第四讲——环形路线

3、如图：A、B是半圆的直径的断点，林林和丽丽分别从A、B两点出发沿圆弧路线相向行走，第一次相遇在离A点80米的C点处，相遇后各自以原速前进，各自到达对方出发点后都立即返回，结果又在离A点60米处的D点相遇，求圆弧A、B路线的长。
典型例题9
在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒，那么甲追上乙需要多少秒？
3、甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍。现在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分钟？
典型例题4
甲、乙两人同时从A点背向出发沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人最少用多少分钟在A点相遇？
举一反三4
1、甲、乙两人同时从同一出发点出发，绕周长为990米的圆形跑道跑步，甲每分钟跑90米，乙每分钟跑110米，这两人最少用多少分钟在原来的出发点相遇？
典型例题15
甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长。
举一反三15
1、两只小虫同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点4厘米的C点相遇，已知甲虫的速度是乙虫的1.1倍，求这个长方形的周长。
2、甲、乙两人沿一长方形水池周围行走，他们同时从A点出发，相背而行，结果在距B点5米的C点相遇，已知甲的行走速度是乙的，求这个长方形的周长。
3、两名运动员同时同地出发，同向绕周长为1000米的环形广场竞走，已知第一位运动员每分钟走125米，第二位运动员的速度是第一位运动员的2倍。第二位运动员追上第一位运动员需要多少分钟？

六年级下小升初典型奥数之环形路线问题在小学六年级的奥数学习中，环形路线问题是一个经常出现且具有一定难度的题型。

对于即将面临小升初的同学们来说，掌握环形路线问题的解题方法和思路至关重要。

环形路线，顾名思义，就是在一个封闭的环形道路上进行的运动。

比如，在一个圆形的操场跑道上跑步，或者在一个环形的花园小径上散步等。

我们先来了解一下环形路线问题中的基本概念。

首先是“同向而行”，这指的是两个人或物体沿着环形路线按照相同的方向前进。

比如说，你和小伙伴在环形跑道上同时顺时针跑步，这就是同向而行。

其次是“相向而行”，它表示两个人或物体沿着环形路线朝着对方的方向前进。

就像你顺时针跑，小伙伴逆时针跑，这就是相向而行。

接下来，我们通过几个具体的例子来深入理解环形路线问题。

例 1：在一个周长为 400 米的环形跑道上，小明和小红同时同地同向出发。

小明的速度是每分钟 200 米，小红的速度是每分钟 150 米。

请问小明第一次追上小红需要多长时间？这是一个典型的同向而行的环形路线追及问题。

我们要思考，小明为什么能追上小红？因为小明比小红跑得快，所以在相同时间内，小明比小红多跑的路程就是环形跑道的周长。

小明每分钟比小红多跑：200 150 ＝ 50（米）跑道周长为400 米，所以小明追上小红需要：400 ÷50 ＝8（分钟）例 2：在同样周长为 400 米的环形跑道上，小明和小红同时同地相向而行。

小明的速度还是每分钟 200 米，小红的速度依然是每分钟 150 米。

那么他们第一次相遇需要多长时间？这是相向而行的环形路线相遇问题。

两人相向而行，他们的相对速度就是两人速度之和。

小明和小红的速度之和为：200 ＋ 150 ＝ 350（米/分钟）他们相遇时，所走的路程之和就是跑道的周长 400 米。

所以相遇时间为：400 ÷ 350 ＝ 8/7（分钟）通过这两个例子，我们可以总结出环形路线问题的解题关键：对于同向而行的追及问题，追及时间＝环形路线的周长÷速度差；对于相向而行的相遇问题，相遇时间＝环形路线的周长÷速度和。

环形路线的公式 在日常生活中，我们常常会遇到需要规划环形路线的情况。

不论是规划旅行路线、设计交通线路还是其他类似的任务，找到合适的环形路线公式是非常重要的。

本文将详细介绍如何根据给定的条件来推导环形路线的公式，并给出一些实际应用的例子。

一、定义问题： 当我们面临规划一个环形路线的问题时，首先需要明确一些关键信息。

这些信息包括起点和终点的坐标，环形路线的半径以及需要经过的点数。

在本文中，我们以车辆驾驶为例来说明。

二、推导步骤： 1. 定义坐标系：为了方便计算和描述，我们首先建立一个二维平面直角坐标系。

我们将起点位置标记为坐标原点(0,0)，并设定水平方向为x轴正方向，垂直方向为y轴正方向。

2. 计算圆心坐标：根据给定的起点和终点坐标，我们可以推导出圆心的坐标。

圆心的x坐标为起点和终点横坐标的平均值，圆心的y 坐标为起点和终点纵坐标的平均值。

3. 计算圆心和起点之间的距离：利用勾股定理，我们可以计算圆心和起点的距离，即圆半径。

4. 计算圆上每个点的坐标：我们需要根据给定的点数来确定圆上的等分点。

为了便于计算，我们可以将360度等分成与点数相等的角度。

然后，利用三角函数来计算每个点在坐标系中的位置。

5. 组合路径：根据上一步中计算的各点坐标，我们可以按照顺序将它们连接起来，形成一条环形路线。

三、实际应用举例： 1. 旅行规划：假设我们要规划一次自驾游的旅行路线，起点是北京，终点也是北京，并且我们选择了半径为200公里的环形路线。

在规划过程中，我们可以根据上述步骤计算出圆心坐标、圆半径以及圆上若干等分点的坐标，最终得到一条满足旅行需求的环形路线。

2. 公交线路规划：考虑一个城市中的公交线路规划的问题。

假设我们需要在某个区域内规划一条环形公交线路，确保该线路覆盖了所有重要地点，并且在任意两个相邻点之间的距离相等。

通过上述步骤，我们可以计算出圆心坐标、圆半径以及圆上的等分点的坐标，进而得到一条满足公交线路规划要求的环形路径。

典型例题1甲、乙两人同时从同一地点出发，同向绕一环形跑道赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，过了4分钟，乙追上了甲，问跑道一周长多少米？举一反三11、小玲和小兰绕一环形跑道赛跑，她们同时同地同向起跑，小玲每分钟跑80米，小兰每分钟跑50米，过了20分钟小玲追上了小兰，问跑道一周的长是多少米？2、王叔叔和李叔叔同时从运动场的同一地点出发，同向绕运动场跑道赛跑，王叔叔每分钟跑300米，李叔叔每分钟跑280米，过了20分钟，王叔叔追上了李叔叔，问跑道一周长多少米？3、两名运动员同时同地出发，同向绕周长为1000米的环形广场竞走，已知第一位运动员每分钟走125米，第二位运动员的速度是第一位运动员的2倍。

第二位运动员追上第一位运动员需要多少分钟？典型例题2兄妹二人在周长60米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。

他们第10次相遇时需要多长时间？举一反三21、姐弟二人在周长420米的圆形花圃边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，姐姐每分钟走60米，弟弟每分钟走40米。

他们第五次相遇时需要多长时间？2、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。

她们从同一地点背向绕水池行进。

小红每分钟行200米，小玲每分钟行160米。

已知环形跑道一周的长为1080米。

他们第8次相遇小红走了多少米？3、甲、乙二人绕圆形场地跑步。

场地一周的长是300米，他们从同一地点出发背向而行。

甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，他们第6次相遇时甲比乙一共多走多少米？典型例题3一个圆形荷花池的周长为400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。

甲每分钟跑250，乙每分钟跑200米，现在甲在以后面50米，甲第二次追上乙需要多少分钟？举一反三31、甲、乙二人绕一环形跑道顺时针跑步，圆形跑道的长是600米，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米，现在甲在乙后面40米，甲第二次追上乙需要多少分钟？2、绕湖一周的长是500米，小许和小张顺时针绕湖竞走。