2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估6

单元质量评估三(第三章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．sin600°的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：sin600°＝sin240°＝－sin60°＝－32. 答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x ，故选B. 答案：B3．化简1－sin 21180°的结果是( ) A ．cos100° B ．cos80° C ．sin80°D ．cos10°解析：原式＝1－sin 2100°＝cos 2100°＝cos 280°＝cos80°. 答案：B4．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.π3D ．π解析：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－sin 22x2＝1＋cos4x －14＝3＋cos4x 4.∴T ＝2π4＝π2.答案：B5．已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.12 B ．－12C ．－14D ．±12解析：∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α，即cos α－sin α<0，∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴cos α－sin α＝－12.答案：B6．(2011·浏阳模拟)已知α、β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( ) A ．－3π4B.π4或34πC.34π D.π4解析：∵α、β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010， ∴cos α＝255，cos β＝31010且α＋β∈(0，π)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝65050－5050＝55050＝22， ∴α＋β＝π4.答案：D7．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝cos(2x －π3)的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位解析：由cos2x ＝cos(2x －π3＋π3)＝cos[2(x ＋π6)－π3]知，只需将函数y ＝cos(2x －π3)的图象向左平移π6个单位．答案：D8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C 且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D9．若2a ＝3sin2＋cos2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(－1，－12)D ．(－12，0)解析：∵3sin2＋cos2＝2sin(2＋π6)，又34π<2＋π6<56π， ∴1<2sin(2＋π6)<2，即1<2a <2，∴0<a <12.答案：A10．(2011·聊城模拟)函数y ＝3sin(－2x －π6)(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A ．[0，5π12]B ．[π6，2π3]C ．[π6，11π12]D ．[2π3，11π12]解析：∵y ＝－3sin(2x ＋π6)，∴由2kπ＋π2≤2x ＋π6≤2kπ＋32π，k ∈Z 得kπ＋π6≤x ≤kπ＋23π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，∴k ＝0， 此时x ∈[π6，23π]．答案：B11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点(0，12)B ．f (x )的图象在[512π，23π]上是减函数C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(512π，0)解析：∵T ＝π，∴ω＝2，又2·23π＋φ＝kπ＋π2，∴φ＝kπ＋π2－4π3当k ＝1时，φ＝π6，验证知选D.答案：D12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，则( )A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列C ．a ，c ，b 成等差数列D ．a ，c ，b 成等比数列解析：cos2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1⇒cos B ＋cos(A －C )＝1－cos2B ，cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin 2B ⇒sin A sin C ＝sin 2B .再由正弦定理得ac ＝b 2，所以选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．如果sin θ＝35，且θ是第二象限角，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝__________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝cos θ＝－1－sin 2θ＝－45.答案：－4514．(2010·青岛模拟)若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ)对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于________．解析：∵f (π6＋x )＝f (π6－x )∴函数f (x )关于x ＝π6对称，∴x ＝π6时，f (x )取得最值±3.答案：±315．(2011·安徽模拟)若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________．解析：由题意得f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0，∴1＋12a ＝0，∴a ＝－2.∴f (x )＝sin2x －2cos 2x＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，∴f (x )的最小正周期为π. 答案：π16．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 的大小为________．解析：依题意得tan A ＝3，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝sin 2B －sin B cos B －2cos 2Bsin 2B ＋cos 2B＝tan 2B －tan B －2tan 2B ＋1＝0，所以tan 2B －tan B －2＝0，即(tan B －2)(tan B ＋1)＝0， 所以tan B ＝2或tan B ＝－1.当tan B ＝2时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1，又C ∈(0，π)，因此C ＝π4；当tan B ＝－1时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－12<0，此时B ，C 均为钝角，这显然不可能． 综上所述，C ＝π4.答案：π4三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)已知α为锐角，且tan α＝12.求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π－α)tan (π＋α)cos (2π－α)的值． 解：原式＝－sin α·(－cos α)tan α·cos α＝sin αtan α＝cos α.又∵tan α＝12，α为锐角，∴sin 2αcos 2α＝14，∴1－cos 2αcos 2α＝14. ∴cos 2α＝45，∴cos α＝255.∴原式＝255.18．(12分)求2cos5°－sin25°cos25°的值．解：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos5°－sin (30°－5°)cos25°＝2cos5°－12cos5°＋32sin5°cos25°＝32cos5°＋32sin5°cos25°＝3(32cos5°＋12sin5°)cos25°＝3cos (30°－5°)cos25°＝ 3.19．(12分)设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时，f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解：f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx ＋π6)＋12.(1)因为T ＝π，所以ω＝1.当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈[－π6，5π6]，所以f (x )的值域为[0，32]．(2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω(π3)＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)一个周期的图象如右图所示．(1)求函数f (x )的表达式；(2)若f (α)＋f (α－π3)＝2425，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．解：(1)由图知，函数的最大值为1，则A ＝1， 函数f (x )的周期为T ＝4×(π12＋π6)＝π.而T ＝2πω，则ω＝2.又x ＝－π6时，y ＝0，∴sin[2×(－π6)＋φ]＝0.而－π2<φ<π2，则φ＝π3，∴函数f (x )的表达式为f (x )＝sin(2x ＋π3)．(2)由f (α)＋f (α－π3)＝2425得：sin(2α＋π3)＋sin(2α－π3)＝2425，化简得：sin2α＝2425.∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝4925.由于0<α<π，则0<2α<2π，但sin2α＝2425>0，则0<2α<π，即α为锐角．从而sin α＋cos α>0，因此sin α＋cos α＝75.21．(12分)(2010·合肥质检一)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin Csin A ＋sin B .(1)求角B ；(2)若sin A ＝35，求cos C 的值．解：(1)依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C ) ＝2sin A sin C －sin 2C ，由正弦定理得：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∴B ＝π4.(2)∵sin A ＝35，∴12<sin A <22，∴π6<A <π4或3π4<A <5π6， 又B ＝π4，∴π6<A <π4，∴cos A ＝45，∴cos C ＝cos(3π4－A )＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝－210.22．(12分)(2011·南京调研)如右图，矩形ABCD 是机器人踢球的场地，AB ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器人先从AD 中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球．现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？解：设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上．连接FG . 设FG ＝x cm.根据题意，得BG ＝2x cm. 则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )cm.连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ， 所以∠EAF ＝45°，AF ＝40 2 cm. 于是∠FAG ＝45°，在△AFG 中，由余弦定理，得FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos ∠FAG .所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x )×cos45°.解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70 cm 或AG ＝－2303 cm(不合题意，舍去)．答：该机器人最快可在线段AB 上离A 点70 cm 处截住小球．高≦考试═题.库。

1台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题数 学（理科）2012.01本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．Ⅰ 选择题部分（共50分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π=()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．若,31cos =α则=α2cos （A ）31（B ）31-（C ）97（D ）97-2．在复平面内，复数ii-1对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．“322<<x ”是“2<x ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=-=R y x y x y x A ,,149),(22，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=-=R y x y x y x B ,,123),(，则B A 中元素个数为2（A ）0（B ）1（C ）2（D ）35. 若如图的程序框图输出的4=y ，可输入的x 的值的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）46．设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面， 下列命题中正确的是（A ）若m ∥α，β⊥n ，n m ⊥，则α⊥β （B ）若m ∥α，β⊥n ，n m ⊥，则α∥β （C ）若m ∥α，β⊥n ，m ∥n ，则α⊥β （D ）若m ∥α，β⊥n ，m ∥n ，则α∥β7. 设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,4,,2x y x y x y 则||4x y -（A ）[]6,8--（B ）]4,8[-（C 8. 已知右图是下列四个函数之一的图象，这个函数是（A ）11ln)(-+=x x x f （B ）11ln )(+-=x x x f（C ）1111)(-++=x x x f （D ）1111)(--+=x x x f9．有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2语翻译也可做韩语翻译. 要从中选5人分别接待5韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（A ）900（B ）800 （C ）600 （D ）50010．已知01221212222)a x a x a x a x ab ax n n n n n+++++=+-- （（*N n ∈，常数0>>b a ）.设n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则下列关于正整数n 的不等式中，解集是无限集的是24x y =-3C（A ）n n R T < （B ）n n R T 1.1> （C ）n n T R 9.0< （D ）n n T R 99.0>Ⅱ 非选择题部分（共100分）二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分. 将答案直接答在答题卷上指定的位置） 11．要得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可将函数x y 2sin =的图象向右平移 个单位． 12. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ．13．“如果数列{}n a ()0>n a 是等比数列，那么{}n a lg 必为等差数列”，类比这个结论，可猜想：如果数列{}n b 是等差数列， 那么 ．14．一个袋中有大小、质地相同的标号为3,2,1的三个小球.某人做如下游戏：每次从袋中摸一个小球，记下标号然后放回，共摸球3次.若拿出球的标号是奇数,则得1分,否则得0分，则3次所得分数之和的数学期望是 ．15．已知点P 是椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 的一个交点，21,F F 是椭圆的左右焦点，则=∠21cos PF F ．16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若kx x f -)(有三个零点，则k 的取值范围为 ．17．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点D C ,OB OA ,上，且.BD OC =若1=OA ，120AOB ︒∠=，则的取值范围是 ．三、解答题（本题共5题，共72分；要求写出详细的演算或推理过程）18．（本题满分14分）已知函数()x x x x f cos cos sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在△ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，S 为△ABC 的面积. 若21)(=A f ，32=a ，=S 32，求c b ,. 俯视图 （第12题） （第17题）419．（本题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足：1,2121==a a ，)2(4111≥-=-+n a a a n n n ；nn n b a 2=（*N n ∈）.（Ⅰ）计算321,,b b b ，并求数列{}n b ，}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对于任意的3>n ，都有12345n a a a a a a ++>+++．20．（本题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，CB CA CP ,, 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平面α∥BC ，且α分别交PC PB ,于N M ,，交AC AB ,的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：⊥EF 平面PAC ；（Ⅱ）若BE AB 2=，求二面角N DM P --的余弦值.21.（本题满分15分）如图，在y 轴右侧的动圆⊙P 与⊙1O ：1)1(22=+-y x 外切，并与y 轴相切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹Γ的方程； （Ⅱ）过点P 作⊙2O ：1)1(22=++y x 的两条切线，分别交y 轴于B A ,两点，设AB 中点为()m M ,0.求m 的取值范围.22.（本题满分15分） 已知函数.)1ln()(xx x f +=（Ⅰ）证明：若,1≥x 则 ()ln 2f x ≤；（Ⅱ）如果对于任意,0>x px x f +>1)(恒成立，求p 的最大值.第20题1台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题 数 学（理）答题卷 2012.01一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填入下表内）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．________________________ 12．________________________ 13．14．________________________ 15． 16． 17． 三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）2请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效3请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效45台州市 2011学年第一学期 高三年级期末质量评估试题理科数学答案及评分标准一、 选择题 DBABD CBCAD 二、 填空题 11．6π 12．316 {}13.10nb 为等比数列14. ２ 15．13- 16．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 17． 31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦说明：第11题可填)(6N k k ∈+ππ中的任何一个值；第13题的数列可以填{}n b a )1,0(≠>a a 中的任意一个.三、 解答题18题 （Ⅰ）()x x x x f cos cos sin 3)(-=22cos 12sin 23x x +-=212cos 212sin 23--=x x 即=)(x f 21)62sin(--πx ，…………………………………………………………………4分 所以，)(x f 的最小正周期为π，最大值为.21………………………………………………6分（Ⅱ）由21)(=A f 得1)62sin(=-πA ，又,0π<<A 3π=A ， ………8分由32=a ，=S 32利用余弦定理及面积公式得(2222cos ,31sin 23b c bc bc ππ⎧+-⋅=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………12分 解之得2,4==c b 或.4,2==c b …………………………………………………………14分 19题（Ⅰ）.7,4,1321===b b b …………………………………………………………3分 将n n n b a ⋅=21，11121+++⋅=n n n b a ，11121---⋅=n n n b a 代入1141-+-=n nn a a a 中化简得： n n n b b b 211=++-可见，数列{}n b 是等差数列． …………………………………………5分由4,121==b b 知其公差为3，故.23-=n b n …………………………………………………………………………………6分nn n n n a n a 223232-=⇒-=． …………………………………………………………7分6（Ⅱ）设数列}{n a 的前n 项和为.n S 则nn n S 22327242132-++++=， 132223253242121+-+-+++=n n n n n S ，……………………………9分 相减可得：23111113333222222231[1()]13242.2212n n n n n n S n +-+-=++++---=+-- nn n S 2434+-=，………………………………………………………………………12分可见，对于任意的*N n ∈，总有.4<n S 但2819321>=++a a a ，故当3>n 时 .232154a a a a a a n ++<<+++ ……………………………………………………14分20题（Ⅰ）证明：由AC BC PC BC ⊥⊥,可知： ⊥BC 平PAC ；…………………………3分 又因为平面α∥BC ，平面AEF 过BC 且与平面α交于EF ，所以EF ∥BC ．……6分 故⊥EF 平面PAC ． ……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）以CP CB CA ,, 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，并设2=BC .则)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)2,0,0(P ;设平面PAB 的法向量),,(1111z y x n =， 由01=⋅PA n ，01=⋅PB n 可求得)1,1,1(1=n ，……………………………………………10分 )1,0,1(D ,)0,3,1(-E ,).0,0,1(-F设平面DEF 的法向量),,(2z y x n =，由02=⋅DE n ，02=⋅FE n 可得)2,0,1(2-=n ，……………………………13分 .1515==二面角N DM P --的余弦值为.1515…………………………………………14分7注：几何解法相应给分. 21题（Ⅰ）由题意，点P 到点)0,1(的距离等于它到直线1-=x 的距离，故Γ是抛物线，方程为x y 42=(0≠x )．………………………………………………………………………5分注：由1)1(22+=+-x y x 化简同样给分；不写0≠x 不扣分.（Ⅱ）设),4(2t t P （0≠t ），切线斜率为k , 则切线方程为)4(2t x k t y -=-，即042=-+-kt t y kx ．…………………………6分由题意，1)1(22=++y x 的圆心)0,1(-到切线的距离11422=+-+-kkt t k ，……………………………………………………………………8分两边平方并整理得：01)4(8)8(22222=-++-+t k t t k t t ．……………………9分该方程的两根21,k k 就是两条切线的斜率，由韦达定理：)8()4(822221++=+t t t t k k ． ①……………………………………………………………………………………………11分另一方面，在)4(21t x k t y -=-，)4(22t x k t y -=-中令0=x 可得B A ,两点的纵坐标1214k t t y -=，2224k t t y -=，故)(8221221k k t t y y m +-=+=， ② ……………………………………………………………………………………………13分 将①代入②，得842+=t tm tt 4+= ，………………………………………………14分故m 的取值范围是.0,2222≠≤≤-m m ……………………………………15分822题（Ⅰ）函数x x x f )1ln()(+=的导函数为2/)1ln(1)(xx x xx f +-+=， …………1分在[)+∞,0上考虑函数)1ln(1)(x x x x g +-+=，由011)1(1)(2/≤+-+=xx x g ， 可知)(x g 单调递减，结合0)0(=g ，当0>x 时，)(x g 0<，所以，0)(/<x f ，xx x f )1ln()(+=在()+∞,0单调递减 ．…………………………………………………3分 2ln )1(=f ，∴若,1≥x 则 .2ln )(≤x f …………………………………………………………………5分（Ⅱ） 要使得对任意,0>x px x f +>1)(即px xx +>+1)1ln(恒成立，首先由熟知的不等式x x <+)1ln(知0<p …………………………………………………………………7分 令2)1ln()(px x x x h --+=，则只要0)(>x h 恒成立．………………………………8分 以下在[)+∞,0上考虑)(x h .xpp x px px xx h +++-=--+=1)212(22111)(/．………………………………………10分这里0<p ，故若012>+p ，则在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-p p 212,0内，0)(/<x h ，)(x h 单调递减，但,0)0(=h 所以在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-p p 212,0内，0)(<x h ，这与题意不符；…………………12分 反之，若012≤+p ，则当0>x 时恒有0)(/>x h ，)(x h 单调递增，但,0)0(=h 所以对任意,0>x 0)(>x h ，也就是px xx +>+1)1ln(恒成立. …………………………………14分 综上所述，使得对任意,0>x px x f +>1)(恒成立的最大的.21-=p …………………15分9。

综合测试卷(一)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z =2-i 1+i(i 为虚数单位),则复数z 的模等于( )A.√102B.3√22C.√3D.√52答案 A 由于z =2-i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2,∴|z |=|12-32i |=√(12)2+(-32)2=√102.故选A .2.(2019江西南昌外国语学校适应性测试,1)已知集合M ={x |0<x <5},N ={x |m <x <6},若M ∩N ={x |3<x <n },则m +n 等于 ( )A.9B.8C.7D.6答案 B 因为M ∩N ={x |0<x <5}∩{x |m <x <6}={x |3<x <n },所以m =3,n =5,因此m +n =8.故选B . 3.(2020九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 ( )A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案 C 本题主要考查空间几何体的结构特征,考查数学抽象、数学运算的核心素养.由已知条件“胡夫金字塔的底部周长除以其高度的两倍,得到商为3.14159”可得,胡夫金字塔的原高为230×42×3.14159≈146.4米,则胡夫金字塔现高大约为146.4-10=136.4米,故选C . 4.(2019广西梧州调研,6)若抛物线x 2=2py (p >0)上一点(1,m )到其准线的距离为54,则抛物线的方程为( )A.x 2=y B.x 2=2y 或x 2=4y C.x 2=4y D.x 2=y 或x 2=4y答案 D 由已知可得m =12p ,则12p +p 2=54,化简得2p 2-5p +2=0,解得p =12或p =2,所以抛物线方程为x 2=y 或x 2=4y.5.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x ,y 之间的线性回归方程为p^=-0.7x +10.3,且变量x ,y 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误．．的是 ( ) x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ,y 之间成负相关关系B.可以预测,当x =20时,p^=-3.7 C.m =4D.该回归直线必过点(9,4)答案 C 由-0.7<0,得变量x ,y 之间成负相关关系,故A 说法正确;当x =20时,p^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B 说法正确; 由表格数据可知。

单元质量评估四(第四章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则x 等于( ) A ．9 B ．1 C ．－9D ．－1解析：设a ＝λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝xλ1＝－3λ，解得x ＝－9.故选C.答案：C2．若非零不共线向量a 、b 满足|a －b |＝|b |，则下列结论正确的个数是( ) ①向量a 、b 的夹角恒为锐角； ②2|b |2>a·b ； ③|2b |>|a －2b |； ④|2a |<|2a －b |. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为非零向量a 、b 满足|a －b |＝|b |，所以由向量a 、b 、a －b 组成的三角形是等腰三角形，且向量a 是底边，所以向量a 、b 的夹角恒为锐角，①正确；②：2|b |2>a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉⇒2|b |>|a |cos 〈a ，b 〉，而|b |＋|a －b |＝2|b |>|a |>|a |cos 〈a ，b 〉，所以②正确；③：|2b |>|a －2b |⇒4|b |2>|a －2b |2＝|a |2－4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2⇒4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉>|a |2⇒4·|b |cos 〈a ，b 〉>|a |，而2|b |cos 〈a ，b 〉＝|a |，所以4|b |cos 〈a ，b 〉>|a |，③正确；④：|2a |<|2a －b |⇒4|a |cos 〈a ，b 〉<|b |，而4|a |cos 〈a ，b 〉<|b |不一定成立，所以④不正确．故选C.答案：C3．已知向量a 、b 的夹角为60°，|a |＝3，|b |＝2，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值是( ) A.3223 B.2342 C.2942D.4229解析：∵(3a ＋5b )⊥(m a －b ) ∴(3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2－5b 2＋(5m －3)a ·b ＝0，∴27m －20＋(5m －3)×3×2cos60°＝0，解得m ＝2942.答案：C4．(2011·广东六校联考)如右图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →解析：排除法．如题图，AC →＝AB →＋AD →，故A 正确． 而BD →＝AD →－AB →，故B 正确．AO →＝12AC →＝12(AD →＋AB →)＝12AB →＋12AD →，故C 正确，所以选D.答案：D5．(2010·绵阳二诊)在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，M 是斜边BC 的中点，则向量AM →在向量BC →方向上的投影是( )A ．1B ．－1 C.355D ．－355解析：依题意得AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝－6，|BC →|＝42＋22＝25，向量AM →在向量BC →方向上的投影等于AM →·BC →|BC →|＝－625＝－355.选D.答案：D6．(2010·广州测试)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B. 3 C ．3D ．9解析：|a ＋b |＝(sin x ＋1)2＋(cos x ＋3)2 ＝5＋2sin x ＋23cos x ≤5＋22＋(23)2＝3. 答案：C7．(2010·福建质检)i 为虚数单位，若a1－i ＝1＋i i ，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i解析：由a 1－i ＝1＋i i 得a ＝1＋i i (1－i)＝2i ＝－2i.答案：C8．(2011·皖南八校联考)若z ＝y ＋3i1＋x i (x ，y ∈R ，i 为虚数单位)是实数，则实数xy 的值为( )[来源:学科网]A ．3B ．－3C ．0 D. 3解析：∵z ＝y ＋3i 1＋x i ＝(y ＋3i )(1－x i )(1＋x i )(1－x i )＝(y ＋3x )＋(3－xy )i 1＋x 2为实数，∴3－xy1＋x 2＝0，∴xy ＝3，故选A.答案：A[来源:学科网ZXXK]9．(2011·惠州调研)在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：因为π2<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z ＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．答案：B10．(2010·安徽联考)已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且AP →＝13AB →＋tAC →，其中t 为实数．若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是( )A ．0<t <14 B ．0<t <13C ．0<t <12D ．0<t <23解析：如右图，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点， 由AP →＝13AB →＋tAC →可知，P 点落在EF 上，而EF →＝23AC →，∴点P 在E 点时，t ＝0，[来源:Z,xx,]点P 在F 点时，t ＝23.[来源:学科网]而P 在△ABC 的内部，∴0<t <23.答案：D11．(2011·皖南八校联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，若O 为△ABC 内部的一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →·BC →＝( )A.12 B.25 C.13D.14解析：由题易知O 为△ABC 的重心，取BC 的中点D ， ∴AO →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝13(AB →＋AC →)(AC →－AB →)＝13(AC →2－AB →2)＝13. 答案：C12．(2010·重庆一诊)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”，若向量a 、b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．a ⊥(a －b )C ．b ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：依题意得|a －t b |≥|a －b |， 即(a －t b )2≥(a －b )2，亦即t 2－2t a·b ＋(2a·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立， 因此有Δ＝(2a·b )2－4(2a·b －1)≤0， 即(a·b －1)2≤0，故a·b －1＝0，即a·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C. 答案：C[来源:学科网]二、填空题(每小题5分，共20分)13．(2010·南京调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________解析：因为z 1·z 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 答案：－114．在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．解析：解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，得P A →＋PB →＋PC →－AB →＝0，即P A →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，得P A →＋P A →＋PC →＝0，即2P A →＝CP →，所以点P 是CA 边上的第二个三等分点，故S △PBC S △ABC ＝23.答案：2:315．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设AB →和AC →的夹角为θ，则θ的取值范围是________．解析：由题意可知：12|AB →||AC →|sin θ＝3，∴|AB →||AC →|＝6sin θ.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos θ＝6cos θsin θ.∵0≤AB →·AC →≤6,0<θ<π，∴0≤6cos θsin θ≤6，∴0≤cos θ≤sin θ，∴θ∈[π4，π2]．答案：[π4，π2]16．(2011·广东茂名一模)O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，若λ＝12时，P A →·(PB →＋PC →)的值为________．解析：由已知得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)，当λ＝12时，得AP →＝12(AB →＋AC →)，∴2AP →＝AB →＋AC →，即AP →－AB →＝AC →－AP →，∴BP →＝PC →， ∴PB →＋PC →＝PB →＋BP →＝0， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0，故填0. 答案：0[来源:Z 。

单元质量评估一(第一章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2011·山东省实验中学诊断性测试)若集合A ＝{x |0≤x ＋2≤5}，B ＝{x |x <－1或x >4}，则A ∩B 等于( )A ．{x |x ≤3或x >4}B ．{x |－1<x ≤3}C ．{x |3≤x <4}D ．{x |－2≤x <－1}答案：D2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 解析：由题意可得，∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，A ＝{x |－2≤x ≤3}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}．答案：D3．设命题：p ：若a >b ，则1a <1b ；q ：若1ab <0，则ab <0，给出以下3个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③綈p ∧綈q .其中真命题个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：p ：若a >b ，则1a <1b ，是假命题；q ：若1ab <0，则ab <0，是真命题．所以綈p 是真命题，綈q 是假命题；所以①p ∧q 是假命题，②p ∨q 是真命题，③綈p ∧綈q 是假命题．故选B.答案：B4．“a 2＋b 2≠0”的含义为( ) A ．a ，b 不全为0 B ．a ，b 全不为0 C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0解析：a 2＋b 2＝0⇔a ＝0，b ＝0，于是a 2＋b 2≠0就是对a ＝0，b ＝0，即a ，b 都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a，b不全为0”．答案：A5．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为()A．存在一个三角形，内角和等于180°B．所有三角形，内角和都等于180°C．所有三角形，内角和都不等于180°D．很多三角形，内角和不等于180°解析：该命题是一个“存在性命题”，于是“存在”否定为“所有”；“不等于”否定为“都等于”．答案：B6．已知a，b∈R，则“b＝0”是“|a＋b i|≥0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当b＝0时，|a＋b i|＝|a|≥0，即由b＝0⇒|a＋b i|≥0；当|a＋b i|≥0时，推不出b＝0.故选A.答案：A7．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为M∩P＝(2,3)，由x∈M或x∈Px∈M∩P，而由x∈M∩P⇒x∈M或x∈P，所以“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．答案：B8．由下列命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是() A．p：5是偶数，q：2是奇数B．p：5＋2＝6，q：6>2C．p：a∈{a，b}，q：{a} {a，b}D．p：Q R，q：N＝Z解析：∵“非p”为真，∴p为假．又∵“p或q”为真，∴q为真．因此得出p为假，q为真．故选B.答案：B9．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3<a <－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a <－3或a >－1解析：∵|x －2|>3，∴x >5或x <－1， ∴S ＝{x |x >5或x <－1}． 又T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8>5，a <－1.∴－3<a <－1. 答案：A10．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B ．“x >1”是“|x |>0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1<0”，则綈p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0” 解析：逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则A 是正确的；x >1时，|x |>0成立，但|x |>0时，x >1不一定成立，故x >1是|x |>0的充分不必要条件，故B 是正确的；p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个是假命题，故C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故D 是正确的．答案：C11．(2010·延安模拟)命题A ：(x －1)2<9，命题B ：(x ＋2)·(x ＋a )<0；若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．[4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，－4]解析：由(x －1)2<9，得－2<x <4， ∴命题A ：－2<x <4. 命题B ：当a ＝2时，x ∈Ø， 当a <2时，－2<x <－a ， 当a >2时，－a <x <－2.∵A 是B 的充分而不必要条件， ∴命题B ：当a <2时，－2<x <－a ， ∴－a >4，∴a <－4，综上，当a <－4时，A 是B 的充分不必要条件，故选A. 答案：A12．设非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |y ＝(3－x )(x －22)}，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是( )A ．1≤a ≤9B ．6<a <9C ．a ≤9D ．6≤a ≤9解析：B ＝{x |3≤x ≤22}，而A ⊆(A ∩B )⇔A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤223a －5≥2a ＋1⇔6≤a ≤9，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是B. 答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝__________. 解析：∵A ∩B ＝{2}，∴2∈A ，于是log 2(a ＋3)＝2， ∴a ＋3＝4，a ＝1.故b ＝2.∴A ＝{2,5}，B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{1,2,5}． 答案：{1,2,5}14．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的__________条件． 解析：∵p ：x <－3或x >1，∴綈p ：－3≤x ≤1 q ：2<x <3，∴綈q ：x ≤2或x ≥3，则綈p ⇒綈q . 答案：充分不必要15．(2011·山东烟台适应性考试)命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是________． 答案：∃x ∈R ，f (x )<m16．(2010·江苏苏北三市高三联考)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：要使命题为真命题，只需Δ＝(a －1)2－4>0，即|a －1|>2，∴a >3或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合．解：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . ①m ＝0时，B ＝Ø，B ⊆A ；②m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m .∵B ⊆A ，∴－1m∈A .∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或－13.∴满足题意的m 的集合为{0，－12，－13}．18．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0.解：(1)、(2)是全称命题，(3)、(4)是特称命题． (1)∵a x >0(a >0，a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)为真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题．19．(12分)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.故所求实数a 的取值范围是[0，12]．20．(12分)设全集为R ，集合A ＝{y |y ＝sin(2x －π6)，π4≤x ≤π2}，集合B ＝{a ∈R |关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上}．求(∁R A )∩(∁R B )．解：在集合A 中，∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴sin(2x －π6)∈[12，1]．∴A ＝{y |12≤y ≤1}．在集合B 中，记f (x )＝x 2＋ax ＋1， 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1>0，2＋a <0，5＋2a >0.∴B ＝{a |－52<a <－2}．∴∁R A ＝{y |y >1或y <12}，∁R B ＝{a |a ≥－2或a ≤－52}．∴(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x ≤－52或－2≤x <12或x >1}．21．(12分)(2011·蚌埠模拟)已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减， ∴0<2a －6<1，∴3<a <72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a 2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72. 故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72}．22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N ＋)，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1. ∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p . ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，p (p －1)p ＋q ＝p ，即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．。

...第3节等比数列及其前n项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1；通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53AT1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A .－12B .－2C .2 D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3.(2018·湖北省七市联考)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 65.(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2， ∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 1考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q . 由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A .－2B .－1C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A .12B .10C .8D .2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A .40B .60C .32D .50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)由数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】 (1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A .－ 3B .－1C .－33D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a3a＝73.答案 (1)A (2)73考点三 等比数列的判定与证明【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 (2017·安徽“江南十校”联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4， 所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A .{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B .{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C .{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D .{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A .2B .4C. 2D .2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B4.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B .－18C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A5.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的A .－2B .－ 2C .± 2D. 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析 由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5. 答案 57.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .答案 12n8.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0229.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n－2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ， ∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.10.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A .(3n －1)2B.12(9n －1) C .9n －1 D.14(3n －1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）1－9＝12(9n －1). 答案 B12.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2. 答案 a n ＝n （n ＋1）213.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.。