八年级上数学培优练习（一）: 三角形（1）
1、△ABC 的内角为∠A ，∠B ，∠C ，且∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠A+∠C ，则∠
1、∠
2、∠3中( )
A ．至少有一个锐角 ；
B ．一定都是钝角；
C ．至少有两个钝角；
D ．可以有两个直角；
2、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=130°，将它
向右平移到△DEF 的位置，使AB=BE ，若BD 和AF 相交于点M ，则∠BMF 等于( ) A ．130° B ．142.5° C ．150° D ．
3.如上图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，
点E 是AD 中点，点F 是CD 上一点，若8=∆ABE S ， 3=∆DEF S ，则___________=∆BEF S 4.△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点N 和M
(N 比M 更靠近B)，使得NM=AM 且∠MAC=∠BAN ，则∠CAN=( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
5.周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( )
A ．23P m P <≤
B ．23P m P <<
C ．23P m P ≤<
D ．2
3P m P ≤≤
6．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
7．等腰三角形的周长为24cm ，腰长为xcm ，则x 的取值范围是________．
8．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( )
A ．143< B ．131< C ． 1 D ．12 1< A ．14个 B ．28个 C ．21个 D ．49个 10．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．直角或钝角三角形 11.如下图，在△ABC 中，BC>AC ，∠A=60°，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若PC 平分∠B ACB，PD平分∠ADE，则∠DPC=___________ 12.如上图，在直角三角形ABC的两直角边AC、BC上分别作正方形ACDE和CBFG，连接DG，连接AF交BC于W，连接GW。若AC=14，BC=28。则△AGW的面积为______；13、如图19，D、E分别是边AC的两个四等分点，试在△ABC内找一点O，分别在边AB、BC上找一点F、G，使得OD、OE、OF、OG把△ABC分成面积相等的四部分。 14．如图5—25，豫东有四个村庄A、B、C、D．现在要建造一个水塔P．请回答水塔P应建在何位置， 才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和理由． 15．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A， 求∠A的度数． 16.如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小． (“希 望杯”邀请赛试题) 17.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长． (美国数学邀请赛试题) 18.现有长为150cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于l㎝的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段． (第17届江苏省竞赛题) ． 八年级上数学培优练习（二）:三角形（2） 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是．(2003年河南省竞赛题) 2．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围是． 3．如图，在△ABC中，两条角平分线CD、BE相交于点F，∠A＝60°，则∠DFE＝度． 4．如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，则∠DCE＝． (用α、β表示)． (山东省竞赛题) 5．以1995的质因数为边长的三角形共有( ) A．4个 B．7个 C．13个 D．60个 6．△ABC的内角A、B、C满足3A>5B，3C≤2B，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形， 如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为( ) A．360° B．900° C．1260° D．1440° (重庆市竞赛题) 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角平分线交于E 点，连结AE，则∠AEB是( ) A．50° B．45° C．40° D．35° (山东省竞赛题) 9．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°． 10.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形 共有个． 11．三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围． 12．已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b 是最大边，则b的取值范围是．13．如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED， 若∠B＝70°，∠D=40°，则∠F的大小是． 14．如图，已知射线ox与射线oy互相垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，∠ABx、∠BAy 的平分线交于C．问：B、A在ox、oy上运动过程中，∠C的度数是否改变?若不改变，求出其值；若改变，说明理由． 15．将长度为2n(n为自然数，且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a，b， c)为三边的长，且满足a≤b≤c的一个三角形． (1)就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的(a，b，c)； (2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n(n为自然数且n≥4)时，对应(a，b， c)的个数一定是n－3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出n＝12时的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数； (3)试将n=12时所有满足题意的(a，b，c)，按照至少两种不同的标准进行分类． (河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题) 八年级上数学培优练习（三）：全等三角形（1）1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高，且AB= A′B′，AD＝A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条 件) ． (黑龙江省中考题) 2．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个论断：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出) ． (海南省中考题) ． 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形． 4．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，则∠DOE的度数是． 5．如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③连OE，则OE平分∠O，正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于( ) A．DC B． BC C．AB D．AE+AC (2003年武汉市选拔赛试题) 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( ) A．5对 B．6对 C． 7对 D．8对 8．如图，把△A BC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数． (贵州省中考题) 9．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下4个论断：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3个论断为题设，填人下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填人下面的“求证”栏中，使之组成 一个真命题，并写出证明过程．(荆州市中考题) 已知： 求证： 10已知：如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE=900，试以图中标 有字母的点为端点，连结两条线段，如果你所连结的两条线段满足相等、 垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明． 11.若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．( “五羊杯”竞赛题改编题) 12．(1)已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB= A ′B ′，BC= B ′C ′，∠BAC ＝∠B ′A ′C ′=100°， 求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)上问中，若将条件改为AB ＝A ′B ′，BC= B ′C ′，∠BAC ＝∠∠B ′A ′C ′=70°， 结论是否成立?为什么? 13.如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上， BP ＝A C ，点Q 在CE 上，CQ=AB 求证：(1)AP=AQ ；(2)AP ⊥AQ ． 14．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ．(武汉市选拔赛试题) 八年级上数学培优练习（四）：全 等三角形（2） 1.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 （ ） A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等 2．如图14.△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ， AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 3．在ABC ∆中，BC AC =，且︒=∠90ACB ，点D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交 O E A B D C BD 的延长线于点E ，且BD AE 2 1=，则_________=∠ABD . 4.在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝4，则边AB 的取值范围是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 5、如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：①∠1=∠2； ②BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD=DN ，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上)． (广州市中考题) 6.如图，已知四边形纸片ABCD 中，AD ∥ BC ，将∠ABC 、∠DAB 分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC 上一点E ，你能获得哪些结论? 7如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（ ） A ．60 B ．50 C ．45 D ．30 8已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【 】(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β (B)两个角是β，它们的夹边为4 (C)三条边长分别是4，5，5 (D)两条边长是5，一个角是β 9. 附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的 各点位置，判断△ACD 与下列哪一个三角形全等？（ ） A ．△ACF B ．△ADE C ．△ABC D ．△ BCF 10．如图，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交B C 延长线于M ，求证：∠M= 2 1（∠ACB －∠B ）(天津市竞赛 11．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝ ． 12．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝36°，那么∠BED ．(河南省竞赛题) 13．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交A C 于点E ，给出3个论断：①DE=FE ；②AE ＝CE ；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是 ．(武汉市选拔赛试题) 14．如图，AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4， AD=4，BC=2，那么AB= ． 15．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB=c ，AC=b ，则（m+n ）与(b+c)大小关系是( ) A ．m+n> b+c B ． m+n C ．m+n= b+c D ．不能确定 16．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB>AD ，下列结论中正确的是( ) A ．A B －AD>CB －CD B ．AB －AD ＝CB —CD C ．AB —AD D D ．AB －AD 与CB —CD 的大小关系不确定． (江苏省竞赛题) 17．考查下列命题( ) (1) 全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； (2) 两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等； (3) 两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等； (4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE= 2 1(AB+AD)。 求∠ABC+∠ADC 的度数． (上海市竞赛题) 19．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论． 20．如图，已知AB=CD=AE ＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC 的面积．(江苏省竞赛题) 八年级上数学培优练习（五）：三角形与全等三角形（1） 1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm 、宽为12cm. 对角线为20cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 ㎝，周长最小的 是 cm ．(选6《荚国中小学数学课程标准》) 2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如图，ABCD 是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，则线段AD 的取值范围是 4．凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( ) A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7 ( “希望杯”邀请赛试题) 5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( ) A ．9条 B ．8条 C ．7条 D ． 6条 6.△ABC 和△A’B’C’中,①AB=A ’B ’②BC=B ’C ’③AC=A ’C ’④ ∠A=∠A’,⑤∠B=∠B’ ⑥ ∠C=∠C ’ 则不能证出△ABC ≌△A’B’C’的条件是( ) A 、①②③ B 、①②⑤ C 、①②④ D 、②⑤⑥ 7.如图，在.面直角坐标系中，已知点A （4-，0），B （0，3），对AOB ∆连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是_______________，第（2013）个三角形的直角顶点坐标是____________________ 8如图△ABC 中已知D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC ＝2Mcm ，则S 阴影的值为： （ ） A 、2Mcm 61 B 、2Mcm 51 C 、2Mcm 41 D 、2Mcm 3 1 10.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ，∠ABC=90°，∠BCD ＝150°，求∠BAD 的度数． (北京市竞赛题) 11.如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C ，∠A DE =∠AED ， ︒=∠60BAD ，求∠EDC 的度数； 12.用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．(大原市竞赛题) 13.如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2）若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范 围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 14(1)如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m , CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .证明:DE =BD +CE . (2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =a ,其中a 为任意锐角或钝角.请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. (3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ,若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状. 八年级上数学培优练习（六）：三角形与全等三角形（1） E D C B A （第14题图） A B C E D m （图1） （图2） （图3） m A B C D E 1．如图8-1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ， 且∠B = 30°，∠C = 100°，如图8-2.则下列说法正确的是( ) A ．点M 在A B 上 B ．点M 在B C 的中点处 C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远 D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远 2 D ． 45° 第2题 第3题 第4题 第5题 3如图，△ABC 中，∠ACB=90°，沿CD 折叠△CBD，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A=22°，则∠BDC 等于（ ） ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一5.如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且BD=BE ，CD=CF ，∠A =70°， 那么∠FDE 等于（ ） A ．55° B．45° C．45° D．35° 6.有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖( ) A ．216块 B ．288块 C ．384块 D ．512块( “希望杯”邀请赛试题) 7，在一个n 边形中，除了一个内角外，其余(n 一1)个内角的和为2750°，则这个内角的度数为( ) A ．130° D ．140° C ．105° D ．120° 8.在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是 ． 9.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 (全国初中数学竞赛题) 10./如图，在△ABC 中，D AC AB ,=点在AB 上，AC DE ⊥于E ,BC EF ⊥于F .若︒=∠140BDE ， 则DEF ∠等于（ ）. A.55° B.60° C.65° D.70° 11．如图，凸四边形有 个；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．(重庆市竞赛题) 12．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到5个角，∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5， 它们的和等于 ；若延长凸n 边形(n ≥5)的各边相交，则得到的n 个角的和等于 ．( “希望 （第10题） 杯”邀请赛试题) 13.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?(2003年河南省竞赛题) 14.在△ABC中，已知∠A=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是直线 BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数 15.如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面积； （3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3 表示正方形ABCD的面积S． 16，如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB 于点F（1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△ A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条 件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样 的数量关系？请证明你的结论． 八年级上数学培优练习（七）：轴对称 1.下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由． 答：图形 ；理由是： ． (吉林省中考题) 2.如图，△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折， 使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于 点E ，连接AD ，若AE =4cm ，则△ABD 的周长是（ ） A ．22cm B ． 20 cm C ．18cm D ．15c 2(B'1( A'G H F E D C B A 3.如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ， 若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为（ ） A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 4.如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A 、B 落在六边形ABCDEF 的内面，则下列结论一定正确的是（ ） A. ∠1+∠2=900°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) B. ∠1+∠2=1080°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) C.∠1+∠2=720°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) D. ∠1+∠2=360°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) 5.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为 度． 6..附图（①）为一张三角形ABC 纸片，P 点在BC 上．今将A 折至P 时，出现折线BD ，其中D 点在AC 上，如图（②）所示．若△ABC 的面积为80，△DBC 的面积为50，则BP 与PC 的长度比为何？（ ） A ．3：2 B ．5：3 C ．8：5 D ．13：8 7..如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，AC=5,点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当△'CEB 为直角三角形时，BE 的长为 (第8题图) （ 第9题图） 8.如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合．已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ） B C A D E 9.如图，△ABC 中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O 为△AB C 中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO 的长是 ．( “希望杯”邀请赛试题) 10.如图，直线a 与直线b 相交。∠1=60°，点P 在∠1内（不在直线a 、b 上）。小明用下面的方法作点P 关于的对称点：先以a 为对称轴作点P 关于a 的对称点，再以b 为对称轴作点1p 关于b 的对称点2p ,然后再以a 为对称轴作点2p 关于a 的对称点3p ，以b 为对称轴作点3p 关于b 的对称点4p ，。。。。，若n p 与P 重合,则n 的最小值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 .P n m )1 D C B A 11.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝46°,D 是边BC 上的一点，DC=AB, ∠DAB ＝21°.试确定∠CAD 的度数 12.如图，凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞ OC ，OB ＞~OD ，比较BC+AD 与AB+CD 的大小。(“祖冲之杯”邀请赛试题) 13．如图l 已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C)，点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ． 求证：∠EAF=∠ABD ； 八年级上数学培优练习（八）：等腰三角形的性质 1． 如图1.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= ． F E C B A E D C A B 图1 图2 图3 2．如图2，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝AE ，BC ＝BF ，则∠ECF ＝( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．不确定 3．如图5，O 为等边三角形ABC 内一点，BD ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED 的度数是 ． 4．如图4，AA ′、BB ′分别是∠EAO 、∠DBC 的平分线，若AA ′=BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为 ． B' C D B A A' E G F E D C B A D C B A 图4 图5 图6 5.如图5，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD ＝DC ，则∠C 的大小是( ) ． A ．20° B ．25° C ．30° D ．45° 6.如图6，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) （“学习报）公开赛试题） A ．∠AED>∠AGF B ．∠AED ＝∠AGF C ．∠AED<∠AGF D ．不能确定 7.如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根． (山东省聊城市中考题) A E F D C B 8.如图，在△ABC 中，已知∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 上一点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，问： 当点D 满足什么条件时，∠ADB ＝∠CDF ，请说明理由．(安徽省竞赛题改编题) 9.周长为100，边长为整数的等腰三角形共有 种．( “华杯赛”试题) E D P C B A 10.如图，若AB=AC ，BG ＝BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ ) A ．30° D ．32° C 36° D ．40°(武汉市选拔赛试题) 11．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．(河南省中考题) F B C A E D 12.如图，在△ABC 中，已知∠C ＝60°，AC>BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC (1)证明：△C ′BD ≌△B ′DC ；(2)证明：△AC ′D ≌△DB ′A ； (3)对△ABC 、△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′，从面积大小关系上，你能得出什么结论? (江苏省竞赛题) 13．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求厶ABC 各内角的度数．(广州市中考题) 14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，O 为△ABC 内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO 的度数． (天津市竞赛题) O A C B E M G D C F A B 15.如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD=AE ，AF ⊥BE 交BC 于点F ，过F 作FG ⊥CD 交BE 延长线 于G ，求证：BG=AF+FG ． (重庆市竞赛题) 八年级上数学培优练习（九）：等腰三角形的判定 1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O点．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，则△GMO周长+△ENO的周长－△FHO的周长． 2．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有个． 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠D：∠C的值= ．（“五羊杯”竞赛题） 4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个 1∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= 2 你认为正确结论的序号都填上) (2002午天津市中考题) 5．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于( ) A．58° B．32° C．36° D．34° 6．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，则AC与2AB之间的关系是( ) A．AC>2AB B．AC＝2AB C．AC≤2AB D．AC<2AB (山东省竞赛题) 7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A．30° B．30°或150°C． 120°或150°D．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛试题) 8．在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( ) A．只有一个且为等腰三角形 B．至少有两个且都为等腰三角形 C．只有一个但不是等腰三角形 D．至少有两个，其中有非等腰三角形 9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点． (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系． (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论． (广东省中考题) 10．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ． 11．如图，已知等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD=AE ，作等边三角形PCD ，QAE 和RAB ，求证：P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点． 12．在△ABC 中，AB=AC ，高线AD= 2 1 BC ，AE 为∠BAC 的平分线，则∠CAD 的度数为 (北京市竞赛题) 13．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，则∠A= ． 14．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ， CD 的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC= ，∠ADC= ． (天津市竞赛题) 15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度． (江苏省竞赛题) 16．在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( ) A ．1个 B ．4个 C ．7个 D ．10个 17．如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=21DC=2 1 DE ，则∠D ＝（ ） A ．30° B ．450° C ． 60° D ．67．5° 18．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( ) A ．PA+PB+PC 19．如图，在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、 ∠AB C 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．(2002年全国初中数学竞赛矗) 20，如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一2 1 ∠BDC ，求证：AC=BD+DC 。(天津市竞赛题) 八年级上数学培优练习（九）：等腰三角形综合 1. 如图，已知在ABC ∆中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，且 AB OM //，AC ON //，若6=CB ，则OMN ∆的周长是（ ） A 、3 B 、6 C 、9 D 、12 2.如图，D 为等边三角形ABC 内一点，AD=BD ，BP=AB ，∠DBP=∠DBC ，则∠BPD=___________． 3、如图，△ABC 是等腰直角三角形，△DEF 是一个含300角的直角三角形，将D 放在BC 的中点上，转动 △DEF ，设DE ，DF 分别交AC ，BA 的延长线于E ，G ，则下列结论：①AG =CE ②DG =DE ③BG -AC =CE ④S △BDG -S △CDE = 1 2 S △ABC 其中总是成立的是 （填序号） 4.如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC 或AC 上取一点P ， 使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 (江苏省竞赛题) 5、以下各命题中，正确的命题是（ ） （1）等腰三角形的一边长4 cm ，一边长9 cm ，则它的周长为17 cm 或22 cm ； （2）三角形的一个外角，等于两个内角的和； （3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等； （4）等边三角形是轴对称图形； （5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. （A ）（1）（2）（3） （B ）（4）（5） （C ）（2）（4）（5） （D ）（1）（3）（5） 6.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，求证：AB 十BD ＝CD ．(天津市竞赛题) 7. 如图，在五边形ABCDE 中，∠B ＝∠E ，∠C=∠D ，BC=DE ，M 为CD 中点， 求证：AM ⊥CD ． (武汉市选拔赛试题) 8．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB ＝AC ，D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°， 求证：BD ＝BA ． O A B 第2题 A F E D B C G 第3题 八年级数学培优题精选18例（含答案） 例题1、如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B' 处，点A 对应点为A' ，且B'C = 3 ，则AM 的长是（B） A、1.5 B、2 C、2.25 D、2.5 例题2、如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点A 出发，经过三个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短，则AC 的长度是多少？ 答案：AC =2√10 / 3。 例题3、如图所示，是由8 个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是25 ，最小正方形的面积为1 ，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a^2 - b^2 是多少？ 答案：a^2 - b^2 = 5 。 例题4、如图，一辆小汽车在一条城市街路上沿东西方向行驶，某一时刻刚好行驶到距车速检测仪A 点距离为40 米的C （位于A 点北偏东30°处）处，过了3 秒钟，到达B 点，（位于A 点北偏西45°）此时小汽车距车速检测仪间的距离为60 米，若规定小汽车在城街路上行驶的速度不得超过25 米/秒，请问这辆汽车是否超速？ 解：过点A 作AD⊥BC 于点D ，由题意知：∠DBA = 45°， ∴BD = AD ， ∵AB = 60 米， ∴BD = √（AB^2 - AD^2）= 30√2 米， 由题意知：∠DAC = 30°，AC = 40 米， ∴DC = 1/2 AC = 20 米， ∴BC = BD + CD = （30√2 + 20）米， ∴v = （30√2 + 20）÷3 ≈24 米/秒< 25="" 米/秒=""> ∴这辆汽车不超速。 例题5、实数a 在数轴上的位置如图所示，则 《全等三角形》培优专题训练 1 全等三角形的概念 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边. 全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题 如图所示， ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长. 解题策略 在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以 1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以 ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以 2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛 1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边 相等、对应角相等的结论. 2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求 线段长的一种常用的转化方法. 举一反三 1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对 应角是 . 2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系. 3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF 平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由. 融会贯通 4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 . 2 三角形全等的判定 判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题 已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆. 人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题 1、如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作 DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF． 2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α ＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）； （2）当△BB1D是等腰三角形时，求α． 3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结 DE． （1）求证：点E到DA，DC的距离相等； （2）求∠DEB的度数． 4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D， BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明． 5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概 八年级上数学培优练习（一）: 三角形（1） 1、△ABC 的内角为∠A ，∠B ，∠C ，且∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠A+∠C ，则∠ 1、∠ 2、∠3中( ) A ．至少有一个锐角 ； B ．一定都是钝角； C ．至少有两个钝角； D ．可以有两个直角； 2、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=130°，将它 向右平移到△DEF 的位置，使AB=BE ，若BD 和AF 相交于点M ，则∠BMF 等于( ) A ．130° B ．142.5° C ．150° D ． 3.如上图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ， 点E 是AD 中点，点F 是CD 上一点，若8=∆ABE S ， 3=∆DEF S ，则___________=∆BEF S 4.△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点N 和M (N 比M 更靠近B)，使得NM=AM 且∠MAC=∠BAN ，则∠CAN=( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 5.周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( ) A ．23P m P <≤ B ．23P m P << C ．23P m P ≤< D ．2 3P m P ≤≤ 6．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 7．等腰三角形的周长为24cm ，腰长为xcm ，则x 的取值范围是________． 8．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( ) A ．143< 环球优学八年级(上)典型题 一.选择题(共10小题) 1.(2013?铁岭)如图,在△ABC与△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件就是() A. BC=EC,∠B=∠E B. BC=EC,AC=DC C. BC=DC,∠A=∠D D. ∠B=∠E,∠A=∠D 2.(2011?恩施州)如图,AD就是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG与△AED的面积分别为 50与39,则△EDF的面积为() A. 11 B. 5、5 C. 7 D. 3、5 3.(2013?贺州)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=8cm,F就是高AD与BE的交点,则BF的长就是() A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm 4.(2010?海南)如图,a、b、c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形就是() A. B. C. D. 5.(2013?珠海)点(3,2)关于x轴的对称点为() A. (3,﹣2) B. (﹣3,2) C. (﹣3,﹣2) D. (2,﹣3) 6.(2013?十堰)如图,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.已知AC=5cm,△ADC的周长为17cm, 则BC的长为() A. 7cm B. 10cm C. 12cm D. 22cm 7.(2013?新疆)等腰三角形的两边长分别为3与6,则这个等腰三角形的周长为() A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18 8.(2013?烟台)下列各运算中,正确的就是() A. 3a+2a=5a2 B. (﹣3a3)2=9a6 C. a4÷a2=a3 D. (a+2)2=a2+4 9.(2012?西宁)下列分解因式正确的就是() A. 3x2﹣6x=x(3x﹣6) B. ﹣a2+b2=(b+a)(b﹣a) C. 4x2﹣y2=(4x+y)(4x﹣y) D. 4x2﹣2xy+y2=(2x﹣y)2 10.(2013?恩施州)把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的就是() A. y(x2﹣2xy+y2) B. x2y﹣y2(2x﹣y) C. y(x﹣y)2 D. y(x+y)2 二.填空题(共10小题) 11.(2013?资阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D就是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P就是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值就是_________. 12.(2013?黔西南州)如图,已知△ABC就是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠ E=_________度. 13.(2013?枣庄)若,,则a+b的值为_________. 14.(2013?内江)若m2﹣n2=6,且m﹣n=2,则m+n=_________. 15.(2013?菏泽)分解因式:3a2﹣12ab+12b2=_________. 16.(2013?盐城)使分式的值为零的条件就是x=_________. 17.(2013?南京)使式子1+有意义的x的取值范围就是_________. 18.(2012?茂名)若分式的值为0,则a的值就是_________. 19.在下列几个均不为零的式子,x2﹣4,x2﹣2x,x2﹣4x+4,x2+2x,x2+4x+4中任选两个都可以组成分式,请您选择一 个不就是最简分式的分式进行化简:_________. 八年级上数学培优练习（一）: 三角形（1） 1、△ABC 的内角为∠A ，∠B ，∠C ，且∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠A+∠C ，则∠ 1、∠ 2、∠3中( ) A ．至少有一个锐角 ； B ．一定都是钝角； C ．至少有两个钝角； D ．可以有两个直角； 2、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=130°，将它 向右平移到△DEF 的位置，使AB=BE ，若BD 和AF 相交于点M ，则∠BMF 等于( ) A ．130° B ．142.5° C ．150° D ．1553.如上图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ， 点E 是AD 中点，点F 是CD 上一点，若8=?ABE S ， 3=?DEF S ，则___________=?BEF S 4.△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点N 和M (N 比M 更靠近B)，使得NM=AM 且∠MAC=∠BAN ，则∠CAN=( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 5.周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( ) A ．23P m P <≤ B ．23P m P << C ．23P m P ≤< D ．2 3P m P ≤≤ 6．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( ) A ．5 个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 7．等腰三角形的周长为24cm ，腰长为xcm ，则x 的取值范围是________． 8．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( ) A ．143< 人教版八年级数学上册第11章三角形培优专题训练 一、选择题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A．5cm，2cm，4cm B．5cm，2cm，2cm C．5cm，2cm，3cm D．5cm，12cm，6cm 2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的角平分线，若∠CAB＝45°， ∠CBA＝75°，则∠MCD的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（） A．B． C．D． 4．下列说法中正确的是（） A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边 5．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm 6．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线D．垂线段最短 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（） A．∠1+∠2＝90°B．∠3＝60°C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠4 8．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（） A．80°B．70°C．60°D．50° 9．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（） A．80°B．40°C．60°D．50° 10．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（） A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 11．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（）边形．A．6 B．7 C．8 D．9 12．如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（） 环球优学八年级（上）典型题 一．选择题（共10小题） 1．（2013?铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（） A．B C=EC，∠B=∠E B．B C=EC，AC=DC C．B C=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 2．（2011?恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7D．3.5 3．（2013?贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则 BF的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 4．（2010?海南）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三 角形是（） A． B．C．D． 5．（2013?珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（） A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3） 6．（2013?十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm， △ADC的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm A．12 B．15 C．12或15 D．18 A．3a+2a=5a2B．（﹣3a3）2=9a6C．a4÷a2=a3D．（a+2）2=a2+4 A．3x2﹣6x=x（3x﹣6）B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a） C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2 223 A．y（x2﹣2xy+y2）B．x2y﹣y2（2x﹣y）C．y（x﹣y）2D．y（x+y）2 二．填空题（共10小题） 11．（2013?资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1， 将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点， 则△PEB的周长的最小值是_________． 人教版八年级数学上册期末培优练习 手拉手模型和几何动点问题 手拉手模型 1．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，图中AE、BD有怎样的关系（数量关系和位置关系）？并证明你的结论． 2．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．试猜想CE、BF的关系，并说明理由． 3．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求证： （1）EC＝BF； （2）EC⊥BF． 4．如图1，AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝α． （1）证明：BD＝CE； （2）如图2，BD、AC交于点F，BD、CE交于点P，若α＝90°，求∠APB的度数． 5．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC， （1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接AM，求证：MA平分∠EMF． 6．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N． （1）求证：AE＝CD； （2）求证：AE⊥CD； （3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）． 几何动点问题 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？ 8．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，∠B＝∠C，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请 说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此 时点Q的运动速度与运动时间t． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 全等三角形经典习题汇集 第一讲全等三角形的性质及判定 【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =． 【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥． 【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证： OA OD =． 【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠． 【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求 证：FC AD =． F E D C B A 【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证： F E D C B A D C B A F E O D C B A O D C B A AC BD ∥． O F E D C B A 【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =． F E C B A 【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE += E D C B A 【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =． 【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A F D C B A 新人教版八年数学上册期末专题复习资料 以等腰三角形为桥梁的几何题例析 新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，其中以等腰三角形为桥梁的题所占比 例较大，在期末统考试题中高频出现，也是中考的热点题型；等腰三角形含特殊等腰三角形等 边三角形和等腰直角三角形的“等对等关系” 和“三线合一”是桥梁作用的支撑. 题目一. 平分角添加“垂直”，“平行”元素构成等腰三角形的举例. 例1. 如图，⊿ABC 中，过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D , 交AB 于点E .=BC 7 ⑴.若∠=346，∠ =B 39;求∠BCE 的度数； ⑵.若==AB 12,AC 10；求BE 的长. 分析： 对于⑴问利用12∠=∠和∠+∠=1490，∠+∠ =2390可 以得到：∠=∠43 ；因为∠=∠+∠4B BCE ,结合∠=346，∠=B 39 可以求出∠=-=BCE 46397. ⑵问结合⑴问∠=∠43可以得出=AE AC ,所以=-=-=-=BE AB AE AB AE 12102. 例2.已知⊿ABC 中，∠=ACB 90，⊥CD AB 于点D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于点F ， ⊥EG AB 于点G .求证:=EG CF ． 分析： 由AE 平分∠BAC ，∠=ACB 90，⊥EG AB 可以得出： =CE GE ；根据直角三角形的锐角互余和对顶角相等可以 得到∠+∠=CEA CAE 90, ∠+∠=CFE DAF 90,而AE 平分∠BAC 可以得到：∠=∠CAE DAE ,所以∠=∠CFE CEF ,所以=CE CF ；综上可证：=EG CF . 点评： 例1、例2都是在平分线的基础上添加“垂直”条件，利用互余关系和平分角来得到同一个三角形的两角相等，从而得到等腰三角形为桥梁解决问题. 例3.如图，在⊿ABC 中,∠=∠ABC 2C ,BD 平分∠ABC 交 AC 于点D ,⊥AE BC 于点E ;求证：=AC 2BE . 解析： 过点A 作AF ∥BC 交BD 的延长线于点F . ∴∠=∠1F ，∠=∠2C ∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D 本题有3个等腰三角形，其中通过作平行线构建出的等腰⊿ABF 是关键的一环；当然本题方法不止一种.特别注意当有平行线和角平分线结合，往往要通过其中构建出的等腰三角形为桥梁解决问题. 追踪练习： 1. 如图，在△ABC ，B C ∠∠、的平分线交于点P ,过点P 作DE ∥BC ,别交AB AC 、于点D E 、两点，已知,,AB a AC b BC 10===,则△ADE 的周长为 （ ） A. 10 B. 2a 2b + C.a b + D.a b 10++ 2. 如图，⊿ABC 中，过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D . 求证：∠>∠1C 3.在四边形ABCD 中，AB ∥CD BD AD ⊥,BD 平分ABC ∠,,=∠=BC AD C 120, CD 2cm =；求AB 的长? M . 138,则MAB ∠ A 八年级上册数学期末复习训练卷（培优题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下面图形中，为轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（） A．x≠0B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠±3 3．（3分）下列计算正确的是（） A．a3a2＝a6B．a5+a5＝a10 C．（﹣3a3）2＝6a2D．（a3）2a＝a7 4．（3分）如果长方形的长是3a，宽是2a﹣b，则长方形的周长是（）A．5a﹣b B．8a﹣2b C．10a﹣b D．10a﹣2b 5．（3分）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的一个底角的大小是（）A．65°B．40°C．50°D．80° 6．（3分）已知9x2+kxy+y2是一个完全平方式，则k的值是（） A．6B．±6C．3D．±3 7．（3分）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中∠1+∠2的度数是（） A．75°B．80°C．90°D．105° 8．（3分）已知关于x的方程＝a有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（） A．a＞0B．a＞4C．2＜a＜4D．0＜a＜4 9．（3分）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰直角三角形 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E，F 分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△ADE≌△CDF；④BE+CF＝AE+AF，其中正确的是（） A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若点M（﹣1，b）和点N（2a+b，2）关于y轴对称，则a2021b2022＝．12．（3分）如果x+＝3，则的值等于． 13．（3分）等腰三角形的一边长为4cm，周长为14cm，则该三角形的底边长为．14．（3分）如图，五边形ABCDE中，∠BCD＝∠BAE＝90°，BC＝CD，AB＝2，AE＝4，连AC，∠MAC＝45°，交DE于M点．若DE＝3，则DM＝． 15．（3分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，取AB边的中点F，连接CF、CE，CF分别于AD、DE交于点P、Q．有以下结论：①∠CAE＝30°；②AC垂直平分DE；③四边形AFCE是矩形；④点P、Q是线段CF的三等分点．其中正确的结论是．（在横线上写出正确结论的序号） 16．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段P A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是． －2x 3．若a，b，c为整数，且|a－b|20 ＋|c－a|＝1，则|c－a|＋|a－b|＋|b－c|的值是____． D.或 分类讨论 【思维入门】 x x－2a－2x 1．已知关于x的方程x－2＋ x ＝x2恰好有一个实根，则实数a的值的个数 () A．1B．2C．3D．4 2．如图10－29－1，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 () A．8或23 C．10或23图10－29－1 B．10或4＋23 D．8或4＋23 11 4．设A＝x2＋y2＋2x－2y＋2，B＝x2－5x＋5，x，y为正整数．若B A＝1，则x的所有可以取到的值为____． 【思维拓展】 △5．在等腰ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP＝AB.则点P到BC所在直线的距离是() A．1B．1或－1＋3 2 C．1或1＋3 2 －1＋31＋3 22 6．设四位数abcd满足a3＋b3＋c3＋d3＋1＝10c＋d，则这样的四位数的个数为____．7．已知关于x的方程(m2－1)x2－3(3m－1)x＋18＝0有两个正整数根(m是整数△)．ABC 的三边a，b，c满足c＝23，m2＋a2m－8a＝0，m2＋b2m－8b＝0. 求：(1)m的值； (2)△ABC的面积． 8．如图10－29－2，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q 从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q 也停止运动．连结BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连结PE.设点P运动的时间为t(s)． 图10－29－2 (1)∠PBD的度数为____，点D的坐标为____(用t表示)； (2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？ (3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这 个定值． 【思维升华】 9．四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连结P A，PB，PC，PD. 请解答下列问题： (1)如图10－29－3①，当点P在线段BC的垂直平分线MN上(对角线AC与BD的交 点Q除外△)时，证明P AC≌△PDB； (2)如图10－29－3②，当点P在矩形ABCD内部时，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2； (3)若矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(1，1)，点D的坐标为(5， 3)，如图10－29－△3③所示，设PBC的面积为△y，P AD的面积为x，求y与x之间 的函数关系式． G F E D B A C 八年级上测几何题专题培优训练 1.如图1，A 、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的正方向运动，点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴正方向移动。（1）若52-+n m +n m -2=0，试分别求出1秒后，A 、B 两点的坐标；（2）如图②，设∠4的邻补角和∠3的邻补角的平分线相交于点P 。试问：在点A 、B 运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。 2. 如图，∠ECF ＝900 ,线段AB 的端点分别在 CE 和CF 上，BD 平分∠CBA ，并与 ∠CBA 的外角平分线AG 所在的直线交于一点D ， （1）∠D 与∠C 有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小） （2）点A 在射线CE 上运动，（不与点C 重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？ 说说你的理由。 3.已知：∠AOB =90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．PC 和PD 有怎样的数量关系，证明你的结论． 4.如图，在R t △ABC 中，∠ACB=450 ，∠BAC=900 ，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE. M B P C 5.如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。 求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。 6.如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF . （2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由. G H F E D C B A F E D C B A G 一、选择题 1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ） A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°C 解析：C 【分析】 利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题． 【详解】 ∵∠ACB ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°， ∵△CDB′是由△CDB 翻折得到， ∴∠CB′D ＝∠B ， ∵∠CB′D ＝∠A ＋∠ADB′＝∠A ＋20°， ∴∠A ＋∠A ＋20°＝90°， 解得∠A ＝35°． 故选：C ． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ） A ．12 B ．10 C ．9 D ．6D 解析：D 【分析】 要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【详解】 图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【点睛】 此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 3．下列每组数分别三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3,4,8cm cm cm B ．7,8,15cm cm cm C ．12,13,22cm cm cm D ．10,10,20cm cm cm C 解析：C 【分析】 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边计算判断即可. 【详解】 ∵3+4＜8， ∴A 选项错误； ∵7+8=15， ∴B 选项错误； ∵12+13＞22， ∴C 选项正确； ∵10+10=20， ∴D 选项错误； 故选C. 【点睛】 本题考查了三角形的存在性，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题的关键. 4．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4A 环球优学八年级（上）典型题 一•选择题（共10小题） 1. （2013?铁岭）如图，在△ ABC和厶DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ ABC DEC，不能添加的一组条件是（） D A . BC=EC，/ B= / E B . BC=E C , AC=DC C. BC=DC，/ A= /D 2. （2011?恩施州）如图，AD是厶ABC的角平分线，DF丄AB ,垂足为F, DE=DG , △ ADG 和厶AED的面积分别为50和39,则厶EDF的面积为（） A . 11 B. 5.5 |C. 7 |D . 3.5 3. （2013?贺州）如图，在△ ABC中，/ ABC=45 ° AC=8cm , F是高AD和BE的交点，则 BF的长是（） A . 4cm B. 6cm C. 8cm D . 9cm 4. （2010?海南）如图，a、b、c分别表示厶ABC的三边长，则下面与△ ABC 一定全等的三 6. （2013?十堰）如图，将厶ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC=5cm , △ ADC的周长为17cm，贝U BC的长为（） 9. （2012?西宁）下列分解因式正确的是（） 2 A . 3x - 6x=x (3x - 6) B . 2 2 -a +b = (b+a) ( b- a) 2 2 C. 4x - y = ( 4x+y) (4x - y) D . 2 2 2 4x - 2xy+y = (2x - y) 2 2 3 10. （2013?恩施州）把x y - 2y x+y分解因式正确的是（) A . y (x2- 2xy+y 2) B. x2y —y2(2x - y) C . y (x - y) 2 D . y ( x+y) 2 二 .填空题（共10小题） 11. （2013?资阳）如图，在Rt△ ABC 中，/ C=90° / B=60 ° 点D 是BC 边上的点，CD=1 , 将厶ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则厶PEB的周长的最小值是. c. 5. （2013?珠海）点（3, 2）关于x轴的对称点为（ (3, - 2) (—3, 2) ) C. ( - 3,- 2) D . (2, - 3) B. 10cm C. 12cm D. 22cm 7. （2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ A . 12 B. 15 C. 12 或15 ) D . 18 & （ 2013?烟台）下列各运算中，正确的是（ A. 3a+2a=5a2 ) (-3a3) 2=9a6C. a4^a2=a3 ------------ 2 2 (a+2) =a +4 2019八上几何综合题 2019昌平八上 27. 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°. 过点A 作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点 为点D ，连接BD ，CD ，直线BD 交直线AP 于点E ． （1）依题意补全图27-1； （2）在图27-1中，若∠P AC =30°，求∠ABD 的度数； （3）若直线AP 旋转到如图27-2所示的位置，请用等式表示线段EB ，ED ，BC 之间的 27. 解：（1）补全图形如下图: （2）连接AD . 由轴对称的性质可得：∠PAD =∠PAC =30°，AD =AC . ……2分 ∵AB =AC , ∴AD =AB . ………………………3分 ∵∠BAC =90°, ∴∠BAD =150°. ∴∠ABE =15°. ……………………………4分 （3）补全图形，连接CE ，AD . 由轴对称的性质可得：CE =DE ，AD =AC ， ∠ACE =∠ADE . ……………5分 A B C P E D 图27-1 ……………1分 A B C P E D ∵AB =AC ， ∴AD =AB . ∴∠ADB =∠ABD . ∴∠ACE =∠ABD . ∵∠ABD +∠ABE =180°， ∴∠ACE +∠ABE =180°. 在四边形ABEC 中， ∵∠BAC +∠ABE +∠BEC +∠ACE =360°， 又∵∠BAC =90°， ∴ ∠ BEC =90°. ……………………………………………………………6分 ∴BE 2+CE 2=BC 2. ∴ EB 2+ED 2=BC 2. …………………………………………………………7分 2019朝阳八上 27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ． （1）如图1，点C 在线段AB 上． ①根据题意补全图1； ②求证：∠EAC =∠EDC ； （2）如图2，点C 在直线AB 的上方， 0°＜∠CAB ＜30°，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间 的数量关系，并证明． 27．解： （1）①补全图形如图所示． D P A B C E 图1 图2 2021年八年级数学上几何新定义题型专题训练 一．填空题（共1小题） 1．（2019•金昌）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝． 二．解答题（共17小题） 2．（2020秋•丹阳市期末）[定义] 如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”．[理解] （1）如图（1），在△ABC中，∠A＝33°，∠C＝81°，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数． （2）如图（2），已知△ABC是一个顶角为36°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数． [应用] （3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”． ①你认为直角三角形的就是它的“二分等腰线”； ②如图（3），在△ABC中，∠C＝90°，请你在图（3）中帮助小丽画出△ABC的“三分等腰线”（要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （4）在△ABC中，∠C＝33°，AD和DE分别是△ABC的“三分等腰线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请根据题意写出∠B度数的所有可能的值． 3．（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C ＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．八年级数学培优题精选18例
人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题(含答案)
八年级上数学几何培优试题分类
八年级数学上几何典型试题及答案
八年级上数学几何培优试题分类解析
人教版八年级数学上册第11章三角形培优专题训练(含答案)
(完整版)八年级数学上几何典型试题及答案
人教版八年级数学上册期末培优练习：手拉手模型和几何动点问题 含答案
八上全等三角形经典培优习题汇集-学而思
人教版八年级数学上册期末专题复习：以等腰三角形为桥梁的几何题例析(含解析、点评、跟踪训练)
八年级上册数学期末复习训练卷(培优题)
八年级数学竞赛培优 分类讨论 含解析
八上几何培优专题训练
【教师卷】初中数学八年级数学上册第十一章《三角形》经典题(培优)
八年级数学上几何典型试题及答案
2018-2019学年上期北京市各区期末考试八年级数学分类汇编 几何综合题
【精品】2021年八年级数学上几何新定义题型专题训练含答案与试题解析
相关主题
文本预览