2020高考数学全真模拟试卷二(全国三卷)

2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（ ）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I 【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<，∴{}|0B x x =<，∵集合{}1A x x =<，∴{}0A B x x =<I ，{}1A B x x =<U ，故选A ．2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1【答案】D【解析】设i z b b =∈R ,且0b ≠，则1ii 1ib a +=+，得到1i i 1ab b ab +=-+∴=-,，且1b =，解得1a =-，故选D ．3．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）AB C D【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=，故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距c ==，故离心率为e =A ． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =【答案】B【解析】因为函数y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误；因为函数21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确；因为函数cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误；因为函数12y x =的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误，故选B ．5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．2ab > B ．2a b +< C ．11a b< D ．2b aa b+> 【答案】D【解析】因为：1b a >>，对于A ：当34,23a b ==，所以34223ab =?，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：因为1b a >>，所以1101b a<<<，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=，又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b +>，故D 正确，故选D ．6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】A【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk kk k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =．因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ．8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D ．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．①②【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为2204318143d ⨯+⨯-==+，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分 跳高 以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分 掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）． 综上，乙得分最多，故选B ．第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．【答案】6【解析】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=，故答案为6．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===，故答案为78．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为．【答案】(3,23)±【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得23y =±，所以点M 的坐标为()3,23±．14．已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________． 【答案】2π2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点， 当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22222⋅+⋅=，所以()121122ABC S ∆=⋅π+=⋅π．如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222ωπ⋅⎭＝，解得ω的最小值为 2π，故答案为2π， 2π． 15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号） 【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+，0,0k b ><，即k 为票价，当0k =时，y b =，则b -为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则b -变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，k 变大，即提高票价，b 不变，则b -不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）56π． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且1=2OG CF ． 由已知//DE CF 且12DE CF =，∴//DE OG 且=DE OG ，所以四边形DEOG 为平行四边形． ∴//EO DG ，即//BE DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ． （2）解：由已知ABFE 为边长为2的正方形，∴AD EF ⊥，因为平面ABEF ⊥平面EFCD ，又DE EF ⊥，∴,,EA EF ED 两两垂直． 以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2E A B F D C ．可求得平面ACF 法向量为()11,0,1n =u r ，平面ACD 法向量为()21,1,2n =-u u r ，∴3cos θ=-，所以二面角B AC D --的平面角的大小为56π．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列{}n c 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决． 试题解析：方案一：选条件①（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>Q ，11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,， 解得112a d =⎧⎨=⎩,或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧∴⎨=⎩,，()1–1n n d αα∴=＋21n =-，1112n n n b b q --==．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案二：选条件②（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ，12112253a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩,，112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或112a d =-⎧⎨=-⎩,（舍去）， 112b q =⎧∴⎨=⎩,，1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1，1112n n n b b q --== ． （2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案三：选条件③3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>，1113278a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧⎨=⎩,，1(1)n a a n d ∴=+-21n =-11n n b b q -=12n -=．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统 计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了 解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由． 【答案】（1）2950；（2）分布列见解析，数学期望25；（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 试题解析：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为： 0121625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．19．（本小题15分） 已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值． 【答案】（1）10x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（3）11e+． 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)xg x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．试题解析：（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+，所以(0)1f =，(0)1f '=． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． （2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，由()e 10xf x x '=-+<得，0x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0xa xb -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-． 由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤． 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减，所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+．所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11ea =-，2eb =时，b a -有最大值为11e +． 20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22196x y +=（Ⅱ）以MN 为直径的圆过原点，坐标为()0,0，且||||PM PN ⋅为定值185【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道2EF x ⊥，这样可以求出点E 的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出c 、2ba的值，再根据222c a b =-，最后求出,a b 的值，也就求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M 、N 两点的坐标，判断0OM ON ⋅=u u u u r u u u r是否成立，可以判断以MN 为直径的圆是否过定点，也就能求出||||PM PN ⋅的值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程y kx m =+，设出M 、N 两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，消去y ，得到一个关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，计算OM ON ⋅u u u u r u u u r的值，最后可以求出||||PM PN ⋅的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得2EF x ⊥轴，则2(,)b E c a ，因为ABE ∆是边长为2的正三角形，所以2c =⨯=22b a =，且223a b -=，解得3a =，b =，所以椭圆方程为22196x y +=． （Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为x =M ，N ，则0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，所以OM ON ⊥，此时以MN 为直径的圆过原点，2218||||||5PM PN OP r ⋅===为定值； 当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，=22(5181)m k =+， 联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，可得222(23)63180k x kmx m +++-=，即有>0∆，122623km x x k +=-+，212231823m x x k -=+，12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++ 222223186(1)()02323m kmk km m k k-=+⋅+-+=++， 可得OM ON ⊥，此时2218||||||5PM PN OP r ⋅===． 综上可得以MN 为直径的圆过原点，且||||PM PN ⋅为定值185． 21．（本小题14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>． 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析；()3证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解； （2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解； （3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解．试题解析：()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是“独立的”．()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为：{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =．所以，M 至多有5个“关联子集”．若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a = 同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”． 所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾．所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集”， 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”． 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A ．若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 所以135,,A A A 都是“关联子集”，所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-，1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-．1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-．所以12345,,,,a a a a a 是等差数列．()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈．因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素．假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>，所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤，所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+，所以任取t T ∈，232n nt -≤+，任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素． (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立．因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立．所以12n n a a --≥．所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭， 而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=，因为4T ∈，所以121,3a a ==．因为222n n T -+∈，所以2222n n n n a a --+=+，所以22824n n a n --+-=，所以123n a a a a -+=+n ，矛盾． 所以命题成立．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C8．C9．A10．B11．D12．D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．214．2015．32016．9π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】(1)2n a n =；(2)()1654209n nn S +-+=．【解析】(1)由题意得22228t t t t t -++==，所以2t =±，···········2分2t =时，12a =，公差2d =，所以2n a n =；···········4分2t =-时，16a =，公差2d =-，所以82n a n =-．···········6分(2)若数列{}n a 为递增数列，则2n a n =，所以2log 2n b n =，4n n b =，()()1214nn n a b n -=-⋅，···········8分所以()()231143454234214n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，·········9分()()23414143454234214n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，所以()23134242424214n n n S n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅ ()()211414422143n n n -+-=+⨯---()1206543n n +---=，···········10分所以()1654209n nn S +-+=．···········12分18．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）随机变量X 的可取值为0，1，2，3，4···········1分 (2) (3)分 (4) (5)分···········6分故随机变量X 的分布列为:X 01234P1708351835835170···········7分（2）随机变量X 服从超几何分布：()4428E x ⨯∴==，···········9分()1422E Y ∴=⨯=．···········11分()()224E X E Y ∴+=+=．···········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在半圆柱中，1BB ⊥平面11PA B ，所以1BB PA ⊥．···········2分因为11A B 是上底面对应圆的直径，所以11PA PB ⊥．···········4分因为111PB BB B = ，1PB ⊂平面1PBB ，11BB PBB ⊂，所以1PA ⊥平面1PBB ．···········5分（2）以C 为坐标原点，以CA ，CB 为，y 轴，过C 作与平面ABC 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系C xyz -．如图所示，设1CB =，则()1,0,0B ，()0,1,0A，(1A，(1B，(P ．···6分平面11PA B 的一个法向量()10,0,1=n ．···········8分设平面11CA B 的一个法向量()2,,x y z =n ，则1z =···········10分···········11分由图可知二面角11P A B C --为钝角，所以所求二面角的余弦值为．···········12分20．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴122x =，1y =，∴111121222AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分∴2224m k =+，1221==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分21．【答案】（1）见解析；（2）当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．【解析】（1）1m =时，()1e ln x f x x x -=-，()1'e ln 1x f x x -=--，········1分要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()0f x '≥对0x >恒成立，令()1e x i x x -=-，则()1e 1x i x -'=-，当1x >时，()0i x '>，···········2分当1x <时，()0i x '<，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10i x i =≥，···········3分即1e x x -≥（当且仅当1x =时等号成立），令()()1ln 0j x x x x =-->当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j =≥，即ln 1x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1e ln 1x f x x -'=--()ln 10x x -+≥≥（当且仅当1x =时等号成立），()f x 在()0+∞，上单调递增．···········5分（2）由()e ln x m g x x m -=--有，显然()g x '是增函数，令()00g x '=，00e e x m x =，00ln m x x =+，则(]00,x x ∈时，()0g x '≤，[)0,x x ∈+∞时，()0g x '≥，∴()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x ···········7分①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；···········8分②当1m <时，001x <<02ln 0x <，001x <<，所以()0g x >0，()g x 没有零点；···········9分③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()eee e e 0mmm mmg m m -----=+-=>，又对于函数e 1x y x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥，∴当0x >时，1010y >--=，即e 1x x >+，∴()23e ln3m g m m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m-=-=，∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又0e 1m x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．···········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(十五)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合{14}A x x =-<<,2{60}B x x x =∈-<Z ，则A B =I （ ）A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{l,2,3}D ．{2,3,4} 2．设a ，b ∈Z ，若()()i 2i 5a b +-=,则a+b 的值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．73．如图，ABCD 是边长为4的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=u u u r u u u r（ ）FDCBAA ．3B ．4C ．5D ．64．已知x ，y 满足不等式组1221420 x y x y x ⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥，则4z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．12- C ．12D ．15．若某正八面体的各个顶点都在半径为1的球面上，则此正八面体的体积为（ ）A ．328 B ．325 CD ．436．运行如图所示的程序框图，当输入x 的值为5时，输出y 的值恰好是15，则⯑处的关系式可以是（ ）A ．5y x = B ．5xy -= C ．5xy = D ．15y x =7．已知(,)P x y 为平面区域221y x a x a ⎧⎨+⎩≤≤≤(0)a >内的任意一点，当该区域的面积为3时，2z x y=-的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．22D ．68．已知双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为E ，F ，以OF （O 为坐标原点）为直径的圆C 交双曲线于A ，B 两点，AE 与圆C 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．236+B ．226+C 326+D 3226+9．若函数()5cos 12sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ）A ．513 B ．513- C ．1213 D ．1213- 10．为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全的战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是：力争到2020年，将马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．某地种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的,,,,,A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号为1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在,A F 这两块实验田上，则不同的种植方法有（ ）A ．432种B ．456种C ．534种D ．720种11．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若12m S -=-，0m S =，13m S +=，其中2m ≥，则n nS 的最小值为（ ）A ．-3B ．-5C ．-6D ．-912．已知平行于x 轴的直线分别交曲线21e x y +=与y =于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．5ln 24+， B ．5ln 24- C ．3ln 24+ D ．3ln 24-二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<= ． 14．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱中最长棱的长度为 ．俯视图侧视图正视图15．已知斜△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1c =，π3C =．若sin sin()3sin 2C A B B +-=，则△ABC 的面积为 ．16．已知F 为抛物线2:2C y x =的焦点，点E 在射线l ：1 (0)2x y =-≥上，线段EF 的垂直平分线与l 交于点Q 13(,)24-，与抛物线C 交于点P ，则△PEF 的面积为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等比数列{n a }中，112a =，公比1q ≠，其前n 项和为n S ,且324,,S S S 成等差数列． (1)求数列{n a }的通项公式；(2)记n n b n a =，数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T ．如图，在正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a．(1)若,,D E F 分别为1,,AB BC BB 的中点，判断1AC 与平面DEF 是否平行？若平行，请给予证明，若不平行，说明理由；(2)求1AC 与侧面11ABB A 所成角的大小．DC 1B 1A 1FECBA19．(本小题满分12分)某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35．(1)若从这20件商品中按分层（分三层：进口高端与进口非高端及国产）抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 20．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为2(2,0)F ,点(1,P 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为-1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11F M F N =(1F 为椭圆的左焦点)?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．已知函数2e 1()(0),()2ln(2)22x a f x a g x x x x +=≠=++++．(1)若312a <<，试问是否存在123,[,]2x x a ∈--，使得12()()f x g x >；(2)若P 是曲线()y g x =上任意一点，求点P 到直线8150x y ++=的最小距离，并求此时点P 的坐标．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程已知圆O ：224x y +=上每一点的横坐标保持不变，将纵坐标变为原来的12，得到曲线C ． (1)写出曲线C 的参数方程；(2)设直线:220l x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m 过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，求直线m 的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知a 是常数，对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--++-≤≤都成立． (1)求a 的值；(2)设0m n >>，求证：221222m n a m mn n++-+≥．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(十五)答案1．C 【解析】通解 由260x x -<可得06x <<，所以{1,2,3,4,5}B =，所有{1,2,3}A B =I ．优解 因为求的是交集，先排除D ，又元素1，2，3均符合集合A 和B ，故选C ． 2．A 【解析】由(i)(2i)(2)(2)i 5a b a b ab +-=++-=,得2520a b ab +=⎧⎨-=⎩，由于,a b Z ∈，所以2,1a b ==，故3a b +=．3．C 【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在的直线分别为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(1,4)E ，(4,2)F ，那么(1,4)EA =--u u u r ，(3,2)EF =-u u u r，于是13(4)(2)5EA EF ⋅=-⨯+-⨯-=u u u r u u u r．4．A 【解析】通解 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，从而可得点1(,0)2A ，1(0,)4B ，1(0,)8C ，作出直线40x y -=并平移，易知当4z x y =-经过点1(0,)4B 时，目标函数取得最小值，且最小值为min 1z =-，故选A ．=0优解 易知顶点坐标分别为1(,0)2，1(0,)4，1(0,)8，分别代入4z x y =-，得12，1-，12-，所以目标函数的最小值为min 1z =-，故选A ． 5．D 【解析】设正八面体的棱长为a，则112VO AC a ===⇒=2142133V =⨯⨯⨯=．CBAODV6．C 【解析】当5x =时，因为0x >，所以33x x =-=；当3x =时，因为0x >，所以21x x =-=； 当1x =时，因为0x >，所以21x x =-=-； 当1x =-时，15y =，则⯑处的关系式式5x y =．7．D 【解析】先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积1(222)132S a a =++⨯=，解得1a =，平移直线2y x =,得2z x y =-在点(2,‒2)处取得最大值6，故选D ．8．C 【解析】连接,CA AF ，则2c OC CA CF ===，OE c =，所以32c EC =，在Rt △EAC中，AE =，1cos 3ACE ∠=，在△ACF中，由余弦定理得AF =．2a =，所以双曲线的离心率c e a====C ．9．B 【解析】由512()5cos 12sin 13(cos sin )13sin()1313f x x x x x x α=+=+=+， 其中5sin 13α=，13cos 13α=，由π2π2x k α+=-()k ∈Z ，所以π2π2x k α=--()k ∈Z ，那么π2π2k θα=--()k ∈Z ，那么π5cos cos(2π)sin 213k θαα=--=-=-．10．A 【解析】第一步：从编号为1,3,5的三个品种中选出两个捆绑在一起,不同的种植方法有23A 种；第二步：将捆绑之后形成的2个元素与除2号品种之外的两个品种,共4个元素进行全排列，不同的种植方法有44A 种；第三步：上述4个元素排好后形成5个空,但2号品种不能插在两端的空中,不同的种植方法有13A 种．由分步计数原理可得,不同的种植方法共有241343A A A =6×24×3=432种． 11．D 【解析】12(2)m m m a S S m -=-=≥，113m m m a S S ++=-=，因为数列{}n a 为等差数列，所以公差11m m d a a +=-=．又1()02m m m a a S +==，所以1(2)0m a +=，因为0m ≠， 所以12a =-,故2(1)5222n n n n n S n --=-+=，即3252n n n nS -=， 令325() (0)2x x f x x -=>，则23()52f x x x '=-，令´()0f x >得103x >，令´()0f x <，得1003x <<． 又n 为正整数，所以当3n =时，3252n n n nS -=取得最小值，即n nS 的最小值为‒9．选D ．12．A 【解析】设平行于x 轴的直线方程为y a =(0)a >，11(,)A x y ,22(,)B x y ,则12111(ln 1)2x a e x a +=⇒=-，而2x满足a =那么212211(ln 1)1)22AB x x x a x =-=--=-=222111ln(21)()422x x x --+>． 设111()ln(21)()422f x x x x =+-+>，则1243´()14212(21)x f x x x -=-⨯=--， 显然当1324x <<时，得´()0f x <；当34x >时，´()0f x >． 于是当34x =时，()f x 取得最小值331315ln 2()ln(21)444424f +=-⨯-+=， 故AB 的最小值为5ln 24+． 13．0.4【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，所以正态曲线关于4x =对称，所以(0)(8)0.4P P ξξ<=>=．14由三视图可知该四面体的直观图如图1所示，由图2可知BDBC =又AB =AC．1DC图2图1211ED BCBA15ABC ∆是斜三角形，∴cos 0B ≠， 则由sin()sin()2sin cos 6sin cos A B A B A B B B ++-==，由正弦定理得3a b =．由余弦定理得221a b ab +-=，217b =，ABC ∆的面积1sin 2S ab C =．16．52【解析】由抛物线C 的方程知，焦点1(,0)2F ，准线方程为12x =-，设1(,)2E m -(0)m ≥，则EF 的中点为(0,)2m G ，EF k m =-．又13(,)24Q -，所以33421202QCm k m -==---，则3()12m m -⋅-=-，得2m =， 所以1(,2)2E -，则||EF =，直线EF 的方程为210x y +-=，QG 所在直线的方程为220x y -+=，联立22202 x y y x -+=⎧⎨=⎩得(2,2)P ， P 到直线EF的距离d =则△PEF的面积为1522=．17．【解析】(1)通解 设数列{}n a 的公比为q ，由题意得2342S S S =+，1q ≠， （1分）234111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---∴⨯=+---. （3分）化简得220q q +-=，得2q =-， （5分） 又数列{}n a 的首项为12，11(2)2n n a -∴=⨯-. （6分） 优解 设数列{}n a 的公比为q ，由题意得2342S S S =+，即4232()()0S S S S -+-=，（2分） 即433()0a a a ++= （3分）432a a ∴=- ∴公比2q =-. （5分）又数列{}n a 的首项为12，11(2)2n n a -∴=⨯-. （6分） (2)1112224n n n n b n a n n -==⨯⨯=⨯⨯, （7分）231231(1222322)4n n n T b b b b n ∴=++++=⨯+⨯+⨯++⨯L L ,① （8分）234112(1222322)4n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯L ,② （9分）①-②得，112(12)[2]412n n n T n +⨯--=⨯-⨯-, （11分）∴11(1)222n n T n =+-⨯. （12分）18．【解析】(1)通解 连接1B C ,1BC 交于点G ，连接DG ，FG ，则DG ∥AC 1， （2分）因为DG ⊂平面CDF ，1AC ⊄平面GDF ， 则1AC ∥平面GDF ． （4分） 由于平面GDF I 平面DEF = DF ，故1AC 与平面DEF 不可能平行． （6分）优解 连接1B C ,1BC 交于点G ，连接DG ，FG ，则DG ∥1AC ， （2分） 而DG ⊄平面DEF ，且DG 与平面DEF 交于点D ， 故1AC 与平面DEF 不可能平行． （6分） (2)解法一 过1C 作1C P ⊥11A B 于P ，由正棱柱的性质可知C 1P ⊥平面ABB 1A 1,连接P A ,则∠C 1AP 为AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. （8分） 由于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，则AC 1=3a , 又上底面三角形A 1B 1C 1是边长为a 的正三角形,因此,C 1P =3a （10分） 在Rt △APC 1中,sin ∠C 1AP =1112C P AC =, 故AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. （12分） 法二 建立如图的空间直角坐标系,则A (0,0,0)，C 1(‒3a ,2a ,2a )，由于n =(‒1,0,0)是平面ABB 1A 1的一个法向量,1AC u u u u r 3, 2a 2a ),则cos<1AC u u u u r ,n>=1112|||AC AC ⋅==⋅u u u u r u u u u u r n n |,故<1AC u u u u r ,n >=60°, 故AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.19．【解析】(1)由题意得,进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品,国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1．（3分）(2)设事件B 为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件1A 为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件2A 为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )=P (1A )+P(2A )=12512320C C C +1115312320C C C C =55301719019038+=， 所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.（7分） (3)由于这批商品中仅有5件国产商品,其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品,或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240．P (ξ=180)=123235C C C =310，P (ξ=210)=213235C C C =35，P (ξ=240)=3335C C =110．（10分） 所以ξ的分布列为故Eξ=180×310+210×35+240×110=204．20．【解析】(1)解法一 Q 椭圆C 的右焦点为2(2,0)F ，∴2c =，椭圆C 的左焦点为1(2,0)F -.（1分）由椭圆的定义可得2a === 解得a =222642b a c ∴=-=-=.∴椭圆C 的标准方程为22162x y +=. （5分）解法二 Q 椭圆C 的右焦点为2(2,0)F ，∴2c =，故224a b -=，又点(1,P 在椭圆C 上，则221151,9a b +=故22115149b b+=+， 化简得4234200b b +-= 得222,6,b a ==∴椭圆C 的标准方程为22162x y +=. （5分）（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+， （6分）由22162x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得223()60x x t +-+-=，即2246(36)0x tx t -+-=， 222(6)44(36)96120,t t t ∆=--⨯⨯-=->解得t -<< （8分）设1122(,),(,)M x y N x y ，则21212336,,24t t x x x x -+== （9分）由于11F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1,F E MN ⊥故111F E MNk k =-=，又1(2,0)F -,1212(,)22x x y y E ++，即3(,)44t tE ， （11分）141324F E t k t ∴==+，解得4t =-.当4t =-时，不满足t -<∴不存在满足条件的直线l. （12分）21．【解析】(1)由2e ()2x a f x x+=+⇒22(1)()(2)x ae x f x x ++'=+，（2分）若312a <<，当3[,]2x a ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减，由此可得当3[,]2x a ∈--时，()f x 的值域为122[,2]2aae ae a--．（4分）由1()2ln(2)2g x x x =+++⇒221223()2(2)(2)x g x x x x +'=-+=+++， 显然，当3(2,)2x ∈--时()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当3(,)2x ∈-+∞时，()0g x '>，函数单调递增．因此，当3[,]2x a ∈--时，()g x 单调递增，由此可得当3[,]2x a ∈--时，()g x 的值域为1[22ln 2,2ln(2)]2a a-+--．（7分）若存在123,[,]2x x a ∈--，使得12()()f x g x >，则只需12222ln 2ae >-，即a >由于312a <<，故必存在123,[,]2x x a ∈--，使得12()()f x g x >．（9分）(2)设与直线8150x y ++=平行且与曲线()y g x =相切的直线的斜率为k ，切点坐标为00(,)x y ，由于212()2(2)g x x x '=-+++，则2001282(2)k x x =-+=-++ ⇒074x =-或052x =-（舍去），得切点坐标为7(,4(1ln 2))4--，此时切线的方程为74(1ln 2)8()4y x --=-+，即84(1ln 2)14y x =-+--，（10分） 令1()2ln(2)[84(1ln 2)14]2r x x x x =++--+--+， 则212()82(2)r x x x '=-++++=2(25)(47)(2)x x x +++， 由于函数()r x 的定义域为(2,)-+∞，于是当7(2,)4x ∈--时，()0r x '<，函数()r x 单调递减；当7(,)4x ∈-+∞时，()0r x '>，函数单调递增．故当74x =-时，()r x 有极小值，也是最小值，且7()04r -=，故曲线()y g x =恒在直线84(1ln 2)14y x =-+--的上方．所以点7(,4(1ln 2))4--到直线8150x y ++=的距离即点P 到直线8150x y ++=的最小距离，且最7|84(1ln 2)15|-⨯+-+=点P 的坐标为7(,4(1ln 2))4--．（12分）22．【解析】(1)设曲线C 上任意一点为(,)M x y ，则点(,2)P x y 在圆O 上，即22(2)4x y +=，即2214x y +=，所以曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)．（5分） (2)联立224 4 220x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得20 x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩，不妨设(2,0),(0,1)A B -，则AB 的中点为1(1,)2N -，因为直线l 的斜率为12，设直线l 的倾斜角为α，则1tan 2α=，所以21242tan 2131()2α⨯==-， 所以直线m 的方程为14(1)23y x -=+，即86110x y -+=，于是直线m 的极坐标方程为8cos 6sin 110ρθρθ-+=． （10分）23．【解析】(1)设()12f x x x =+--，则3, 1()21,123, 2 x f x x x x -⎧⎪=--<<⎨⎪⎩≤-≥()f x ∴的最大值为3．Q 对任意实数x ，12x x a +--≤都成立，即()f x a ≤，∴3a ≥(3分)设()|1||2|h x x x =++-=21,13,1 2 21, 2 x x x x x -+-⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≤≥则()h x 的最小值为3．Q 对于任意实数x ，12x x a ++-≥都成立，即()h x a ≥ ∴3a ≤．3a ∴=． （6分）(2)由(1)知3a =．2221122()()2()m n m n m n m mn n m n +-=-+-+-+-Q ， 且0m n >>，21()()3()m n m n m n ∴-+-+=-≥， ∴221222m n a m mn n ++-+≥． （10分）。

2020年高考（理科）数学三模试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题（共12小题）.1．集合A ＝{x |x （x ﹣2）＜0，x ∈N}，集合B ＝{x |x 2≤0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |0≤x ＜2} D ．{0，1，2}2．已知2−i z =1﹣i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．−12B ．−i 2C ．12D ．i23．2019年10月1日，为庆祝新中国成立70周年，在北京天安门举行了盛大的国庆阅兵，在全世界面前展示了中国改革开放以来的伟大成就．为了这次国庆阅兵，15000名受阅官兵夜以继日的刻苦训练，要求128步恰好走过主席台．如图为某徒步方队队员在单独练习128步时走过的路程的数据，则据此估计该徒步方队128步走过的平均长度为（ ）A ．96.2B ．96.3C ．96D ．95.84．多项式（x −1x2）6（x 3+1）的展开式中，常数项为（ ） A ．10B ．﹣10C ．15D ．﹣55．2019年是中国5G 商用元年，某小区是长为2.25千米，宽为2千米的矩形，在矩形的四个顶点处各有一个5G 基站，假设基站覆盖范围为0.3千米，某同学家位于该小区内，则该同学可以享受到5G 信号的概率为（ ） A ．π25B ．π100C ．π200D ．π506．角谷猜想是日本数学家发现的：一个正整数x ，如果是奇数，就乘3再加1；如果是偶数就将它除以2，这样经过若干次运算，最终得到1．根据角谷猜想，设计如图所示的程序框图，若输入x ＝6，则输出的结果之和为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．547．在正三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，AA ′=√3，AB ＝2，则该正三棱柱外接球的表面积是（ ） A ．7π B ．25π3C ．22π3D ．8π8．函数f （x ）=x 3+sinx e x +e −x +cosx的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知点A ，B 为抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的任意两点，点K 为抛物线准线与坐标轴的交点，则KA →•KB →的最小值为（ ） A ．1B ．﹣2C ．2D ．010．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n +1﹣3S n +2S n ﹣1＝2n +2，n ≥2，a 1＝4，a 2＝16，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝（n +1）•2n +1 B ．a n ＝n •2n +1 C ．a n ＝4n D ．a n ={4，n =1(n +6)n−1，n ≥211．点A ，B 为双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，过左焦点F 作一条斜率√35的直线l ，与过点A 作一条倾斜角为π6的直线m 相交于点P ，AP 的中垂线恰好经过点B ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．3D ．412．若存在两个正实数x ，y ，使得等式2x +a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）＝0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−12，1e]B ．(0，2e]C ．(−∞，0)∪[2e，+∞)D ．(−∞，−12)∪[1e，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等边△ABC 的边长为2，点G 为△ABC 的重心，则AG →•AB →= ． 14．已知sin （α−2π5）+√3sin （α+π10）=√52，则cos （2α−2π15）＝ ． 15．已知函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=√1−(x −1)2，若直线x +y ﹣m ＝0与f （x ）有两个公共点，则实数m 的取值范围是 ． 16．下列说法正确的是 ．①命题p：∀x＞0，x2＞0，则p的否定为∃x≤0，x2≤0；②命题p：若三角形ABC为以C为顶点的等腰三角形，则sin2A＝sin2B，则p的逆命题为真命题；③“k＞2”是“圆锥曲线y 2k+4−x22−k=1的焦距与实数k无关”的充分不必要条件；④“k≥1−1e”是“函数y=1e x+x2e−1e−k在x＞0上有一个零点”的充分不必要条件．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．中国女排一直是国人的骄傲，2019年女排世界杯于9月14日﹣9月29日在日本举行，中国女排10连胜提前夺冠，获世界杯第五冠、三大赛第十冠．中国女排用胜利点燃国人的激情，女排精神成为了拼搏、不服输的代表．某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出12人代表队，最后甲、乙两班进入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答问题：（Ⅰ）计算甲、乙两班队员上场的平均时间，并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡（不需要计算）；（Ⅱ）赛后学校在上场时间超过50分钟（包括50分钟）的队员中随机抽取2人评为最佳运动员，则两人中至少有一人来自乙班的概率是多少？18．如图所示，在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB对应的边分别为a，b，c，c＝2√3，∠ABC=2π3，且有a cos∠BAC＝c cos∠ACB，已知BH平分△ABC的外角∠ABE，过点A作BH的垂线交BH于点D，连接CD交AB于点F．（Ⅰ）求tan∠ACF；（Ⅱ）求CF的长．19．如图所示，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAB ⊥平面ABCD ，其中△SAB 为等边三角形，底面ABCD 是以A 为直角的直角梯形，AB ∥CD ，2AD ＝2CD ＝AB ，点E 是SA 的中点，F 为SC 上靠近点C 的三等分点． （Ⅰ）求证：AD ∥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角S ﹣EF ﹣B 的余弦值．20．已知O 为坐标原点，直线l 与抛物线x 2＝2py （p ＞0）在第一象限内交于A ，B 两点，与x 轴交于点E ．过A ，B 两点分别作抛物线对称轴的垂线分别交于C ，D 两点（C 点在D 点下方）．（Ⅰ）当直线l 的斜率为√3+12，且点C 为抛物线的焦点时，求CD 的长（用p 表示）；（Ⅱ）设△OAB 的面积为S 1，四边形CABD 的面积为S 2，求S 2−S 1|OE →|⋅|CD →|的取值范围．21．定义在R 上的函数f （x ）={sinx ，x ≤01+lnx −xe x +ax ，x ＞0．（Ⅰ）设g （x ）＝x （1e x+e x ﹣3a ）+ax 2﹣lnx ﹣1，若f （x ）+g （x ）在x ＞0上单调递增，求实数a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在定义域内与y ＝x 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围． 四、选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，点P是曲线C上一动点．（Ⅰ）求线段OP中点M的轨迹Γ的极坐标方程；（Ⅱ）设射线l：θ＝α（ρ＞0）与Γ交于点A（异于O点），当射线l从θ=π6逆时针旋转到θ=π3时，求动线段OA扫过轨迹Γ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，并且满足a+b＝1．（Ⅰ）求a2+b2+2a+2b的最小值；（Ⅱ）若2|x|+|x﹣1|≤4a+1b恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x （x ﹣2）＜0，x ∈N}，集合B ＝{x |x 2≤0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0≤x ＜2}D ．{0，1，2}【分析】化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ．解：集合A ＝{x |x （x ﹣2）＜0，x ∈N}＝{x |0＜x ＜2，x ∈N}＝{1}， 集合B ＝{x |x 2≤0}＝{x |x ＝0}＝{0}， 所以A ∪B ＝{0，1}． 故选：A ． 2．已知2−i z =1﹣i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．−12B ．−i 2C ．12D ．i2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由2−i z=1﹣i ，得z =2−i 1−i =(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=32+12i ，∴z 的虚部为12． 故选：C ．3．2019年10月1日，为庆祝新中国成立70周年，在北京天安门举行了盛大的国庆阅兵，在全世界面前展示了中国改革开放以来的伟大成就．为了这次国庆阅兵，15000名受阅官兵夜以继日的刻苦训练，要求128步恰好走过主席台．如图为某徒步方队队员在单独练习128步时走过的路程的数据，则据此估计该徒步方队128步走过的平均长度为（ ）A．96.2B．96.3C．96D．95.8【分析】平均数是每组频数的中间值乘频数再相加，据此估计该徒步方队128步走过的平均长度．解：由频率分布直方图估计该徒步方队128步走过的平均长度为：94×0.1×2+96×0.25×2+98×0.15×2＝96.2．故选：A．4．多项式（x−1x2）6（x3+1）的展开式中，常数项为（）A．10B．﹣10C．15D．﹣5【分析】把（x−1x2）6按照二项式定里展开，可得多项式（x−1x2）6（x3+1）的展开式中的常数项．解：∵多项式（x−1x2）6（x3+1）＝（C60•x6−C61•x3+C62•1−C63•1x+C64•1x−C65•1 x9+C66•1x12）•（x3+1），∴常数项为C62−C63=−5，故选：D．5．2019年是中国5G商用元年，某小区是长为2.25千米，宽为2千米的矩形，在矩形的四个顶点处各有一个5G基站，假设基站覆盖范围为0.3千米，某同学家位于该小区内，则该同学可以享受到5G信号的概率为（）A．π25B．π100C．π200D．π50【分析】利用几何概型能求出该同学可以享受到5G信号的概率．解：2019年是中国5G商用元年，某小区是长为2.25千米，宽为2千米的矩形，在矩形的四个顶点处各有一个5G基站，假设基站覆盖范围为0.3千米，某同学家位于该小区内，则该同学可以享受到5G信号的概率为：P=4×14×π×0．322.25×2=π50．故选：D．6．角谷猜想是日本数学家发现的：一个正整数x，如果是奇数，就乘3再加1；如果是偶数就将它除以2，这样经过若干次运算，最终得到1．根据角谷猜想，设计如图所示的程序框图，若输入x＝6，则输出的结果之和为（）A．48B．49C．50D．54【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得x＝6不满足条件x是奇数，x＝3，输出x的值为3，满足条件x是奇数，不满足条件x＝1，x＝10，输出x的值为10，不满足条件x是奇数，x＝5，输出x的值为5，满足条件x是奇数，不满足条件x＝1，x＝16，输出x的值为16，不满足条件x是奇数，x＝8，输出x的值为8，不满足条件x是奇数，x＝4，输出x的值为4，不满足条件x是奇数，x＝2，输出x的值为2，不满足条件x是奇数，x＝1，输出x的值为1，满足条件x是奇数，满足条件x＝1，结束，综上，可得输出的结果之和为3+10+5+16+8+4+2+1＝49．故选：B．7．在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=√3，AB＝2，则该正三棱柱外接球的表面积是（）A．7πB．25π3C．22π3D．8π【分析】根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．解：由正三棱柱的底面边长为2得底面外接圆O 的半径r =2√33，又由正三棱柱的高为√3，则球心到圆O 的球心距d =√32，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：R 2＝r 2+d 2=43+34=2512，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2512=25π3π． 故选：B ． 8．函数f （x ）=x 3+sinx e x +e −x +cosx的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先计算f （﹣x ），并与f （x ）比较，可得出函数的奇偶性，从而排除选项B 和D ，再计算f （π2）＞0，从而得出正确选项．解：f （﹣x ）=(−x)3+sin(−x)e−x +e x+cos(−x)=−x 3+sinxe x +e −x +cosx=−f （x ），所以函数为奇函数，排除选项B 和D ； 又f （π2）=(π2)3+1e π2+e −π2+0＞0，所以选项C 错误，A 正确．故选：A ．9．已知点A ，B 为抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的任意两点，点K 为抛物线准线与坐标轴的交点，则KA →•KB →的最小值为（ ） A ．1B ．﹣2C ．2D ．0【分析】可设A （x 1，x 122p），B （x 2，x 222p），求得抛物线的准线方程，可得K 的坐标，可设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，联立抛物线x 2＝2py ，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合配方法和完全平方数非负，即可得到所求最小值． 解：可设A （x 1，x 122p），B （x 2，x 222p），抛物线的准线为y =−p2，可得K （0，−p2）， 则KA →•KB →=（x 1，x 122p+p2）•（x 2，x 222p+p2）＝x 1x 2+（x 122p+p2）•（x 222p+p2）＝x 1x 2+(x 1x 2)24p 2+14（x 12+x 22）+p 24， 可设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，联立抛物线x 2＝2py ，可得x 2﹣2pkx ﹣2pt ＝0， 则x 1+x 2＝2pk ，x 1x 2＝﹣2pt ，所以x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝4p 2k 2+4pt ，则x 1x 2+(x 1x 2)24p 2+14（x 12+x 22）+p 24=−2pt +t 2+p 2k 2+pt +p 24=（t −p 2）2+p 2k 2， 即KA →•KB →=（t −p2）2+p 2k 2，当t =12p ，k ＝0即直线AB 为y =p2时，KA →•KB →取得最小值0．故选：D ．10．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n +1﹣3S n +2S n ﹣1＝2n +2，n ≥2，a 1＝4，a 2＝16，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝（n +1）•2n +1 B ．a n ＝n •2n +1C ．a n ＝4nD ．a n ={4，n =1(n +6)n−1，n ≥2【分析】利用数列的递推关系式，推出数列的项的关系式，得到{a n 2}是等差数列然后求解通项公式即可．解：S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n +1﹣3S n +2S n ﹣1＝2n +2，n ≥2， 可得：a n +1﹣2a n ＝2n +2，n ≥2， 化为：a n+12−a n 2=2，n ≥2，又a 22−a 12=2，所以数列{a n 2}是等差数列，首项为：2，公差为2，所以a n 2n=2+2（n ﹣1），所以a n ＝n •2n +1， 故选：B ． 11．点A ，B 为双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，过左焦点F 作一条斜率√35的直线l ，与过点A 作一条倾斜角为π6的直线m 相交于点P ，AP 的中垂线恰好经过点B ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．3D ．4【分析】由双曲线的方程可得F ，A ，B 的坐标，由题意可得直线l 及直线m 的方程，两条直线联立可得交点P 的坐标，进而求出AP 的中点Q 的坐标，求出AP 的中垂线BQ 的斜率，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出离心率的值．解：由双曲线的方程可得左焦点F （﹣c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0）， 由题意可得直线l 的方程为：x =5√3y ﹣c ，① 直线m 的方程为：x =√3y ﹣a ，②由①②联立可得x =32c −52a ，y =√32（c ﹣a ），即P （3c 2−5a 2，√32（c ﹣a ）），所以AP 的中点Q 为（3c−7a 4，√34（c ﹣a ）），由题意可得k BQ =−√3，即√34(c−a)3c−7a 4−a =−√3整理可得c ﹣a +3c ﹣7a ﹣4a ＝0，即c ＝3a ，所以离心率为：e =ca =3， 故选：C ．12．若存在两个正实数x ，y ，使得等式2x +a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）＝0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−12，1e]B ．(0，2e]C ．(−∞，0)∪[2e，+∞)D ．(−∞，−12)∪[1e，+∞)【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可． 解：由2x +a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）＝0得2x +a （y ﹣2ex ）ln yx =0，即2+a （y x−2e ）ln yx=0，即设t =yx ，则t ＞0，则条件等价为2+a （t ﹣2e ）lnt ＝0， 即（t ﹣2e ）lnt =−2a有解， 设g （t ）＝（t ﹣2e ）lnt ， g ′（t ）＝lnt +1−2et为增函数， ∵g ′（e ）＝lne +1−2ee =1+1﹣2＝0， ∴当t ＞e 时，g ′（t ）＞0， 当0＜t ＜e 时，g ′（t ）＜0，即当t ＝e 时，函数g （t ）取得极小值，为g （e ）＝（e ﹣2e ）lne ＝﹣e ，即g （t ）≥g （e ）＝﹣e ， 若（t ﹣2e ）lnt =−2a有解， 则−2a≥−e ，即2a≤e ，则a ＜0或a ≥2e， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等边△ABC 的边长为2，点G 为△ABC 的重心，则AG →•AB →= 2 ．【分析】根据等边三角形性质可得AG →=23AH →=23AB →+13BC →，代入，结合平面向量数量积的运算计算即可．解：如图，过A 作AH ⊥BC 交BC 于点H ，则H 为BC 中点， 因为△ABC 为等边三角形，G 为△ABC 的重心，所以AG →=23AH →=23（AB →+BH →）=23（AB →+12BC →）=23AB →+13BC →，则AG →•AB →=（23AB →+13BC →）•AB →=23AB →2+13BC →•AB →=23×22+13×2×2×cos 23π=83−23=2，故答案为：2．14．已知sin （α−2π5）+√3sin （α+π10）=√52，则cos （2α−2π15）＝ 38． 【分析】先利用诱导公式将sin （α−2π5）变成﹣cos （α+π10），再利用辅助角公式把等式的左边变成正弦型函数，从而求得sin （α−π15）=√54，最后结合余弦的二倍角公式进行运算即可得解． 解：sin （α−2π5）+√3sin （α+π10） ＝sin[（α+π10）−π2]+√3sin （α+π10） ＝﹣cos （α+π10）+√3sin （α+π10）＝2sin （α+π10−π6）＝2sin （α−π15）=√52，∴sin （α−π15）=√54．∴cos （2α−2π15）＝1−2sin 2(α−π15)=1−2×(√54)2=38． 故答案为：38．15．已知函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=√1−(x −1)2，若直线x +y ﹣m ＝0与f （x ）有两个公共点，则实数m 的取值范围是 （﹣1−√2，﹣2]∪[2，1+√2） ． 【分析】由题意画出图形，再由圆心到直线的距离等于半径求出直线与圆相切时m 值，数形结合得答案．解：当x ＞0时，f （x ）=√1−(x −1)2， 即（x ﹣1）2+y 2＝1（x ＞0，y ≥0）， 又函数f （x ）为定义在R 上的奇函数， 作出函数y ＝f （x ）的图象如图： 由（1，0）到直线x +y ﹣m ＝0的距离d =2=1，解得m ＝1−√2（舍）或m ＝1+√2． 由对称性结合图象，可得若直线x +y ﹣m ＝0与f （x ）有两个公共点，则实数m 的取值范围是（﹣1−√2，﹣2]∪[2，1+√2）．故答案为：（﹣1−√2，﹣2]∪[2，1+√2）．16．下列说法正确的是 ③ ．①命题p ：∀x ＞0，x 2＞0，则p 的否定为∃x ≤0，x 2≤0；②命题p ：若三角形ABC 为以C 为顶点的等腰三角形，则sin2A ＝sin2B ，则p 的逆命题为真命题；③“k＞2”是“圆锥曲线y 2k+4−x22−k=1的焦距与实数k无关”的充分不必要条件；④“k≥1−1e”是“函数y=1e x+x2e−1e−k在x＞0上有一个零点”的充分不必要条件．【分析】①根据命题的否定，即可作出判断；②先写出逆命题为“若sin2A＝sin2B，则三角形ABC为以C为顶点的等腰三角形，”若sin2A＝sin2B，可以推出A＝B或A+B=π2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；③充分性：若k＞2，则圆锥曲线表示焦点在y轴上的椭圆，算得焦距为2√6，与实数k 无关，充分性成立；必要性：分情况讨论，当圆锥曲线为双曲线时，则（k+4）（2﹣k）＞0；当圆锥曲线为椭圆时，则k+4＞0，且2﹣k＜0，从而得出﹣4＜k＜2或k＞2，必要性不成立；④．函数y=1e x +x2e−1e−k在x＞0上有一个零点，等价于函数y=−1e x与函数y=x2e−1 e −k在（0，+∞）上有一个交点，只需满足在x＝0时，−1e0＞2e−1e−k，解之即可得k的取值范围，从而作出判断．解：①p的否定为∃x≤0，x2＞0，即①错误；②p的逆命题为“若sin2A＝sin2B，则三角形ABC为以C为顶点的等腰三角形，”∵sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B=π2，∴△ABC是以C为顶点的等腰三角形或以C为直角的直角三角形，即②错误；③若k＞2，则圆锥曲线表示焦点在y轴上的椭圆，方程为y 2k+4+x2k−2=1，其焦距为2√k+4−k+2=2√6，与实数k无关，充分性成立；若圆锥曲线y2k+4−x22−k=1的焦距与实数k无关，则需分情况讨论：当圆锥曲线为双曲线时，则（k+4）（2﹣k）＞0，解得﹣4＜k＜2；当圆锥曲线为椭圆时，则k+4＞0，且2﹣k＜0，解得k＞2．∴k的范围为﹣4＜k＜2或k＞2，故必要性不成立，即③正确；④函数y=1e x +x2e−1e−k在x＞0上有一个零点，等价于函数y=−1e x与函数y=x2e−1e−k在（0，+∞）上有一个交点，∴需保证在x＝0时，−1e0＞2e−1e−k，解得k＞1−1e，故应该是必要不充分条件，即④错误．故答案为：③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．中国女排一直是国人的骄傲，2019年女排世界杯于9月14日﹣9月29日在日本举行，中国女排10连胜提前夺冠，获世界杯第五冠、三大赛第十冠．中国女排用胜利点燃国人的激情，女排精神成为了拼搏、不服输的代表．某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出12人代表队，最后甲、乙两班进入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答问题：（Ⅰ）计算甲、乙两班队员上场的平均时间，并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡（不需要计算）；（Ⅱ）赛后学校在上场时间超过50分钟（包括50分钟）的队员中随机抽取2人评为最佳运动员，则两人中至少有一人来自乙班的概率是多少？【分析】（1）由茎叶图中数据直接求平均数．（2）列举法写出从5人中选出2人的所有情况，再找出至少有一人来自乙班的选法情况，相比即可求概率．解：（Ⅰ）甲班队员上场的平均时间x= 2+11+22+29+30+33+34+35+37+41+50+5112=31.25，乙班队员上场的平均时间x=7+13++21+22+30+38+39+44+45+50+52+5312=34.5．由茎叶图分析甲班队员上场时间更均衡．（Ⅱ）上场时间超过50分钟的队员甲班有两人为A，B，乙班有3人为C，D，E．则从5人中随机抽取2人的取法有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．共有10种，至少有一人来自乙班的有9种，故两人中至少有一人来自乙班的概率P=9 10．18．如图所示，在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB对应的边分别为a，b，c，c＝2√3，∠ABC=2π3，且有a cos∠BAC＝c cos∠ACB，已知BH平分△ABC的外角∠ABE，过点A作BH的垂线交BH于点D，连接CD交AB于点F．（Ⅰ）求tan∠ACF；（Ⅱ）求CF的长．【分析】（I）根据正弦定理化简可得∠BAC＝∠ACB=π6，证明AD⊥AC，计算AD和AC的值即可得出tan∠ACF=AD AC；（II）在△ACF中，根据正弦定理计算CF．解：（I）∵a cos∠BAC＝c cos∠ACB，∴sin∠BAC cos∠BAC＝sin∠ACB cos∠ACB，∴sin2∠BAC＝sin2∠ACB，∴2∠BAC＝2∠ACB或2∠BAC+2∠ACB＝π（舍），∴∠BAC＝∠ACB，又∠ABC=2π3，∴∠BAC＝∠ACB=π6，∴AB＝BC＝2√3，∵BH平分角ABE，∠ABE＝π﹣∠ABC=π3，∴∠ABD=π6，又AD⊥BH，∴AD=12AB=√3，∠DAB=π3，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC=π2，即AD⊥AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC=√AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC=6，∴tan∠ACF=ADAC=√32√3=12．（II）∵tan∠ACF=12，∴sin∠ACF=√55，cos∠ACF=2√55，∴sin ∠AFC ＝sin （∠BAC +∠ACF ）=12⋅2√55+√32⋅√55=2√5+√1510．在△ACF 中，由正弦定理可得：CA sin∠AFC=CF sin∠BAC，即2√5+√1510=CF12，解得：CF ＝6（2√5−√15）．19．如图所示，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAB ⊥平面ABCD ，其中△SAB 为等边三角形，底面ABCD 是以A 为直角的直角梯形，AB ∥CD ，2AD ＝2CD ＝AB ，点E 是SA 的中点，F 为SC 上靠近点C 的三等分点． （Ⅰ）求证：AD ∥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角S ﹣EF ﹣B 的余弦值．【分析】（Ⅰ）取AB 中点O ，连接SO ，交BE 于G ，则SO ⊥AB ，可得G 为△SAB 的重心，得到SG SO=23，再由已知得SF SC=23，可得SG SO=SF SC，得到FG ∥OC ，证明AD ∥CO ，得到AD ∥FG ．由直线与平面平行的判定可得AD ∥平面BEF ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO ⊥AB ，再由平面与平面垂直的性质可得SO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，分别以OC 、OB 、OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设AD ＝2，分别求出平面SEF 与平面BEF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角S ﹣EF ﹣B 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB 中点O ，连接SO ，交BE 于G ，则SO ⊥AB ，由E 为SA 的中点，O 为AB 的中点，可得G 为△SAB 的重心， 则SG SO=23，又F 为SC 上靠近点C 的三等分点，∴SF SC=23，即SG SO=SF SC，∴FG ∥OC ，在底面直角梯形ABCD 中，由CD ＝AO ，CD ∥AO ， 可得四边形ADCO 为平行四边形， 则AD ∥CO ，∴AD ∥FG ． ∵FG ⊂平面BEF ，AD ⊄平面BEF ， ∴AD ∥平面BEF ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知SO ⊥AB ，又∵平面SAB ⊥平面ABCD ，且平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ，∴SO ⊥平面ABCD ． 以O 为坐标原点，分别以OC 、OB 、OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设AD ＝2，则B （0，2，0），E （0，﹣1，√3），F （43，0，2√33），S （0，0，2√3）．EF →=(43，1，−√33)，ES →=(0，1，√3)，EB →=(0，3，−√3)．设平面SEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，平面BEF 的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)．由{m →⋅EF →=43x +y −√33z =0m →⋅ES →=y +√3z =0，取z ＝1，得m →=(√3，−√3，1)； 由{n →⋅EF →=43x 1+y 1−√33z 1=0n →⋅EB →=3y 1−√3z 1=0，取z 1=√3，得n →=(0，1，√3)． ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=0．∴二面角S ﹣EF ﹣B 的余弦值为0．20．已知O 为坐标原点，直线l 与抛物线x 2＝2py （p ＞0）在第一象限内交于A ，B 两点，与x 轴交于点E ．过A ，B 两点分别作抛物线对称轴的垂线分别交于C ，D 两点（C 点在D 点下方）．（Ⅰ）当直线l 的斜率为√3+12，且点C 为抛物线的焦点时，求CD 的长（用p 表示）；（Ⅱ）设△OAB 的面积为S 1，四边形CABD 的面积为S 2，求S 2−S 1|OE →|⋅|CD →|的取值范围．【分析】（Ⅰ）可设直线l 的方程为y ＝kx +m ，k ＞0，m ＜0，求得C 的坐标，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得A 的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，可得B 的坐标，可得|CD |；（Ⅱ）联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，及三角形的面积公式和梯形的面积公式，化简整理，即可得到所求范围． 解：（Ⅰ）可设直线l 的方程为y ＝kx +m ，k ＞0，m ＜0， 当直线l 的斜率为√3+12，可得y =√3+12x +m ，且点C 为抛物线的焦点，即C （0，p2），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1，x 2＞0，可得y 1=p2，则x 1=√1=p ， 由{y =√3+12x +mx 2=2py可得x 2﹣（1+√3）px ﹣2pm ＝0，可得x 1+x 2＝（1+√3）p ， 则x 2=√3p ，y 2=x 222p =32p ，则|CD |＝|y 2﹣y 1|=32p −12p ＝p ． （Ⅱ）由{y =kx +mx 2=2py ，可得x 2﹣2pkx ﹣2pm ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1，x 2＞0，可得x 1+x 2＝2pk ，x 1x 2＝﹣2pm ，由△＝4p 2k 2+8pm ＞0，即pk 2+2m ＞0，即pk 2＞﹣2m ， 又k ＞0，m ＜0， 则S 2−S 1|OE →|⋅|CD →|=12(x 1+x 2)(y 1−y 2)−12(−mk)(y 2−y 1)(−mk)(y 2−y 1)=12•x 1+x 2−m k−12=pk 2−m −12＞−2m −m −12=32，可得S 2−S 1|OE →|⋅|CD →|的取值范围为（32，+∞）．21．定义在R 上的函数f （x ）={sinx ，x ≤01+lnx −xe x+ax ，x ＞0．（Ⅰ）设g （x ）＝x （1e x+e x ﹣3a ）+ax 2﹣lnx ﹣1，若f （x ）+g （x ）在x ＞0上单调递增，求实数a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在定义域内与y ＝x 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）令h （x ）＝f （x ）+g （x ），求导根据导数符号研究其单调性，求出a 的值；（Ⅱ）先找到当x ≤0时，y ＝f （x ）与y ＝x 的交点，再研究当x ＞0时两者没交点即可． 解：（Ⅰ）令h （x ）＝f （x ）+g （x ），由题设条件知当x ＞0时，h （x ）＝1+lnx ﹣xe x +ax +x （1e +e x ﹣3a ）+ax 2﹣lnx ﹣1＝ax 2+xe x −2ax ， h ′（x ）＝2ax +1−x e x −2a ＝（x ﹣1）（2a −1ex ）．又h （x ）在x ＞0上单调递增，所以h ′（x ）≥0在x ＞0时恒成立． ①当x ≥1时，只需2a −1e x ≥0，即2a ≥（1e x）max =1e ； ②当0＜x ≤1时，只需2a −1e x ≤0，即2a ≤（1e x ）min =1e ； 综合①②知：2a =1e，∴a =12e； （Ⅱ）∵f （x ）在定义域内与y ＝x 有且仅有一个交点，又当x ≤0时，令t （x ）＝x ﹣sin x ，则t ′（x ）＝1﹣cos x ≥0，此时t （x ）单调递增，又t （0）＝0，此时f （x ）在定义域内与y ＝x 有一个交点；∴当x ＞0时，1+lnx ﹣xe x +ax ≠x ．即a ≠1−1+lnx x+e x ，令m （x ）＝1−1+lnxx+e x ，x＞0又∵1+lnx ≤x ，∴1+lnx x≤1，1−1+lnxx≥0当且仅当x ＝1时取等号．故m （x ）≥e x ＞1，∴a ≤1．四、选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系Ox 中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，点P 是曲线C 上一动点． （Ⅰ）求线段OP 中点M 的轨迹Γ的极坐标方程；（Ⅱ）设射线l ：θ＝α（ρ＞0）与Γ交于点A （异于O 点），当射线l 从θ=π6逆时针旋转到θ=π3时，求动线段OA 扫过轨迹Γ的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用分割法的应用求出阴影部分的面积．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，整理得：ρ2＝4ρsin θ，由{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为：x 2+y 2＝4y ，整理得x 2+（y ﹣2）2＝4， 转换为参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）， 设M （x ，y ），所以{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），整理得x 2+（y ﹣1）2＝1，转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ．（Ⅱ）设射线l ：θ＝α（ρ＞0）与Γ交于点A （异于O 点），当射线l 从θ=π6逆时针旋转到θ=π3时， 如图所示：所以S阴影＝S弓形OAB ﹣S弓形OA ＝（13×π×12−12×1×1×√32）﹣（16×π×12−12×1×1×√32）=π6． 一、选择题23．已知a ＞0，b ＞0，并且满足a +b ＝1． （Ⅰ）求a 2+b 2+2a +2b 的最小值； （Ⅱ）若2|x |+|x ﹣1|≤4a +1b恒成立，求实数x 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）把a +b ＝1代入a 2+b 2+2a +2b 中，利用基本不等式求出它的最小值； （Ⅱ）利用基本不等式求出4a+1b 的最小值，再解含有绝对值的不等式即可．解：（Ⅰ）a ＞0，b ＞0，并且满足a +b ＝1．所以a 2+b 2+2a +2b ＝（a +b ）2+2（a +b ）﹣2ab ＝1+2﹣2ab ≥3﹣2•(a+b 2)2=3﹣2×(12)2=52， 当且仅当a ＝b =12时“＝”成立， 所以该式的最小值为52；（Ⅱ）由4a+1b =（4a +1b ）（a +b ）＝4+1+4b a +ab ≥5+2√4b a ⋅ab =5+2×2＝9，当且仅当a =23，b =13时取“＝”； 所以不等式2|x |+|x ﹣1|≤4a +1b恒成立，等价于2|x |+|x ﹣1|≤9恒成立； 当x ≤0时，不等式化为﹣2x ﹣（x ﹣1）≤9，解得x ≥−83，所以−83≤x ≤0；当0＜x ＜1时，不等式化为2x ﹣（x ﹣1）≤9，解得x ≤8，所以0＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为2x +（x ﹣1）≤9，解得x ≤103，所以1≤x ≤103；8 3，103]．综上知，实数x的取值范围是[−。

2020年3月普通高考(浙江卷)全真模拟卷(2)数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

选择题部分(共40分)一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,A 1,3,9,11U B ===，则()UA B =( )A ．∅B ．{1,3}C ．{9,11}D ．{5,7,9,11}2．已知在△ABC 中，4a =，3b =，c =，则角C 的度数为( ) A ．030B ．045C ．060D ．01203．若,x y 满足约束条件1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最小值为A ．3-B ．4-C ．32D ．34．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有( ) A ．12个B ．24个C ．36个D ．72个5．已知,a b ∈R ，则1b a <<是1|1|a b ->-的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知lg lg 0a b +=(01,01)a a b b >≠>≠且且，则函数()xf x a -=与函数()log b g x x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．已知随机变量ξ的分布列如下表：记“函数()()3sin2f x x R π=∈是偶函数”为事件A ，则( ) A ．()223E a ξ=-，()13P A = B ．2()3E ξ=，()13P A =C ．()223E ξ=，()23P A =D ．()2244233E a a ξ=-+，()23P A =8．已知点(2,1)A -，P为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆1C ：22(1)1x y -+=上的动点，则PB PA -的最大值为( )A BC ．3D ．5-9．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则( ) A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B ．n a 的最小值必定为1 C ．当na 是奇数时，2n n a a +≥D ．n a 的最小值可能为210．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．C D ．2非选择题部分(共110分)二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积是______3cm .12．德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.若复数z 满足()347i z i ⋅+=+，则z 对应的点位于第_______象限，||z =________.13．在6⎛⎝的展开式中，各项系数的和是________，二项式系数最大的项是_________.14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，左右焦点分别是,12F F ，过F 2且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，则其渐近线方程是_________，12AF F ∠=________.15．已知实数,x y 4=，则22xy +的取值范围为___________.16．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ=___________.17．已知函数()cos ,cos 0,cos x x f x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则()3π=f _________，当02x π≤≤时，()sin f x x ≤的解集是__________.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-；(1)求函数()f x 的单调减区间；(2)将函数()f x 分别向左、向右平移()0m m >个单位相应得到()()g x h x 、，且cos 3m =，求函数()(),0,2y g x h x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈的值域.19．已知：正三棱柱111ABC A B C -中， 13AA =， 2AB =， N 为棱AB 的中点．(1)求证： 1//AC 平面1NB C ． (2)求证：平面1CNB ⊥平面11ABB A ． (3)求四棱锥111C ANB A -的体积．20．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足24n S n n =-，数列{}n b 中，2133a b a =+对任意正整数112,.3nn n n b b +⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在实数μ，使得数列{}3nn b μ⋅+是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由； (3)求证：121148n b b b ≤+++<.21．已知抛物线E ：214y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与E 交于A ，C 两点 (1)分别过A ，C 两点作抛物线E 的切线，求证：抛物线E 在A 、C 两点处的切线互相垂直； (2)过点F 作直线l 的垂线与抛物线E 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积的最小值.22．已知函数()2122ln 2f x ax x x =-++，a R ∈. (1).当3a =-时，求()f x 的单调增区间；(2)当1a ≥，对于任意12,(0,1]x x ∈，都有1212|||()()|x x f x f x -≤-，求实数a 的取值范围； (3)若函数()f x 的图象始终在直线32y x =-+的下方，求实数a 的取值范围.2020年3月普通高考(浙江卷)全真模拟卷(2)数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2020年2月普通高考【卷】全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试围：高中全部容。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B第二象限．故选B．2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为21|{|2}4A x y x x x ⎧⎫===≠±⎨⎬-⎩⎭，{|23,}{2,1,0,1,2}B x x x =-≤<∈=--Z ， 所以{1,0,1}A B ⋂=-，所以A B I 中元素的个数为3．故选B ．3．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为A ．%25.6B ．%5.7C ．%25.10D ．%25.31【答案】A【解析】水费开支占总开支的百分比为%25.6%20100450250250=⨯++．故选A 4．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是 A ． B ．C ．D ．【答案】BA，D C．故选B5P是C与y轴交于点M O为坐标原点）C的渐近线方程为A B C D【答案】CC C．6在下列命题中，为真命题的是A B C D【答案】AAD平行于BC，故角中，PB=PC，故三角形PBC是等边三角形；当AB=2取BC的中点G EFG//平面PAB，从而得到EF//平面PAB，故2p是真命题；设AB=a，AC和BD的交点为O，则PO垂直于地面ABCD，PA＝ａ，AO＝２ａ２，PO＝２ａ２O为球心，球的半径为２ａ２，表面积为22πa，又正方形的面积为2a，故3p为真．故23p p∧为真；()12p p∨⌝13p p∧()23p p∧⌝均为假．故选A．7．图1是我国古代数学家爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD=，3BD=，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为A．964B．449C．225D．27【答案】B【解析】18060120ADB∠=︒-︒=︒Q，在ABDV中，可得2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅∠，即为222153253492AB⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭，解得7AB=，2DE AD BD=-=Q，224()749DEFABCSS∴==VV．故选B．8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F P 是抛物线C 的准线上一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =u u u r u u u r，则直线PF 的方程为 A ．330x y --= B ．10x y +-=C ．10x y --=D ．330x y +-=【答案】D 【解析】作QM y ⊥轴于M ，则根据抛物线的定义有QM QF =．又2PQ QF =u u u r u u u r ，故2PQ QM =，故1cos 2MQ PQM PQ ∠==．故3PQM π∠=，故直线PF 的倾斜角为23π． 故直线PF 的斜率为3-．直线PF 的方程为()31y x =--，化简得330x y +-=．故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

2020年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合M={1，2，3，4}，N={x|x+y=3，y∈M}，则M∩N=（）A．{1}B．{1，2}C．{2，3}D．{3，4}2．已知复数z（1﹣i）=i，则z在复平面上对应的点位于（（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．曲线y=在点（1，﹣a）处的切线经过点P（2，﹣3），则a等于（）A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣14．从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为2或3的概率为（）A．B．C．D．5．已知命题p：若x＞y，则|x|＞|y|；命题q：若x+y=0，则x=﹣y．有命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q．其中真命题是（）A．①③B．②④C．②③D．①④6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n＜5 B．n＜6 C．n≤6 D．n＜97．将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应函数为g（x），则g（=）（）A．0 B．﹣3 C．3 D．8．（x+）n（a∈N+，n∈N+，且n＞a）的展开式中，首末两项的系数之和为65，则展开式的中间项为（）A．120x3B．160x2C．120 D．1609．已知α、β为锐角，且sin（α﹣β）=，tanβ=．则α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=x+2y的最大值为2，则a=（）A．B．C．D．11．五棱锥P﹣ABCD的体积为5，三视图如图所示，则侧棱中最长的一条的长度是（）A．6 B．3C．3D．412．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．如图在矩形ABCD中，E为BC的中点，若=α+β，则α+β=．14．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是①三个题都有人做对；②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对．15．设抛物线C：y2=2px的焦点F是圆M：x2+y2﹣4x﹣21=0的圆心，则圆M截C的准线所得弦长为．16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2﹣ab+b2=1，c=1，则a﹣b的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．数列{a n﹣b n}为等比数列，公比q＞0，首项为1，数列{b n}的前n项和S n，若S n=（n∈N+），a3=．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和T n．18．某商店根据以往某种玩具的销售纪录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立．（1）求在未来连续3天里，有2天的日销售量都不低于150个且另一天的日销售量低于100个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=2AB=2（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；（2）求二面角C﹣AE﹣F的正弦值．20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且k OD•k AB=﹣，△AOB的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线1与椭圆C相交于M，N两点，若|MN|=，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．已知，其中a＞0．（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AF交BD的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若ED=1，BD=5，求切线AF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）﹣f（x﹣1）≤1；（2）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（﹣a）．2020年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

备战2020高考全真模拟卷2数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设0x >,若()2x i +是纯虚数（其中i 为虚数单位）,则x =（ ） A ．±1 B ．2C ．-1D ．1【答案】D 【解析】()2x i +,所以210,01x x x -=>⇒=,选D.2．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >- B ．{|3}x x <-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以A B U {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题. 3．函数f(x)={2x −2,x ≤12sin(π12x)−1,x >1，则f[f(2)]=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．2√3−1−2 D ．0 【答案】B 【解析】 f(2)=2sin(π12×2)−1=0 ，f[f(2)]=f(0)=20−2=−1 ，故选B .4．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭.类比上述解法，若关于x 的不等式0x ax b+<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式1log 301log 3x x a b +<+的解集为（ ） A ．()3,27 B ．()3,9C ．()1,27D ．()1,9【答案】A 【解析】 【分析】把题设中两个一元二次不等式的代数结构关系与对应的解集关系类比推广到两个分式不等式的代数结构关系与对应的解集关系即可得到要求的解集. 【详解】将关于x 的不等式1log 301log 3x x a b +<+变形可得1log 301log 3x x ab +<+，从而由条件可得113log 3x <<.利用对数换底公式有31log 3x <<， 即333log 3log log 27x <<，于是所求不等式的解集为()3,27，故选A. 【点睛】类比推理中有一类是解题方法上的类比推理，即原有的解题方法是建立在代数式的合理变形的基础上，因此对我们需要解决的问题，如果它们也有代数式上类似的变形，那么解决问题的手段应该是相同的，从而使得新问题得到解决 .5．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e 3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】 【分析】根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为1=x S e dx ⎰阴影，再由题意得到矩形OABC 的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果. 【详解】由题意，阴影部分的面积为11=10x xS e dx ee ==-⎰阴影，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为4=3OABC OABCS S eP S --=阴影矩形矩形. 故选B【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型. 6．函数()()2244log xxf x x-=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ∵()()()()2244log xx f x x f x --=--=-，∴()f x 为奇函数，排除A ，C ；∵21112log 3224f ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1142f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴排除D ，故选B . 7．已知向量()1,1a =r ， ()24,2a b +=rr ，则向量,a b r r 的夹角的余弦值为（ ）A.BC.D - 【答案】C【解析】()()4,222,0b a =-=r r，故cos ,2a b a b a b⋅〈〉====⋅r r r r r r .8．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（ ）A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．()ln 2f x x x =++D ．2()f x x =【答案】C 【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果. 详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为()sin f x x =为奇函数，()x f x e =恒大于零，()2f x x =恒非负，()ln 2f x x x =++满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3456719a a a a a a a ++++--=（ ） A ．46 B ．69C ．92D ．138【答案】B 【解析】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以9111998(3)20735;2S a a =+⨯⨯⨯-=∴= 3456719a a a a a a a ++++--=131269.a d += 选B.10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 1【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理，结合三角形面积公式可得tan 14C C π=?，再由余弦定理结合基本不等式求出ab的最大值，从而可得结果. 【详解】 ∵2c =，22222444ABCa b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==. ∴tan 14C Cπ=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥，∴4ab ≤=+∴(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=. 故选：D . 【点睛】余弦定理的应用一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11．已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则椭圆22221x y m n+=的离心率为（ ）A B C D ．29【答案】B 【解析】对函数()f x 求导得2()36f x x mx n '=++，由题意得(1)0{(1)0f f '-=-=，，即2130{360m n m m n -+-+=-+=，，解得1{3m n ，==或2{9m n ，，== 当1{3m n ，==时22()3633(1)0f x x x x =++=+≥'，故2{9m n ，，==所以椭圆22221x y m n +=的离心率为9e =，故选B ．12．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）A ．27 B ．27C ．9D ．27【答案】B 【解析】 【分析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()22V h h =-.设()()22f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM V 中有()2211h a -+=，即222a h h =-.正六棱锥的体积()2211162332V Sh h h h ==⨯⨯=-.设()()222f x x x x =-.由()2'02f x x =-=得43x =. ()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x .. 故选：B 【点睛】本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。