相似基本图形-M型

相似（上篇）基本模型汇总【教学重难点】1、相似基本模型：①A 字、8字；②反A 、反8；③角分线；④旋转型；⑤一线三等角；⑥线束模型；⑦内接矩形；⑧相似比与面积比2、基本辅助线：①作平行线构造A 字、8字；②作垂线构造直角三角形相似；3、基本问题类型：①证明相似；②求线段长；③求线段比：CDAB ；④证明线段乘积式：cd ab =；bca =2【模块1基本相似模型】【模型1】①“A ”字&②“8”字1、“A ”字：△ABC ∽△ADE （1）对应相比：①下上下上=；②大小大小=（2）对应边比：BC DE AC AE AB AD ==2、“8”字：△ABC ∽△ADE（1）对应相比：①下上下上=；②大小大小=（2）对应边比：BC DE AC AE AB AD ==【点拨】横竖比例可转化，后面内接矩形模型、线束模型全是“A ”字模型的拓展.【模型2】①反“A ”字&②反“8”字1、反“A ”字：△ABC ∽△ADEⅠ）：DE 在内部（1）对应边比：BCDE AC AE AB AD ==（2）共线边乘积相等：ABAE AC AD ⋅=⋅Ⅱ）：DE 拉下来经过C ，又称之为母子型，为相似常考模型（1）对应边比：BCDE AC AE AB AD ==（2）公共边平方=共线边之积：ABAE AC ⋅=2☆拓展延伸：射影定理，即母子型相似公共边平方=共线边之积：求线段长屡试不爽⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅=CD BD AD BC BD AB BC CD AC 222Ⅲ）：DE 继续往下拉到AC 延长线上（1）对应边比：BC DE AC AE AB AD ==（2）共线边乘积相等：ABAE AC AD ⋅=⋅☆拓展延伸：特殊情况，燕尾！燕尾属于斜A 的特殊情况，结论相同且经常考到2、反“8”字：△ABC ∽△ADE（1）对应边比：BCDE AC AE AB AD ==（2）共线边乘积相等：ABAE AC AD ⋅=⋅☆拓展延伸：反“8”字，两组相似共存①△ABC ∽△ADE →△ACE ∽△ABD②最常使用：证明图示四组相等角【证明】∵△ABC ∽△ADE∴AEAC AD AB =（对应相比，别人自己比自己）∴AEAD AC AB =（交换顺序）又∵∠CAE =∠BAD∴△ACE ∽△ABD【模型3】角分线模型1、角分线定理：角分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（1）角分线定理：CD BD AC AB =（2）证明：作平行构造A 、8相似，平行于角分线或者平行于边.【点拨】作平行线转移共线边之比，角分线+平行线→等腰三角形【证明】（1）如图1，作MD ∥AC （构造“A ”字）则有DM BM AM BM DC BD ==，ACAB DM BM =（自己比自己）∴DCBDAC AB =（2）如图2，作CM ∥AD （构造“A ”字）则有AMAB DC BD =，AC AM =（角分线+平行线→等腰三角形）∴DCBDAC AB =【模型4】旋转型相似→“成对”出现1、如图1&2，△ABC ∽△ADE →△ABD ∽△ACE【证明】示例图1，图2类似∵△ABC ∽△ADE∴∠BAD +∠CAD =∠CAD +∠CAEAEAC AD AB =（对应相比，别人自己比自己）∴∠BAD =∠CAE ，AEAD AC AB =（交换顺序）∴△ABD ∽△ACE☆拓展延伸：对应顶点连线交点与三角形三个顶点必定四点共圆，有两组（待补充暂时不管）2、如图1&2，△ABC ∽△ADE （且△ABC 、△ADE 为等腰）→△ABD ≌△ACE【点拨】这是一种特殊情况，也是初一所学手拉手模型，即相似比为“1”△ABD 与△ACE 相似比=1=AC AB，故△ABD ≌△ACE【模型5】一线三等角相似1、一级形态：基本一线三等角，锐角&钝角，∠B =∠C =∠EDF →△BDE ∽△CFD【证明】∵∠B =∠EDF又∵∠EDC =∠B +∠BED∠EDC =∠EDF +∠FDC∴∠BED =∠FDC∴△BDE ∽△CFD（1）对应边：DFDECF BDCD BE ==（2）※CF BE CD BD ⨯=⨯.记作：横×横=竖×竖☆拓展延伸：若D 是BC 中点，则△BDE ∽△CFD ∽△EDF ，且DE 、DF 是角平分线【证明】示例，图3，锐角类似∵△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE=，BD =CD ∴DF DEBD BE=（自己比自己）∴DF BDDE BE=（交换后为对应边之比）∴△BDE ∽△EDF2、二级形态：三垂直模型→K 型相似☆基本结论1：△BDE ∽△CFD ，将图1相似三角形进行平移可得图2、图3相似☆基本结论2：矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：QT PQ MF DE =☆基本结论3：特别地，当矩形PQTR 为正方形时，DE =MF【模型6】内接矩形→高之比等于相似比（横比=竖比，横竖比例转化）1、如图1，Rt △ABC 内接矩形BDEF ：“A ”字相似，BCDE AB AD =（相似边之比）2、如图2，Rt △ABC 内接矩形DEFH ：“A ”字相似，BCHF AM AN =（高比=相似比）☆小技巧：BC AM AC AB ⨯=⨯，利用等面积法可求AM3、如图3，△ABC 内接矩形DEFH ：“A ”字相似，BCHF AM AN =（高比=相似比）【模型7】线束模型1、“A ”字线束：若EF ∥BC ，则有：AM AN MC NF BM EN ==2、“8”字线束：若EF ∥BC ，则有：AMANMC NF BM EN ==【模型8】相似比与面积比【点拨】与平行有关相似，所有面积之比只看“A ”字相似的三角形的相似比，其它形状利用割补法进行转化1、如图1，示例（图2类似）已知：k AB AF =，m BCCD =，设总面积为单位“1”则有，1122312m k S S S S S S --=--=总总总。

关注基本图形变式教学发展学生核心素养摘要:“图形与几何”是初中数学教学的重要内容，也是发展学生数学核心素养的重要载体。

七年级《相交线与平行线》是初中生由实验几何到论证几何的重要过度阶段，教师在课堂教学中要重视教学策略，培养学生的数学思维和发展学生核心素养。

掌握基本图形可以使几何问题变得更加简洁,帮助学生把握解题的方向,预测问题结果。

因此,在进行几何问题教学时,注重构建基本图形模型和进行几何图形变式教学,可以培养学生思维能力,提升学生的几何直观、建模意识、推理能力，对发展学生数学学科核心素养有重要作用。

关键词:基本图形;初中几何教学；核心素养在七年级下人教版教材的第五章《相交线与平行线》这章，较以前对“几何图形的初步认识”知识难度有了一定的提高，而且是学生由实验几何向论证几何转换的重要过渡阶段，其基本内容、研究思路和论证方法是学生学习后续几何知识的基础和前提。

因此，在“相交线与平行线”的知识讲授过程中，对教师的课堂教学提出了较高的要求，需要采取有效的教学策略。

其中，几何问题的变式是教学中应该特别注意的问题，在教学中让学生掌握好“一法多题”“一题多法”、基本图形的变式，对提升学生的核心素养能力有重要作用。

一、基本图形本章中有一类重要的基本图形，如下：（1）“M”型图如图1,AB// CD,P为线段AB、CD之间的一点﹐则∠B、∠C、∠BPC之间有如下关系:∠BPC = ∠B +∠C.结论侧“M”型图中同向角度和与其反向角相等.图1思路分析思路1：此图的特征是在两平行线之间有一个拐点P.因此，我们通过在拐点作辅助线：PF∥AB,再利用平行线的传递性得到PF∥CD.这样就可以利用平行线的性质解决角之间的关系。

思路2：连接BC.利用△BPC内角和与同旁内角互补也可以得到结论（方法二不重点介绍，但是它也是解决平行线拐点问题的通法）证明过程过P作PF// AB(如图1).因为AB// CD，所以PF// CD,所以∠BPF=∠B，∠CPF = ∠C,所以∠BPC =∠BPF +∠CPF= ∠B +∠C.“M”型基本图形一般有开口向左和向右两种﹐与它们相关的问题很多,掌握好此基本图形解题方法和结论对进一步解决有关问题很有用.在此图形的基础上，我们还可以变式出以下几类基本图形（为了便于识记，给他们取了相应的名称）：1.“铅笔”型图2.“鸟嘴”型图3.“靴子”型图以上三种图形的基本特征都是：平行线的AB和CD之间或两侧有拐点E.解决这三个基本图形的方法都是：过拐点作EF∥AB，然后利用平行线的传递性和平行线的性质推出相应的结论。

第二节：相似三角形的判定(一)相似三角形：定义1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。

④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．温馨提示： ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交AB于D点，与AC 的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形： 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：，B Q图A DP1P22.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

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2、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交
于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1,-2）.
y
（1）求此函数的关系式；y=x2-2x-1
（2）若抛物线上有一点E(3,2)， 则抛物线上是否存在一点F，使得 △PEF是以F为直角顶点的直角三角 形？若存在，求出F的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由。
1
如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D， P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC， 判断△ABP与△PDC有什么样关系， 并说明理由。
2
变式：
如图，AB⊥AC于点B，CD⊥BD于点D，P 是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则判断 △ABP与△PDC的关系。请说明理由。
A CPD, B D APB C
F(1,-2) S△PEF=3
AO P C
Bx
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2、在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰
梯形， OA∥BC, OA=7, BC=3, ∠COA=60°,点
P为线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，
连结CP.
（1）求点B的坐标B。(5,2 3)y
（2）点D为AB上一点， 且AD:BD=3:5,连结PD,
（12）连当t接=A1P秒、时A，Q、连P接Q，AC试，判与断PQ△相A交PQ于的点形K状.，
并求说AK明的理长由。。
A
善于在复杂 D 图形中寻找
基本型
K
BP
CQ
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24、（2011•嘉兴）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、 B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单 位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒． （（21））当当kk==-﹣31/时4时，，线设段以OAC上为另顶有点一的动抛点物Q线由y点=(Ax向+m点)2O+运n与动直，线它AB的另 一与交点P点以为相D同（速如度图同2）时，出发，当点P到达点A时两点同时停止运 ①动求（C如D图的1长）；．①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、 ②C、设A△为C顶OD点的的O三C边角上形的与高△为AOhB，相当似t，为求何t值的时值，．h的值最大？