一元三次方程求根公式

一元三次求根公式方法一、一元三次方程概述1.定义及符号表示一元三次方程是指只含有一个未知数、未知数的最高次数为三次的方程。

通常用字母x表示未知数，方程一般形式为：ax+bx+cx+d=0。

2.基本性质一元三次方程有以下几个基本性质：（1）一元三次方程有三个解（实根或复根）；（2）一元三次方程的解可能有两个实根，一个虚根；（3）一元三次方程的解可能有一个实根，两个虚根；（4）一元三次方程的解可能三个都是虚根。

二、一元三次求根公式推导1.公式推导过程一元三次方程的求根公式由意大利数学家卡尔丹（Cardano）于16世纪首次推导出来。

求根公式为：x1,2,3 = [-b ± √(b-3ac)] / (3a)2.公式含义及适用范围该公式适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0），通过该公式可以求得一元三次方程的三个解。

三、一元三次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0，且a、b、c、d为实数），通过直接开平可以求得一元三次方程的解。

2.公式法利用一元三次方程的求根公式，可以求得一元三次方程的三个解。

公式法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0）。

3.图像法通过绘制一元三次函数的图像，观察与x轴的交点个数，可以判断一元三次方程的解的个数。

图像法适用于直观地了解一元三次方程的解的情况。

4.数值法利用数值方法（如牛顿法、二分法等）求解一元三次方程，适用于需要求解实数解的情况。

四、一元三次方程实际应用案例1.数学建模中的应用在数学建模中，一元三次方程常用于构建复杂数学模型，如人口增长模型、经济模型等。

2.物理、工程领域的应用一元三次方程在物理、工程领域中有广泛应用，如振动系统的动力方程、电磁场的麦克斯韦方程等。

五、一元三次方程求根公式的优缺点1.优点（1）公式具有普遍性，适用于各种一元三次方程；（2）求解过程较为简便，计算量较小；（3）可以求得实根、复根，以及虚根。

一元三次方程求根公式一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。

这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。

南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。

（《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。

可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。

医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。

当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。

尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。

可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。

卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。

他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。

塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。

我找到了几种证法。

证法很难，我把它叙述如下。

"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。

塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。

按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。

于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。

一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。

有三个零点时，当有两个实数根。

有两个零点时，当有唯一实数根。

有唯一零点时，当。

，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。

点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。

因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。

求根公式解一元三次方程一元三次方程，这可是个让不少同学头疼的“小怪兽”。

但别怕，咱们有求根公式这个“秘密武器”，能把它打得落花流水！还记得我上高中那会，数学老师在黑板上写下一个复杂的一元三次方程，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们来挑战这个‘大魔王’！”大家都一脸紧张又期待。

求根公式解一元三次方程，听起来就很厉害的样子。

其实它就像一把万能钥匙，能打开一元三次方程这扇神秘的大门。

咱们先来说说一元三次方程一般的形式：ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）。

那求根公式呢，看起来有点复杂，一堆字母和符号，不过别怕，咱们一步步来拆解。

这求根公式里涉及到不少计算和推导，需要咱们有耐心和细心。

就像做一道美味的菜肴，每一步都要精心准备。

比如说，要先计算出一些中间量，像Δ 等等。

给大家举个例子吧。

假设有个方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 。

咱们先用求根公式里的方法，计算出相应的数值。

这过程就像是在搭积木，一块一块，小心翼翼。

在计算的过程中，可不能马虎。

一个小数点，一个正负号，都可能让结果相差千里。

这就好比在走钢丝，得保持平衡，不能有一点偏差。

当咱们终于算出结果，那种成就感，就像在沙漠里走了很久终于找到了绿洲。

不过，掌握求根公式解一元三次方程，不是一蹴而就的。

得不断练习，不断琢磨。

有时候，可能会被难题卡住，感觉就像走进了一个迷宫。

但只要不放弃，坚持探索，总会找到出口。

就像我当初，为了搞懂一道一元三次方程的题目，在自习室里苦思冥想了好几个小时。

草稿纸用了一张又一张，笔都快写没水了。

最后，当我终于算出正确答案的时候，那种喜悦，简直无法形容。

总之，求根公式解一元三次方程虽然有点难，但只要咱们用心去学，多做练习，就一定能攻克这个难关。

相信自己，咱们都是数学小能手！现在，大家是不是对求根公式解一元三次方程没那么害怕啦？那就赶紧拿起笔，去挑战更多的题目吧！。

一元三次方程求根公式推导方法宝子，今天咱们来唠唠一元三次方程求根公式的推导，这可有点小烧脑，但超有趣呢。

一元三次方程的一般形式是ax³+bx²+cx + d = 0。

咱们先想法子把它简化一下。

通过一个小技巧，设x = y - b/(3a)，把这个代入原方程，就能得到一个关于y 的方程，这个方程就没有二次项啦，形式变成了y³+py+q = 0，这里的p和q呢是根据原来方程的系数a、b、c、d算出来的。

那接下来咋整呢？咱们引入两个新的变量，设y = u+v。

把y = u + v代入y³+py+q = 0就得到(u + v)³+ p(u + v)+q = 0。

展开这个式子就有u³+v³+3uv(u + v)+p(u + v)+q = 0。

咱们再让3uv = - p，这样就可以把式子简化一下。

由3uv = - p可以得到v = - p/(3u)。

再把v = - p/(3u)代入u³+v³+q = 0这个式子，就得到u³ - p³/(27u ³)+q = 0。

这时候把u³看成一个整体，设u³ = t，那么方程就变成了t²+qt - p³/27 = 0，这就是一个一元二次方程啦。

一元二次方程求根公式咱都很熟啦，就可以求出t的值。

求出t之后呢，再把t开立方得到u的值，然后根据v = - p/(3u)求出v的值。

最后把u和v加起来就是y的值啦，再把y = x + b/(3a)代回去，就求出x的值了。

宝子，一元三次方程求根公式推导虽然有点绕，但就像玩一个很有挑战性的游戏一样。

每一步都像是解开一个小谜题，当最后得到求根公式的时候，就有一种超级成就感呢。

希望你也能感受到这个推导过程的乐趣呀。

一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。

盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程求根公式推导推导一元三次方程的求根公式可以基于维尔斯特拉斯方程，该方程是一个带参数的三次方程，具有一根已知解。

我们将在推导的过程中应用维尔斯特拉斯方程。

下面是详细的推导步骤：1.令y=x-α，其中α是一个待定常数。

将y代入原一元三次方程，并进行变形，得到新的方程a(y+α)^3+b(y+α)^2+c(y+α)+d=0。

展开并对y进行整理，得到a(y^3+3αy^2+3α^2y+α^3)+b(y^2+2αy+α^2)+c(y+α)+d=0。

2. 对表达式进行分组，得到 (ay^3 + by^2 + cy + d) + 3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。

3. 根据原一元三次方程的定义，ay^3 + by^2 + cy + d = 0，因此第一项为 0，可以消去。

4. 对剩下的表达式控制进行整理，得到3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。

5. 接下来，我们需要选择α 的值，使得3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0 中的二次项系数为 0。

令3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) = 0，消去α，并整理表达式，得到ay^2 + (2aα + b)y + α(ay + b) + c = 0。

6.根据二次项系数为0的条件，2aα+b=0，解得α=-b/(2a)。

7. 将α 的值代入到原一元三次方程中，得到a(y+α)^3 +b(y+α)^2 + c(y+α) + d = 0，展开并整理表达式，得到 a y^3 + (3αa + c)y^2 + (3α^2a + 2αc + d)y + (α^3a + α^2c + αd) = 0。

一元三次韦达定理求根
一元三次方程的一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$，其中$a$、$b$、$c$、$d$为实数且$a\neq0$。

韦达定理的表述是：一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根$x_1$、$x_2$、$x_3$满足下列关系式：
$x_1+x_2+x_3=-b\div a$
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=c\div a$
$x_1x_2x_3=-d\div a$
这个定理的证明可以通过对一元三次方程进行配方得到。

具体来说，我们可以将原方程写成$(a\times x^2+b)\times x+ (c\times x+d)=0$的形式，然后将左侧进行配方，得到一个二次方程和一个一次方程的乘积。

然后根据二次方程的求根公式，我们可以求出这个二次方程的两个根，再进一步求得一元三次方程的三个根。

韦达定理的应用非常广泛，特别是在工程和科学领域中。

例如，在控制系统中，我们常常需要求解一些复杂的方程组，韦达定理可以帮助我们简化这个过程，从而提高计算的效率。

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

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