对称不定线性系统的不定预处理技术

非线性系统的建模与控制技术研究摘要：非线性系统的研究在科学和工程领域中具有重要意义。

本文就非线性系统的建模与控制技术进行了深入研究。

首先，介绍了非线性系统的基本概念和特性。

然后，探讨了非线性系统建模的常用方法，包括物理建模、数学建模和数据驱动建模。

接着，讨论了非线性系统的控制技术，包括传统的线性控制方法以及现代的非线性控制理论和方法。

最后，总结了当前非线性系统建模与控制技术的研究现状和未来发展方向。

1. 引言非线性系统是指系统的输出与其输入之间不具备线性关系的一类系统。

与线性系统相比，非线性系统具有更加复杂和多样的行为特性，因此对其进行建模和控制带来了许多挑战。

非线性系统的研究对于科学研究和工程应用有着重要的意义。

随着现代科学技术的发展，非线性系统的建模与控制技术也越来越受到关注。

2. 非线性系统的基本概念和特性非线性系统包括一类系统，其输出与输入之间的关系不具备线性特性。

常见的非线性系统包括混沌系统、生物系统、化学反应系统等。

非线性系统具有多变的行为特性，例如稳定性、周期性、不稳定性等，因此对其建模和控制提出了更高的要求。

3. 非线性系统建模的常用方法非线性系统建模是研究非线性系统的基础和关键。

常见的非线性系统建模方法包括物理建模、数学建模和数据驱动建模。

物理建模方法根据系统的物理特性和基本方程建立系统的数学模型，例如动力学方程和能量守恒方程。

数学建模方法通过数学工具和方法对系统进行建模，例如微分方程和状态方程。

数据驱动建模方法基于实际观测数据，利用数据预处理、特征提取和模型拟合等技术建立系统模型。

4. 非线性系统的控制技术非线性系统的控制是实现系统稳定性和性能优化的关键。

传统的线性控制方法在处理非线性系统时存在一定的局限性。

现代非线性控制理论和方法为非线性系统的控制提供了新的思路和手段。

例如，反馈线性化控制、滑模控制、自适应控制等方法可以有效地处理非线性系统的控制问题。

5. 非线性系统建模与控制技术的研究现状当前，非线性系统建模与控制技术研究已经取得了许多重要的成果。

CG算法的预处理技术：、为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里D 是A 的对角元所组成的对角矩阵。

θ是由Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。

什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。

这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。

如何取正定矩阵Mk为：Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。

记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）什么是Jacobi迭代法：什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》什么是SOR迭代法：什么是收敛速度：什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible matrix）两个相对的概念。

定义1：对于n 阶方阵A 而言，如果存在一个排列阵P 使得P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。

定义2：对于n 阶方阵A=(aij) 而言，如果指标集{1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集J 和K，使得对任意的j∈J 和任意的k∈K 都有ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。

使用Matlab进行非线性系统辨识与控制的技巧在控制系统领域，非线性系统一直是研究的重点和难点之一。

与线性系统不同，非线性系统具有复杂的动力学特性和响应行为，给系统的建模、辨识和控制带来了挑战。

然而，随着计算机技术的快速发展，现在可以利用强大的软件工具如Matlab来进行非线性系统辨识与控制的研究。

本文将分享一些使用Matlab进行非线性系统辨识与控制的技巧，希望对相关研究人员有所帮助。

一、非线性系统辨识非线性系统辨识是指通过实验数据来确定系统的数学模型，以描述系统的动态行为。

在非线性系统辨识中，最常用的方法是基于系统响应的模型辨识技术。

这种方法通常包括以下几个步骤：1. 数据采集和预处理：首先，需要采集实验数据以用于系统辨识。

在数据采集过程中，应尽量减小噪声的影响，并确保数据的可靠性。

然后，对采集到的数据进行预处理，如滤波、采样等，以消除噪声和干扰。

2. 模型结构选择：在进行非线性系统辨识时，应选择合适的模型结构来描述系统的动态特性。

常见的模型结构包括非线性自回归移动平均模型（NARMA），广义回归神经网络（GRNN）等。

选择合适的模型结构对于准确地描述系统非线性特性至关重要。

3. 参数估计：根据选定的模型结构，使用最小二乘法或其他参数估计算法来估计模型的参数。

MATLAB提供了多种估计算法和工具箱，如系统辨识工具箱（System Identification Toolbox）等，可方便地进行参数估计。

4. 模型验证与评估：在参数估计完成后，应对辨识的模型进行验证和评估。

常用的方法是计算模型的均方根误差（RMSE）和决定系数（R-squared），进一步提高模型的准确性和可靠性。

二、非线性系统控制非线性系统控制是指通过设计控制策略来实现对非线性系统的稳定和性能要求。

与非线性系统辨识类似，非线性系统控制也可以利用Matlab进行研究和设计。

以下是一些常用的非线性系统控制技巧：1.反馈线性化控制：线性化是将非线性系统近似为线性系统的一种方法。

《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言随着计算机技术的迅猛发展，线性方程组的求解在许多科学与工程领域变得尤为重要。

GMRES(m)算法作为一种有效的迭代求解方法，已经在许多实际问题中得到了广泛的应用。

然而，对于某些特殊的问题，如大规模稀疏线性系统或具有特定结构特性的问题，传统的GMRES(m)算法可能存在收敛速度慢或数值稳定性差等问题。

为了解决这些问题，研究者们提出了预处理和加权GMRES(m)算法。

本文将重点研究预处理加权GMRES(m)算法，探讨其原理、应用及优势。

二、GMRES(m)算法概述GMRES(m)算法是一种基于Krylov子空间的迭代算法，用于求解线性方程组Ax=b。

该算法利用正交化过程，生成一组在Krylov子空间中关于矩阵A的向量，然后通过最小二乘法求解。

GMRES(m)算法具有较好的数值稳定性和求解效率，尤其适用于大型稀疏线性系统的求解。

三、预处理技术预处理技术是提高迭代法求解线性方程组性能的重要手段。

预处理的目的是通过将原始系统进行等价变换，改善系统的性质，从而加速算法的收敛速度。

常见的预处理方法包括Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。

这些方法通过对方程进行预处理，使得新生成的矩阵具有更好的条件数，从而提高算法的收敛速度。

四、加权GMRES(m)算法加权GMRES(m)算法是在GMRES(m)算法的基础上引入了权重因子。

这种算法在迭代过程中，对残差向量进行加权处理，从而使得算法对不同方向上的搜索具有不同的重视程度。

加权GMRES(m)算法可以提高算法的收敛速度和求解精度，特别适用于某些具有特殊结构或性质的线性系统。

五、预处理加权GMRES(m)算法预处理加权GMRES(m)算法是将预处理技术和加权GMRES(m)算法相结合的一种算法。

该算法首先利用预处理方法对原始系统进行等价变换，然后对变换后的系统应用加权GMRES(m)算法进行求解。

这种算法可以充分利用预处理和加权技术的优势，进一步提高算法的收敛速度和求解精度。

第33卷第19期电网技术V ol. 33 No. 19 2009年11月Power System Technology Nov. 2009 文章编号：1000-3673（2009）19-0123-04 中图分类号：TM712 文献标志码：A 学科代码：470·40以对称反对称分裂预条件处理GMRES(m)的不精确牛顿法潮流计算刘凯1，陈红坤1，向铁元1，高志新2（1．武汉大学电气工程学院，湖北省武汉市 430072；2．中南电力设计院，湖北省武汉市 430072）Inexact Newton Flow Computation Based on Hermitian andSkew-Hermitian Splitting Preconditioners GMRES(m)LIU Kai1，CHEN Hong-kun1，XIANG Tie-yuan1，GAO Zhi-xin2（1．School of Electrical Engineering，Wuhan University，Wuhan 430072，Hubei Province，China；2．Central Southern Electric Power Design Institute，Wuhan 430072，Hubei Province，China）ABSTRACT: According to the feature that the correction equation of large-scale power grid is highly sparse, a method for inexact Newton power flow computation based on Hermitian and skew-Hermitian preconditioners is researched. By use of symmetric and skew-Hermitian splitting of matrix, a new type of preconditioner is proposed. Combining the new preconditioner with GMRES(m), both convergency and convergence rate of power flow computation can be improved. Power flow computation results of IEEE 300-bus system show that the proposed algorithm is effective.KEY WORDS: power flow calculation；Hermitian and skew-Hermitian splitting；generalized minimal residual algorithm (GMRES(m))；preconditioning摘要：针对大规模电力系统修正方程式高度稀疏的特点，研究了一种基于对称反对称预处理的不精确牛顿法。

第一章绪论在科学研究和工程应用中，经常需要求解大型稀疏线性方程组血＝ｂ（１．１）其中Ａ是ｎ×ｎ的实矩阵，ｘ，６∈Ｒ”．目前，求解线性方程组的数值方法可分成两大类，一类是直接法，即通过有限次的运算求出问题的精确解，例如Ｇａｕｓｓ消去法、列主元及全主元消去法、直接三角分解法等．但是由于直接法计算过程中存储量很大，当需要求解大型稀疏线性方程组时，直接法就不适用了．另一类求解线性方程组的数值方法是迭代法，即通过选取初值，然后用同样的步骤重复计算，求得近似解．在迭代法中，Ｋｒｙｌｏｖ子空间方法［３１是求解大型线性方程组的一类重要方法，国际上有关Ｋｒｙｌｏｖ子空间方法的研究工作非常活跃．求解对称正定线性方程组的最有效方法是共轭梯度（ｃＯ）法【ｌ】及其预处理技术．对称Ｌａｎｃｚｏｓ方法【１３】【１６１伫９】是解对称不定线性方程组的有效方法之一．在理论上，对称Ｌａｎｃｚｏｓ方法产生的向量组是正交向量组，但是，在实际计算中，由于舍入误差的影响，Ｌａｎｃｚｏｓ向量易失去正交性．为了减少存储量和运算量，人们采用重新开始的Ｌａｎｃｚｏｓ方法，即循环Ｌａｎｃｚｏｓ迭代法【１１Ｉ．另外Ｐａｉｇｃ和Ｓａｕｎｄｅｒｓ基于对称ＬＲＩ＇ＩＣＺＯＳ方法［２］提出了求解对称不定方程组的ＳＹⅣｎＶＪＬＱ方法【１４】和ＭＩＮＩ陋Ｓ方法【ｌ”，但是对病态线性方程组ＳＹＭＭＬＱ方法和ＭＩＮＲＥＳ方法常常表现出不稳定性．求解非对称线性方程组的Ｋｒｙｌｏｖ子空间方法有许多特殊的方法，如Ａｍｏｌｄｉ口］方法、广义极小残量法（ＧＭＲＥＳ）、双边Ｌａｎｃｚｏｓ方法、不完全正交化方法等．Ｙ．Ｓａａｄｌ３１指出，Ａｍｏｌｄｉ【２１过程实际上是建立Ｋｒｙｌｏｖ子空间ｋ，（Ａ，ｔｏ）＝ｓｐａｎ（ｔｏ，Ａｒｏ，．．．，Ａ”１ｔｏ）一组标准正交基的过程．将Ａｍｏｌｄｉ回过程用于求解线性方程组可得完全正交化方法（ＦＯＭ）ｒｓｓ］，不完全正交化方法（ＩＯＭ）Ｈ】【３】【ｌｏＪ是完全正交化方法的一个变形，在理论上它是一种斜投影方法．１９９１年Ｆｒｅｕｎｄ和Ｎａｃｈｆｉｇａｌ基于非对称Ｌａｎｃｚｏｓ方法提出了求解非对称线性方程组的拟极小残量法（ＱＭＲ方法）［８】．在用非对称Ｌａｎｃｚｏｓ方法解非对称线性方程组时，也会发生算法中断或数值不稳定．Ｋｒｙｌｏｖ子空间方法通常用残量范数作为判断算法终止的条件．若近似解是精确的，残量范数是小的，但是反过来不一定．为克服残量范数作为终止条件的不足，Ｋａｓｅｎａｌｌｙ［”】在用ＧＭＲＥＳ方法１５删解非对称线性方程组时，考虑求满足扰动方程（Ａ一△。

pbgs方法标题：PBGS方法详解及其应用一、引言PBGS，全称为“Preconditioned Bi-Conjugate Gradient Stabilized”（预条件双共轭梯度稳定法），是一种在数值线性代数领域广泛应用的迭代解法，主要用于求解大型稀疏线性系统Ax=b。

这种方法结合了BiCGstab算法和预处理技术的优点，有效提高了求解效率和稳定性，尤其在大规模科学计算和工程问题中表现出色。

二、PBGS方法原理PBGS方法是基于Krylov子空间理论的一种迭代算法，通过构造一系列与系数矩阵A相关的向量子空间，逐步逼近原问题的解。

相较于传统的共轭梯度法，它在处理非对称或病态线性系统时具有更好的收敛性和稳定性。

而预处理技术则通过构造一个与原矩阵相似但条件数更优的矩阵，进一步改善了算法的性能。

三、PBGS方法步骤1. 初始化：设置初始猜测解x0和残差r0=b-Ax0，以及相应的搜索方向p0=r0。

2. Krylov子空间迭代：对于k=0,1,2,...，在预处理后的Krylov子空间上进行迭代计算，包括搜索方向更新、残差估计以及解的更新等步骤。

3. 预处理：在每一步迭代过程中，利用预处理矩阵对搜索方向和残差进行操作，以改善系统的条件数。

4. 收敛判断：当满足预设的收敛精度或者达到最大迭代次数时，停止迭代，并输出当前的解作为近似解。

四、PBGS方法的应用PBGS方法广泛应用于流体力学、电磁场仿真、结构力学、图像处理、优化问题等领域中的大型稀疏线性方程组求解。

例如，在有限元分析中，模型的离散化通常会产生大规模稀疏线性系统，采用PBGS方法可以高效准确地求解这些系统。

五、结论PBGS方法以其优良的收敛特性、高效的计算性能以及对大型稀疏线性系统出色的适应能力，在众多科学计算领域中扮演着重要角色。

随着计算机科学与工程技术的发展，PBGS方法的研究与应用将更加深入，为解决各类复杂问题提供有力的数学工具支持。

计算机控制技术-试题-总结讲解学习1. 若连续信号的最⾼频率为ωmax ，按采样定理要求，采样频率ωs 应 >=2ωmax 。

2. 通常在传感器与A/D 之间加⼊调理电路的⽬的是使模拟输⼊电压满⾜A/D 转换量程要求。

3. 计算机控制系统的输⼊与输出信号主要分为数字信号与模拟信号。

4. 计算机控制系统的⼯作过程可归纳为以下三步：实时数据采集、实时控制决策、实时输出控制。

5. 共模⼲扰的抑制⽅法主要有：变压器隔离、光电隔离、浮地屏蔽、采⽤仪表放⼤器提⾼共模抑制⽐。

6. ⼀般数控系统组成包括：输⼊装置、输出装置、控制器和插补器等四⼤部分组成。

7. 控制系统的四⼤要素是：给定量、执⾏机构、控制对象以及被控量。

8. 传感器把⽣产过程的信号转换成电信号，然后⽤A ／D 转换器把模拟信号变成数字信号，读⼊计算机中，对于这样得到的数据，⼀般要进⾏⼀些预处理，其中最基本的处理有线性化处理、标度变换和系统误差的⾃动校准。

9. 计算机控制中的数字PID 控制算法有数字PID 位置型控制算法和数字PID 增量型控制算法两种基本形式。

10. 经常采⽤的软件抗⼲扰技术包括：数字滤波技术、开关量的软件抗⼲扰技术、指令冗余技术、软件陷阱技术等。

11. 采⽤差分放⼤器作为信号前置放⼤是抑制串模⼲扰的⽅法之⼀。

12. 通常把叠加在被测信号上的⼲扰信号称为串模⼲扰。

13. 若信号的动态范围为N ，计算机字长n ≥ log2 (1+N) 。

1、计算机控制系统由计算机和被控对象（或⽣产过程）两部分组成。

计算机控制系统的基本⼯作原理可以归纳为：实时数据处理、实时监督决策、实时控制及输出。

3、若ωmax 为被采样的连续信号的最⾼频率，根据⾹农采样定理，采样周期必须满⾜ T<π/ωmax4、⼈机接⼝的作⽤：⼀是输⼊程序或数据，完成各种操作控制；⼆是显⽰⽣产过程的⼯艺状况与运⾏结果。

6、为使传感器特性与A/D 变换器特性相匹配，通常应在传感器与A/D 之间加⼊调理电路。