2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1课后导练新人教A版选修

第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －mn ，对于性质2，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)． ∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于( )A．12 B．13 C．14 D．15答案 C解析C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14，故选C.3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( )A．A310种B．C310种C．C310A310种D．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。

1.2 排列与组合排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.答案：D3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1. 方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。

2021-2021学年高中数学第一章计数原理1.2.1 排列教案新人教A版选修2-3 教学目标：理解排列、排列数的概念；了解排列数公式的推导；能用“树型图〞写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算. 教学重点：排列、排列数的概念. 教学难点：排列数公式的推导第一课时一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情,完成它可以有n类方法,在第一类方法中有叫种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法,,,,在第n类方法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有叫种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,,,, 做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事有N=mhMm2M…父mi种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,答复的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类〞问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步〞问题各个步骤中的方法相互依存 ,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题：1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类〞间互相独立,“步〞间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：1问题：问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学,根据参加上午的活动在前,参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有 乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤：第 1步,确定参加上午活动的同学,从 3人中任选1人,有 3种方法；第2步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从余下的 2人中去选,于是有 2种方法.根据分步乘法计数原理,在 3名同 学中选出2名,根据参加上午活动在前,参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3X2=6种,如图1.2 — 1所示.相应的排法甲乙甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可表达为：从 3个不同的元素a ,b ,.中任 取2个,然后根据一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有3X2=6种.问题2.从1,2,3,4 这4个数字中,每次取出 3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的 三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数,在 4个字母中任取1个,有4种方法；第二步确定中间的数,从余下的 3个数中取,有3种方法；第三步确定右边的数,从余下的2个数中取,有2种方法由分步计数原理共有：4X3X2=24 种不同的方法,用树型图排出,并写出所有的排列由此可 写出所有的排法显然,从4个数字中,每次取出 3个,按“百〞 “十〞 “个〞位的顺序排成一列,就得到 一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解 决这个问题：第1步,确定百位上的数字,在 1 , 2,3,4 这4个数字中任取1个,有4种方法； 第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的 3个数字中去取,有3种方法；6种不同的排法：甲 上午 下午第3步,确定个位上的数字, 当百位、十位上的数字确定后, 个位的数字只能从余下的2个数字中去取,有2种方法.根据分步乘法计数原理,从 1 , 2,3,4 这4个不同的数字中,每次取出3个数字,按“百〞“十〞“个〞位的顺序排成一列,共有4X3X2=24种不同的排法, 因而共可得到24个不同的三位数,如图 1.2 — 2所示由此可写出所有的三位数:123, 124, 132, 134, 142, 143 , 213 , 214, 231,234, 241,243 ,312, 314,321,324, 341,342 , 412 , 413,421,423,431,432 .同样,问题2可以归结为：从4个不同的元素a, b, c , d中任取3个,然后根据一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有4X3X2=24种.2.排列的概念：从n个不同元素中,任取m〔m Mn〕个元素〔这里的被取元素各不相同〕根据一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列树形图如下说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素,②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同3 .排列数的定义：从n 个不同元素中,任取 m(mwn)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 A m 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列〞是指：从 n 个不同 元素中,任取 m 个元素根据一定的顺序 排成一列,不是数；“排列数〞是指从 n个不同元素中,任取m ( m En)个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号 A nm 只表示排列数,而不表示具体的排列4 .排列数公式及其推导：由A 2的意义：假定有排好顺序的 2个空位,从n 个元素a i ,a 2,…a n 中任取2个元素去填空, 一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一 种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数 A 2 ,由分步计数原理完成上述填空共有 n(n —1)种填法,,A 2=n(n-1)由此,求A 3可以按依次填3个空位来考虑,, A 3 = n(n-1)(n-2), 求A :以按依次填 m 个空位来考虑 Am=n(n —1)(n —2)…(n —m+1), 排列数公式：A m = n(n -1)(n -2) (n -m 1)(m, n w N *, m < n)少1,最后一个因数是 n - m +1 ,共有m 个因数;(2)全排列：当n=m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：An = n(n —1)(n-2)…2 1 = n!(叫做n 的阶乘) 另外,我们规定0! =1 .例 1.用计算器计算：(1 ) A4); (2 ) A1; (3 ) Ar + A ；3. 解：用计算器可得：说明：(1)公式特征：第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个第1世第？位s atart-rtt*口(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 篦中,m,n^N 〞且mMn 这些限制公式A ；； =n(n-1)(n-2)- (n —m+1席用来求值,特别是 m,n均为时,公式第二课时例1.(课本例2).某年全国足球甲级 (A 组)联赛共有14个队参加,每队要与其余各队在主、 客场分别比赛一次,共进行多少场比赛？解：任意两队间进行 1次主场比赛与1次客场比赛,对应于从 14个元素中任取 2个元素的一个排列.因此,比赛的总场次是A ：=14X 13=182.例2.(课本例3) . (1 )从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少 种不同的送法？(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法？解：(1 )从5本不同的书中选出 3本分别送给3名同学,对应于从 5个不同元素中任取 3个10 ®HlPr| 晅 4 = 5 040； 18 |SHIFT| 国 5=1 028 160；18 fSHIF ？ nPr^ IS Q 13 |SHIFT| 同 13=1 028 160.2 ) ( 3)我们看到,A ；8 = A 1； = A 13 .那么,这个结果有没有一般性呢？即n!A ；比(n-m)!排列数的另一个计算公式:A 「=n(n -1)(n -2) (n -m 1) n(n -1)(n -2)(n -m 1)(n -m)3 2 1(n 一m)(n - m -1) 3 2 1(n-m)!A n :即A mn! (n -m)!说明:条件, 要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围;(2) A ?= n!------ ,常用来证实或化简(n -m)!元素的一个排列,因此不同送法的种数是 屋=5X4X3=60.〔2〕由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名 同学每人各1本书的不同方法种数是 5X5X5=125. 例8中两个问题的区别在于：〔1 〕是从5本不同的书中选出 3本分送3名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题；而〔2 〕中,由于不同的人得到的书可能相同,因此不符合使用排列数公式的条件,只能用分步乘法计数原理进行计算.例3.〔课本例4〕 .用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析： 在本问题的.到9这10个数字中,由于.不能排在百位上, 而其他数可以排在任意位置上, 因此.是一个特殊的元素.一般的,我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题 解法1 :由于在没有重复数字的三位数中,百位上的数 字不能是Q 因此可以分两步完成排列.第 1步,排百位 上的数字,可以从1到9这九个数字中任选 1个,有A 9 种选法；第2步,排十位和个位上的数字,可以从余下的9个数字中任选2个,有A 2种选法〔图1.2 — 5〕 .根据分步乘法计数原理,所求的三位数A ； A 2=9 x 9 x 8=648 〔个〕解法2 :如图1.2 — 6所示,符合条件的三位数可分成 3类.每一位数字都不是位数有 A 母个,个位数字是 O 的三位数有揭个,十位数字是 0的三位数有揭个.根据分类加法计数原理,符合条件的三位数有A ； +A 2 +A 2=648 个.解法3 :从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为 A ；0,其中O 在百位上的排列数2是A2,它们的差就是用这 10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数,即所求的三位数的个数是抬个A匕个例 r. ■,■一■, ww.— ■■■...........................II" •A30- A2 =10X 9X8-9X 8=648.对于例9这类计数问题,可用适当的方法将问题分解,而且思考的角度不同,就可以有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是.的要求,分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事,依据的是分步乘法计数原理；解法2以O是否出现以及出现的位置为标准,分类完成这件事情,依据的是分类加法计数原理；解法3是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数,然后从中减去百位是.的排列数〔即不是三位数的个数〕,就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过程可以看到,引进排列的概念,以及推导求排列数的公式,可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m 〔mW n〕个元素的所有排列的个数〞这类特殊的计数问题.1.1节中的例9是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？小结：排列的特征：一个是“取出元素〞；二是“根据一定顺序排列〞,“一定顺序〞就是与位置有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志.根据排列的定义,两个排列相同,且仅当两个排列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也相同.了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归〞的数学思想,并能运用排列数公式进行计算.对于较复杂的问题,一般都有两个方向的列式途径,一个是“正面凑〞,一个是“反过来剔〞.前者指,根据要求,一点点选出符合要求的方案；后者指,先按全局性的要求,选出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归〞的数学思想,并能运用排列数公式进行计算.四、课堂练习：n!…/、1.右x = ^,那么x= ()3!(A) A3(B)A「(C)A n2.假设A =2A；,那么m的值为 ()(A) 5 (B)3 (C)6 〔D〕A L (D)74.An =56,那么n=；5. 一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法〔假定每股岔道只能停放1列火车〕？6. 一部纪录影片在 4个单位轮映,每一单位放映 1场,有多少种轮映次序？第三课时例1. 〔1〕有5本不同的书,从中选 3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送 法？〔2〕有5种不同的书,要买 3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法？解：〔1〕从5本不同的书中选出 3本分别送给3名同学,对应于从 5个元素中任取3个元素3一一的一个排列,因此不同送法的种数是：A =5父4父3 = 60,所以,共有60种不同的送法〔2〕由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法,因此送给 3名同学,每人各1本书的不同方法种数是： 5M5M5=125,所以,共有125种不同的送法说明：此题两小题的区别在于：第〔1〕小题是从5本不同的书中选出 3本分送给3位同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题；而第〔2〕小题中,给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种,各人得到那种书相互之间没有联系,要用分步计数原理进行计算例2.某信号兵用红、黄、蓝 3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂 1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有 A 1种；第二类用2面旗表示的信号有 内种；第三 类用3面旗表示的信号有A 3种,由分类计数原理,所求的信号种数是：A ； +A 2 +A 33 =3+3父2 +3父2 M 1 =15,例3.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司 机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案？3.计算:2A 5 3A 6 9!-A 6.分析：解决这个问题可以分为两步,第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上, 即从4个不同元素中取出4个元素排成一列,有A4种方法;由分类计数原理,符合条件的三位数的个数是：A 93 + A 2 + A 2 = 648 .解法3:从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为 A ；0,其中以0为排头的排列数为 A 2, 因此符合条件的三位数的个数是A ；0 - A ； = 648- A 2 .说明：解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的 分类和分步,直接计算符合条件的排列数如解法1, 2;间接法：对于有限制条件的排列应用题,可先不考虑限制条件,把所有情况的种数求出来,然后再减去不符合限制条件的情况种 数如解法3.对于有限制条件的排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,预防重复与遗 漏第四课时例5. (1) 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列 A ；=5040.（2） 7位同学站成两排(前 3后4),共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7X6X5X4X 3X2X1= 7! = 5040.（3） 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列一一 A 6 =720.第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有 4 -、- A 4种万利用分步计数原理即得分配方案的种数 解：由分步计数原理,分配方案共有N =解,A ： = 576 (种)例4.用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法1:用分步计数原理: 所求的三位数的个数是:-2A 9 9 9 8 = 648解法2:符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有 同个,个位数字是0的三位数有 A 2个,十位数字是 0 数有A2个,十位个位百位7的百位 十位 个位百位十世 个位 百位 十位 个过（4）7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有A；种；第二步余下的5名同学进行全排列有A；种,所以,共有A A5 =240种排列方法（5）7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法1 〔直接法〕：第一步从〔除去甲、乙〕其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A；种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列〔全排列〕有A5种方法,所以一共有A； A5 = 2400种排列方法解法2：〔排除法〕假设甲站在排头有A6种方法；假设乙站在排尾有A6种方法；假设甲站在排头且乙站在排尾那么有A5种方法,所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有A；-2A6 +A 5 一A5 =2400 种.说明：对于“在〞与“不在〞的问题,常常使用“直接法〞或“排除法〞,对某些特殊元素可以优先考虑例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,那么共有多少种不同的排法？解法一：〔从特殊位置考虑〕A；A；=136080 ；解法二：〔从特殊元素考虑〕假设选: 5 A5；假设不选：A6,那么共有5 A +A6 =136080 种；解法三：〔间接法〕A；0-A5 =136080第五课时例7. 7位同学站成一排,〔1〕甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素与其余的全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有一共有A A2 =1440种5个元素〔同学〕一起进行A；种方法.所以这样的排法〔2〕甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上,一共有A5 A； = 720种〔3〕甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,由于丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾, 有A2种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A2种方法.所以这样的排法一共有A5AA = 960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,假设丙站在排5头或排尾有2 A5种方法,所以,丙不能站在排头和排尾的排法有〔A： -2A/〕A =960种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,由于丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法,最后将甲、乙两同学“松绑〞,所以,这样的排法一共有A4 A；960种方法.〔4〕甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素,时一共有2个元素,,一共有排法种数：A；A：A；=288 〔种〕说明：对于相邻问题,常用“捆绑法〞〔先捆后松〕.例8. 7位同学站成一排,〔1〕甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：〔排除法〕A— A；,A； =3600 ；解法二：〔插空法〕先将其余五个同学排好有篦种方法,此时他们留下六个位置〔就称为“空〞吧〕,再将甲、乙同学分别插入这六个位置〔空〕有A：种方法,所以一共有A；A： =3600种方法.〔2〕甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A4种方法,此时他们留下五个“空〞,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A；种方法,所以一共有A4 A3 = 1440种.说明：对于不相邻问题,常用“插空法〞〔特殊元素后考虑〕.例9. 5男5女排成一排,按以下要求各有多少种排法：〔1〕男女相间；〔2〕女生按指定顺序排列解：〔1〕先将男生排好,有点种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡〞〔包括两端〕中,有2A5种排法故此题的排法有N =2A5 A5 =28800 〔种〕；A10(2)方法1：N =矢=人50 =30240；方法2:设想有10个位置,先将男生排在其中的任意5个位置上,有A50种排法；余下的5个位置排女生,由于女生的位置已经指定,所以她们只有一种排法故此题的结论为N = A50父1 = 30240 〔种〕。

第1课时 排列与排列数公式知识点 排列的定义01nnmmn )≤一定的顺序排成一列，叫做从(一般地，从个元素，按照□个不同元素中取出m 个元素的一个排列．两个排列相同：当且仅当两个排列的元素完全相同，个不同元素中取出02排列顺序相同． 且元素的□ 知识点 排列数及排列数公式 1．排列数的定义01nmmnn 个不同元素中叫做从个不同元素中取出)(个元素的□所有不同排列的个数，从≤mm 表示．个元素的排列数，用符号取出A n．排列数公式202m *nmmnnnmnn ＝□乘积形式：≤这里A ，N ∈) (1)(－且－2)…((1)－．＋1)(nn ！03m *nmnm ＝□阶乘形式：A ∈N ) ，且(2).(≤，nmn ！－ 060504n 0n ＝□A ＝□，规定1. (3)性质：A ！1,0！＝□nn排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．nm 个元素也是不同的．判断一个具体问个元素是互不相同的，取出的注意：所研究的nmm 个元素时，是有序题是不是排列问题，就看从个元素后，再安排这个不同元素中取出的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．nm 个元素，注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从个不同元素中任取nm 个元素的所按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从个不同元素中取出有排列的个数，它是一个数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,2,3与3,2,1为同一排列．( )(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) (3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．( )个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问2个同学中任选5从(4)．题．( )答案(1)× (2)√ (3)× (4)√2．做一做(1)89×90×91×…×100可表示为( )．．A．A B．A CA100100100100填“是”或(________排列问题．(2)从5个人中选取甲、乙2 13121110A D个人去完成某项工作，这“不是”) ________个．(3)从1,2,3中任取两个数字可组成不同的两位数有(3)6不是答案(1)C (2)12 (1)A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.解析100 (2)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法，故不是排列问题． (3)12,13,21,23,31,32个．，共6排列的有关概念探究 1 判断下列问题是否是排列问题．例11,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(1)从十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个101(2)从到不同的点的坐标？ 10(3)从名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的(4) 出入方式有多少种？有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子(5) 里，有多少种不同的放法？个元素做加法时，与两个元素的位不是．加法运算满足交换律，所以选出的2 [解](1) 置无关，所以不是排列问题．是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数做横坐标，哪一个数做纵坐标的顺序(2) 有关，所以这是一个排列问题．名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑(3)2不是．因为任何一种从10名同学中抽取两个人的顺序，所以这不是排列问题．是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题．(4)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列(5) 问题．拓展提升．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？Mabx轴上，，可以得到多少个焦点在＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为(2)从集合2222yyxxx轴上的双曲线方程－＝1?＝的椭圆方程＋1？可以得到多少个焦点在2222baab(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．22yxx轴上的椭圆，1表示焦点在第二问是排列问题．若方程＋＝(2)第一问不是排列问题，yyxxabababab，方程－中，不管>则必有<>还是，＝，的大小关系一定；在双曲线－＝122ba22222222baabx轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．均表示焦点在 1(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．探究简单的排列问题 2例2 写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．AB，两名老师(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为、MN，此问题可分两类：、分别为AMNBANMBABMNABNMBMNABNMABAMNBANM，共8，，由此可知所有可能的站法为，，，，，种．拓展提升用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．[跟踪训练2] 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．解(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.探究与排列数有关的运算 3452A＋4A88；3 (1)计算：例58A－A98xx－1(2)解方程3A＝4A；98xx－2*xx≥3，；，其中∈N(3)解不等式A>6A99nnnnn )用排列数符号表示．)(69(55－)(56－－(4)若)…(68－∈N，将444＋81244A＋2×4A88＝＝＝. [解](1)原式＝44594×3×2A－9A24－15883×8！4×9！xx1－＝，由(2)3A＝4A，得98xx！－??！??8－102xx＋78＝0－19，化简得xx＝13.6解得，＝21xxx＝6.又∵－1≤9，∴原方程的解是≤8，且9！6×9！*xxxx)>6，(11－，其中>3≤≤9，)·(10－∈N，即(3)由原不等式得xx！29－9－??＋！??2xxxx>13. ，解得整理得或－21<8＋104>0*xxx3,4,5,6,7. N又3≤，所以≤9，＝∈．故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}nnn15. ＋1)－(55－＝(4)先确定最大数，即69－，再确定因式的个数为(69－)15. 则由排列数公式得A nnnmm这些限制条(1)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意，A中≤∈N，－69拓展提升m**∈N且n件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉．m A(2)利用排列数公式灵活地解决问题的前提条件是准确把握排列数公式的结构特征——n mn就是从起，依次减“1”的就能活用排列数公式．个正整数之积，熟练掌握这一结构特征，跟踪训练aaaaa) )等于)…(34－ (1)设N∈( ，且 <27，且(27－)(28－a－278． A．ABA aa－3427 *3][．A AC．aa－34－3444AA128________.－87 D＝(2)计算：612A11mmm1－m. AA＝A－求证：(3)nnn1＋答案(3)见解析(2)5 (1)Daaa,aaa8＝1＋)－(27－－34，一共有－34中最大数为－34，…，－28－(1)27解析．8aa.＝)·…·(34－A)个因式，所以(27－a－34！！128×44！8！4A5！A1285.＝(2)解法一：＝＝6！12A12×11！411！544?×?12×11×10×9?AA8×7×6×5?1285.解法二：＝＝6??11×10×…×612A12×11nn！！1??＋mm－A＝ (3)证明：因为A－nn1＋mmnn！－！??＋1－??nn＋1！????1－·＝mn??mn－＋1！－??nmn！！m－1mm A，＝·＝·＝m A.n mnmnmn！－?－??！＋＋1－1?mmm－1＝A－A所以nnn1＋1．下列问题是排列问题的是 ( )A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？答案 B解析排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其B.他问题都与顺序无关．故选．n！nnnnm) －1)(B ．－(－2)…(A.nm！m) 相等的是( 2．下列各式中与排列数A n?－?n mn－1－11 C.A ·AD．A nnn1－mn1－＋答案 Dn！m解析∵A＝，n mn！??－nnnnn！！－?！1???－1m11－＝＝，＝∴A·Ann1－mmnmnn！－！1?]！??－?[－－1??－mm－11.A∴＝A·A nnn1－) 132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( 3．某段铁路所有车站共发行24 ．16 D．A．8 B．12 CB答案2nnnn12.1)＝132，∴解析设车站数为，则A＝132，(＝－n4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．23答案－＝解析因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A4BACABD不，四423. 1名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且，．将5不排在第一，，DC不排在第三，排在第二，不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．：(如图)解树形图为BADCBCDABDACCADBCDABCDBADABCDCABDCBA，，，，由树形图知，所有排法为，，，，，共有9种排法．。