07082微积分(历年期末试卷答案)

微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。

微积分考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 5在区间(-∞, -3)上的单调性是（）。

A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：B2. 极限lim(x→0) (x^2 - 1)/(x - 1)的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数y = ln(x)的导数是（）。

A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2在点(1, 0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C5. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的极值点是（）。

B. x = 3C. x = 1 或 x = 3D. 无极值点答案：C6. 函数y = e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(e^x) - C答案：A7. 曲线y = x^2 + 2x + 1与直线y = 3x + 2相切的切点坐标是（）。

A. (-1, 1)C. (2, 6)D. (3, 11)答案：B8. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是（）。

A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A9. 函数y = sin(x)的不定积分是（）。

A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B10. 曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周形成的立体体积是（）。

A. πB. 2πC. π^2D. 2π^2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的二阶导数是 ________。

答案：6x - 612. 函数y = e^(-x)的不定积分是 ________。

答案：-e^(-x) + C13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是 ________。

浙江工商大学章乃器学院2007 /2008 学年第一学期考试一试卷课程名称：微积分（上）考试方式：闭卷完成时限：120 分钟班级名称：学号：姓名：题号一二三四五六总分分值16162418206100得分阅卷人一、填空题（每题 2 分，共 16 分）1、已知 f (cos x)1cos x ，则 f f 0 222、lim ( x arctan 21arctanx)=x x x23、函数y x x 2x 1 的渐近线是4、设某商品的总收益函数在某需求量（即销量数）弹性=- 1。

2。

y = 2和y = 2 x–。

Q0处达到最大收益值，则此时需求对价格的。

5、设 f ( x)是可微函数，则d( df (x)) f ( x ) + C。

6、已知 f 'x dx x(e x1) C ，则 f x 1e x ( x1) x C，。

27、若x ln x x是 f (x) 的一个原函数，则e2 x f ' e x dx e x C。

8、设曲线y f ( x)在 x0处与y sin x相切（有同样的切线），则lim f (ax) f (bx) = a + b。

x0sin(a b) x二、单项选择（只有一个正确答案，每题 2 分共 16 分）1、当x 0 时，2x3x 2 与x 对比较是（B）的无量小。

A、等价B、同阶但不等价C、高阶D、低阶2、 若 f ' x 0 2,则 limtan 2 x（ D）。

f x 0 2f x 0x 02xA 、 0B 、C 、1 D 、1443、已知f ( 1 )dxx 2C ， 则f ( x)dx（D）。

xA 、2 CB 、2C 、2CD 、2 CxxCxx4、设 f ( x)在 [ a, b] 上连续 , 在 (a, b) 内f ' (x)0 , 且f ( a) f (b) 0 , 则方程f (x) 0在(a ,b ) 内 （B）。

A 、 无根B 、 只有一根C 、 最少有两根D 、 根的个数没法确立5、以下命题正确的选项是 （D） .。

对外经济贸易大学2007─2008学年第二学期《微积分（二）》期末考试试卷（B ）一、单项选择题：（每题2分，共14分） 得分1．设()f x 是连续函数, ()(),xa F x f t dt =⎰则下列结论正确的是 （ ）（A ）若()f x 是偶函数,则()F x 必为奇函数（B ）若()f x 是奇函数,则()F x 必为偶函数（C ）若()0f x >,则()F x 必大于零（D ）若()f x 是周期函数,则()F x 也是周期函数2．设()f x 是连续函数, ln 1()(),xx F x f t dt =⎰ 则()F x '等于 （ ）（A ）2111(ln )()f x f x x x + （B ） 1(ln )()f x f x+ （C ）2111(ln )()f x f x x x - （D ）1(ln )()f x f x - 3．广义积分⎰∞+=+1)1(1dx x x （ ）（A ） 2π （B ） π （C ） 2π （D ） 4π 4．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点),(00y x 处连续。

②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续。

③),(y x f 在点),(00y x 处可微。

④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在。

用P Q ⇒“”表示可由性质P 推出Q ,则有 （ ）（A ）②⇒③⇒① （B ）③⇒②⇒①（C ）③⇒④⇒① （D ）③⇒①⇒④5．对于函数(,)f x y =0，0）是 （ ）（A ）驻点 （B ）驻点是极值点（C ）不是驻点，但是极大值点 （D ）不是驻点，但是极小值点6．设有幂级数211n nn na x ∞+=∑,若11lim 4n n n a a →+∞+=,则该幂级数的收敛开区间为 （ ） （A ）(11,22-) （B ）()2,2- （C ）(11,44-) （D ）()4,4- 7. 具有通解2121,()cos sin (C C x C x C e y x +=为任意常数）的二阶常系数齐次线性微分方程是 （ ）（A ）0=+'-''y y y （B ）022=+'-''y y y（C ） 0=+''y y （D ）02=+'-''y y y二、填空题：（每题3分，共21分） 得分1．设()f x 是连续函数，且221()2()f x x f x dx =+⎰，则()f x ＝______________.2. 由曲线,x x y e y e -==和直线1x =所围图形的面积是______________.3．函数arcsin x z y=在点(3,5)处的全微分dz =______________. 4．设(),z z x y =是由方程sin 1z z xy ++=确定的隐函数,则(1,1,0)z x ∂=∂______________. 5．二重积分()10,I dy f x y dx =⎰交换积分次序后的形式是______________. 6．设级数∑∞=-12)1(n n n na 收敛，则级数∑∞=1n n a 的敛散性是 ______________.7. 设)(1x y 是方程)()(x Q y x P y =+'的一个特解，C 是任意常数，则该方程的通解是______________.三、计算题：（1-6每题6分，第7题7分，共43分） 得分1．方程(,)0z z F x y y x ++=确定了函数(,),z f x y =其中F 为可微函数，求,z z x y∂∂∂∂。

对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期 《微积分二》期末考试试卷A课程课序号：CMP124－0～15学号： 姓 名： 成 绩： 班级： 课序号： 任课教师：一、选择题（每小题2分，共14分）： 得分 1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。

.()().()().()().()()bbb ba aaabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数，='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则（ A ）。

A.)1(1)(ln 12x f x x f x + B ． )1()(ln xf x f +C.)1(1)(ln 12x f xx f x -D ．)1()(ln x f x f - 3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的（ D ）。

A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件。

4．设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ C ）。

A ．(,).xf x y dy ⎰⎰B.(,).f x y dy ⎰⎰C.(,).yf x y dx ⎰⎰D.(,).f x y dx ⎰⎰5．函数21212(,xx y c e c e c c -=+为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ D ）的通解。

A. 20y y y '''+-= B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--=6．设()1ln(1nn u =-+，则下列结论中正确选项是( B )。

2008-2009微积分期末考试及答案一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. =→xx x 1sinlim 0________.2. 设1)1(lim)(2+-=∞→nxx n x f n ，则)(x f 的间断点是________.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x dfx dx-== _______.4. ()axx '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且一定等于零B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在. 3. 极限=-→xxx xe21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在. 4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim 0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221x y x=-渐近线的条数为________.A ．0B ．1C ．2D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2sin 1limsin xx e x x→--.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim (cos )x x x +→.五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax bx -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，10分.）某工厂生产一种产品的总成本函数为Q Q C 21200)(+=，需求函数为QP 100=，其中Q 为产量，P 为价格，求（1）生产该产品的最优产量和最大利润. (2)该产品在销售价格2=P 时需求对价格的弹性，并指出其经济意义. 十、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.2008－2009微积分期末考试及答案一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x xa x -⋅+ 5、3x =二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）22sin 1sin 1limlim2sin cos lim 62sin 1lim822xxx x xx xx e x e x xxe xx e x→→→→----=-=+== 分分分四、（8×1=8）()2ln cos 1lim1sin cos lim112lim (cos )268x x x xx x x xx e e e+→++→→-⋅--=== 分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。

微积分期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+2的导数是（）。

A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3xC. 3x^2 - 3xD. 3x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是（）。

A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=x+1D. y=x-1答案：A4. 若f(x)=x^2+3x-2，则f'(-1)的值是（）。

A. 0B. 2C. -2D. 4答案：C5. 定积分∫(0 to 1) (2x-1)dx的值是（）。

A. 1/2B. 1C. 3/2D. 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=______。

答案：1/x2. 函数y=e^x的原函数是______。

答案：e^x3. 曲线y=x^3与直线y=2x+1在x=1处的交点坐标是______。

答案：(1,3)4. 函数y=x^2-4x+4的极小值点是______。

答案：x=25. 定积分∫(0 to 2) x dx的值是______。

答案：4三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^2-6x+8的极值点。

答案：函数y=x^2-6x+8的导数为y'=2x-6，令y'=0，解得x=3。

将x=3代入原函数，得到极小值点为(3,-1)。

2. 求定积分∫(0 to 3) (x^2-2x+1)dx。

答案：首先求出原函数F(x)=1/3x^3-x^2+x，然后计算F(3)-F(0)=1/3*27-9+3-0=6。

3. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程。

答案：首先求导得到y'=3x^2，将x=1代入得到y'|_(x=1)=3，切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2。

四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则∫(a to b) f(x)dx存在。

微积分期末试题及答案（正文开始）第一部分：选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，求 f'(x)。

2. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。

3. 将函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上进行定积分，求结果。

4. 设函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。

5. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的定积分，其中积分区间为 [-1, 2]。

6. 设函数f(x) = √(x^2 + 1)，求 f'(x)。

7. 求函数 f(x) = 3x^2 - 6 的不定积分。

8. 计算定积分∫(0 to π/2) cos(x) dx 的值。

9. 设函数 f(x) = e^(2x)，求 f'(x)。

10. 求函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 的不定积分。

11. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值。

12. 设函数 f(x) = (sinx + cosx)^2，求 f'(x)。

13. 求函数 f(x) = 2e^x 的不定积分。

14. 计算定积分∫(1 to e) ln(x) dx 的值。

15. 设函数 f(x) = x^2e^x，求 f'(x)。

16. 求函数 f(x) = ln(2x + 1) 的不定积分。

17. 求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

18. 设函数 f(x) = e^(3x)，求 f'(x)。

19. 求函数f(x) = ∫(1 to x) t^2 dt 的不定积分。

20. 计算定积分∫(0 to π) sin^2(x) dx 的值。

第二部分：计算题（共4题，每题25分，共100分）1. 计算函数f(x) = ∫(0 to x^2) (2t + 1) dt 在区间 [-1, 1] 上的定积分。

河北大学课程考核参考答案及评分标准 （ 2007 — 2008 学年第 二 学期）考核科目 微积分2 课程类别 必修课 考核方式 闭卷 卷别 A一．单项选择题：（共24分，每小题3分） B D A C D C A B二．填空题：（共18分，每小题3分） 1.312. 42dx dy -3. 110(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 4．()1223t tc y t C C =+，其中12,C C 为任意常数。

5．()()101,,!nn n x x n ∞+=-∈-∞+∞∑6．2三．计算题：（共35分，每小题7分）1．解：⎰=2023sin πxdx e x⎰223sin 21πx xde =202|3sin 21πx e x -⎰2023cos 23πxdx e x （3分） =πe 21-43-=⎰223cos πxxdeπe 21-43-[202|3cos πx e x ⎰+2023sin 31πxdx e x ]（3分）414321-+-=πe ⎰223sin πxdx e x于是，移项可得⎰=2023sin πxdx e x)1(212+πe （1分） 2. 解：由()()()()2121121232lim lim 2122n n n n n n n nu x n x x u x n x +++-→∞→∞+⋅⋅==+⋅⋅（2分）当221,2,2x x <<即亦即x <<2分）， 当221,22x x >>即，亦即x x <>2分）。

当x =121n n ∞=±+，发散，故该级数的收敛区间是(（1分）。

3．解： 令(),,z F x y z xyz e =-，求得(),,1z F F Fyz xz xy e xy z x y z ∂∂∂===-=-∂∂∂（3分，每个1分）， 当0Fz∂≠∂时，由隐函数的求导公式，得 ()1Fz z x F x x z z ∂∂∂=-=∂∂-∂（1分），()1F z z y F y y z z∂∂∂=-=∂∂-∂（1分）， ()()()()()()2222222111111z xz z z z z x z zx x x z y z z y y y xx y y y x z x z x z ⎛⎫-∂∂∂∂⎛⎫∂ ⎪---∂ ⎪--∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭=====∂∂∂∂--- ()31z xy z =--（2分）4．解：画出积分区域D 的图形12:1x D y x x≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩（2分）2221221xx Dxx dxdy dx dy y y ==⎰⎰⎰⎰（3分）()2223111914xx dx x x dx y x⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰（2分）。