ''。

数学练习班级 __________ 姓名 ___________ 学号 ___________一、选择题（共16分，每小题2分） 1．一元二次方程x 2+2x ＝0的解为（ ）．A ．x ＝ 2B ．x ＝2C ．x 1＝0，x 2＝ 2D ．x 1＝0，x 2＝2 2．抛物线2(1)2y x ＝的顶点坐标是（ ）．A ．( 1，2)B ．(1， 2)C ．(1，2)D ．( 1， 2) 3．若关于x 的方程x 2+6x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）．A ．36B ．9C ． 9D ． 36 4．设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y 是抛物线2(1)y x 上的三点，则123,,y y y 的大小 关系为（ ）．A ．123y y yB ．132y y yC ．321y y yD ．213y y y 5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜3B ．x ＞ 1C ． 1＜x ＜3D ．x ＜ 1 或 x ＞3（第5题图） （第7题图）6．已知AB ＝10cm ，以AB 为直径作圆，那么在此圆上到AB 的距离等于5cm 的点共有（ ）．A ．无数个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．b ＝2aC ．b 2＜4acD ．8a +c ＜08．若二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1＜x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．(x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0C ．x 1＜x 0＜x 2D ．a (x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0 二、填空题（共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x 与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为 ．10．如图，已知⊙O 的半径OA ＝5，弦AB 的弦心距OC ＝3，那么AB ＝ ．（第10题图） （第13题图）11．若m 是关于x 的方程x 2 2x 1＝0的解，则代数式6m 3m 2+2的值是 ． 12．若抛物线y ＝x 2 2x +m 与x 轴的一个交点是( 2，0)，则另一个交点的坐标是 ．13．如图，一次函数y 1＝kx +n (k ≠0)与二次函数y 2＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象相交于A ( 1，4)，B (6，2)两点，则关于x 的不等式kx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为 ． 14．平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为 ．15．二次函数y ＝ax 2+bx 的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程 ax 2+bx m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．（第15题图） （第16题图）16．如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为( 2，3)、(1，3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为 ．三、解答题（共68分，第17题10分，第18、22题5分，第19、20、21、23、24、25题7分，第26题6分） 17．用适当的方法解方程（1）x 2 2x 8＝0； （2）2x (x 3) 5(3 x )＝0．18．如图，已知：在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，E 为垂足，AE ＝4，CE ＝6，求⊙O的半径．19．已知二次函数y ＝ x 2 2x +2．（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）结合函数图象，直接写出方程 x 2 2x +2＝0的近似解（精确到0.1）．20．已知关于x 的方程kx 2+(2k +1)x +2＝0．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2（k 为正整数）图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；（3）已知抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2恒过定点，求出定点坐标．A21．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为( 3，0)，与y轴交于点C，点D( 2， 3)在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q，使三角形ABQ的面积为24，求Q点坐标．22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：)m与水平距离x（单位：)m近似满足函数关系2．某位同学进行了两次投掷．y a x h k a()(0)（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式：2y a x h k a；()(0)（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系2．记实心球第一次着地点到原点的距离为0.09( 3.8) 2.97y xd，第二次着1地点到原点的距离为d，则1d2d（填“ ”“ ”或“ ” )．223．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题， 如a 2+2a 4＝a 2+2a +12 12 4＝(a +1)2 5. ∵(a +1)2≥0，∴a 2+2a 4＝(a +1)2 5≥ 5， 因此，代数式a 2+2a 4有最小值 5． 根据以上材料，解决下列问题：（1）代数式a 2 2a +2的最小值为 ；（2）试比较a 2+b 2+11与6a 2b 的大小关系，并说明理由； （3）已知：a b ＝2，ab +c 2 4c +5＝0，求代数式a +b +c 的值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，()()p q A p y B q y ，，，和2()3t C t y ，是抛物线223y x tx 上三个不同的点.（1）当1p q t y y ，时，求抛物线对称轴，以及p ，q 之间的等量关系； （2）当1p 时，若对于任意的32t q t ，都有p q t y y y ，求t 的取值范围.25. 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CF ，AE ，BF 交于点G ．（1）在线段AG 上截取MG ＝BG ，连接DM ，∠AGF 的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明；（2）在（1）条件下，若正方形ABCD 边长为1，求线段DN 的最小值.26. 【阅读材料】（1）抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线C 上任意一点A 到抛物线对称轴上一点F 的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线l 的距离相等.例如：已知抛物线y =x 2，点F (0，14)，直线l :14y ，抛物线上一点Q (a ，a 2).作QP l 于点P , 连结QF .则QP =a 2+14, 214QF a QP .点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（2）抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦.与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径. 【解决问题】请你仿照（1）中的方法，解决以下问题： ①已知抛物线213y x ，焦点3(0)4，，请计算出准线的解析式； ②已知抛物线218y x，准线2y ，请计算出焦点坐标； ③综合以上几问的结果，请直接写出抛物线212y x p的焦点坐标与准线解析式（用含p 的式子表示）.。

九年级数学10月月考试卷（试卷满分：150分，时间：120分钟）A 卷(100分)一、选择题（每小题3分，共30分） 1、方程x 2=2x 的解是( ) A ．x=0 B ．x=2 C ．x 1=0，x 2=2 D ．x 1=0，x 2= 2、如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ） A.d b c a = B.b a d c = C.b d c a = D.cda b = 3、连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是 ( ) A.B.C. D.4、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则三角形的周长为（ ）A ．12B ．14C ．12或14D ．以上都不对5、下列说法中，错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形 6、若一元二次方程 04)15(3)2(222=-+++-m x m x m 的常数项是0，则m 为（ ） A.2 B.±2 C.－2 D.－17、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A ．9：16 B.3：4 C ．9：1 D ．3：18、某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产250台，设二、三月份的生产平均增长率为x ，则根据题意列出方程是（ ） A. 100(x +1)2=250B. 100(x +1) +100(x +1)2=250C. 100(x -1)2=250D. 100(x +1)3=2509、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．②和④D ．①和③10．如图，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ，BD ＝4，CD ＝3．下列结论：①∠AED ＝∠ADC ；②12DE DA =；③AC •BE ＝12；④3BF ＝4AC ．其中结论正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（第7题图） （第10题图）二、填空题（每小题4分，共16分）11、 下列判断中：(1)所有的等腰三角形相似，(2)所有的正三角形都相似，(3)所有的正方形都相似，(4)所有的矩形都相似，其中正确的是12、 “国际半程马拉松”的赛事共有三项：A ．“半程马拉松”、B ．“10公里”、C ．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．小明和小刚被分配到不同项目组的概率 ； 13、用换元法解方程212x x-+2x=x 2﹣3时，如果设y=x 2﹣2x ，则原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是 ．14、 如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为 ．6141212350x x -+=1312三、计算题 （15题每小题6分，16题6分，共18分）15、解一元二次方程（1）01862=--x x （2）()()22231-=+y y16、若2132,65432=+-+==+c b a c b a 且，试求 c b a ::的值； 四、 解答题（17题8分，18题8分，19题10分,20题10分，共36分）17、已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根， 且满足111-=+βα，求m 的值；18． 如图，河对岸有一路灯杆AB ，在灯光下，小亮在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向从D 后退4米到G 处，测得自己的影长GH ＝5，如果小亮的身高为1.7m ，求路灯杆AB 的高度．19、（10）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元. （1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少；（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？20、（10）如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点， 且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF 的长（计算结果可含根号）。

人教版九年级上册数学十月份月考试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 一个小组有若干人，每人互送贺卡一张，全组共送贺卡72张，则这个小组有（ ）A. 12人B. 10人 C ・9人D. 18人2. 在抛物线上有£（ 一 0. 5, %）、凤2,北）、Q （3, yj 三点,若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则的大小关系为（）抛物线y = F_2j!r + 2与坐标轴交点个数为（ ）一元二次方程H +271丫 +加=0有两个不相等的实数根,飞机着陆后滑行的距离P （单位：m ）关于滑行时间f （单位：s ）的函数解析式是y = 60/-|z 2.在飞机着陆滑行中，最后6 s 滑行的距离是 ______ m14. _____________ 两年前生产1 r 药品的成本是6000元，现在生产1 r 药品的成本是4860元，则药品成本的年平均 下降率是15. 二次函数y = |x 2的图象如图，点儿位于坐标原点，点儿、Az.儿、…、儿在卩轴的正半轴上，点&、足、&、…、3,在二次函数位于第一象限的图象上，点G 、 G 、G 、…、G 在二次函数位于第二彖限的图象上.四边形儿3儿G 、四边形 四边形四边形都是菱形，上述A ： = Z 小£= S 民仏••• = Z 儿 風£=60° ,菱形A 的周长为—16. 如图，平行于*轴的直线M 分别交抛物线（心0）与 〉，2=壬（谤0） B 、C 两点，过点Q 作y 轴的平行线交％于点Q, 三、解答题（共8题，共72分）17. （本题8分）解方程:Y +A —3 = 0A. 3・ A. 4. A. 5. 戶VyiVjtB ・C ・北＜乃＜戶 二次函数尸一左一2x+c 在一3 W2的范围内有最小值一5, -6 B ・ 2 C ・ 一2 抛物线7=2（^+3）:+5的顶点坐标是（） （3, 5）B. （一3, 5）C. （一3, 方程X& — 5）= 0化成一般形式后，它的常数项是（ 5B. 一 5C. 0D.处＜上＜戶则c 的值是（D. 3—5) D. (3, -5) D. 1 6. A.B. 1C. 2D. 31. A. 8. A. 9.A. m = 3 B ・ zn ＞3 C ・ ZZF ＜3用配方法解方程/一2x —5=0时，原方程应变形为（ Cr+l ）s =6 B ・（x-l ）2=6 C ・ 二次函数 y=2（x-3）3-6 （ ） 最小值为一6 B.最小值为3 C.最大值为一6 -Yix 加是方程2-Y "_4x —1=0的两个根，则必+加=（ B ・ 1 或一1 C. —2 )(x-2)s =9 D. C Y +2)2=910. 若 A. 1 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 耙抛物线y=/先向下平移1个单位，再向左平移2个单位, 一元二次方程+—&=0的一个根是2,则a 的值是 ________________________D.最大值为3）D ・211. 得到的抛物线的解析式是. r ）p直线应必交北于点丄则丽= --------------------13.18.（本题8分）⑴ 请用描点法画出二次函数y=—空+心一3的图象（2）根据函数图象回答：不等式一£+4x—3>0的解集为____________ :不等式一+4x—3< —3的解集为_______________19.（本题8分）已知关于％的方程/一（2&+1）%+尸+£=0（1）求证：无论&取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根（2）若两实数根满足（小+1）（出+1）=12,求&的值20.（本题8分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析：若每千克50元销售. 一个月能售岀500 kg.销售单价每涨1元，月销售虽就减少10 kg（1）当销售单价立为每千克55元时，讣算销售量和月销售利润（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？21・（本题8分）已知抛物线y=ay+bx+e的顶点P（2, —1）,且过点（0, 3）（1）求抛物线的解析式⑵ 过龙点的直线y=^-2m-3 5<0 ）与抛物线y=a^+bx+c交于点"、A：若△£!£¥的而积等于1.求ZZ?的值22.（本题10分）如图，在正方形救P中，疋是边曲上的一动点（不与点小万重合），连接広点/!关于直线力的对称点为尸，连接〃并延长交證于点G,连接％,过点£作曲丄血交％的延长线于点/连接册(1)求证：GF=GC(2)用等式表示线段阳与M的数量关系，并证明(3)若正方形救P的边长为4,取加的中点胚请直接写岀线段3”长的最小值23.(本题10分)投资8000元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造.墙长35 m、平行于墙的边的费用为100元/m,垂直于墙的边的费用为250元/皿设平行于墙的边长为x加(1)设垂直于墙的一边长为ym直接写岀y与*之间的函数关系式⑵若菜园面积为300乩求"的值(3)求菜园的最大面积24.(本题12分)如图，抛物线y=/+bY+c (aHO)与直线y=x+1相交于0)、B(4,加)两点，且抛物线经过点C5, 0)(1)求抛物线的解析式(2)点尸是抛物线上的一个动点(不与点么点万重合)，过点尸作直线PDLx轴于点2交直线初于点E①当朋=2和时，求P点坐标②是否存在点F使△毗为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标：若不存在，请说明理由人教版九年级上册数学十月份月考试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共小题，每小题分，共分）11. y=Gr+2尸一1 12. 4 13. 5414. 10% 15. 4n 16.三.解答题（共8题，共72分）18.解：(1) 1<-Y<3： (2) %<0 或正>419.证明：(1) VA = (2A+1):-4 = 1 >0•••求证：无论&取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根（2） T・Y>+X：=2&+1, xg=艮+k•••3+1）（£+1）=上上+弘+£+1=2比+1+尸+&+1 = 12,解得人=一5, k尸220.解：（1）销售量：500-5X10=540（kg）销售利润:450X（55-40）=6750 （元）(2)设销售单价应为'元(JT-40) [500-10(x-50)] =8000,解得及=80,挹=60①当<=80时，进货500-10X (80-50)=200滋<250 kg.符合题意②当-Y=60时.进货500-10X (60-50)=400転>250 kg.不符合题意21.解：(1) y=(x-2)3-l(2)过点尸作PQ//y轴交MV于Q设P(2, -1),则0(2, -3):・PQ=2联立< ' A 4x + 3 ,整理得y*—Gz?+4)x+2zz?+6 = 0y = 加一3如+ Xr=也+ 4 > -Y K X V= 2e+ 6:.XN-g J(加+ 4)2 -4(2加 + 6) = 1,解得血=-3,处=3 (舍去)22.证明：(1)连接莎•••点A关于直线加对称点为尸:・DF=DA=DC, ZDFE= ZA=90°可证：Rt\DGF仝Rt'DGC:・GF=GC(2) •:乙 ADE= ZFDE、乙 GDF= ZGDC:.£EDG=^9 JEHA.DE：4EH为等腰直角三角形过点〃作HMA.AB于“由三垂直，得厶ADE^/\MEH (AAS):.HM=AE. EM=AD=AB:.AE=B\f=HM17.:.BH= 41 HM= 41 AE(3)对角互补找疋点轨迹2^223.解：(1) V100x+250y 2 = 8000y =-丄x+165(2)S=xy= -lx2 + 16.v = 300,解得弘=30, £=50••X35••」=30(3)S =-丄(x-40)2+3205•••0W30•••S随X的增大而增大・••当x=30时，S有最大值为30024.解：(1) y=-"+4x+5(2)① 设尸(<•, — F+4r+5),则r+1)、D(t, 0)•••彤=一/+4丫+5 —(r+1) =|-f+3t+4L DE= t+1•: PE=2ED/. |-f+3t+4|=2| t+1 =|2t+2当一F+3r+4=2r+2 时，解得t t=-l (舍去)，t==2当一F+3r+4+2r+2=0时，解得仁=一1 (舍去)，空=6•••P(2, 9)或(6, -7)② BE = QmE=Jlt2-& + 26 , BC =压当BE=CE时，-41 = 如-8/ + 26 ,解得心丄，此时X-,—) 4 4 16当爾=庞时，V2I/-4I = V26 ,解得『=4士加，此时P(4 + VH, - 4圧- 8) 或(4-713,4713-8)当陽=證时，J力2-& + 26 = 極,解得r=0或4 （舍去）,此时F（0, 5）。

初三十月月考数学试卷篇一：2021届人教版九年级10月月考数学试题及答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

考试时间120分钟，满分120分Ⅰ（客观卷）24分一、单项选择题（每小题12分，共24分）x?11A、x??且x?12C、x??B、x?1121D、x??且x?122．下列计算正确的是AC、(2?1BD??1 ?3．方程x2?x?1?0的一个根是A、1?B、1? 2C、?1?D、?1?524．已知方程x2?px?q?0的两个根分别是2和?3，则x2?px?q可分解为A、(x?2)(x?3) C、(x?2)(x?3)B、(x?2)(x?3) D、(x?2)(x?3)5．关于x的一元二次方程x2?5x?p2?2p?5?0的一个根为1，则实数p的值是A、4B、0或2C、1D、?16．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是7．将△ABC三个顶点横坐标都乘以－1，纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是A、关于x轴对称 C、关于原点对称B、关于y轴对称 D、不存在对称关系8．在比例尺为1∶6000000的地图上，量得两地的距离是15cm，则这两地的实际距离是A、0.9kmB、9kmC、90kmD、900km9．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE ＝6，则AC等于10．下列结论不正确的是A、所有的等腰直角三角形都相似 C、所有的矩形都相似B、所有的正方形都相似 D、所有的正八边形都相似11．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG=2∶3，则下列结论正确的是A、2DE=3MNB、3DE=2MNC、3?A?2?FD、2?A?3?F12．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③ A、3个ADAB。

其中正确的有 ?AEACB、2个C、1个D、0个Ⅱ（主观卷）96分二、填空题：（每小题3分，共18分）13．当x＜3时，9?6x?x2?x?614．已知x1、x2是方程x－x－2=0的两个实根，则(x1－1)(x2－1)= 。

九年级十月月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1 •已知a 为任意实数，那么下列各式一定有意义的是:4•关于x 的一元二次方程（a+c ） 三边的三角形的形状是： A 、以a 为斜边的直角三角形 C 、以c 为斜边的直角三角形5•将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点c 在半圆上，点A 、B 的读数 分别为86°、30° ,则ZACB 的大小为： A. 15°B 、30°C 、28°D 、56°6.RtAABC, AB=AC=2, ZBAC=90° ,能完全覆盖使此三角形的最小圆的面积是： A 、兀B 、2兀C 、3兀D 、4兀7•如图，在厶ABC 中，ZCAB=70° ,在同一平面内，将ZXABC 绕点A 旋转到ZkABf 的位置，使得CC' 〃AB,则ZBAB'=A 、如-1B 、如+iD 、2•化简V8-x/2（V2 + 2）的结果是:A 、・2B 、V2-2C 、2D 、4A /2-23 •下列说法正确的是:B 、若历 =~Cl 9 则a<0C 、若a>0,贝U 二次根式件与2是同类二次根式 a/昭亍"有两个相等的实数根，那么以a 、b 、c 为B 、以b 为底边的等腰三角形 D 、以c 为底边的等腰三角形A、15°B、30°C、28°D、56°8•在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景面的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图, 如图所示，如果要使整个挂图面积是2816cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是:A、(60+2x) (40+2x) =2816B、(60+x) (40+x) =2816C、(60+2x) (40+x) =2816D、(60+x) (40+2x) =28169•如图所示，AABC和AA，B‘ C'关于点O成中心对称，则下列结论正确的有:①AB二A' BJ ②AO二A' O； (3)AC/7A, C'；④ZAOB=ZA, OB'A、1个B、2个C、3个D、4个10.已知m = 1 + A/2,n = \ - V2 ,则代数式\lm2-3mn的值为：A、9B、±3C、3D、511 •下列一元二次方程中，两实数根的和为3的方程是：A、x2一3x+3=0B、x2一3x一3=0C、x2+3x+3=0D、x2+3x一3=012.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足：A、解的整数部分是0,十分位数是5B、解的整数部分是0,十分位是8。

2024北京人大附中学朝阳学校初三10月月考数 学（考试时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 若关于x 的方程()2110m x mx −+−=是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A. 1m ≠B. 1m =C. 1m ≥D. 0m ≠ 2. 抛物线()222y x =−+的顶点坐标是（ ）A. ()2,2−B. ()2,2−C. ()2,2D. ()2,2−− 3. 抛物线y=﹣12x 2+3x ﹣52的对称轴是（ ） A. x=3 B. x=﹣3 C. x=6 D. x=﹣52 4. 用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A. ()249x +=−B. ()247x +=−C. ()2425x +=D. ()247x += 5. 要得到抛物线()2241y x =−−，可以将抛物线22y x =：（ ）A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B . 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 6. 已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（ ）A. 2B. ﹣2C. 32D. ﹣327. 函数221y ax x =−+和y ax a =+（a 是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，E 是DC 边上一个动点，F 是AB 边上一点，∠AEF ＝30°．设DE ＝x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的（ ）．A. 线段ECB. 线段AEC. 线段EFD. 线段BF二、填空题（共16分，每题2分）9. 方程22x x =的根1x =_________，2x = ________________.10. 已知a 是方程23610x x +−=的一个根，则22a a +=____________．11. 写一个当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的函数解析式__．12. 已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数22y x =−图象上的两点，如果120x x <<，那么1y ，2y 的大小关系是____________．13. 如图，某小区规划在一个长为16m 、宽为9m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m 2，求小路的宽度．若设小路的宽度为x m ，则x 满足的方程为__________________．14. 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程27120x x −+=的一个根，则菱形ABCD 的周长为_____15. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图，则当y ＞3时，x 的取值范围是______．16. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中正确的是____________．①0ac >；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③20b a −=；④3x =是关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的一个根；⑤若(0,)A m ，(2.5,)B n ，(3,)C t 均在二次函数的图象上，则m n t >>；⑥若抛物线与y 轴的交点在(0,3)−与(0,2)−之间（包含边界），则系数a 的取值范围是213a ≤≤． 三、解答题（共68分，）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解下列一元二次方程：（1）2410x x −−=；（2）2(1)250x +−=．18. 解不等式组27442x x x x +>−⎧⎪⎨+<⎪⎩，并将解集表示在数轴上． 19. 已知210x y +−=，求代数式222444x y xy y +++的值． 20. 已知关于x 的一元二次方程x 2+（k +1）x +k ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围．21. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AF CE =．求证：DE BF =．22. 已知抛物线243y x x =−+．（1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线；（2）当x 取什么值时，0y >；（3）当x 取什么值时，y 随x 的增大而减小？23. 二次函数23y ax bx =+−中的,x y 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式．（2）求m 的值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3)，(2,0)−，且与y 轴交于点A ．（1）求该函数的解析式及点A 的坐标；（2）当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．25. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg ，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg ．（1）设涨价x 元，则销售量为____________kg （用含x 的式子表示），月销售利润y （单位：元）与涨价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为____________；（2）求当涨价多少元时利润最大？26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线：224(0)y ax ax a =−+>．（1）抛物线的对称轴为x =____________；抛物线与y 轴的交点坐标为____________；（2）若抛物线的顶点恰好在x 轴上；写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；（3）11(,)A x y ，22(,)B x y 是此抛物线上的两点，若12x x <，且122x x +>，比较1y ，2y 的大小，并说明理由．27. 已知：如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在AB 边上，点A 关于直线CD 的对称点为E ，射线BE 交直线CD 于点F ，连接AF ．（1）设ACD α∠=，则CBF =∠____________（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点00(,)P x y ，给出如下定义：若存在实数1x ，2x ，1y ，2y 使得0112x x x x −=−且0112y y y y −=−，则称点P 为以点11(,)x y 和22(,)x y 为端点的线段的等差点．（1）若线段m 的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,2)−，则下列点是线段m 等差点的有__________；（填写序号即可）①1(16)P −，；②2(20)P ，；③3(4,4)P −；④4(5,6)P −． （2）点A ，B 都在直线y x =−上，已知点A 的横坐标为2−，(0)M t ，，(11)N t +，． ①如图1，当1t =−时，线段AB 的等差点在线段MN 上，求满足条件的点B 的坐标；②如图2，点B 横坐标为2，以AB 为对角线构造正方形ACBD ，在正方形ACBD 的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN 上存在其中某条线段的等差点，直接写出t 的取值范围__________．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．【详解】解：∵()2110m x mx −+−=是一元二次方程， ∴10m −≠，解得1m ≠，故选A ．2. 【答案】C【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解．【详解】解：∵抛物线解析式为()222y x =−+，∴抛物线的顶点坐标为()2,2，故选：C ．【点睛】本题主要考查了考查二次函数的性质，掌握()2y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k 是解题的关键．3. 【答案】A 【详解】解：∵215322y x x =−+− ∴132a b =−=， ∴对称方程为33122x =−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭故选A ． 【点睛】本题考查二次函数2y ax bx c =++的对称轴方程为：2b x a =−． 4. 【答案】D【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=， 289x x +=−，2228494x x ++=−+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 5. 【答案】D【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可；【详解】解：将抛物线22y x =先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线()2241y x =−−；故选D ．【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 6. 【答案】B【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】方程2x 2+4x ﹣3＝0中，a=2，b=4，c=-3，故x 1+x 2＝b a −=﹣42＝﹣2． 故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a −，x 1x 2=c a． 7. 【答案】C【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：A 、由一次函数y ax a =+的图象可得：a<0，此时二次函数221y ax x =−+的图象应该开口向下，故选项错误；B 、由一次函数y ax a =+的图象可得：a<0，此时二次函数221y ax x =−+的图象应该开口向下，故选项错误；C 、由一次函数y ax a =+的图象可得：0a >，此时二次函数221y ax x =−+的图象应该开口向上，对称轴202x a−=−>，故选项正确； D 、由一次函数y ax a =+的图象可得：a<0，此时二次函数221y ax x =−+的对称轴202x a−=−<，故选项错误．故选：C ．8. 【答案】B 【分析】求出当点E 与点D 重合时，即x =0时EC 、AE 、EF 、BF 的长可排除C 、D ；当点E 与点C 重合时，即x =2时，求出EC 、AE 的长可排除A ，可得答案．【详解】当点E 与点D 重合时，即x =0时，EC =DC =2，AE =AD =2，∵∠A =60°，∠AEF =30°，∴∠AFD =90°．在Rt △ADF 中，AD =2，∴AF =12AD =1，EF =DF ． ∴BF =AB -AF =1，结合图象可知C 、D 错误；当点E 与点C 重合时，即x =2时，如图，连接BD 交AC 于H ，此时EC =0，故A 错误；∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴∠DAC =30°，∴1,DH AH ==，∴AE =2AH B 正确．故选B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象与菱形的性质、解直角三角形的应用，结合函数图象上特殊点的实际意义利用排除法求解是解此题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】 ①. 0 ②. 2【分析】用因式分解法求解即可得出结论．【详解】∵x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，则x ＝0或x ＝2．故答案为0，2．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10. 【答案】13【分析】把方程的解代入方程得到23610a a +−=，则2361a a +=，得()2321a a +=，即可得到答案，此题考查了一元二次方程的解、代数式值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．【详解】解：把x a =代入方程23610x x +−=得：23610a a +−=，即2361a a +=，∴()2321a a +=， ∴2123a a +=， 故答案是：13． 11. 【答案】y ＝x 或y ＝1x−或y ＝x 2等（此题答案不唯一）． 【分析】可根据二次函数、一次函数、反比例函数的性质作答．【详解】解：若为一次函数，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＞0，如y ＝x ；若为反比例函数，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，如y ＝1x−； 若为二次函数，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，对称轴y ＝2b a −≤0，如y ＝x 2； ∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的函数解析式为y ＝x 或y ＝1x−或y ＝x 2等（此题答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握函数的图象和性质是解题关键.．12. 【答案】12y y <##21y y >【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性解答．解题关键是数量掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴．【详解】解：22y x =−的对称轴为y 轴，20a =−<，∴0x <时y 随x 的增大而增大，120x x <<，∴12y y <．故答案为： 12y y <．13. 【答案】（16－2x )(9－x )＝112【详解】设小路的宽度为xm ，那么草坪的总长度和总宽度为（16-2x ）m ，（9-x ）m ，根据题意即可得出方程为：（16-2x ）（9-x ）=112，故答案为（16-2x ）（9-x ）=112.14. 【答案】16【分析】边AB 的长是方程x 2-7x +12=0的一个根，解方程求得x 的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【详解】∵解方程x 2-7x +12=0得：x =3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD 的周长为4×4=16．故答案为：16【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．15. 【答案】0＜x ＜2【分析】根据抛物线与y 轴的交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，然后根据图象即可求得结论．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴的交点坐标为（0，3），对称轴为x ＝﹣1， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点为（2，3），由图象可知，当y ＞3时，x 的取值范围是0＜x ＜2．故答案为：0＜x ＜2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性，利用数学结合思想求不等式的解集是解答的关键．16. 【答案】④⑥【分析】此题考查掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由二次函数2y ax bx c =++的图象可得：抛物线开口向上，即0a >，抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，即0c <，∴0ac <，故①错误；由函数图象可得：当1x <时，y 随x 的增大而减小；当1x >时，y 随x 的增大而增大，故②错误； ∵对称轴为直线1x =，∴12b a−=，即20a b +=，故③错误； 由图象可得抛物线与x 轴的一个交点为()1,0−，又对称轴为直线1x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点为()3,0，则3x =是方程20ax bx c ++=的一个根，故④正确； ∵(0,)A m ，(2.5,)B n ，(3,)C t ，且31 2.5110−>−>−∴t n m >>，故⑤错误；抛物线交x 轴于()1,0−，()3,0，则()()21323y a x x ax ax a =+−=−−， 则3c a =−∵抛物线与y 轴的交点在(0,3)−与(0,2)−之间（包含边界），∴32c −≤≤−，即：332a −≤−≤−， ∴213a ≤≤，故⑥正确； 综上，正确的是④⑥，故答案为：④⑥．三、解答题（共68分，）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】（1）12x =+，12x =（2）14x =，26x =−【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．（1）利用配方法求解即可；（2）利用直接开平方法求解即可．【小问1详解】解：2410x x −−=，2445x x +=−，()225x −=，2x −=，∴12x =，12x =；【小问2详解】解：2(1)250x +−=，2(1)25x +=，15x +=±，∴14x =，26x =−．18. 【答案】14x <<，在数轴上表示见解析【分析】本题考查了不等式的解集，先分别求解各个不等式的解集，并在数轴上表示解集即可求解．【详解】解不等式274x x +>−，得：1x >， 解不等式42x x +<，得：4x <， 则不等式组的解集为14x <<，在数轴上表示如图所示：19. 【答案】2【分析】先将分式进行化简，再将210x y +−=变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式()()222222x y x yx y =+++=， 由210x y +−=可得21x y +=，将21x y +=代入原式可得，原式221==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．20. 【答案】（1）详见解析；（2）k ＜0．【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求得方程两根，再结合条件判断即可．【详解】（1）证明：依题意，得△＝（k+1）2﹣4k ＝（k ﹣1）2，∵（k ﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式，得x 1＝﹣1，x 2＝﹣k ，∵方程有一个根是正数，∴﹣k ＞0，∴k ＜0．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 21. 【答案】见解析【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等可得AB CD =，对边平行可得AB CD ∥，再根据两直线平行，内错角相等可得BAF DCE ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABF △和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE BF =．关键是正确证明ABF CDE ≌△△．【详解】证明：在ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，∴BAF DCE ∠=∠，在ABF △和CDE 中，AB CD BAF DCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABF CDE ≌，∴DE BF =；22. 【答案】（1）见解析 （2）当1x <或3x >时，0y >（3）当2x ≤时，y 随x 的增大而减小【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．（1）利用列表、描点、连线即可解决；（2）根据（1）中的函数图象即可作答；（3）由()224321y x x x =−+=−−，根据二次函数的性质的性质即可求解．【小问1详解】解：列表：【小问2详解】由（1）可知，抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和()3,0，结合图象可知：当1x <或3x >时，0y >；【小问3详解】()224321y x x x =−+=−−，∴当2x ≤时，y 随x 的增大而减小．23. 【答案】（1）2=23y x x −−（2）0【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．（2）根据二次函数的对称性即可求解．【小问1详解】解：根据表格可知对称轴为直线1x =，且1x =时4y =−，即顶点为()1,4−，设解析式为()214y a x =−−，当0x =时，=3y −，即43a −=−，解得1a =，∴这个二次函数的解析式为：()221423y x x x =−−=−−，即2=23y x x −−【小问2详解】解：∵对称轴为直线1x =，∴当3x =与1x =−时的函数值相等，∴0m =【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．24. 【答案】（1）112y x =+，()0,1A （2）1n ≥【分析】（10x =时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x +>+结合0x >解出不等式即可求解． 【小问1详解】解：将(4,3)，(2,0)−代入函数解析式得， 3=402k b k b +⎧⎨=−+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴函数的解析式为：112y x =+， 当0x =时，得1y =，∴点A 的坐标为(0,1)．【小问2详解】由题意得， 112x n x +>+，即22x n >−，又由0x >，得220n −≤，解得1n ≥，∴n 的取值范围为1n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．25. 【答案】（1）()50010x −，2104005000y x x =−++（2）20元【分析】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知月销售量500=−涨价10⨯，由此即可求解；（2）由（1）可知()2210400500010209000y x x x =−++=−−+，结合二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设涨价x 元，则销售量为()50010x −kg ，则月销售利润y （单位：元）与涨价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为()()2504050010104005000y x x x x =+−−=−++，故答案为：()50010x −，2104005000y x x =−++；【小问2详解】由（1）可知()2210400500010209000y x x x =−++=−−+，∵100−<，∴当20x 时，利润y 有最大值9000，即：当涨价20元时利润最大．26. 【答案】（1）1，()0,4（2）2484y x x =−+（3）12y y <，理由见解析【分析】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据二次函数对称轴公式可求出其对称轴，令0x =，求出y 的值即得出抛物线与y 轴的交点坐标； （2）根据题意可确定该二次函数顶点坐标为(1,0)，再利用待定系数法求解析式即可；（3）根据122x x +>，得1212x x +>，结合12x x <，可知点A 离对称轴更近，再结合函数开口方向，即可求解．【小问1详解】解：抛物线的对称轴为直线212a x a−=−=； 当0x =时，4y =， ∴抛物线与y 轴的交点坐标是(0,4)．故答案为：1，(0,4)；【小问2详解】解：∵抛物线的顶点恰好在x 轴上，∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，把(1,0)代入224y ax ax =−+，得：024a a =−+，解得：4a =，∴抛物线的解析式为2484y x x =−+；【小问3详解】解：12y y <，理由如下：∵122x x +>， ∴1212x x +>， 又∵12x x <，∴点A 离对称轴更近，∵0a >，则抛物线开口向上，∴12y y <．27. 【答案】（1）45α︒+（2）AF BF +=【分析】（1）由轴对称的性质得ACF ECF α∠=∠=，AC CE =，再由直角三角形的性质得902BCE α∠=︒−，进而可证CB CE =，则45CBF CEB α∠=∠=︒+，；（2）由（1）可知，4545CFB CEB ECF αα∠=∠−∠=︒+−=︒，过C 作MC CF ⊥于C 交FA 的延长线于点M ，证明45M AFC ∠=∠=︒，得CM CF =，再证明MCA FCB ≌△△，得MA FB =，则MF AF MA AF BF =+=+，然后在Rt CMF △由勾股定理即可得出结论．【小问1详解】 解：A 、E 关于直线CD 对称，∴ACF ECF α∠=∠=，AC CE =．90ACB ∠=︒，∴902BCE α∠=︒−．AC CE =，AC BC =，∴CB CE =．∴()1180452CBF CEB BCE α∠=∠=︒−∠=︒+． 故答案为：45α︒+．【小问2详解】线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系AF BF +=．由（1）可知，4545CFB CEB ECF αα∠=∠−∠=︒+−=︒，过C 作MC CF ⊥于C ，交FA 的延长线于点M ．A 、E 关于FC 对称∴45AFC CFE ∠=∠=︒．MC CF ⊥∴45M AFC ∠=∠=︒．∴MC FC =．90ACB MCF ∠=∠=︒∴MCA BCF ∠=∠． 又AC BC =∴MCA FCB ≌△△．∴MA FB =．∴MF AF MA AF BF =+=+．MC FC =，90MCF ∠=︒∴MF ==． ∴AF BF +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．28. 【答案】（1）①④ （2）①( 1.25,1.25)B 或( 3.5,3.5)；②72t −≤≤−或16t ≤≤．【分析】（1）m 的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,2)−，根据定义计算检验即可；（2）①根据解析式得(2,2)A −，当1t =−时，(1,0)M −，(0,1)N ，待定系数法确定直线MN 解析式为1y x =+，联立y x =−，求解交点即等差点坐标为(0.5,0.5)−；设点(,)B a a −，根据定义求解；②如图，点B 横坐标为2，可知(2,2)A −，(2,2),(2,2),(2,2)B C D ，(0)M t ，，(11)N t +，，分别在x 轴、直线1y =上，如图，正方形上两点(2,2),(2,1.75)的一个等差点为(6,1)−，点(11)N t +，位于1(6,1)N 时，t 取最小值，7t =−；正方形上两点(2,2),(2,1)的一个等差点为(6,0)，点(0)M t ，位于4(6,0)M 时，t 取最大值，6t =；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故2t ≤−，或，1t ≥，所以72t −≤≤−或16t ≤≤．【小问1详解】解：m 的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,2)−①1(16)P −，：∵1113,622(2) ∴1(16)P −，是等差点； ②2(20)P ，：∵2113,且2331∴2(20)P ，不是等差点； ③3(4,4)P −：∵4113，且4331 ∴3(4,4)P −不是等差点；④4(5,6)P −：∵5331且6(2)(2)2∴4(5,6)P −是等差点．故答案为①④．【小问2详解】解：①∵点A 直线y x =−上，横坐标为2−，∴(2,2)A −当1t =−时，(1,0)M −，(0,1)N设直线MN 解析式为(0)y kx b k =+≠，则01x b b −+=⎧⎨=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线MN 解析式为1y x =+，联立y x =−，得1y x y x =+⎧⎨=−⎩，解得0.50.5x y =−⎧⎨=⎩ ∴交点即等差点坐标为(0.5,0.5)−；设点(,)B a a −，则0.5(2),a a 或0.5(2)(2)a ，解得 1.25a =−或 1.75a∴( 1.25,1.25)B 或( 3.5,3.5)；②如图，点B 横坐标为2，以AB 为对角线构造正方形ACBD ，可知(2,2)A −，(2,2),(2,2),(2,2)B C D ，(0)M t ，，(11)N t +，，分别在x 轴、直线1y =上，如图，根据等差点定义知，正方形上两点()()2,2,2,1.5−的一个等差点为(6,1)−，点(11)N t +，位于1(6,1)N 时，t 取最小值，16t +=−，7t =−；如图，正方形上两点(2,2),(2,1)的一个等差点为(6,0)，点(0)M t ，位于4(6,0)M 时，t 取最大值，6t =； 正方形ACBD 的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故2t ≤−，或12t +≥，即1t ≥，综上，72t −≤≤−或16t ≤≤．【点睛】本题考查正方形性质，一次函数，待定系数法，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析．。

2023北京东直门中学初三（上）第一次月考数 学（考试时长：120分钟）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1 ~ 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 若关于x 的一元二次方程230x x a −+=的一个根为1，则a 的值为（ ）A. 2B. 3C. －2D. －1 3. 如图，点A ，B ，C 在O 上，OAB 是等边三角形，则ACB ∠的大小为（ ）A. 60°B. 40°C. 30°D. 20°4. 如图所示的正方形网格中有α∠，则sin α的值是（ ）A. 12B. 2 D. 1 5. 将一元二次方程28100x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（ ）A. ()246x −=B. ()286x −=C. ()246x −=−D. ()2854x −= 6. 如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（ ）A. A ，B ，C 都不在B. 只有BC. 只有A ，CD. A ，B ，C 7. 如图，在正方形网格中，MPN 绕某一点旋转某一角度得到M P N '''，则旋转中心可能是（ ）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D8. 如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线1l ，2l 于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交2l 于点E ．若40ECA ∠=︒，则下列结论：①70ABC ∠=︒；②80BAD ∠=︒；③CE CD =；④CE AE =，正确的是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____．10. 反比例函数2y x=的图象经过()12,y ，()23,y 两点，则1y ______2y ．（填“>”“=”或“<”） 11. “两免一补”政策让某地区2011年投入经费2500万元，预计2013年投入3600万元．设这两年投入经费年平均增长百分率为x ，可列方程_____．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的端点为()0,1,l x ∥轴，请写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：_______．13. 如图，已知反比例函数kyx=的图象经过点A，且AB OB⊥．AOB的面积为2，则k的值为______14. 如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是ACB上任意一点，则∠P的正切值为______．15. 如图，A，B两点的坐标分别为(3,0)A，B，将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为______°．16. 某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有8人乘坐缆车，返程时有17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有___________人．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19－25题，每小题5分，26题6分，第27，28题，每小题7分）17. (02cos454π−−︒+−． 18. 解一元二次方程：（1）2436x =．（2）22410x x −−=（公式法）19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．小明同学根据题意作OD AB ⊥于点E ，交AB 于点D ．请你参照小明同学添加辅助线的方法补充完整解题过程．20. 已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于3，求m 的取值范围．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()34B BA x ⊥，，轴于A ．（1）画出将OAB 绕原点O 逆时针旋转90︒后所得的的11OA B ，并写出点B 的对应点1B 的坐标为______；（2）在（1）的条件下，连接1BB ，则线段1BB 的长度为______．22. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m ，宽12m ，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的23，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？23. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，且AO BO =．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）ADB ∠的角平分线DE 交AB 于点E ，当3AD =，3tan 4CAB ∠=时，求AE 的长． 24. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+()0k >与反比例函数m y x=()0m ≠的图象交于点()1,6A 和点B ．（1）若点()6,1B −−，求该一次函数和反比例函数的解析式；（2）当3x <−时，对于x 的每一个值，函数m y x=()0m ≠的值大于一次函数k y x b =+()0k >的值，直接写出k 的取值范围25. 如图，AB 为圆O 的直径， PQ 切圆O 于T ， AC ⊥PQ 于C ，交圆O 于 D ．（1）求证： AT 平分∠BAC ;（2）若 AD =2， TC O 的半径．26. 有这样一个问题：探究函数62y x =−的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数62y x =−的自变量x 的取值范围__________； （2）取几组y 与x 的对应值，填写在下表中．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数62y x =−的图象是轴对称图形，它的对称轴是______； ②过点()1,P n −()02n <<作直线l x ∥轴，与函数62y x =−的图象交于点M ，N （点M 在点N 的左侧），则PN PM −的值为______． 27. 如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在BA 的延长线上，连接CD ，以C 为中心，将线段CD 逆时针旋转90︒，得到线段CE ，连接AE ，BE ．（1）依题意补全图形，并证明AD BE =；（2）求证：222AB AD AE +=；（3）取BD 的中点N ，连接CN ，用等式表示线段AE 与CN 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和矩形M ．给出如下定义：若矩形 M 各边分别与坐标轴平行，且在矩形M 上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间距离小于1，则称P 为矩形M 的“近距点”．（1）如图，若矩形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，且顶点(A −．①在点()()()1230,1,2,0,4,2P P P −中，矩形ABCD 的“近距点”是______；②点P 在直线3y x =上，若P 为矩形ABCD 的“近距点”，求点P 横坐标m 的取值范围； （2）将（1）中的矩形ABCD 沿着x 轴平移得到矩形A B C D ''''，矩形A B C D ''''对角线交点为(),0n ，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．若线段EF 上的所有点都是矩形A B C D ''''的“近距点”，真接写出n 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1 ~ 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案．【详解】A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，解题的关键是知道轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180︒后两部分重合． 2. 【答案】A【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入方程，即可得到关于a 的方程，再求解即可．【详解】解：根据题意得：1-3+a =0解得：a =2．故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0． 3. 【答案】C【分析】由OAB ∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB ∆为等边三角形，∴∠AOB =60°，∴ACB ∠=12∠AOB =12×60°=30°． 故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 4. 【答案】B【分析】利用网格特点，构建Rt ABC △，然后利用正弦的定义求解．【详解】解：如图，在Rt ABC △中，AC AB ==sin2BC AC α∴===， 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．5. 【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵28100x x −+=，∴2810x x −=−，∴28161016x x +=−+−，即2(4)6x −=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6. 【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理证得ABC 是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD 的长，然后与300m 比较大小，即可解答本题．【详解】解：300m AB =，400m BC =，500m AC =，222AB BC AC ∴+=，ABC ∴是直角三角形，且90ABC ∠=︒，点D 是斜边AC 的中点，250m AD CD ∴==，1250m 2BD AC ==， 250300<，∴点A ，B ，C 都在覆盖范围内，∴这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是A ，B ，C ．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到D 点的距离．7. 【答案】B【分析】连接PP '、NN '、MM '，作PP '的垂直平分线，作NN '的垂直平分线，作MM '的垂直平分线，交点即为旋转中心．【详解】解：如图，由MPN 绕某点旋转一定的角度，得到M P N '''，则连接PP '、NN '、MM '，作PP '的垂直平分线，作NN '的垂直平分线，作MM '的垂直平分线，三条线段的垂直平分线正好都过点B ，∴旋转中心是点B ．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．8. 【答案】C【分析】根据题意首先证得CD BC =，进而证明ABC 、ACD 、ACE △是等腰三角形解答即可．【详解】解：根据题意可知CD BC =，则CAB CAD ∠=∠，12l l ∥，ECA CAB ∴∠=∠，40ECA ∠=︒，40ECA CAB CAD ∴∠=∠=∠=︒，80BAD ∴∠=︒，CE AE =，故②④正确；AC AB =，70ABC ACB ∴∠=∠=︒，故①正确；AC AD =，70ACD ADC ∴∠=∠=︒，80CED ECA CAD ∠=∠+∠=︒，ADC CED ∴∠≠∠，CE CD ∴≠，故③错误；故正确的结论是①②④．故选：C ．【点睛】本题综合考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质并灵活运用．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】（1，3）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【详解】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键．10. 【答案】> 【分析】利用反比例函数的表达式将横坐标代入2y x =即可判断． 【详解】∵反比例函数2y x =的图象经过()12,y ，()23,y 两点， ∴1212y ==，223y =， ∴12y y >，故答案为：>【点睛】本题考查利用反比例函数比较函数值的大小问题，掌握反比例函数的性质是解决问题的关键． 11. 【答案】2500（1+x ）2＝3600．【分析】根据2011年投入经费额×（1+平均年增长率）2＝2013年投入经费额，列出方程即可．【详解】设这两年投入经费年平均增长百分率为x ，根据题意得2500（1+x ）2＝3600，故答案为2500（1+x ）2＝3600．【点睛】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x）2＝b ．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．12. 【答案】1y x =（答案不唯一） 【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．【详解】解：∵射线l 的端点为()0,1,l x ∥轴，∴写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式为1y x=． 故答案为：1y x =（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．13. 【答案】4【分析】根据反比例函数的性质可以得到AOB 的面积等于k 的一半，由此可以得到它们的关系．【详解】解：依据比例系数k 的几何意义可得AOB 面积等于122k =， 解得：4k =±，∵反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象在第一和第三象限，4k∴=．故答案为：4．【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k是解题的关键．14.【答案】12【分析】连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD=∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD=12，从而得到tan∠P的值．【详解】解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA=OB，OD⊥AB，∴∠AOD= 12∠AOB，∵∠APB= 12∠AOB，∴∠AOD=∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD= ADOD=12，∴tan∠P=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了圆周角定理和正切的定义，解决本题的关键是要熟练利用圆周角的性质和正切定义. 15. 【答案】120【分析】根据图形旋转的性质，可得：BA=BC，由等腰三角形的性质，可知：∠OBC=∠OBA，由(3,0)A，B，可知：∠OBA=60°，从而可得旋转的角度.【详解】∵A，B两点的坐标分别为(3,0)A，B，∴OA=3，∴在Rt∆AOB中，AB===∴∠OAB=30°，∴∠OBA=90°-30°=60°，∵线段BA 绕点B 顺时针旋转得到线段BC ，∴BA=BC ，∵BO ⊥AC ，∴∠OBC=∠OBA=60°，∴∠ABC=∠OBC+∠OBA=60°+60°=120°，故答案是：120.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握“当腰三角形三线合一”是解题的关键.16. 【答案】20【分析】设此旅行团单程搭乘缆车，单程步行的有x 人，其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意列出二元一次方程，求解即可．【详解】解：设此旅行团单程搭乘缆车，单程步行的有x 人，去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意得1001802400(8)(17)x y y y x +=⎧⎨−+−=⎩， 解得155x y =⎧⎨=⎩， 则总人数为：15+5=20（人），故答案为：20．【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19－25题，每小题5分， 26题6分，第27，28题，每小题7分）17.【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．(02cos454π−︒+−1242=−⨯+14=−+3+．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键．18. 【答案】（1）13x =，23x =−（2）122x =，222x =【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．【小问1详解】解：2436x =29x =3x =±解得：13x =，23x =−；【小问2详解】解：22410x x −−=2a =，4b =−，1c =−，2b x a−±∴==，x =，解得：122x +=，222x =． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 19. 【答案】2m【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，利用垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后计算出DE 的长即可．【详解】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，1184m 22AE BE AB ∴===⨯=，在Rt AEO △中，3m OE ===，532m ED OD OE ∴=−=−=，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．20. 【答案】（1）见解析；（2）3m <−【分析】（1）根据判别式与一元二次方程根个数的关系，判断判别式的大小即可得到答案；（2）通过因式分解得到两根，再根据有一个根大于3求解即可得到答案；【详解】（1）证明：∵24b ac =−2(2)42m m =+−⨯2(2)m =−，∵无论m 取何值时，2(2)0m −≥，∴原方程总有两个实数根；（2）∵原方程可化为(2)()0x x m ++=，∴12x =−，2x m =−，∵该方程有一个根大于3，∴3m −>．∴3m <−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的个数与判别式的关系、因式分解法求解二元一次方程，掌握判别式0≥，方程有两个实数根是解题的关键．21. 【答案】（1）图形见解析，1B ()4,3−（2）【分析】（1）根据旋转中心为原点O ，旋转方向逆时针，旋转角度90︒得到点A 、B 的对应点11,A B ，连接得到11OA B 即可；根据点1B 所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．（2）根据勾股定理计算得到答案．【小问1详解】解：如图，11OA B 即为所求；点1B 的坐标为()4,3−；【小问2详解】线段1BB =故答案为：【点睛】本题考查了作图-旋转变换及求旋转后的点的坐标，勾股定理，正确画出图形是关键．22. 【答案】：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x 米、3x 米，根据冰场的面积是原空地面积的23列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x 米、3x 米，根据题意列方程得， 224327123x x ⨯⨯=⨯⨯， 解得，13x =，23x =−（舍去）， 则上、下通道的宽度为1233 1.52−⨯=（米），左、中、右通道的宽度2724313−⨯⨯=（米）， 答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解． 23. 【答案】（1）见解析 （2）32AE = 【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC BD =，即可得出结论；（2）过点E 作EG BD ⊥于点G ，由角平分线的性质得出EG EA =．由三角函数定义得出4AB =，3sin sin 5B CAB ABD AD D ∠=∠==，设AE EG x ==，则4BE x =−，在Rt BEG 中，由三角函数定义得出345x x =−，即可得出答案． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，2AC AO ∴=，2BD BO =．AO BO =，AC BD ∴=．∴平行四边形ABCD 为矩形．【小问2详解】解：过点E 作EG BD ⊥于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，EA AD ∴⊥，DE 为ADB ∠的角平分线，EG EA ∴=．AO BO =，CAB ABD ∴∠=∠．3AD =，3tan 4CAB ∠=， 3tan tan 4AD CAB ABD AB∴∠=∠==． 4AB ∴=．5BD ∴===，3sin sin 5B CAB ABD AD D ∠=∠==． 设AE EG x ==，则4BE x =−，在Rt BEG 中，90BGE ∠=︒，5sin 34x x ABD ∴=−∠=． 解得：32x =， 32AE ∴=． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．24. 【答案】（1）一次函数的解析式为5y x =+；反比例函数的解析式为6y x=； （2）2k ≥【分析】（1）利用待定系数法即可求出该一次函数和反比例函数的解析式；（2）解方程组求出一次函数和反比例函数图象的交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．【小问1详解】解：∵一次函数k y x b =+()0k >的图象过点()1,6A 和点()6,1B −−， ∴661k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得15k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为5y x =+； ∵反比例函数m y x=()0m ≠的图象过点()1,6A ， 166m ∴=⨯=， ∴反比例函数的解析式为6y x =；【小问2详解】解：∵一次函数y kx b =+()0k >的图象过点()1,6A ，6k b ∴+=，6b k =−.解方程组()66y kx k y x ⎧=+−⎪⎨=⎪⎩，得1116x y =⎧⎨=⎩，226x k y k ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩， 由题意得，63k−≥−， 解得2k ≥，则k 的取值范围是2k ≥．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求函数的解析式以及不等式的解法．25. 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）PQ 切⊙O 于T ，则OT ⊥PC ，根据AC ⊥PQ ，则AC ∥OT ，要证明AT 平分∠BAC ，只要证明∠TAC =∠ATO 就可以了．（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，则满足垂径定理，在直角△AOM 中根据勾股定理就可以求出半径OA ．【详解】（1）连接OT ；∵PQ 切⊙O 于T ，∴OT ⊥PQ ，又∵AC ⊥PQ ，∴OT ∥AC ，∴∠TAC =∠ATO ；又∵OT =OA ，∴∠ATO =∠OAT ，∴∠OAT =∠TAC ，即AT 平分∠BAC ．（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AM =MD =2AD =1， 又∠OTC =∠ACT =∠OMC =90°，∴四边形OTCM 为矩形，∴OM =TC∴在Rt △AOM 中，AO =2；即⊙O 的半径为2．【点睛】考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．矩形的性质；4．圆周角定理．26. 【答案】（1）2x ≠（2）2 （3）见解析（4）①2x =，②6【分析】（1）根据分式有意义的条件即可得到结论；（2）把5x =代入函数解析式求出函数值即可．（3）利用描点法画出函数图象即可．（4）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形．②求出PN ，PM 的长（用n 表示）即可解决问题．【小问1详解】 解：函数62y x =−的自变量x 的取值范围是20x −≠， 解得：2x ≠，故答案为：2x ≠；【小问2详解】解：由题意5x =时，2652y =−=， ∴2m =，故答案为：2．【小问3详解】解：函数图象如图所示：【小问4详解】解：①观察图象可知函数62y x =−的图象关于2x =对称； ∴图象的对称轴为：2x =，故答案为：2x =．②由题意，l x ∥，点M 在点N 的左侧，62n x ∴=−，即62x n−=， 解得：162x n =−+，262x n =+， ()02n <<，66n n∴−<， ∴62,M n n ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，62,N n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()1,P n −，()66213PN n n ∴=+−−=+，66123PM n n⎛⎫=−−−+=− ⎪⎝⎭，66336PN PM n n ⎛⎫∴−=+−−= ⎪⎝⎭， 故答案为：6．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象，属于中考常考题型． 27. 【答案】（1）见解析；（2）见解析； （3）2AE CN =，理由见解析．【分析】（1）根据要求作出图形，由旋转性质可知：CD CE =，90DCE ∠=︒，然后证明DCA ECB ≌即可；（2）由DCA ECB ≌可得DA EB =，CAD CBE ∠=∠，通过角度和差可证90ABE ∠=︒，根据勾股定理即可求解；（3）延长CN 到T ，使得NT CN =，连接BT ，证明CND TNB ≌，从而可得CD BT =，NCD T ∠=∠，通过角度和差可以得出ACE CBT ∠=∠，最后证明ACE CBT ≌即可．【小问1详解】依题意补全图形，如图由旋转性质可知：CD CE =，90DCE ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴DCE ACB ∠=∠，即DCA ACE ACE ECB ∠+∠=∠+∠，∴DCA ECB ∠=∠，在DCA △和ECB 中，CD CE DCA ECB CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DCA ECB ≌，∴AD BE =，【小问2详解】由（1）得：DCA ECB ≌∴DA EB =，CAD CBE ∠=∠，∵CA CB =，90ACB ∠=︒，∴45CAB CBA ∠=∠=︒，∴135CAD CBE ∠=∠=︒，∴90ABE ∠=︒，∴222AE AB BE =+，∴222AB AD AE +=；【小问3详解】2AE CN =，理由：延长CN 到T ，使得NT CN =，连接BT ，∵ N 是BD 的中点，∴ DN NB =，在CND △和TNB △中，NC NT CND BNT ND NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CND TNB ≌∴CD BT =，NCD T ∠=∠，∴CD BT ∥，∴180DCB CBT ∠+∠=︒，∵CE CD =，∴BT CE =，∵180ACB DCE ∠+∠=︒，∴180ACE DCB ∠+∠=︒，∴ACE CBT ∠=∠，在ACE △和CBT 中，CA BC ACE CBT CE BT =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE CBT ≌，∴AE CT =，∴2AE CN =．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，正确构造全等三角形．28. 【答案】（1）①()10,1P −；②632m +<<<或632m −<< （2）34n −<<【分析】（1）①分别计算各点与矩形各边的最小距离，从而根据定义得出结果；②在OD 上取点P ，点P 在矩形的内部时，作PQ AD ⊥于Q ，计算当1PQ =时，DQ 的长，从而求得临界时点P 的横坐标，当点P 在矩形的外部时，1DP =时，此时点P 的横坐标，从而得出m 的范围，根据对称性求得点P 在第三象限时m 的范围；（2）先求得1,OE OF ==1A F '=时，AE x '⊥轴，设A C ''交x 轴于点R ，此时A E '=60EA R '∠=︒，可求得4OR =；当C '在y 轴上时，当C '在y 轴上时，设A C ''交x 轴于点V ，同理3OV =，进一步得出结果．【小问1详解】解：∵矩形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，且顶点(A −，∴(((3,,3,,B C D −，①∵在矩形M 上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间距离小于1，∴即在M 上至少找到一点到P 的距离小于1．当()10,1P −时，P 到M 11−<，成立，∴()10,1P −为近距点．当()22,0P 时，最小距离为11=，不成立，∴()22,0P 不是近距点．当()34,2P 1=>，不成立，∴()34,2P 不是近距点．故答案为： P 1()10,1P −．②如图1，在OD 上取点P ，作PQ AD ⊥于点Q ，当1PQ =时，∵点P 在直线3y x =上，∴PDQ ∠=，∴tan PQ DQ PDQ ===∠∴3P x =，当1DP '=时，OD =∴1OP '=+，∴()6cos 122P x OP PDQ '=⋅∠=⨯=，∴3m <<或3m <<； 【小问2详解】解：如图2，∵直线y =+x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．∴点()(1,0,E F ，∴1,OE OF ==由（1）得：6,90AB BC ABC ==∠=︒，∴tanBAC ∠==，∴60BAC ∠=︒，当1A F '=时，AE x '⊥轴，设A C ''交x 轴于点R ，此时A E '=，60EA R '∠=︒，∴tan 3ER A E EA R ''=⋅∠=，∴4OR =，∴点()4,0R ，当C '在y 轴上时，设A C ''交x 轴于点V ，同理3OV =，∴()3,0V −，综上所述，34n −<<．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，直观观察和数形结合．。

2024北京交大附中初三10月月考数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()2,1B. ()2,1−C. ()2,1−D. ()2,1−−3. 将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. y ＝2（x ＋1）2＋5 B. y ＝2（x ＋1）2－5 C. y ＝2（x －1）2＋5 D. y ＝2（x －1）2－54. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒5. 在平面直角坐标系中，把点P （-3,2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P 的坐标为（ ） A. （3，-2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3,2）6. 用配方法解一元二次方程245x x −=时，此方程可变形为（ ） A. ()221x +=B. ()221x −=C. ()229x +=D. ()229x −=7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =−，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. 2B. 4C. 8D. 168. 如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB AP BP ，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9. 请写出一个开口向上且顶点坐标为()0,1的抛物线的解析式_______________．10. 二次函数2y x bx a =++的图像的顶点在x 轴上，写出一组满足条件的实数a 、b 的数值a =________，b =________． 11. 点()13,A y −，()22,By 在抛物线25y xx =−上，则1y ________2y ．（填“>”，“<”或“=”）12. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程()200ax bx c a ++=≠的解为________．13. 已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m −++−=有一个根是0，则m 的值是________．14. 如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++>与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4)A −，(8,2)B ，则使12y y >成立的x 的取值范围是_______________．15. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为_______．16. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的序号为___________________.三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()031−π+−． 18. 解方程：243x x =−19. 已知：如图，ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．（1）根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点 ． （2）请在图中画出111A B C ．20. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC ＝105°，求∠BED 的度数．21. 已知关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．22. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象．（3）结合图象，当0y >时，x 的取值范围是 ． （4）结合图象，当21x −≤≤时，y 的取值范围是 ． 23. 如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，AD DC =，DE 平分∠ADC 交AC 于点E ，DF 平分∠BDC 交BC 于点F ，90DFC ∠=︒．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若30B ∠=︒，2AD =，连接BE ，求BE 的长．24. 2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90100x ≤<，100110x ≤<，…，170180x ≤<）：b ．男生1分钟跳绳次数在140150x ≤<这一组的是：140，141，142，143，144，145，145，147c ．1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如下表：级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀． 根据以上信息，回答下列问题：（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整； （2）写出表中m ，n 的值；（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______（填“男生”或“女生”）组；（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+<．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.4 4.512y x =−−+，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________m ；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度3m 处．当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.1412y x =−−+，已知两次投篮只有一次投中，则__________投中（填写“第一次”或“第二次”）．26. 已知抛物线22y x ax b =−+经过点()11，．（1）用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意12a x a −≤≤+，都有1y ≤，求a 的取值范围．27. 如图，ACB △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点P 在AC 的延长线上，连接DP ，点B 与点E 关于直线DP 对称，连接AE ．（1）依题意补全图形； （2）求证：AE DP ∥；（3）当=AE CP 时，连接CE ，PE ，用等式表示线段AE ，CE ，PE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．（1）当0m =时，①在点()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −中，是折线BA AC −的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC −的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m −．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．【详解】解：A ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D ．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数()2,(,y a x h k a b c =−+为常数，0)a ≠，顶点坐标是()h k ,，据此求解即可．【详解】解：抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是()2,1， 故选：A ． 3. 【答案】C【详解】∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位， 平移后的抛物线的解析式为y ＝2－1）2＋5， 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，平移的规律是左加右减，上加下减，根据规律结合顶点式即求平移后抛物线的解析式． 4. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解：ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5. 【答案】D【详解】根据题意得，点P 关于原点的对称点是点P ′， ∵P 点坐标为（-3，2）， ∴点P ′的坐标（3，-2）． 故选：D ．【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 6. 【答案】D 【详解】245x x −=24454x x −+=+()229x −=故选：D ． 7. 【答案】B【详解】解：过点C 作CA ⊥y 轴于点A ，根据抛物线的对称性得：OBD 的面积等于CAO 的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积．∵22112(2)222y x x x =−=−−， ∴顶点坐标为C （2，－2）．∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B ． 8. 【答案】C【分析】假设1AB =，则1BP x =−，然后根据AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆求出y 关于x 的函数关系式即可得到答案．【详解】解：假设1AB =，则1BP AB AP x =−=−， ∴AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆22211222222x x πππ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−⨯−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221888x x x πππ−+=−−244x x ππ=−+，故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y 关于x 的函数关系式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】21y x =+（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为21y ax =+． ∵开口向上， ∴0a >即可．令1a =，则抛物线的解析式为21y x =+． 故答案为：21y x =+（答案不唯一）． 10.【答案】 ①.14（答案不唯一）． ②. 1（答案不唯一）． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．先化为顶点式，求出顶点坐标，再利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．【详解】解：22224b b y x bx a x a ⎛⎫=++=++− ⎪⎝⎭， ∴该二次函数的顶点坐标为2,24b b a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭．∵该二次函数的顶点在x 轴上，∴204b a −=，∴24a b =． 当1b =时，14a =． 故答案为：14，1（答案不唯一）． 11. 【答案】>【分析】将A ，B 两点代入抛物线，求出对应的y 值即可．【详解】当3x =−时，21524y x x =−=；当2x =时，2256y x x =−=−；∵246>−，∴12y y >．故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键．12. 【答案】13x =−，21x =【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x 轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为()3,0−，即得出其相关一元二次方程的的解为13x =−，21x =．【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为()1,0，∴该二次函数与x 轴的另一个交点为()3,0−，∴方程()200ax bx c a ++=≠的解为13x =−，21x =．故答案为：13x =−，21x =．13. 【答案】1−【分析】把x =0代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．【详解】解：把0x =代入方程，得：210m −=，∴1m =±，∵10m −≠，∴1m ≠，∴1m =−；故答案为：1−.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.14. 【答案】2x <−或8x >【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：抛物线与直线交点坐标为(2,4)A −，(8,2)B ，2x ∴<−或8x >时，抛物线在直线上方，∴使12y y >成立的x 的取值范围是2x <−或8x >．故答案为：2x <−或8x >15. 【答案】y ＝（60﹣x ）（300+20x ）【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.【详解】由题意可得，()()6030020=−+y x x .故答案为：()()6030020=−+y x x .【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式. 16. 【答案】（1）、（3）、（4）【分析】根据表格可得到函数的对称轴，再判断出函数的开口方向，与y 轴的交点、顶点坐标，再根据函数的图像与性质即可一一判断.【详解】（1）函数的对称轴为：x ＝12（0＋3）＝32， 对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a ＜0，x ＝0，y ＝3＝c ＞0，故（1）正确，符合题意；（2）函数的对称轴为x ＝32，故（2）错误，不符合题意； （3）ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0，则ax 2＋bx ＋c ＝x ，当x ＝3时，ax 2＋bx ＋c ＝3，故（3）正确，符合题意；（4）由（3）知，3是方程ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1， 故当−1＜x ＜3时，ax 2＋（b−1）x ＋c ＞0，故（4）正确，符合题意；故答案为：（1）、（3）、（4）．，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先计算零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，再进行加减运算即可．【详解】解：()031π−+11=+=18. 【答案】121,3x x ==【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：243x x =−，2430x x −+=，()()130x x −−=，即10x −=或30x −=，解得121,3x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19. 【答案】（1）1O（2）见解析【分析】（1）分别作1AA 、1BB 的中垂线m 、n ，两者的交点即为所求；（2）作出点C 绕点1O 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；【小问1详解】解：如图，根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点1O ，【小问2详解】如图所示，111A B C 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．20. 【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得60BAC ︒∠=，AB AC =，再由旋转的性质，可得60DAE ︒∠=，AE AD =，从而得到EAB DAC ∠=∠，再证EAB ≌()DAC SAS 即可；（2）根据题意可得EAD 为等边三角形．可得60AED ︒∠=，根据三角形全等可得105AEB ADC ︒∠=∠=，然后利用两角之差即可求解．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，AB AC =．线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，60DAE ︒∴∠=，AE AD =．BAD EAB BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠．EAB DAC ∴∠=∠．在△EAB 和△DAC 中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAB ∴≌()DAC SAS ．()2解： 60DAE ︒∠=，AE AD =，EAD ∴为等边三角形．60AED ︒∴∠=， EAB ≌DAC △．105AEB ADC ︒∴∠=∠=．∴∠BED =∠AEB -∠AED =105°-60°=45°，45BED ︒∴∠=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21. 【答案】（1）32m <且1m ≠；（2）11x =，21x =− 【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m ＝0，可得方程2220x x −++=，利用因式分解法求解可得．【详解】．解：（1）关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根， 10m ∴−≠，即1m ≠．又128m ∆=−，0∴∆>，即1280m −>． 解得32m <． m ∴的取值范围是32m <且1m ≠． （2）在32m <且1m ≠的范围内，最大整数m 为0． 此时，方程化为2220x x −++=．∴方程的根为11x =+，21x =【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．22. 【答案】（1）223y x x =+−，顶点坐标(1,4)−−（2）与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，()1,0，画图象见解析（3）3x <−或1x >（4）40y −≤≤【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键．（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标；（2）令0y =，求出x 的值，即得出该函数图象与x 轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可；（3）求当0y >时，x 的取值范围，即求函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，结合图象可直接得出结果；（4）结合图象可直接得出结果．【小问1详解】解：将 ()2,3−−，()1,4−−，()0,3−代入()20y ax bx c a =++≠， 得：34243a b c a b c c −=−+⎧⎪−=−+⎨⎪−=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的表达式为()222314y x x x =+−=+−，∴这个二次函数图象的顶点坐标为(1,4)−−；【小问2详解】解：对于223y x x =+−，令0y =，则2230x x +−=，解得：13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，(1,0)．画出此二次函数的图象如下： 【小问3详解】解：由图可知，当0y >时，x 的取值范围是3x <−或1x >；【小问4详解】解：由图可知，当21x −≤≤时，y 的取值范围是40y −≤≤．23. 【答案】（1）见解析 （2【分析】（1）证∠EDF =90°，∠CED =90°，再由∠DFC =90°，即可得出结论；（2）证△ACD 是等边三角形，得∠ACD =60°，AC =AD =2，则AE =CE =1，再由勾股定理得DE ，然后由三角形中位线定理得BC =2DE =【小问1详解】解：证明：∵DE 平分∠ADC ，DF 平分∠BDC ，∴∠ADE =∠CDE =12∠ADC ，∠CDF =12∠BDC ， ∴∠CDE +∠CDF =12（∠ADC +∠BDC ）=12×180°=90°， 即∠EDF =90°，∵AD =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠CED =∠AED =12×180°=90°， 又∵∠DFC =90°，∴四边形CEDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形CEDF 是矩形，∴∠CED =∠ECF =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-30°=60°，DE ⊥AC ，∵AD =DC ，∴CE =AE ，△ACD 是等边三角形，∴∠ACD =60°，AC =AD =2，∴AE =CE =1，∴DE =∠DCB =∠ECF -∠ACD =90°-60°=30°，∴∠DCB =∠B ，∴DB =DC =AD ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BE =，即BE【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）141.5m =，70%n =（3）“女生” （4）149人【分析】（1）利用抽取女生的总人数和女生跳绳次数频数分布直方图中的数据，求出成绩在130140x ≤<之间的人数即可；（2）利用中位数的定义求m ，利用八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数除以女生总人数求n ；（3）将这名学生的成绩与男生、女生成绩的中位数比较即可；（4）利用样本估计总体的方法解决．【小问1详解】解：女生成绩在130140x ≤<之间的人数为：20112261115−−−−−−−−=，补全后的频数分布直方图如下图所示：【小问2详解】解：由男生1分钟跳绳次数频数分布直方图和140150x ≤<这一组的数据可知，20名男生中，成绩从低到高排序，第10位和第11位的成绩分别是141，142， 因此男生组的中位数：141142141.52m +==； 女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数为：5611114++++=， 因此女生组的优秀率：14100%70%20n =⨯=， 故141.5m =，70%n =；【小问3详解】解：这名学生的成绩140小于男生组的中位数141.5，大于女生组的中位数138，因此该生属于“女生”，故答案为：“女生”；【小问4详解】解：由已知和（2）的结论知男生组的优秀率为65%，女生组的优秀率为70%，10065%12070%6584149⨯+⨯=+=（人）， 因此估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．【点睛】本题考查统计相关知识，掌握频数分布直方图、中位数的定义和应用，以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．25. 【答案】（1）()2.54，，()28 2.5425y x =−−+ （2）①2.1；②第一次 【分析】（1）由表格中的数据可得篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，，设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+，将()02，代入函数解析式，求出a 的值即可得到答案； （2）①令0x =，求出y 的值即可得到答案；②分别令3y =，计算出x 的值，进行估算，并进行比较即可得到答案．【小问1详解】解：由表格中的数据可得：篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，， 设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+， 将()02，代入函数解析式得：()20 2.542a ⨯−+=， 解得：825a =−， ∴篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：()28 2.5425y x =−−+； 【小问2详解】解：①根据题意得：当0x =时，()250 2.4 4.5 2.112y =−⨯−+=， ∴小明同学第一次投篮的出手点高度为2.1m ，故答案为：2.1； ②在()25 2.4 4.512y x =−−+中，令3y =，则()25 2.4 4.5312x −−+=，解得：1 2.45x =−，2 2.45x =+，在()25 2.1412y x =−−+中，令3y =，则()25 2.14312x −−+=，解得：1 2.15x =−，2 2.15x =+，310 2.4 4.35+≈，2.1 3.65+≈，且当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离4.2m ，∴第一次投中，故答案为：第一次．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．26. 【答案】（1）2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；（2）3a ≥或1a ≤−． 【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =−+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当2x a =+时，代入计算，解不等式即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y x ax b =−+经过点()11，，∴112a b =−+，∴2b a =，∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−， ∴抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；【小问2详解】 解：∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−，∴抛物线的对称轴为直线x a =，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且12a x a −≤≤+，∴当2x a =+时，()22222421y a a a a a a =+−+−=+−≤最大，即2230a a −−≥，∴()()310a a −+≥， ∴3010a a −≥⎧⎨+≥⎩或3010a a −≤⎧⎨+≤⎩， 解得3a ≥或1a ≤−．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．27. 【答案】（1）补图见解析（2）证明见解析 （3）2222CE AE EP +=，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）根据题意画图即可；（2）设BE 与DP 交于点M ，分别证明M 、D 为BE 、AB 中点，利用中位线可证；（3）过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，先证CBN CAE △≌△，得CN CE =，推出45CEN ∠=︒，再证CPD EAC △≌△，推出CD EC =，推出BC ==，再证EP BP =，最后在Rt CBP △中，利用222BC CP BP +=求证．【小问1详解】解：补全图形如图：【小问2详解】解：如图，设BE 与DP 交于点M∵点B 与点E 关于直线DP 对称，∴DP BE ⊥，BM EM =，∵AC BC =，CD AB ⊥，∴AD BD =，∴M ，D 分别为,BE AB 的中点∴DM AE ∥，即：AE DP ∥；【小问3详解】解：2222CE AE EP +=，证明如下：如图，过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACN BCN ACN ACE ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCN ACE ∠=∠，∵90CBN CTB CAE ATE ∠+∠=∠+∠=︒，CTB ATE ∠=∠，∴CBN CAE ∠=∠，又∵CB CA =，∴()ASA CBN CAE ≌，∴CN CE =，∴45CEN CNE ∠=∠=︒，∴135AEC AEB CEN ∠=∠+∠=︒，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，∴45BCD CBD ∠=∠=︒，AD ，∴BC =，135PCD PCB BCD ∠=∠+∠=︒，∴AEC PCD ∠=∠，∵90PCQ BMQ ∠=∠=︒，∴90CPD CQP NBC BQM ∠+∠=∠+∠=︒，∵CQP BQM ∠=∠，∴CPD NBC ∠=∠，∴CPD CAE ∠=∠，又∵CP AE =，∴()ASA CPD EAC ≌，∴CD EC =，∴BC =，∵DP BE ⊥，BMEM =，∴EP BP =，在Rt CBP △中，222BC CP BP +=，即：)222AE EP +=，即：2222CE AE EP +=．28. 【答案】（1）①23,P P ；②223M x −≤<−（2）0m <或8m >【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；②根据题意画出24y x =+，结合定义可知当M 与点B 重合时M x 取得最小值，与直线AC 相交时，M x 取得最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．【小问1详解】当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C −，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C −，()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC −的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC −的“相关点”当M 与点()2,0B −重合时，此时M x 取得最小值，为2−，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =−⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =−+联立224y x y x =−+⎧⎨=+⎩解得2383x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23− 223M x ∴−≤<− 【小问2详解】点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨−+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=−+⎩，12e f m =−⎧⎨=+⎩ ∴直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()23,1F m −−， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m −=−−+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()25,1F m −−，代入直线AC 解析式，可得()1252m m −=−−++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，0m <或8m >．【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．。

2024北京三十五中初三10月月考数 学一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1. 二次函数()213y x =−−的最小值是（ ） A. 3− B. 2−C. 1−D. 1 2. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =−+，下列平移方法正确的是（ ）A. 先向左平移4个单位，在向上平移1个单位B. 先向左平移4个单位，在向下平移1个单位C. 先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D. 先向右平移4个单位，在向下平移1个单位4. 如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到A B C ''△，当B ，C ，A '在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 5. 关于x 的一元二次方程()25410a x x −−−=有实数根，则a 满足（ ）A. a ≥1B. 1a >且5a ≠C. a ≥1且5a ≠D. 5a ≠ 6. 抛物线y ＝223ax ax a −−的对称轴是（ ）A. 直线 x a =B. 直线2x a =C. 直线1x =D. 直线1x =− 7. 已知函数2y x bx c =−++，其中00b c ＞，＜，此函数的图象可以是（ ）A. ．B. ．C. ．D. 8. 如图，在ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，10BC =，动点M ，N 分别从A ，C 两点同时出发，点M 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度移动，点N 从点C 开始沿CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为t ，点M ，C 之间的距离为y ，MCN △的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 正比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，正比例函数关系D. 一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y 轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．11. 反比例函数()0k y k x=>的图象经过点()2,a −，()1,b −，()3,c ，则a ，b ，c 的大小关系为__________．12. 如图，抛物线2(0)y ax a =≠与直线(0)y bx c b =+≠的两个交点坐标分别为(1,1)A −，(2,4)B ，则使得关于x 的不等式2ax bx c <+成立的x 的取值范围是________.13. 抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为_____．14. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为__________15. 已知A （12−，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k =−−+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．16. 如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为()1,0−、()3,0．下列说法：①0abc >；②方程20ax bx c ++=的根为11x =−，23x =；③当1x >时，y 随着x 的增大而增大；④420a b c ++<．正确序号是____________．三、解答题（本题共68分，第17、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）17. 解方程：（1）2280x x +−=；（2）2410x x −−=．18. 将下列函数表达式利用配方转化为()2y a x h k =−+的形式，并写出图象的开口方向和顶点坐标． （1）224y x x =++；（2）21432y x x =−+． 19. 已知二次函数223y x x =−−+．（1）将二次函数化成()2y a x h k =−+的形式____________；（2）写出该二次函数图象的对称轴是____________；顶点坐标是____________；（3）写出该函数图象与x 轴的交点坐标是____________，与y 轴的交点坐标是____________；（4）用五点法在平面直角坐标系中画出223y x x =−−+的图象；（5）结合函数图象，直接写出0y >时x 的取值范围____________．20. 画出反比例函数4y x=−的大致图象，结合图象回答： （1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围；（3）当y −≤<14且0y ≠时，x 的取值范围．21. 若二次函数24y ax x a =++的最大值是3，求a 的值．22. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +3＝0有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1y x =−与双曲线k y x=相交于点(2,)A m . （1）求点A 坐标及反比例函数的表达式；（2）若直线l 与x 轴交于点B ，点P 在反比例函数的图象上，当OPB △的面积为1时，求点P 的坐标.24. 已函数21y x x=+，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x 的取值范围是________；（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格：（3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；（4）请写出这个函数的一条性质：________________________；（5）结合图象，直接写出方程2120x x x−+=的所有实根：________.25. 如图，已知BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E 在BA 的延长线上，且AE ＝AD ．连接EC ，与AD 相交于点F ，与BD 相交于点G ．（1）依题意补全图形；（2）若AF ＝AB ，解答下列问题：①判断EC 与BD 的位置关系，并说明理由；②连接AG ，用等式表示线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系，并证明．26. 已知抛物线2y x bx =−+．（1）点()11,A y −，()22,B y −在抛物线上，总有12y y <，求b 的取值范围；（2）点()11,P y −，()2,Q m y 在抛物线上，当12m <<时，总有12y y <，求b 的取值范围．27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =−+−+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m −−，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围参考答案一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1. 【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质和顶点坐标可得结论．【详解】解：∵二次函数()213y x =−−中，10a =>，顶点坐标为()1,3−， ∴该二次函数的图象开口向上，∴当1x =时，二次函数有最小值3−．故选：A ．2. 【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B.是中心对称图形，故该选项符合题意；C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．3. 【答案】C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），所以抛物线y=2x 2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4. 【答案】D【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到A B C ''△，∴BC 与B C '是对应边，∴旋转角18030150BCB '∠=︒−︒=︒．故选：D ．5. 【答案】C【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得50a −≠且()()()2Δ44510a =−−−⨯−≥，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得50a −≠且()()()2Δ44510a =−−−⨯−≥，解得a ≥1且5a ≠．故选：C ．6. 【答案】C【分析】直接利用y ＝223ax ax a −−图象的性质得出其对称轴．【详解】解：抛物线y ＝223ax ax a −−的对称轴是直线1x =故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．7. 【答案】D【分析】根据系数与图象的关系解答即可．【详解】解：由2y x bx c =−++得10a =−<，∴图象开口向下，故A 选项错误；∵00b c ＞，＜，∴抛物线的对称轴在y 轴右侧，且图象与y 轴交于负半轴，故B 、C 选项错误，D 选项正确；故选：D ．【点睛】此题考查了抛物线2y ax bx c =++的图象与字母系数的关系，a 决定抛物线的开口方向及大小；a 、b 的符号决定抛物线的对称轴位置：左同右异；c 决定抛物线与y 轴交点位置，熟记各字母系数与图象的关系是解题的关键．8. 【答案】D【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出y 与t ，S 与t 满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可．【详解】解：由题意，AM t =，2CN t =，则5CM AC AM t =−=−，则5y t =−+，()21125522S CN CM t t t t =⋅=⨯⨯−=−+， ∴y 与t 满足一次函数关系，S 与t 满足二次函数关系，故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】5−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−，故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．10. 【答案】22y x =−+（答案不唯一）【分析】根据抛物线开口方向得出a 的符号，进而得出c 的值，即可得出二次函数表达式.【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y 轴交于点（0，2），∴a ＜0，c=2，∴二次函数表达式为：y=-x 2+2（答案不唯一）．故答案为y=-x 2+2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键. 11. 【答案】c a b >>【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． ()0k y k x =>的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小， ∵反比例函数()0k y k x=>的图象经过点()2,a −，()1,b −，()3,c ，2103−<−<<， ∴0c a b >>>，故答案为：c a b >>．12. 【答案】12x −<<【分析】由2ax bx c <+可得：二次函数值小于一次函数值，可得二次函数的图像在一次函数图像的下方，结合函数的图像与交点坐标，从而可得答案．【详解】解：由2ax bx c <+可得：二次函数值小于一次函数值，∴ 二次函数的图像在一次函数图像的下方， 又 交点坐标分别为(1,1)A −，(2,4)B ，所以：结合图像可得：12x −<<，故答案为：12x −<<．【点睛】本题考查的是利用二次函数与一次函数的图像解一元二次不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键．13. 【答案】9【分析】由题意可得240b ac ∆=−=，即可得到关于m 的方程，解出即可．【详解】解：∵抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，∴224046m b ac −=−∆==，解得：9m =．故答案为：9．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．抛物线与x 轴交点个数由△决定：Δ＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．14. 【答案】35y −≤≤##53x ≥≥−【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当1x >−时，y 随x 的增大而增大，求得当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，即可求解．【详解】解：由题意得，10a =>，对称轴1x =−，∴当1x >−时，y 随x 的增大而增大，∵当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，∴当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为35y −≤≤，故答案为：35y −≤≤．15. 【答案】y 1＜y 3＜y 2##y 2＞y 3＞y 1【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数2(2)y x k =−−+的图像开口方向向下，对称轴是x =2，∴A （12−，1y ）距对称轴的距离是52，B （1，2y ）距对称轴的距离是1，C （4，3y ）距对称轴的距离是2， ∵5212>>， ∴231y y y >>故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．16. 【答案】①②③④【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的开口方向、对称轴及y 轴的交点可得a 、b 、c 的符号，进而可判断①；根据图象与x 轴的交点可判断②；根据图象的增减项可判断③；根据当2x =时，0y <可判断④，进而可求解．【详解】解：∵该二次函数的图象开口向上，与y 轴的负半轴相交，∴0a >，0c <，∵图象与x 轴的交点坐标分别为()1,0−、()3,0， ∴对称轴为直线1312x −+==，方程20ax bx c ++=的根为11x =−，23x =，故②正确； ∴12b a−=，则20b a =−<， ∴0abc >，故①正确；∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线1x =，∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，故③正确；由图象，当2x =时，0y <，∴420a b c ++<，故④正确，综上，正确的序号为：①②③④．故答案为：①②③④三、解答题（本题共68分，第17、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）17. 【答案】（1）14x =−，22x =（2）12x =−22x =+【分析】本题考查解一元二次方程，本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：2280x x +−=，因式分解得，()()420x x +−=，∴40x +=或20x −=，∴14x =−，22x =；【小问2详解】解：2410x x −−=，∵()241641120b ac =−=−⨯⨯−=，∴x =，∴12x =，22x =+．18. 【答案】（1）()213y x =++，开口向上，顶点坐标为()1,3−； （2）()21452y x =−−，开口向上，顶点坐标为()4,5−． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确配方是解答的关键．（1）利用配方法化为顶点式，进而可求解；（2）利用配方法化为顶点式，进而可求解．【小问1详解】解：由于()222413y x x x =++=++，10a =>，∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为()1,3−；【小问2详解】 解：由于()2211434522y x x x =−+=−−，102a =>， ∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为()4,5−．19. 【答案】（1）()214y x =−++（2）直线1x =−；()1,4−；（3）()3,0−和()1,0；()0,3（4）见解析 （5）31x −<<【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）根据二次函数的性质可求解；（3）令0y =，解方程可得x 轴的交点坐标；令0x =，可求解y 轴坐标；（4）根据列表、描点、连线可画出函数图象；（5）根据图象，找出图象位于x 轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解．【小问1详解】解：二次函数()222314y x x x =−−+=−++，故答案为：()214y x =−++；【小问2详解】解：由()214y x =−++得，该二次函数图象的对称轴是直线1x =−；顶点坐标是()1,4−； 故答案为：直线1x =−；()1,4−；【小问3详解】解：当0y =时，由2023x x =−−+得13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标是()3,0−和(1,0)；当0x =时，3y =，∴该函数图象与y 轴的交点坐标是(0,3)；故答案为：()3,0−和(1,0)；(0,3)；【小问4详解】解：列表：【小问5详解】解：如图，当31x −<<时，二次函数的图象位于x 轴的上方，故当0y >时x 的取值范围为31x −<<，故答案为：31x −<<．20. 【答案】（1）2y =−；（2）41y −<≤−（3）1x <−或4x ≥【分析】作出反比例函数图象，如图所示，（1）把2x =代入反比例解析式求出y 的值即可；（2）分别求出1x =与4x =时y 的值，结合图象确定出y 的范围即可；（3）分别求出1y =−与4y =时x 的值，结合图象确定出x 的范围即可．【小问1详解】解：作出反比例函数4y x=−的图象，把2x =代入得：422y； 【小问2详解】解：当1x =时，4y =−；当4x =时，1y =−， 根据图象得：当14x <≤时，y 的取值范围为41y −<≤−；【小问3详解】解：当1y =−时，4x =；当4y =时，1x =−，根据题意得：当y −≤<14且0y ≠时，x 的取值范围为1x <−或4x ≥．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．21. 【答案】1−【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，当0a <时有最大值求解即可．【详解】解：∵二次函数24y ax x a =++的最大值是3， ∴0a <且224434a a−=，即2340a a −−=， 解得1a =−（正值舍去）．22. 【答案】（1）k ＜6；（2）k =5 ．【分析】（1）利用根的判别式大于0，即可得出结论；（2）利用上题的结果及题中要求的k 为大于3的整数，限定k 的取值，代入此方程中，解方程，求出满足方程的根都是整数的k 值．【详解】（1）因为若方程有两个不相等的实数根，则Δ=b 2-4ac =36-4（k +3）>0，整理：24-4k >0，解得：k ＜6，所以k 的取值范围为k ＜6；（2）因为k ＜6，且k 为大于3的整数，所以k 可以为4或5，当 k =4时，原方程为2670x x −+= ，无整数解，故舍去 ，当k =5时，原方程为2680x x −+=，解为122,4x x ==，符合题意，所以k =5．所以k 的值为5．考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．23. 【答案】（1）点(2,1)A ，反比例函数2y x=；（2）点()P 12，或（－1，－2） 【分析】（1）代入坐标点先求坐标，再求反比例函数表达式；（2）作图，根据图像求出P 点纵坐标，再代入反比例函数即可求出坐标．【详解】（1）∵A 在y=x-1上，∴当x=2时，y=1，即m=1，点(2,1)A ，再把A 的坐标代入反比例函数解得：2y x=； （2）由函数表达式可求得点(1,0)B ，∵1OPB S =△， 即12OB ||1p y =， ∴||1p y =，点()P 12，或（－1，－2）；【点睛】此题考查反比例函数与一次函数相关知识，结合图像是关键．24. 【答案】（1）0x ≠；（2）2.25，2；（3）见解析；（4）答案不唯一；（5）10.6x =−，21x =，3 1.6x =.【分析】（1）观察解析式可直接得出结果；（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；（5）看作两个函数交点问题来解决即可．【详解】（1）0x ≠；（2）分别将0.5x =和1x =带入解析式，得 2.25m =，2n =；（3）如图；（4）答案不唯一，如：当0x <时，y 随x 的增大而减小；（5）对于方程2120x x x −+=，可变形为212x x x +=，求该方程的实数根，即为求函数1y 与2y 交点的横坐标，其中211y x x=+，22y x =，故在图中做出22y x =的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标为10.6x =−，21x =，3 1.6x =．【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．25. 【答案】（1）见解析；（2）①EC ⊥BD，理由见解析；②EG DG −=，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）①EC ⊥BD ，证明△AEF ≌△ADB （SAS ），则∠AEF ＝∠ADB ，∠GEB ＋∠GBE ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°，即可求解；②方法一：在线段EG 上取点P ，使得EP ＝DG ，连接AP ，证明△AEP ≌△ADG ，得到△P AG 为等腰直角三角形，故可求解；方法二：过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q ，连接AQ ，BQ ，证明△AEG ≌△ADQ ，得到△GAQ 为等腰直角三角形，故可求解．【详解】解：（1）补全的图形，如图1所示：（2）①解：EC ⊥BD ．理由如下：由矩形性质知∠DAB ＝90°，∴∠EAF ＝90°．在△AEF 与△ADB 中，,,,AE AD E ADB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△ADB （SAS ）．∴∠E ＝∠ADB ．∴∠GEB ＋∠GBE ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°．∴EC ⊥BD ．②线段AG ，EG ，DG之间的数量关系：EG DG −=．证法一：如图2，在线段EG 上取点P ，使得EP ＝DG ，连接AP ．在△AEP 与△ADG 中，AE AD E ADG EP DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEP ≌△ADG （SAS ）．∴AP ＝AG ，∠EAP ＝∠DAG ．∴∠P AG ＝∠P AD +∠DAG ＝∠P AD +∠EAP ＝∠DAE ＝90°．∴△P AG 为等腰直角三角形．∴PG =．∴EG DG EG EP PG −=−==． 证法二：如图3，过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q ，连接AQ ，BQ ．在△AEG 与△ADQ 中，E ADQ AE ADEAG DAQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEG ≌△ADQ （ASA ）．∴EG ＝DQ ，AG ＝AQ ．∴△GAQ 为等腰直角三角形．∴GQ =．∴EG DG DG GQ DG −====，即EG ﹣DGAG ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 【答案】（1）3b <−（2）1b >【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键．（1）根据二次函数的开口向下，离对称轴越远函数值越小列不等式求解即可；（2）分类讨论：当02b ≤，012b <<，12b ≥时，根据二次函数性质求解即可． 【小问1详解】解：由22224b b y x bx x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭，10a =−<得抛物线的开口向下，对称轴为直线2b x =， ∵点()21,A y −，()22,B y −在抛物线上，总有12y y <，∴点B 到对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离， ∴2122b b +<−−， 解得3b <−；【小问2详解】解：∵12m <<，∴1m −<，又抛物线的开口向下，对称轴为直线2b x =， 当02b ≤即0b ≤时，点P 到对称轴的距离小于点Q 得到对称轴的距离， ∴12y y >，不符合题意； 当012b <<即02<<b 时，点P 关于直线2b x =对称的点的坐标为()11,b y +， 当2b x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当1m b <+即21b <+时，总有12y y <，∴1b >，即12b <<； 当12b ≥即2b ≥时，点P 到对称轴的距离大于点Q 得到对称轴的距离， ∴12y y <成立，综上，满足条件的b 的取值范围为1b >．27. 【答案】（1）(,)m m ；（2）22y x x =−+或写为：2(1)1y x =−−+；（3）2m ≤，或3m ≥. 【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∵2222()y x mx m m x m m =−+−+=−−+，∴抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∴OA =，∵OA =∴1m =抛物线的表达式为22y x x =−+，或写为：2(1)1y x =−−+（3）把22C （，）代入222y x mx m m =−+−+，得 22224m m m =−+−+，解得2m =或3，结合图象可得：当2m ≤时，抛物线与线段BC 有公共点，当23m ＜＜时，抛物线与线段BC 无公共点，当3m ≥时，抛物线与线段BC 有公共点；综上，当2m ≤或3m ≥时，抛物线与线段BC 有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．。

2024北京清华附中初三10月月考数 学（清华附中初22级）一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 用配方法解方程2610x x +−=，变形后结果正确的是（ ） A. ()2310x +=B. ()237x +=C. ()2310x −=D. ()237x −=3. 如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（ ） A. 81:16B. 27:12C. 9:4D. 3:24. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. 23(x 4)1y =+−B. 23(4)1y x =++C. 23(4)1y x =−−D. 23(4)1y x =−+5. 如果()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >．那么符合题意的k 的值可能是( ) A.13B. 1C. 3D. 2−6. 如图，在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，对角线AC BD ，交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则AOE ∠的度数为（ ）A. 114︒B. 120︒C. 123︒D. 147︒7. 已知0b >时，二次函数221y ax bx a =++−的图象如下列四个图之一所示．根据图分析，a 的值等于．．．．（ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 28. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △，连接EF ，若AED AEF ≌△△，下列结论：①45DAE =︒∠；②ABD EAF △∽△；③BE CD DE +=；④222BE CD DE +=．其中正确的是（ ） A. ①②③B. ②③④C. ①②D. ①②④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是______． 10. 二次函数2246y x x =−+−的最大值是______． 11. 如图，ABCD 中，延长BC 至E ，使得12CE BC =．若2CF =，则DF 的长为_______．12. 2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x ，根据题意列出方程得 ____________________．13. 已知点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是______．（写出一个即可）．14. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E ，若6AB =，则OE 的长为______．15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边20cm DE =，10cm EF =，测得边DF 离地面的高度 1.5m AC =，6m CD =，则树高AB 是______m ．16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示：_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 解方程：2520x x −+=．18. 如图，已知△ABC 顶点的坐标分别为A （1，－1），B （4，－1），C （3，－4）．（1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的11AB C ∆,并写出点1B 的坐标：1B ；（2）以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的222A B C ∆，使得它与△ABC 的位似比等于2：1 .19. 二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：（1）直接写出c ，m 的值； （2）求此二次函数的解析式．20. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=0． （1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m 的值．21. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 上任意一点，连接CE ，点F 为CE 的中点，过点F 作MN CE ⊥，MN 与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，连接CM 、EN ．（1）求证：四边形CNEM 为菱形；（2）若10AB =，4=AD ，当2AE =时，求EM 的长．22. 如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为x 厘米），如图所示，求宽度x ．23. 某高校要选派一位同学去参加首都高校校园文化演讲，为了选出综合素质最高的一名同学进行演讲，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强、小亮、小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．评委给小强同学打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6b．评委给小亮、小旭两位同学打分的折线图如下图：c．小强、小亮、小旭三位同学面试情况统计表：（1）直接写出表中m，n的值；（2）在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：小强、小亮、小旭三位同学中，评委对_________的评价更一致（填“小强”、“小亮”或“小旭”）；（3）在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占40%，面试成绩占60%，计算小强、小亮、小旭的综合成绩，综合成绩最高的是_________（填“小强”、“小亮”或“小旭”）．=，点D为BC中点，作点D关于线段AC的对称点F，连接DF交AC 24. 如图，在ABC中，AB AC∥交AC、AB于H、G．于E，过点F作FG BC=；（1）求证：CE EH（2）若3BC =，1CE =，求GH 的长．25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日．某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，100cm 高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x （单位：度），影长为y （单位：cm ），x 与y 的部分数据如下表：（1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x 和影长y 之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象；（2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm 高的物体的影长约为______cm （精确到0.1）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm 高的物体的影长均为40cm ，那么他们生活的地区纬度差约是______度．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−， （1）求a 的值；（2）己知点()11,A m y −−，()224,B m y +在此抛物线上，当11m −<<时，比较1y ，2y ，1−的大小，并说明理由．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，P 为线段BC 上的动点（不与点C 重合），将线段AP 绕点A 顺时针旋转α得到线段AQ ．（1）如图1，当P 是BC 中点时，连接BQ ，求证：BP BQ =；（2）过点Q 作直线QM AC ∥，交直线BC 于点M ，在射线MB 上取一点N ，使得2MN CP =，连接QN ．请补全图2，直接写出MQN ∠的大小并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，Q 是x 轴正半轴上一点，对于四边形ABCD 边上的点P 和图形W （点P 不在x 轴上），给出如下定义：若POQ α∠=，将图形W 绕点P 逆时针旋转α得到图形M ，则称图形M 是图形和点P 的“关联图”．如图，点()1,1A ，()1,1B −，()1,1C −−，()1,1D −．（1）点()11,2N −，()222N ,，331,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，(4N 中，在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上的点是__________；（2）已知点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ①若线段OF 关于点P 的“关联图”在四边形ABCD 的内部（包含边界），设点P 的横坐标的最小值为m ，纵坐标的最大值为n ，直接写出n m −的值__________；②当OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60︒，请直接写出t 的取值范围__________．参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】本题考查了轴对称、中心对称图形的定义，掌握相关定义是解题的关键．“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，据此找出图中的轴对称图形；“ 把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此找出图中的中心对称图形即可解答题目． 【详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意； D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D ． 2. 【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解：2610x x +−= 即261x x +=， ∴26919x x ++=+， ∴()2310x +=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为9:4， ∴两个相似三角形的相似比为3:2， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为3:2， 故选：D ． 4. 【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．【详解】将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是23(4)1y x =−+．故选：D ． 5. 【答案】D【分析】本题考查了正比例函数的性质，由12x x <时，12y y >，根据正比例函数的增减性，得到0k <，即可得到答案．【详解】解：∵()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >． ∴0k <， 故选：D ． 6. 【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得33DBC ∠=︒，90AOD ∠=︒，根据三角形中位线定理得到OE BC ∥，求得33DOE ∠=︒，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒， ∴1332DBC ABC ∠=∠=︒，90AOD ∠=︒，O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 是DBC △的中位线， ∴OE BC ∥，∴33DOE DBC ∠=∠=︒， ∴9033123AOE ∠=︒+︒=︒， 故选：C ． 7. 【答案】B【分析】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围，先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出a 的值． 【详解】解：因为前两个图象的对称轴是y 轴，所以02ba−=，又因为0a ≠，所以0b =，与0b >矛盾； 第三个图的对称轴02ba−>，0a >，则0b <，与0b >矛盾； 故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将(0,0)代入解析式，得：210a −=，解得1a =±， 由于开口向下，1a =−．故选：B ．8. 【答案】D【分析】先求出90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，再根据旋转和全等的性质得到1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠，即可判断①；AFE BDA ∠=∠，45EAF ABD ∠=∠=︒，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到BF CD =，EF DE =，再根据三角形三边关系即可判断③；证明90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒，在Rt BEF △中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在Rt ABC △中，AB AC =， ∴90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴90FAD ∠=︒， ∵AED AEF ≌△△， ∴1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠， 故①正确；∵AED AEF ≌△△， ∴AFE BDA ∠=∠， 又∵45EAF ABD ∠=∠=︒， ∴ABD EAF △∽△， 故②正确；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴BF CD =， ∵AED AEF ≌△△， ∴EF DE =，在BEF △中，BE BF EF +>， ∴BE CD DE +>， 故结论③错误；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴45ABF C ∠=∠=︒，BF CD =， ∴90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒， ∴在Rt BEF △中，222BE BF EF +=， ∴222BE CD DE +=， 故结论④正确，综上可知，正确的是①②④， 故选：D【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 【答案】(3,−4)【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点(),x y 关于原点对称的点的坐标为(),x y −−求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是()3,4−，故答案为：()3,4−．10. 【答案】4−【分析】先求出对称轴，再求出最大值即可．【详解】∵2246y x x =−+−∴二次函数2246y x x =−+−开口向下，在顶点处有最大值，∵二次函数2246y x x =−+−对称轴为直线4122x ，∴当1x =时，2464y =−+−=−，即最大值为：4−，故答案为：4−．【点睛】本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 【答案】4【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，AD BC ∥， 12CE BC =， 12CE AD ∴=， AD CE ∥，ADF ECF ∴∽，∴AD DF CE CF=2=， 2CF =，24DF CF ∴==，故答案为：4．12. 【答案】()26.5817.96x +=【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元”列方程求解．【详解】解：由题意得：()26.5817.96x +=，故答案为：()26.5817.96x +=．13. 【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数的性质，由13−<时，12y y <，得y 随x 的增大而增大，则0k >，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．【详解】解：∵点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，∴当13−<时，12y y <，∴y 随x 的增大而增大，∴0k >，∴取1k =，故答案为：1（答案不唯一）．14. 【答案】3【分析】首先根据矩形的性质得到OA OD =，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AE DE =，然后证明出OE 是ABD △的中位线，进而求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴OA OD =∵OE AD ⊥∴AE DE =∵OB OD =∴OE 是ABD △的中位线 ∴132OE AB ==． 故答案为：3．【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15. 【答案】4.5【分析】根据相似三角形的判定及性质可得3BC =（m ），进而可求解．【详解】解：90FED BCD ∠=∠=︒，且D D ∠=∠，FED BCD ∴∽，EF DE CB DC ∴=，即：0.10.26CB =， 解得：3BC =（m ），3 1.5 4.5AB BC AC ∴=+=+=（m ），∴树高AB 是4.5m ，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．16. 【答案】 ①. 29 ②. 48【分析】本题主要考查统计的知识，理解题意是解题的关键；在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和．【详解】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为1086529+++=（分）； 若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，甲完成四间客房“打扫卫生”需40分钟，甲完成一间客房“打扫卫生”需10分钟，随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成四间客房整理床铺、更换客用物品的工作，其中一人完成四间客房整理床铺需32分钟，可再完成两间客房检查设备的工作，一人完成四间客房更换客用物品需24分钟，也可再完成两间客房检查设备的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要40848+=（分）；故答案为29；48．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 【答案】152x =，252x −=【详解】首先找出方程中得a 、b 、c ，再根据公式法求出b 2﹣4ac 的值，计算x = 2b a−，即可得到答案．∵a =1，b =－5，c =2()2245412170b ac −=−−⨯⨯=＞∴代入求根公式得， ()521x −−===⨯∴152x +=，252x −= “点睛”当一元二次方程方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，且a ，b ，c 都是常数）的二次项的系数不为1或是无理数时，优先考虑公式法.18. 【答案】（1）作图见解析；B （1， 2）；（2）作图见解析.【详解】分析：（1）由题意得，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．则AB 1⊥AB ，AC 1⊥AC ，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A 2B 2C 2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．详解：（1）如图： B 1（1，2），（2）如图点睛：此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．19. 【答案】（1）4c =，52m =；（2）219(1)22y x =−++或2142y x x =−−+ 【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【详解】解：（1）根据图表可知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（0，4），（-2，4）， ∴对称轴为直线2012x −+==−，c=4， ∵（-3，52）的对称点为（1，52）， ∴m=52； （2）∵对称轴是直线x=-1， ∴顶点为（-1，92）， 设y=a （x+1）2+92， 将（0，4）代入y=a （x+1）2+92得，a+92=4， 解得a=-12， ∴这个二次函数的解析式为y=-12（x+1）2+92． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．20. 【答案】(1)见解析；(2) m=-1.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根；（2）利用分解因式法解原方程，可得x 1=m ，x 2=m+1，在根据已知条件即可得出结论．【详解】（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）=（m+1）2∴无论m 取何值，（m+1）2恒大于等于0∴原方程总有两个实数根（2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0∴x 1=1, x 2=m+2∵方程两个根均为正整数,且m 为负整数∴m=-1.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程.21. 【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．（1）根据已知证明EFM CFN △≌△，证得EM CN =，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM 是平行四边形，然后证明NE NC =，即可证得结论；（2）10AB =，2AE =，则8BE =，设EM MC x ==，则8BM x =−，利用勾股定理求出x 即可解答．【小问1详解】证明：矩形ABCD 中，AB DC ，MEF NCF ∴∠=∠，EMF CNF ∠=∠，点F 为CE 的中点，EF CF ∴=，EFM CFN ∴≌，EM CN ∴=，∴四边形CNEM 为平行四边形，MN CE ⊥于点F ，EF CF =，NE NC ∴=，∴四边形CNEM 为菱形；【小问2详解】 解：四边形CNEM 是菱形，EM CM ∴=，四边形ABCD 是矩形，4AD BC ∴==，90B ，10AB =，2AE =，8BE ∴=，设EM MC x ==，则8BM x =−，在Rt BMC 中，222BM BC CM +=，即2224)8(x x −+=，解得5x =，EM ∴的长为5．22. 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移的观点，把6个长方形平移在一起，成为一个一个新的长方形，则长和宽分别是(20x −米和()153x −米，根据面积公式即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()()826015143x x −=⨯−，整理得210160x x −+=，解得12x =，28x =（不符合题意，舍去）故宽度x 为2．23. 【答案】（1）79，9（2）小旭 （3）小亮【分析】本题考查了求中位数、求方差、求加权平均数，熟练掌握求法是解此题的关键．（1）将小强的成绩全部相加即可得出m 的值，根据中位数的定义即可得出n 的值；（2）分别求出三人面试成绩的方差，比较即可得出答案；（3）分别求出三人数为最终成绩，进行比较即可得出答案．【小问1详解】解：由题意可得：10109888776679m =+++++++++=，将小亮的面试成绩按从小到大排列如下：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，故9992n +==； 故答案为：79，9【小问2详解】 解：79107.9x =÷=小强，()()()()()2222222107.997.9387.9277.9267.9 1.8910S ⨯−+−+⨯−+⨯−+⨯−==小强，85108.5x =÷=小亮，()()()()()22222268.5278.588.5398.53108.5 1.8510S −+⨯−+−+⨯−+⨯−==小亮，87108.7x =÷=小旭，()()()2222588.7398.72108.70.6110S ⨯−+⨯−+⨯−==小旭，222S S S ∴>>小强小旭小亮，故评委对小旭的评价更一致；故答案为：小旭【小问3详解】解：小强的成绩为：9840%7960%39.247.486.6⨯+⨯=+=（分），小亮的成绩为：9440%8537.65188.6⨯+⨯=+=（分），小旭的成绩为：9040%8760%3652.288.2⨯+⨯=+=（分），86.688.288.6<<，∴综合成绩最高的是小亮．故答案为：小亮24. 【答案】（1）见详解 （2）13GH = 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）由轴对称可知DE FE =，则有()ASA DCE FHE ≌，然后问题可求证；（2）连接AD ，交FG 于点M ，由题意易得32BD CD ==，AD BC ⊥，由（1）可得3,12HF CD EH CE ====，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】证明：∵点D 关于线段AC 的对称点F ，∴DE FE =，DFAC ⊥，∵FG BC ∥，∴EDC F ∠=∠， ∵CED HEF ∠=∠，∴()ASA DCE FHE ≌，∴CE EH =；【小问2详解】解：连接AD ，交FG 于点M ，如图所述：∵点D 为BC 中点，3BC =， ∴32BD CD ==，AD BC ⊥， ∵FG BC ∥，∴AM GH ⊥，ABC AGH ACB AHG ∠=∠=∠=∠，∴AG AH =，∴GM MH =，∵DCE FHE ≌， ∴3,12HF CD EH CE ====， ∵90,DEC ADC ACD DCE ∠=∠=︒∠=∠，∴DCE ACD ∽， ∴CD CE AC CD=，即2CD CE AC =⋅， ∴94AC =， ∴14AH AC CH =−=， ∵FG BC ∥， ∴AMH ADC ∽，∴114994MH AH CD AC ===， ∴16MH =， ∴123GH MH ==． 25. 【答案】（1）见解析 （2）30.0（3）44【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象；（2）结合函数图象找到40x =时，y 的值即可；（3）结合函数图象找到40y =时，x 的值，再作差即可；【小问1详解】解：函数的图象如下：【小问2详解】解：根据（1）中图象可得：当40x =时，30.0y ≈，故答案为：30.0（答案不唯一）；【小问3详解】解：根据（1）中图象可得：当40y =时，1x ≈或45x ≈，45144−=，故答案为：44（答案不唯一）；26. 【答案】（1）1a =−（2）211y y <<−，理由见解析【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．（1）把()1,22P m −−代入221y ax mx =−−，即可得到答案；（2）由（1）得到()222211y x mx x m m =−−−=−++−，当1x m =−−时，122y m =−，当24x m =+时，2282417y m m =−−−，则21y y −24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质得到当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭，则当11m −<<时21y y <，由221m −<−得到1221y m =−<−，即可得到答案．【小问1详解】解：∵抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−，∴把点()1,22P m −−代入221y ax mx =−−得到， 2221m a m −=+−，解得，1a =−；【小问2详解】由（1）得到抛物线221y ax mx =−−为()222211y x mx x m m =−−−=−++−， 当1x m =−−时，()1222112y m m m m =−−−++−=−，当24x m =+时，()222224182417y m m m m m =−+++−=−−−， ∴()2122282417292415y y m m m m m −=−−−−−=−−−24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭ 当249103m ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭时，解得1m =−或53m =−， 即抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭与x 轴交于点()1,0−和5,03⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，∵抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭开口向下，∴当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭， ∴当11m −<<时，210y y −<，即21y y <， ∵11m −<< ∴201m <<， ∴221m −<− ∴1221y m =−<− ∴211y y <<−27. 【答案】（1）见详解 （2）图见详解，90MQN ∠=︒，过程见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、 （1）由题意易得11,22AP AQ BAP BAC QAP =∠=∠=∠，然后可证()SAS BAP BAQ ≌，然后问题可求证；（2）按题意画出图形，连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ，由题意易得()SAS BAQ CAP ≌，则有QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==，然后可得QD DN DM ==，进而问题可求解． 【小问1详解】证明：由旋转可知：,AP AQ QAP BAC α=∠==∠， ∵AB AC =，点P 是BC 中点， ∴1122BAP BAC QAP ∠=∠=∠， ∴BAP BAQ ∠=∠， ∵AB AB =，∴()SAS BAP BAQ ≌， ∴BP BQ =； 【小问2详解】 解：由题意可得如图：连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ， ∵,AP AQ QAP BAC α=∠==∠，∴,QAB QAP BAP PAC BAC BAP ∠=∠−∠∠=∠−∠，即QAB PAC ∠=∠， ∵AB AC =，∴()SAS BAQ CAP ≌，∴QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==， ∵QB QD =，∴2QBD QDB C ∠=∠=∠， ∵QM AC ∥， ∴C QMD ∠=∠，∴DQM QDB QMD C QMD ∠=∠−∠=∠=∠， ∴QD DM =， ∴12DM QD BQ MN ===， ∴点D 是MN 的中点， ∴QD DN DM ==，∴,N DQN DQM DMQ ∠=∠∠=∠，由三角形内角和可知22180DQN DQM ∠+∠=︒， ∴90DQN DQM ∠+∠=︒，即90∠=︒NQM ． 28. 【答案】（1）24,N N（2；②11t −≤≤【分析】（1）由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，即可确定；（2）①分类讨论，分别讨论点P 在正方形的四条边上，画出示意图进行分析，找出临界状态，多动点，固定变量，一个一个分析即可；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部，要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒，故P 一定会在CD 上，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由G t ⎛ ⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ，过点P 作PN l ⊥，由勾股定理建立方程221533t t +=++P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，综上所述：11t −≤≤． 【小问1详解】 解：如图，由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，当()12,0C 时，连接1,CE EC CD 与y 轴交于点R ， 则11,2CR OE ER OC ====， 而190CRE EOC ∠=∠=︒， ∴1CRE EOC △≌△， ∴1EC EC =， ∴1CER EC O ∠=∠，∴11190CER CE O EC O CE O ∠+∠=∠+∠=︒， ∴点()1,1C −−的对应点()12,0C ， 同理可证明点()1,1D −的对应点()12,2D ，∴()11,2N −，()22,2N 在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上， 故答案为：()11,2N −，()22,2N ； 【小问2详解】解：①当点P 在AD 上时，连接,PO DO ，∵四边形ABCD 是正方形，∴045α<≤︒，OP OD ≤==∴1OP <≤当点P 与点D 重合时，即45α=︒，此时点O 的对应点'O 在CD 上，且()11O '−，如图：随着点P 在AD 上运动，画图可知O F ''在正方形内部运动，直至点F '落在AD 上，如图：如上图，此时POQ FPF α'∠=∠=， ∵PTF OTP ∠=∠， ∴PTF OTP △∽△， ∴PT TFOT PT=， ∴211122PT TO TF =⨯=⨯=，∴2PT =，∴当点P 在AD 上运动时，12P y −≤≤， 当点P 在AB 边上时，此时45135α︒≤≤︒，即点P 在AB 两个端点处，α取得最小值和最大值，1OP OA ≤≤=随着α增大，作图可发现O F ''会远离AB ，如图：当点P 运动到AB ，点O '恰好落在点A ，但此时点F '仍在正方形的外部，∴当点P 在AB 边上时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部； 当点P 在BC 边运动时，∵135180α︒≤<︒，O F ''会更加远离正方形ABCD ，如图：∴点P 在BC 边运动时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部； 当点P 在CD 边上时， ∵OPO POQ α'∠=∠=， ∴O P OF '∥，如图：当点P 运动到CD 中点时，此时O '落在点C 处，F 点落在点112⎛⎫−− ⎪⎝⎭，处，随着点P 继续接近点D ，O F ''始终在正方形ABCD 内，如图：∴点P 在CD 边上时，01P x ≤≤，综上所述：点P 横坐标最小值为0，纵坐标最大值为2n =，∴2n m −=，故答案为：2；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部，∴要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒，∴P 一定会在CD 上，如图所示，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由,3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ，过点P 作PN l ⊥，∴在Rt OMG △中，由勾股定理得：2222133GO G O t t ⎛⎫==+=+ ⎪ ⎭'⎝'⎪， ∵60POQ α∠==︒，CD x ∥轴， ∴60OPR ∠=︒， ∴30ROP ∠=︒， ∴2OP PR =， 设,2RP x OP x ==，则在Rt ORP △中，由勾股定理得：1OR ==，∴3x =，∴3OP =，∴11333CO CP PO ''=−=+−=−，在Rt CG O '△中，由勾股定理得：22221113CG t t ⎛=+−−=+ ⎝⎭'，∴在Rt CG P '△中，由勾股定理得：22221113G P t t ⎛'=−++=+ ⎝⎭，在Rt GNP △中，222251333GP t t ⎛⎫⎛=−++=−++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 由旋转得G O P GOP ''△≌△，∴GP G P '=，∴221533t t ++=+解得：13t =−， 当点P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，∴综上所述：11t −≤≤．故答案为：11t −≤≤．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，难度很大，重点理解题意，根据旋转的不变性，进行画图分析，对分类讨论的思想要求较高．。