改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析

数值分析中的高斯-赛德尔迭代法-教案一、引言1.1背景介绍1.1.1数值分析在现代科学和工程中的应用1.1.2高斯-赛德尔迭代法在解决线性方程组中的重要性1.1.3迭代法的基本概念和分类1.1.4高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的比较1.2教学目标1.2.1理解高斯-赛德尔迭代法的数学原理1.2.2学会应用高斯-赛德尔迭代法解决实际问题1.2.3掌握高斯-赛德尔迭代法的编程实现1.2.4分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和效率1.3教学方法1.3.1采用理论讲解与实践操作相结合的方式1.3.2利用多媒体和板书相结合的教学手段1.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答1.3.4通过案例分析和作业练习巩固知识点二、知识点讲解2.1高斯-赛德尔迭代法的数学原理2.1.1线性方程组的迭代解法概述2.1.2高斯-赛德尔迭代法的迭代公式2.1.3高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式2.2高斯-赛德尔迭代法的应用2.2.1高斯-赛德尔迭代法在电路分析中的应用2.2.2高斯-赛德尔迭代法在热传导问题中的应用2.2.3高斯-赛德尔迭代法在流体力学中的应用2.2.4高斯-赛德尔迭代法在经济模型中的应用2.3高斯-赛德尔迭代法的实现2.3.1高斯-赛德尔迭代法的算法步骤2.3.2高斯-赛德尔迭代法的编程实现2.3.3高斯-赛德尔迭代法的程序调试与优化2.3.4高斯-赛德尔迭代法的软件工具介绍三、教学内容3.1高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析3.1.1收敛性的定义和判定条件3.1.2高斯-赛德尔迭代法的收敛速度3.1.3收敛性分析的理论基础3.1.4收敛性分析的实例演示3.2高斯-赛德尔迭代法的效率分析3.2.1计算效率的定义和评价指标3.2.2高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的效率比较3.2.3影响高斯-赛德尔迭代法效率的因素3.2.4提高高斯-赛德尔迭代法效率的方法3.3.1案例一：电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.2案例二：热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.3案例三：流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.4案例四：经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式4.1.2学会使用高斯-赛德尔迭代法解决线性方程组问题4.1.3能够编写高斯-赛德尔迭代法的程序代码4.1.4能够分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力4.2.2培养学生运用迭代法解决实际问题的能力4.2.3培养学生进行数学实验和数据分析的能力4.2.4培养学生进行团队合作和交流讨论的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数值分析的兴趣和热情4.3.2培养学生的科学精神和创新意识4.3.3培养学生严谨治学和精益求精的态度4.3.4培养学生的国际视野和跨文化交流能力五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式5.1.2高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析5.1.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试5.1.4高斯-赛德尔迭代法在实际问题中的应用5.2教学重点5.2.1高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式5.2.2高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析5.2.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试5.2.4高斯-赛德尔迭代法在实际问题中的应用5.3教学策略5.3.1采用案例教学法和问题导向教学法5.3.2利用多媒体和板书相结合的教学手段5.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答5.3.4通过案例分析和作业练习巩固知识点六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体投影仪和计算机6.1.2白板和彩色粉笔6.1.3高斯-赛德尔迭代法的PPT课件6.1.4高斯-赛德尔迭代法的程序代码和软件工具6.2学具准备6.2.1笔记本电脑和编程软件6.2.2数值分析教材和相关参考书籍6.2.3高斯-赛德尔迭代法的案例分析和作业练习6.2.4小组讨论和问题解答的场地和设备6.3教学资源准备6.3.1高斯-赛德尔迭代法的在线课程和视频教程6.3.2高斯-赛德尔迭代法的学术论文和研究成果6.3.3高斯-赛德尔迭代法的软件工具和程序库6.3.4高斯-赛德尔迭代法的实际应用案例和项目七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入数值分析和高斯-赛德尔迭代法的背景7.1.2提出问题和挑战，激发学生的兴趣和好奇心7.1.3回顾迭代法的基本概念和分类7.1.4阐述高斯-赛德尔迭代法的重要性和应用领域7.2知识讲解7.2.1详细讲解高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式7.2.2通过实例演示高斯-赛德尔迭代法的应用和计算过程7.2.3分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率7.2.4讲解高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试技巧7.3实践操作7.3.1分组进行高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试7.3.2通过案例分析和作业练习巩固知识点7.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答7.3.4提供反馈和指导，帮助学生提高编程能力和问题解决能力7.4.2引导学生对高斯-赛德尔迭代法的理解和应用进行反思7.4.3提供进一步学习和研究的建议和资源7.4.4鼓励学生参与相关的学术活动和项目实践八、板书设计8.1高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式8.1.1高斯-赛德尔迭代法的迭代公式8.1.2高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式8.1.3高斯-赛德尔迭代法的收敛条件8.1.4高斯-赛德尔迭代法的计算步骤8.2高斯-赛德尔迭代法的应用案例8.2.1电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.2热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.3流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.4经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用8.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试8.3.1高斯-赛德尔迭代法的算法步骤8.3.2高斯-赛德尔迭代法的编程实现8.3.3高斯-赛德尔迭代法的程序调试与优化8.3.4高斯-赛德尔迭代法的软件工具介绍九、作业设计9.1基础练习题9.1.1编写高斯-赛德尔迭代法的程序代码9.1.2使用高斯-赛德尔迭代法解决线性方程组问题9.1.3分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率9.1.4比较高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的优缺点9.2案例分析题9.2.1分析电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.2分析热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.3分析流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.4分析经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.3扩展阅读与思考题9.3.1阅读相关的学术论文和研究成果9.3.2思考高斯-赛德尔迭代法的改进和优化方法9.3.3探索高斯-赛德尔迭代法在其他领域的应用9.3.4分析高斯-赛德尔迭代法在并行计算中的应用十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1反思教学内容的组织和讲解方式10.1.2反思学生的参与度和学习效果10.1.3反思教学方法和策略的有效性10.1.4反思教学资源和材料的适用性10.2拓展延伸10.2.1探索高斯-赛德尔迭代法的进一步研究和应用10.2.2学习其他数值分析方法和算法10.2.3参与相关的学术活动和项目实践10.2.4拓宽国际视野，了解数值分析的前沿动态重点关注环节的补充和说明：1.高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式的讲解，确保学生理解并掌握基本概念。

数值分析课程设计比较各种迭代收敛速度分别用雅可比迭代法(J)、高斯—塞德尔迭代法(G-S)、超松弛迭代法(SOR)计算方程组=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----410141014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10810 并比较哪一种迭代方法收敛的速度更快方程真实值计算：A=[4-10;-14-1;0-14];b=[10810]'; jX=A\b得到结果：3.42863.71433.4286雅可比迭代：首先编写jacdd.m 的函数文件（见附录一） 调用程序，在命令窗口分别输入如下语句: A=[4-10;-14-1;0-14]; b=[10;8;10];X0=[000]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.00001,100) 结果见表一高斯—塞德尔迭代：首先编写gsdddy.m 的函数文件（见附录二） 调用程序，在命令窗口分别输入如下语句: A=[4-10;-14-1;0-14];b=[10;8;10]; X0=[000]';X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.00001,100) 结果见表一雅可比迭代误差计算：x0=[3.42863.71433.4286];%此为方程组的真实值x1=[2.50003.00003.31253.37503.41413.42193.42683.42773.42833.42853.42853.42 86];x2=[2.00003.25003.50003.65633.68753.70703.71093.71343.71393.71423.71423.71 43];x3=[2.50003.00003.31253.37503.41413.42193.42683.42773.42833.42853.42853.42 86];formatlong%循环求二范数的平方fori=1:12t(i)=(x1(i)-3.4286)^2+(x2(i)-3.7143)^2+(x3(i)-3.4286)^2;sqrt(t(i))end结果见表一高斯—塞德尔迭代误差计算：x0=[3.42863.71433.4286];%此为方程组的真实值x1=[2.50003.15633.39453.42433.42803.42853.4286];x2=[2.62503.57813.69733.71223.71403.71433.7143];x3=[3.15633.39453.42433.42803.42853.42863.4286];formatlong%循环求二范数的平方fori=1:6s(i)=(x1(i)-3.4286)^2+(x2(i)-3.7143)^2+(x3(i)-3.4286)^2;sqrt(s(i))end结果见表一画图比较：画图函数：k=1:12;x=[2.15949540.76352500.26996830.09544590.03374520.01196120.00424740.0015 5880.00058310.00017320.00017320];%J的迭代误差plot(k,x,'b')holdony=[1.45705860.30636670.03834450.00482290.00067820.0000999000000];%G-S的迭代误差plot(k,y,'-.')legend('J迭代','G-S迭代')%画出图形,标明各曲线的含义title('误差图');%加上标题text(k(1),x(1),'start')%注明起始和终止点text(k(11),x(11),'end')xlabel('K迭代次数');%标注横,纵坐标ylabel('误差');gridon%画出网格结论：从数据图表可观察到：雅可比的迭代次数明显比高斯塞德尔的迭代次数要多,所以高斯塞德尔比雅可比迭代的收敛速度快.G-S迭代与J迭代在本质上没有必然的联系，求解方程组时，J迭代的速度与G-S迭代收敛的速度没有确定的关系，但在此题中，J迭代比G-S迭代的收敛速超松弛迭代法最佳松弛因子选取编写文件名为sor.m的M文件(见附录三)得到结果如下表(全部结果的部分，包含最少迭代次数的松弛因子)：D=2.5857864376269054.0000000000000005.414213562373096max=5.414213562373096x0=3.4285714285714283.7142857142857143.4285714285714283.4285703243697273.7142801602446313.428570324369727ans=0.25500000000000013.000000000000000结论：最佳松弛因子=0.2550，使得迭代次数最少且结果最接近真实值。

解线性方程组的迭代法收敛速度实验六解线性方程组的迭代法收敛速度.一、实验内容(1)选取不同的初始向量)0(x ,在给定的迭代误差要求下,用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法法求解,观察得到的序列是否收敛？若收敛,记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.(2)用SOR 迭代法求上述方程组的解,松弛系数ω取1<ω<2的不同值,在给定的迭代误差要求下.记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.二、方法步骤雅克比迭代法：（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，x (0)=(x 1(0),x 2(0),…,x n (0))T ，容许误差ε，最大容许迭代次数N.（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i(0). （3）置k=1.（4）对i=1,2,3,…,n,置y i =1a ii (b i∑a ij x j nj=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i ?x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.（6）若kk,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，停机。

高斯-塞德尔迭代法（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，，x (0)=(x 1(0),x 2(0),…,x n (0))T ，容许误差ε，最大容许迭代次数N.（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i (0)（3）置k=1.（4）对i=1,2,3,…,n,置y i =1ii (b i∑a ij x j nj=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i ?x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.（6）若kk,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，停机。

类矩阵两种迭代法的收敛性比较引言：在科学计算中，线性方程组的求解是很普遍的问题。

尤其是在大型科学计算中，线性方程组的求解是最重要的任务之一。

线性方程组的求解有很多种方法，例如高斯消元法、LU分解法、迭代法等等，其中迭代法是一种高效的方法。

迭代法的思想是从一个初值解开始，逐步改进解的准确度，直到满足误差要求。

在本文中，我们将讨论两种类矩阵迭代法的收敛性比较，即雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。

1.雅可比迭代法（Jacobi Iterative Method）：雅可比迭代法是最简单的迭代法之一。

它是基于线性方程组的矩阵形式 Ax=b，将 A 分解成 A=D-L-U（D为A的对角线元素，L为A的下三角矩阵，U为A的上三角矩阵），其中 D 为对角线元素，L为严格下三角矩阵，U 为严格上三角矩阵。

则有如下迭代关系式： x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b (1)其中，x^{(k)} 为 k 次迭代后的解，x^{(0)} 为初始解。

雅可比迭代法的迭代矩阵为M = D^{-1}(L+U)。

以下是雅可比迭代法的收敛性分析：定理1：若矩阵 A 为对称正定矩阵，则雅可比迭代法收敛。

证明：由于 A 为对称正定矩阵，所以存在唯一的解。

假设迭代后得到的解为 x^{(k)}，则我们可以用误差向量 e^{(k)} = x-x^{(k)} 表示剩余项，则有 Ax^{(k)}-b = e^{(k)}。

对 (1) 式两边同时乘以 A^-1，得：x^{(k+1)}=x^{(k)}-A^{-1}e^{(k)}。

(2)将 (2) 式代入 Ax^{(k)}-b = e^{(k)} 中，得：Ax^{(k+1)}-b = Ae^{(k)}.(3)由于 A 为对称正定矩阵，则存在 A=Q\\Lambda Q^{-1}，其中Q 为正交矩阵，\\Lambda 为对角矩阵。

因此，我们可以将 (3) 式转化为：\\| x^{(k+1)}-x \\|_{A} =\\| Q^{-1}A^{-1}Qe^{(k)}\\|_{\\Lambda} \\leq \\rho (Q^{-1}A^{-1}Q)\\|e^{(k)}\\|_{A}。

Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。

在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。

本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。

一、Gauss-Seidel迭代法简介Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。

它的迭代更新公式为：xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj)其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i 列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量；∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。

通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。

二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。

在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算：function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk)n=length(b);x=x0;for k=1:maxkx0=x;for i=1:nx(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i));endif norm(x-x0,inf)<tolreturn;endenderror('达到最大迭代次数，方法未收敛');end在上述matlab代码中，A为系数矩阵，b为右端常数向量，x0为初始解向量，tol为迭代精度，maxk为最大迭代次数。

在函数中，我们设定了最大迭代次数以及迭代精度的条件，当满足这些条件时，算法将停止迭代。

三、Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析Gauss-Seidel迭代法的收敛性与系数矩阵A的性质有关。

高斯赛德尔迭代计算方法高斯赛德尔迭代方法是一种求解线性方程组的方法，特别适用于具有对角占优的方程组。

该方法通过反复迭代逼近方程组的解，直到满足预设的精度要求。

这种方法可以有效地解决大规模线性方程组的求解问题。

高斯赛德尔迭代方法的基本原理是利用方程组中已知的解元素估计未知的解元素。

具体来说，对于方程组Ax=b，求解x的过程中，使用当前迭代步骤中已经求得的解元素作为估计值去计算其他未知解元素的值。

假设当前迭代步骤中已经求得的解元素为x(k) = [x1(k), x2(k), ..., xn(k)]，则在下一步迭代中可以利用这些已知值来求解未知解元素。

高斯赛德尔迭代的迭代公式为：x1(k+1) = (b1 - (a12*x2(k) + a13*x3(k) + ... + a1n*xn(k)))/a11x2(k+1) = (b2 - (a21*x1(k+1) + a23*x3(k) + ... + a2n*xn(k)))/a22 ...xn(k+1) = (bn - (an1*x1(k+1) + an2*x2(k+1) + ... + an-1*xn-1(k+1)))/ann其中a_ij表示方程组矩阵A中第i行、第j列的元素，b_i表示方程组右侧向量b中第i个元素。

高斯赛德尔迭代方法的收敛性与方程组矩阵的特征值有关。

在一些情况下，该方法可以保证收敛到方程组的解，并且收敛速度较快。

但在一些特殊情况下，该方法可能无法收敛或者收敛速度较慢。

因此，在应用高斯赛德尔迭代方法求解线性方程组时，需要对方程组的性质进行分析，以确定该方法的适用性。

为了提高高斯赛德尔迭代的收敛速度，可以采用一些加速技巧，如超松弛法。

超松弛法是在每次迭代过程中引入一个松弛因子ω，通过调整松弛因子的大小，可以使迭代收敛的速度更快。

超松弛法的迭代公式为：x1(k+1) = (1-ω)*x1(k) + (ω/a11)*(b1 - (a12*x2(k) + a13*x3(k)+ ... + a1n*xn(k)))x2(k+1) = (1-ω)*x2(k) + (ω/a22)*(b2 - (a21*x1(k+1) + a23*x3(k) + ... + a2n*xn(k)))...xn(k+1) = (1-ω)*xn(k) + (ω/ann)*(bn - (an1*x1(k+1) +an2*x2(k+1) + ... + an-1*xn-1(k+1)))其中ω的取值一般为0<ω<2，根据经验可以选择合适的ω值。

外推Gauss-Seidel迭代法的收敛性及其与H-矩阵的关系薛秋芳;高兴宝;刘晓光【摘要】考虑外推 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性及其与 H-矩阵的关系，给出了外推 Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法收敛性的关系及收敛的参数范围。

利用最优尺度矩阵及M-1N的估计量给出了H-矩阵外推Gauss-Seidel法谱半径的上界估计式，并基于外推Gauss-Seidel及Gauss-Seidel迭代法得到一般 H-矩阵的等价条件。

%The convergence performance of the extrapolated Gauss-Seidel iterative method and its relationship with H-matrix were discussed.The convergence relationship between the extrapolated Gauss-Seidel and the Jacobi iterative methods and also the range of the extrapolated parameter when the method converges were given. The upper bound estimates for the spectral radius of the extrapolated Gauss-Seidel iterative method were obtained by using the optimally scaled matrix and the estimator of M-1 N. Meanwhile, equivalent conditions for general H-matrices based on the extrapolated Gauss-Seidel and the Gauss-Seidel iterative methods were provided.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】8页(P413-420)【关键词】H-矩阵;Gauss-Seidel迭代法;外推Gauss-Seidel迭代法;最优尺度矩阵;谱半径【作者】薛秋芳;高兴宝;刘晓光【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062; 西安理工大学应用数学系，西安 710054;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062【正文语种】中文【中图分类】O241.6对大型稀疏线性方程组一般采用迭代法求解，这里：A＝（aij）为n×n阶方阵；x和b均为n维向量.经典的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss－Seidel迭代法、SOR迭代法和AOR迭代法等.为改进迭代收敛性，加快迭代收敛速度，对不同的迭代法人们又提出了相应的外推迭代法，如外推Jacobi迭代法和外推Gauss－Seidel迭代法等.本文讨论外推Gauss－Seidel迭代法.设A＝D－L－U，其中：D，－L和－U分别是A的对角、严格下三角和严格上三角矩阵，则A的Gauss－Seidel迭代法（简称GS迭代法）是基于分裂A＝（D－L）－U得到的，其迭代格式为其中G＝（D－L）－1U为Gauss－Seidel迭代矩阵.相应的外推Gauss－Seidel 迭代法（简称EGS方法）迭代格式为其中：G h＝（1－h）I＋h G为外推Gauss－Seidel迭代矩阵；h为外推参数.显然，EGS迭代法是GS迭代法的推广.当h＝1时，其即为GS迭代法.目前，对外推迭代法收敛性的研究已有许多成果［1－11］.文献［1］基于原迭代矩阵T的特征值给出了一般外推迭代法收敛的外推参数范围.定理1［1］外推迭代法收敛的充分必要条件是下列条件之一成立：文献［2］基于SSOR迭代法讨论了H－矩阵的等价条件；文献［3］讨论了H－矩阵的块AOR和块SAOR迭代法的收敛性，基于块Jacobi迭代法给出了当参数在一定范围时其谱半径的上界估计式.Bru等［4］基于Jacobi迭代法给出了H－矩阵的如下等价条件：定理2［4］设A＝（aij）∈C n×n满足a ii≠0（i＝1，2，…，n），则下列条件等价：1）A为H－矩阵；2）对任意的P∈Ω（A），ρ（J（P））＜1.这里：ρ（J（P））为P的Jacobi迭代矩阵的谱半径；Ω（A）为A的等模矩阵集合.文献［5］基于EGS迭代法给出了不可约H－矩阵的等价条件：定理3［5］设A＝（aij）∈C n×n为不可约方阵，且aii≠0，则下列条件等价：1）A为H－矩阵；这里：ρ（｜J｜）为A的Jacobi迭代阵绝对值的谱半径；Ω（A）为A的等模矩阵集合.本文进一步研究EGS迭代法的收敛性，讨论EGS迭代法收敛性与H－矩阵的关系，从而将文献［4］中基于Jacobi迭代法的H－矩阵等价条件推广为基于EGS迭代法的等价条件，并将文献［5］中关于不可约H－矩阵的等价条件推广到一般的H －矩阵.引理1［13］设方阵E≥0，F≥0，B＝E＋F，若ρ（E）≤1，则下列结论成立：1）当ρ（B）＜1时，0≤ρ（（I－E）－1F）≤ρ（B）＜1；2）当ρ（B）＝1时，ρ（（I－E）－1F）＝ρ（B）＝1；3）当ρ（B）＞1时，ρ（（I－E）－1F）≥ρ（B）＞1.由引理1，对L－矩阵，可建立如下EGS迭代矩阵的谱半径与Jacobi迭代矩阵谱半径的关系.定理4 设A是L－矩阵，则下列结论成立：1）当ρ（J）＜1时，1－h≤ρ（G h）≤（1－h）＋hρ（J）＜1；2）当ρ（J）＝1时，ρ（G h）＝ρ（J）＝1；3）当ρ（J）＞1时，ρ（G h）≥（1－h）＋hρ（J）＞1.这里0＜h≤1.证明：显然G＝（D－L）－1U＝（I－D－1L）－1D－1U，J＝D－1（L＋U）＝D－1L＋D－1U.令E＝D－1L，F＝D－1U，则G＝（I－E）－1F，J＝E＋F并且ρ（E）＝0.由A为L－矩阵可知E≥0，F≥0，从而由引理1可知：当ρ（J）＜1时，0≤ρ（G）≤ρ（J）＜1；当ρ（J）＝1时，ρ（G）＝ρ（J）＝1；当ρ（J）＞1时，ρ（G）≥ρ（J）＞1.因为G h＝（1－h）I＋h G，0＜h≤1，所以ρ（G h）＝（1－h）＋hρ（G），进而由ρ（G）和ρ（J）的关系可得：当ρ（J）＜1时，1－h≤ρ（G h）≤（1－h）＋hρ（J）＜1；当ρ（J）＝1时，ρ（G h）＝ρ（J）＝1；当ρ（J）＞1时，ρ（G h）≥（1－h）＋hρ（J）＞1.证毕.由定理4知，当0＜h≤1时，L－矩阵的EGS迭代法是否收敛依赖于Jacobi迭代法是否收敛.下面讨论复矩阵EGS迭代法的收敛性.证毕.定理6表明对一类特殊的复矩阵，当外推参数在一定范围时，不仅可以确定其EGS迭代法收敛，而且可以明确给出其迭代矩阵的谱半径.下面讨论H－矩阵EGS迭代法的收敛性.推论3 若A为M－矩阵，则ρ（G（A））≤ρ（J）＜1，其中J为A的Jacobi迭代阵.由推论3，当A为M－矩阵时，无论其是否不可约，它的GS迭代法和Jacobi迭代法均收敛，且其GS迭代法收敛速度不慢于Jacobi迭代法收敛速度.由定理8可将文献［5］中定理1推广到可约H－矩阵的情形.定理9 设A为n阶复方阵，且对任意的i，aii≠0，则下列条件等价：1）A为H－矩阵；2）定理9将文献［5］中不可约H－矩阵的等价条件推广到一般的H－矩阵，包括可约H－矩阵和不可约H－矩阵.3）文献［4］给出了H－矩阵基于Jacobi迭代法收敛性的等价条件（定理2），而本文的定理9则给出了H－矩阵基于EGS迭代法收敛性的等价条件.定理10 设A＝（aij）∈C n×n，且aii≠0，则下列条件等价：1）A为H－矩阵；2）对任意的P∈Ω（A），ρ（G（P））＜1；3）〈A〉的GS迭代法收敛，即ρ（G（〈A〉））＜1.这里G（〈A〉）和G（P）分别为〈A〉和P的Gauss－Seidel迭代阵.证明：显然1）可以推出2）和3）.反之，如果3）成立，由文献［5］中推论1的证明可知，A是H－矩阵，即1）成立，从而2）成立.所以，当A为H－矩阵时，1）～3）等价.证毕.类似文献［5］的讨论，对矩阵A定义集合：综上，本文研究了外推Gauss－Seidel迭代法的收敛性，讨论了H－矩阵与其EGS迭代法收敛性的关系，得到了EGS迭代法的收敛性结论，并给出了H－矩阵EGS迭代法的收敛范围及其谱半径上界的估计式，从而将文献［5］中的不可约H －矩阵的等价条件推广到一般的H－矩阵，还给出了一般H－矩阵的几个等价条件，进一步发展和完善了H－矩阵的相关理论.【相关文献】［1］ CAO Zhihao.A Convergence Theorem on an Extrapolated Iterative Method and Its Applications［J］.Applied Numerical Mathematics，1998，27（3）：203－209.［2］ Alefeld G，Varga R S.Zur Konvergenz des Symmetrischen Relaxationsverfahren ［J］.Numerische Mathematik，1976，25（3）：291－295.［3］ XIANG Shuhuang，ZHANG Shenglei.A Convergence Analysis of Block Accelerated Over－Relaxation Iterative Methods for Weak Block H－Matrices to Partitionπ［J］.Linear Algebra and Its Applications，2006，418（1）：20－32.［4］ Bru R，Corral C，Gimenez I，et al.Classes of General H－Matrices［J］.Linear Algebra and Its 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