数学公开课课件2.4.2抛物线的简单几何性质2
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2024(精品课件)抛物线的简单几何性质
(精品课件)抛物线的简单几何性质contents •抛物线基本概念及引入•抛物线标准方程及性质•抛物线平移变换规律探究•抛物线焦点弦性质研究•抛物线切线问题解决方法•抛物线综合应用举例目录抛物线基本概念及引入抛物线定义与数学表达式定义抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。
数学表达式一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（开口向上或向下）或$x = ay^2 + by + c$（开口向左或向右）。
其中，$a$、$b$、$c$ 为常数，$a neq 0$。
体育运动工程设计科学研究桥梁、拱门等建筑结构的形态设计。
弹道学、天文学等领域的研究。
0302 01抛物线在实际生活中应用如篮球、足球、铅球等运动项目的轨迹分析。
当椭圆的长轴无限延长时，椭圆将趋近于抛物线。
与椭圆关系双曲线的一支在无限远处与抛物线相交。
与双曲线关系抛物线、椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的几何性质，如对称性、切线性质等。
二次曲线共性抛物线与其他二次曲线关系通过学习抛物线的基本概念，为进一步学习其他二次曲线打下基础。
掌握基本概念通过对抛物线几何性质的探究，培养学生的几何直觉和空间想象力。
培养几何直觉掌握抛物线知识，可以帮助学生更好地理解和解决一些实际问题，如运动轨迹分析、建筑设计等。
解决实际问题引入课程目的和意义抛物线标准方程及性质标准方程形式及推导过程标准方程形式y^2=2px(p>0)或x^2=2py(p>0)，其中p为焦准距，表示焦点到准线的距离。
推导过程通过抛物线的定义（平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹）和几何性质，可以推导出抛物线的标准方程。
焦点、准线概念及其性质焦点抛物线上的一个固定点，记为F，对于标准方程y^2=2px，焦点坐标为(p/2,0)；对于x^2=2py，焦点坐标为(0,p/2)。
准线抛物线的一条固定直线，记为l，对于标准方程y^2=2px，准线方程为x=-p/2；对于x^2=2py，准线方程为y=-p/2。
课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
课件14：2.4.2 抛物线的简单几何性质
22＋12，即 5.
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中，得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部， 自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为 4.
∴|AB|＝4p，∴S△ABO＝12·4p·2p＝4p2.
命题方向2 ⇨抛物线焦点弦的性质 典例2 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛 物线相交于两点A、B，求线段AB的长. [解] 如图，由抛物线的标准方程可知， 焦点F(1,0)，准线方程x＝－1. 由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0.
1．抛物线 y＝－3x2 的准线方程是 ( C )
A．y＝34
B．y＝－34
பைடு நூலகம்
C．y＝112
D．y＝－112
[解析] 由抛物线 y＝－3x2 得 x2＝－13y，∴2p＝112.
可得准线方程为 y＝112.故选 C．
2．若抛物线 y2＝x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点 P 的坐标为 ( B )
典例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线 焦点. (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距 离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求 一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离 之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中，得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部， 自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为 4.
∴|AB|＝4p，∴S△ABO＝12·4p·2p＝4p2.
命题方向2 ⇨抛物线焦点弦的性质 典例2 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛 物线相交于两点A、B，求线段AB的长. [解] 如图，由抛物线的标准方程可知， 焦点F(1,0)，准线方程x＝－1. 由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0.
1．抛物线 y＝－3x2 的准线方程是 ( C )
A．y＝34
B．y＝－34
பைடு நூலகம்
C．y＝112
D．y＝－112
[解析] 由抛物线 y＝－3x2 得 x2＝－13y，∴2p＝112.
可得准线方程为 y＝112.故选 C．
2．若抛物线 y2＝x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点 P 的坐标为 ( B )
典例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线 焦点. (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距 离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求 一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离 之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为
抛物线的简单几何性质(二)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
x 6x 1 0
2
y 4x
x1 3 2 2
x2 3 2 2
或
y1 2 2 2
y2 2 2 2
2
2
AB = (x1 - x2 ) +(y1 - y2 ) = 8
解法2：
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
A1
y x 1
2
x 6x 1 0
2
y 4x
⇒x1 + x2 = 6, x1x2 = 1
|AB |= |AF|+ |BF |
B1
完成课本P136
页第3、4题
= |AA1 |+ |BB1 |=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8
三、中点问题
例：已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、
− ).
2
④
l
联立①④，消去x，可得y0 y 2 − (y0 2 − p2 )y − y0 p2 = 0，
即(y − y0 )(y0 y + p2 ) = 0，
−p2
可得点B的纵坐标为 ，与点D的纵坐标相等，
y0
于是DB平行于x轴.
当y0 2 = p2 时，易知结论成立.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.
4:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公
共点?
•
解 由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2.
•
1
把 y 1代入 y 4 x, 得 x .
4
2
1
这时, 直线 l 与抛物线只有一个公共点 ,1 .
x 6x 1 0
2
y 4x
x1 3 2 2
x2 3 2 2
或
y1 2 2 2
y2 2 2 2
2
2
AB = (x1 - x2 ) +(y1 - y2 ) = 8
解法2：
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
A1
y x 1
2
x 6x 1 0
2
y 4x
⇒x1 + x2 = 6, x1x2 = 1
|AB |= |AF|+ |BF |
B1
完成课本P136
页第3、4题
= |AA1 |+ |BB1 |=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8
三、中点问题
例：已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、
− ).
2
④
l
联立①④，消去x，可得y0 y 2 − (y0 2 − p2 )y − y0 p2 = 0，
即(y − y0 )(y0 y + p2 ) = 0，
−p2
可得点B的纵坐标为 ，与点D的纵坐标相等，
y0
于是DB平行于x轴.
当y0 2 = p2 时，易知结论成立.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.
4:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公
共点?
•
解 由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2.
•
1
把 y 1代入 y 4 x, 得 x .
4
2
1
这时, 直线 l 与抛物线只有一个公共点 ,1 .
2.4.2抛物线的简单几何性质(第二课时)精品PPT课件
三角形的重心恰好是抛物线的焦点，求BC所在直线方程.
解：由y2 32x得焦点坐标为(8,0),设B(x1, y1)、C(x2 , y2 )，
A(2,8),三角形重心是(8,0),
x1 y1
x2 3 y2 3
2 8
8,即 0.
x1 y1
x2 y2
22， 8.
y
故BC中点为(11,4).
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
练习:过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个
公共点的直线的方程是__________________________.
联立
y y
kx 2 4x
1
y 1或 x 0或 y x1
消去 x 得 ky2 4 y 4 0
o
A(2,8)
.
F
x
又由yy1222
32x1 32x2
y1 y2 x1 x2
32 y1 y2
4
B
kBC 4.
C
故BC方程为4x y 40 0.
又由4yx2
y 40 32x.
0,得
x2 22x 100 0, 84 0.
故BC所在直线的方程为4x y 40 0.
例 3：已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上, 顶点 A 、B 在抛物线 y2 x 上,求正方形的边长.
联立
4
y x2 y2 ax
a2
消y得x2
44 0
4 a x
解得a
40
8或a
0
则 x1 x2 4 a，x1 x2 4
AB 2 4 a2 4 4 4 6
解得a 12或a 4
课件4：2.4.2抛物线的几何性质
2.4.2 抛物线的几何性质
问题导入
我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)① 来研究它的一些几何性质.
学习新知 1.范围 因为p＞0，由方程①可知，对于抛物线上的点 M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口 方向与x轴正向相同; 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸．
典例精析 例1 已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点且开口 向右，又抛物线经过点M(4，2 3 )，求它的标准方程.
解 根据已知条件，设抛物线的方程为y2＝2px (p>0).
因为点M(4,2 3 )在抛物线上， 所以(2 3 )2＝2p·4，得2p＝3. 因此，所求方程为y2＝3x.
例2．汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部 分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物 线焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯 泡与反射镜的顶点（即截得的抛物线的顶点）距离是多 少？（图2-24（1））
a 4
)，∴m＝－a.
即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，
得0.82＝－ay，
即y＝-
0.82 a
.
欲使卡车通过隧道，应有y－(-
a 4
)>3，
a
0.82
即 4 － a >3.由于a>0，
得上述不等式的近似解为a>12.21.
∴a应取13.
x2＝－2py (p＞0)
图象
焦点 准线
性质
范围
对称轴 顶点 离心率
开口 方向
Fp2，0 x＝－p2
F－p2，0
F0，p2 F0，－p2
x＝p2
问题导入
我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)① 来研究它的一些几何性质.
学习新知 1.范围 因为p＞0，由方程①可知，对于抛物线上的点 M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口 方向与x轴正向相同; 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸．
典例精析 例1 已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点且开口 向右，又抛物线经过点M(4，2 3 )，求它的标准方程.
解 根据已知条件，设抛物线的方程为y2＝2px (p>0).
因为点M(4,2 3 )在抛物线上， 所以(2 3 )2＝2p·4，得2p＝3. 因此，所求方程为y2＝3x.
例2．汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部 分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物 线焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯 泡与反射镜的顶点（即截得的抛物线的顶点）距离是多 少？（图2-24（1））
a 4
)，∴m＝－a.
即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，
得0.82＝－ay，
即y＝-
0.82 a
.
欲使卡车通过隧道，应有y－(-
a 4
)>3，
a
0.82
即 4 － a >3.由于a>0，
得上述不等式的近似解为a>12.21.
∴a应取13.
x2＝－2py (p＞0)
图象
焦点 准线
性质
范围
对称轴 顶点 离心率
开口 方向
Fp2，0 x＝－p2
F－p2，0
F0，p2 F0，－p2
x＝p2
2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 学生版
课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质应用（二）1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。
※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，填表。
思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：定值问题例1:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
变式练习：22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线y x O A O B AB与轴的交点为定点。
x题型四：直线与抛物线的位置问题1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。
即把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切；2． 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。
例2：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。
1．（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 （ ）()21A ()1B ()2C ()4D2． 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)3. （2012高考安徽理9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则A O B ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C 2()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①O A O B ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是__________________.5.（ 2010年高考全国卷I 理科21）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。
第二章2.4.2抛物线的几何性质PPT课件
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2 •2
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x y2 4x
焦点
准线
F
(3Βιβλιοθήκη 2,0)x3 2
F(1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4y F(0,1) y 1
例3.斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于A，B两点， 求线段AB的长。
结论：直线l 经过抛物线y2=2px的焦点, 且与抛物线相交于A，B两点，则线段 AB的长|AB|=x1+x2+P.
•20
练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的 弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是
A.6或56.................B.4或34 C.3或23..................D.2
A.43........................B.75 C.85.........................D.3
•27
（三）、例题讲解：
变式题6：已知直线y=x+b与抛物线 x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为 坐标原点),求b的值.
A.23.......................B.2
C.52.......................D.
3 2
•28
y P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有
两个顶点不同。
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
抛物线的简单几何性质 课件
程形式是否是标准方程形式，否则容易出错．由 y＝－18x2 得 x2＝－8y，故其准线方程是 y＝2.
答案：C
3．设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，
PA⊥l，A 为垂足．如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么|PF|＝( B )
A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
基础 梳理
如下表：
标准方程 y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p ＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p ＞0)
焦半径 |PF|
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋x2 |AB|＝p－x1 |AB|＝y1＋y2 |AB|＝p－y1
|AB|
隐含的条件．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常
用的几何性质．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
其准线方程为y＝－1或y＝－2.
点评：求抛物线的标准方程的一般步骤：①根据条 件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；②根 据焦点位置和开口方向设出标准方程；③根据条件列出
关于p的方程；④解方程，将所求得的p值代入所设方程，
即可得抛物线方程．
题型二 焦点弦问题
斜边长为8，求抛物线的方程．
解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛
物线上．
根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称． 由题意得 A(4,4)在抛物线y2＝2px上， 所以42＝2p×4，所以p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.
点评：抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题 时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些
点评：解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题 时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再 结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公 式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
答案：C
3．设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，
PA⊥l，A 为垂足．如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么|PF|＝( B )
A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
基础 梳理
如下表：
标准方程 y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p ＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p ＞0)
焦半径 |PF|
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋x2 |AB|＝p－x1 |AB|＝y1＋y2 |AB|＝p－y1
|AB|
隐含的条件．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常
用的几何性质．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
其准线方程为y＝－1或y＝－2.
点评：求抛物线的标准方程的一般步骤：①根据条 件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；②根 据焦点位置和开口方向设出标准方程；③根据条件列出
关于p的方程；④解方程，将所求得的p值代入所设方程，
即可得抛物线方程．
题型二 焦点弦问题
斜边长为8，求抛物线的方程．
解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛
物线上．
根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称． 由题意得 A(4,4)在抛物线y2＝2px上， 所以42＝2p×4，所以p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.
点评：抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题 时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些
点评：解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题 时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再 结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公 式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
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直线与抛物线没有公 共点时△<0
1 综上所述，当 k 1，或k ，或k 0时， 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。
1 当 1 k , 且k 0时， 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 1 当k 1或k 时， 2 即直线与抛物线没有公 共点。
注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
1 这时，直线 l与抛物线只有一个公共 点( ,1) 4
?
(2)当k 0时，方程的判别式为 ＝16(2k 2 k 1).
10由＝0，即2k 2 k 1 0
1 解得 k 1, 或k . 2 1 即当k 1，或k 时，方程组只有一个解 ， 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。
2
y 2 px p O 2 p y 2 p ( my ) 2 x my 2
即：y 2 pmy p 0
2 2
p x my 2
y A F B x
y1 y2 p （定值）
2
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px( p 0)于 A，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
关系问题的重要方法
Thanks for attention!
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px( p 0)于 A，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
解：因为直线AB过定点F且不与x轴平
行,设直线AB的方程为
方程组有1组解 方程组有0组解 方程组有2组解
直线与抛物线有 1个公共点 直线与抛物线有 0个公共点
直线与抛物线有 2个公共点
数 形 结 合
当堂巩固 2 C ： y 4 x 仅有一个 M ( 0 ， 1 ) 1、过点 且和抛物线 y 1或x 0或y x 1 交点的直线方程是________________________
2
解：由题意，设直线 l的方程为y 1 k ( x 2).
y 1 k ( x 2) 2 由方程组 可得 ky 4 y 4(2k 1) 0 2 y 4x 1 2 (1)当k 0时，由方程得 y 1 . 把y 1代入 你认为消去x,还是消去 y y 4 x, 得x 4 .
2
A. -1
C.0或
B.
-
4 5
D.-1或
-
4 5
题型二 焦点弦问题 例2、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直 线交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的 圆和这抛物线的准线相切．
证明：
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径，且EH⊥l，因 而圆E和准线l相切．
p 联想2 :由于直线AB过点焦点F ( ,0) 2 时有y1 y2 p 2成立， 那么反之是否 也成立 ?
A
y O B x F
变题2 : 抛物线y 2 px( p 0)上
2
两个动点A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 若 y1 y2 p , 则直线AB过抛物线
高二数学 选修2-1
第二章
圆锥曲线与方程
图 形 标准方程
y2=2px
y2=-2px
p F(- ,0 ) 2 p x= 2
p 焦点坐标 F ( 2 ,0) p 准线方程 x = - 2
x2=2p p y
F ( 0, ) 2 p y=2
x2=2py p F (0, - )
p y= 2 2
范围 对称轴
x0，yR x轴
y
C H D E F A
B O
x
当堂巩固 0 2 45 3、过抛物线y =4x的焦点F作一条倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，求AB的中点M到 准线的距离.
4
C H F
B M
D
A
两种题型
题型一 直线与抛物线的位置关系 题型二 焦点弦问题
一种数学思想
数形结合
一种数学方法
设而不求，联立方程组，韦达定 理这是研究直线到 y1 y2 p 2 , 那么x1 x2 ________?
A F B x
O 2 变题1 : 过抛物线y 2 px( p 0)焦点 F的直线， 交抛物线于点A( x1 , y1 )、
p B ( x2 , y2 ), 则有x1 x2 . 4
2
2
焦点F .
联想3 :由于焦点比较特殊， 对于在抛物线的轴上的一 般的点， 结论又会怎样呢 ?
y A
2
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y 2 px ( p 0)的轴上的一个定点， 过M的 O 直线交抛物线于A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两点, 求证 : y1 y2与x1 x2均为定值.
x0，yR
y0，xR y轴
y0，xR
顶点
离心率
原点
即(0，0)
e=1
题型一 直线与抛物线的位置关系
例 1、已知抛物线的方程为 y 2 4 x , 直线 l 过 定点 P ( 2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛 物线 y 4 x : ⑴ 只有一个公共点 ; ⑵ 有两个公共 点; ⑶没有公共点?
k
y k x1 联立 2 y 4x
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
【点睛】：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结 合，找出符合条件的直线条数，就不会造成漏解。
2.已知直线 y (a 1) x 1 与曲线 y ax D） 恰有一个公共点,则实数 a 的值为（
F B
x
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20由 0，即2k 2 k 1 0
分析:
1 直线与抛物线有两个 解得 1 k . 2 公共点时△>0 1 即当 1 k , 且k 0时，方程组有两个解， 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 分析:
30由 0，即2k 2 k 1 0
1 解得 k 1，或 k . 2 1 即当k 1或k 时，方程组没有实数解 ， 2 即直线与抛物线没有公 共点。