除法的两种含义

如何让学生理解除法中的“除”和“除以”作者：张连先来源：《新校园(下)》2016年第07期摘要：本文针对当前学生难以理解和区分“除”和“除以”这两个概念的问题，分别从如何理解“3除9”与“9除以3”的同一性，如何理解“3除9”与“3除以9”的不同性，以及如何理解“除”与“除以”的规律这三个方面进行教学，使学生弄清“除”和“除以”的真正含义。

关键词：除以；除；列式许多人都认为除法很容易，认为自己对除法有了一定的理解，就是弄懂了除法。

我们也能在生活中接触到各种各样的除法的运用，但这些不是除法的所有，它们都只是最浅显除法知识。

许多学生在学习除法时，往往会存在一些认识上的误区。

这时就要求教师找出学生的错误，让学生真正理解除法正确的概念。

两个数相除有两种读法——“除”和“除以”。

一个数“除以”另一个数，则前数是被除数，后数是除数。

一个数“除”另一个数，则前数是除数，后数是被除数。

被除数读在前用“除以”，而除数读在前则用“除”。

例如“15÷3”读作“15除以3”或读作“3除15”。

15除以3的“以”是“用”的意思或“拿”的意思，“15除以3”可以解释为用3去除15。

而“3除15”呢，就是用3去除15的意思。

笔者从教31年以来，发现大部分学生对除法中“除”和“除以”这两个概念的理解是模糊的。

大部分学生虽然会列算式，算得也正确，但对除法真正含义的理解也是只知其一，不知其二。

大部分教师在教“除”和“除以”这两个概念时，也只是牵强附会地让学生牢牢记住如何列算式计算就行了。

如“9除以3”或“9除3”，列式为：9÷3=3或3÷9=1/3，多一个“以”字和少一个“以”字的区别，只是列式不同罢了，没有引导学生从真正意义上理解其含义。

笔者认为，要让学生真正理解除法的内在含义，应从以下两个方面进行教学。

一、如何理解“3除9”与“9除以3”的同一性众所周知，除法中“除”字是平均分的意思。

“3除9”是“3平分9”，或理解为“3个小朋友平均分9个苹果”，这里就有“分”和“被分”的区别，不难理解是9个苹果被3个小朋友平均分。

《除法的初步认识》教学设计一、教材分析：【核心知识点】除法运算的意义【前置基础】平均分的两种方法【后继地位】本节课是后面学习除法计算及除法解决问题等相关知识的重要基础【教学重点】从平均分的方法中抽象出除法算式，体会除法运算的意义。

【教学难点】理解用除法算式表示平均分两种情况的具体过程。

【思想方法阐释】本节课主要思想方法体现在两个方面：1.符号化思想：利用学生平均分经验逐渐抽象出数学符号（除法算式），让学生感受到数学符号的简洁。

2.模型思想：通过例题及生活实例等丰富的素材明确两种平均分方法实际要解决的问题是什么？在观察对比中把复杂的情景简化，确定必要的数据，理解“求份数”，实际就是“求一个数中有几个几”，像这样的问题就用“总数÷每份数=份数”，而按份数平均分的问题都是“把一个数平均分成几份，求每份是多少”，就可以用“总数÷份数=每份数”。

二、教学目标1.结合平均分的具体情境与经验，抽象出除法算式，体会除法运算的意义，形成用除法计算的模型思想，掌握除法算式的读法、写法及各部分的名称。

2.让学生经历用除法算式表示平均分的具体过程，发展学生的动手操作、归纳概括的能力，渗透比较、模型等数学思想。

3.体会数学符号的概括性和简洁性，培养学生独立思考解决问题的能力，感受数学来源于生活，并应用到实际生活中。

三、教具、学具课件、实物投影、学具纸、学具磁力板四、教学程序（一）创设情境，激趣导入师：小动物们快乐的在森林里生活，突然有一天森林里发洪水了，小鹿和小熊被困在小岛上急需救援！从图中你发现了哪些数学信息？学生交流信息师：根据数学信息，你能提出什么数学问题？学生思考提问题师：我们快帮狮子救援队解决一下这两个重要的问题吧！（二）合作探究，感受意义1.解决“救小鹿需要几条船”,感受除法第一种意义（1）谈话。

师：12只小鹿，每条船4只小鹿，救小鹿需要几条船呢？先想一想需要几条船呢？接下来请同学们在学具纸上圈一圈得出答案。

2020——2021学年度第二学期二年级数学《除法的意义》教学设计共1学时1课程标准中相关的叙述结合具体情境，体会除法的意义。

2教材分析本单元教学内容主要有：除法的初步认识、用2～6的乘法口诀求商，解决实际问题。

除法的初步认识分两个层次：第一，以生活中常见的“每份同样多”的实例合活动情境，让学生建立“平均分”概念。

第二，在“平均分”概念的基础上引出除法运算，说明除法算式各部分的名称。

这是学习除法计算的开始，是今后学习表内除法（二）以及学习多位数除法的基础。

3学情分析除法的含义是建立在“平均分”的基础上的，学生在本单元初已经学习了平均分，并在前一课中已经初步认识了除法，有了这些知识作奠基，教学本课时，教师可利用学生所学的知识基础，结合学生的实际生活，向学生提供充分的实践活动机会,放手让学生主动探索。

通过直观操作展示了除法在应用时的两种实际操作的方法，使学生理解除法的含义。

4教学目标1、通过分竹笋、分圆片写算式等数学活动，掌握用除法算式表示一个数按照每几个分成一份，求能分多少份的方法。

2、通过同桌交流，能指出除法算式中的被除数、除数和商。

5重点难点重点：理解掌握除法算式表示的意义和除法算式各部分的名称。

难点：理解掌握除法算式表示的意义。

6评价任务1、完成分竹笋、分圆片等操作活动并写出除法算式。

2、完成“做一做”第2题说出每个除法算式中各部分的名称。

7教学过程7.1 第二课时7.1.1教学活动活动1【导入】复习铺垫，迁移导入欢迎同学们来到快乐大闯关！第一关：1．什么是平均分？平均分的情况可以用什么方法来计算？2．课件出示圆片图，学生看图说说图的意思，再写出算式。

学生独立完成。

活动2【活动】自主探究，合作求知第二关：1．动画出示教科书第14页的例5。

（1）让学生用自己的学具动手摆一摆：20个竹笋，按每4个放一盘，可以放几盘?学生动手操作，教师巡视，对操作错误的同学给予个别指导。

（2）教师：你能用除法算式表示出来吗？学生尝试写算式。

人教版二年级下册数学教案5篇人教版二年级下册数学教案5篇教案是以系统方法为指导。

教案把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。

下面小编给大家带来关于人教版二年级下册数学教案，方便大家学习人教版二年级下册数学教案1教学目标：1、体验数据收集、整理、描述和分析的过程，了解统计的意义。

2、能根据统计表中的数据提出并回答简单的问题，同时能够进行简单的分析。

根据统计表的数据提出有价值的数学问题及解决策略。

教学重点：使学生初步认识简单的统计过程，能根据统计表中的数据提出问题、回答问题，同时能够进行简单的分析。

教学难点：引导学生通过合作讨论找到切实可行的解决统计问题的方法。

教学教法：谈话、指导相结合法，引导学生通过对情境问题的探讨，师生互动，在具体的生活情境中让学生亲身经历发现问题、提出问题、解决问题的过程。

教学过程：一、情境引入教师引导提问：同学们，你们入学都要穿上我们学校的校服，你们喜欢我们校服的颜色吗(指名3～5个学生说一说)。

师：有的同学喜欢这个颜色，有的同学不喜欢，如果我们学校要给一年级的新生订做校服，有下面4种颜色，请你们当参谋，给服装厂建议下该选哪种颜色合适。

(指名学生回答，并说明理由。

)教师引导：张三喜欢红色，学校就决定将校服做成红色的，怎么样你有什么意见二、互动新授1、讨论收集数据的方法。

(1)教师提问：刚才我们确定了要在班级里进行调查，我们班级的人数也不少，应该怎样调查呢你有什么好的办法(指名学生回答。

)学生讨论收集数据的方法。

(2)出示统计表。

可以用什么方法来完成这张统计表呢(3)学生说出各种不同的方法。

(学生可能回答：把自己喜欢的颜色写在纸张上、举手、小调查等。

每人报喜欢的颜色，我们在自己的表中做记号，如画“正”;举手表示自己在哪一个范围的，老师数一下，再把结果填在表中……)(4)教师提问：你认为以上各种方法中，哪一种方法最方便师：在这些方法里，举手表示是比较简便的方法，现在由老师发布指令，每人只能选一种颜色，最喜欢哪种颜色就举手表示。

《表内除法（一）》同步测试（第1课时）一、下面哪些分法是平均分？在括号里画√。

（一）（）（二）（）（三）（）（四）（）考查目的：使学生从直观上认识平均分的特点：每份分得同样多。

解析：这道题目对于学生讲应该是最基础的题目，从图上可以很明确看出第一种是把8分成了3，3，2；第三种是把14分成了3，3，3，3，2；第四种是把19分成了5，9，5。

只有第二种是把8分成了4和4，每份分得同样多，是平均分。

答案：（一）×（二）√（三）×（四）×二、圈一圈，分一分。

（一）分桃子1.把16个桃子平均分给2只小猴，每只小猴分( )个。

2.把16个桃子平均分给４只小猴，每只小猴分( )个。

3.把16个桃子平均分给8只小猴，每只小猴分( )个。

（二）分苹果1.把（）个苹果，平均分成2份，每份（）个。

2.把（）个苹果，平均分成3份，每份（）个。

3.把（）个苹果，平均分成6份，每份（）个。

4.把（）个苹果，平均分成9份，每份（）个。

5.把（）个苹果，平均分成18份，每份（）个。

考查目的：这道题意在考查学生平均分物体方法的掌握情况。

解析：这道题平均分物体的总数是不变的，但是随着平均分份数的变化，每份数也在发生着变化。

做题时，教师可以让学生用学具代替水果分一分，提醒学生不要只关注分的结果，更要关注分的过程与方法。

操作后让学生练习用语言描述平均分，学习平均分的数学表达方式。

最后观察每一组平均分的结果，初步体会份数与每份数的变化规律，初步感知份数与每份数是相互关联的两个量。

答案：（一）1.（8） 2.（4） 3.（2）（二）1.（18，9） 2.（18，6） 3.（18， 3）4.（18，2）5.（18，1）三、看图填一填。

（一）1. 一共有（）根胡萝卜，每（）根一份，平均分成了（）份。

2. 一共有（）根胡萝卜，平均分成（）份，每份有（）根。

（二）1.把10个面包平均分成（）份，每份有（）个面包。

2.把10个面包每（）个一份，分成了（）份。

《表内除法（一）》同步测试（第4课时）一、我会填1. 分一分，填一填。

（1）每份2个，可以分成（）份。

列式：（）÷（）=（）算式中被除数是（），除数是（），商是（）。

（2）每份3个，可以分成（）份。

列式：（）÷（）=（）算式中被除数是（），除数是（），商是（）。

（3）每份4个，可以分成（）份。

列式：（）÷（）=（）（4）还可以每份（）个，可以分成（）份。

列式：（）÷（）=（）考查目的：考查学生对包含除法意义的理解，巩固除法各部分名称。

答案：6，12÷2=6 ，12，2，6，4， 12÷3=4， 12，3，4，3， 12÷4=3.6，2，12÷6=2解析：一共有几个，被除数就是几，每几个分一份，除数就是几，分成几份，商就是几。

除号前面的数是被除数，除号后面的数是除数，结果叫商。

2.10里面有（）个2，列式（）÷（）=（）考查目的：考查学生能够看懂图意，进一步考查对除法的理解。

答案：5，10÷5=2解析：根据图意，每两个分一份，所以要除以2。

3. 先分一分，然后写出除法算式。

（）÷（）=（）考查目的：看懂图意，自行平均分。

答案：8÷2=4解析：把8个梨平均分在两个盘子里，每个盘子分4个，应该列式8÷2=4。

二、解决问题1.两只小猴分得同样多，每只小猴分（）个。

（）÷（）=（）考查目的：两份香蕉不一样多，考查学生对除法意义的理解和分析能力。

答案：4，8÷2=4解析：一共8个香蕉，平均分给两只小猴，每只小猴应该分到4个，是把8平均分成2份，每份是4。

2.这些足球每班分3个，可以分给（）个班。

（）÷（）=（）考查目的：理解除法的意义。

答案：5，15÷3=5解析：把15个足球平均分给3个班，每班分到5个，这就是把15平均分成3份，每份是5。

从本质上来理解“除”与“除以”的含义作者：张州杭来源：《小学教学参考(数学)》2007年第09期最近读了《小学教学参考》(数学版)第6期刊登的《“除”与“除以”之我见》一文，觉得张维宁老师说的“应该把‘除’与‘除以’两个概念统一起来”，我实不在敢苟同。

“除”与“除以”既有联系又有区别。

确实，学生对这两个概念很容易混淆，虽经过老师多次强调、反复操练，但错误仍有不同程度的出现。

我询问了很多教师对此问题的处理，一般都是让学生经过反复地读、说、写、练，把错误率降到最低程度。

其宴，这是没有从本质上来理解“除”与“除以”的含义。

下面，谈谈我对“除”与“除以”的理解。

一、理解“除”的含义《现代汉语词典》中对“除”的一种解释是：用一个数把另一个数分成若干等份叫除，例如用二除六得三。

我国古代数学论著中，也都是用“除”表示这个含义。

如《九章算术》第一章“方田”中有例：1今有田广十五步，从十六步。

问为田几何?答日：一亩。

2又有田广十二步，从十四步。

问为田几何?答日：一百六十八步。

方田术日：广从步数相乘得积步。

以亩法二百四十步除之，即亩数。

意思是，在田亩的计算中，15步×16步=240(步×积步)，即为一亩，然后用240除男一块田的积步数，即为亩数。

用现在的话说，240是除法中的除数，是把另一块田的积步数等分的份数。

查阅其他古代数学论著，在讲除法中均用到的是“除”而没有用到“除以”。

看来，除法中用“除”表示，有着其悠久的历史。

二、理解“除以”的含义首先，何为“以”?这需要从我国古代汉语的角度来理解。

古代汉语中，“以”作为一个介词，它的用法比较复杂，最常见的用法是表示动作行为以某物为工具或凭借，相当于现代汉语中的“用”或“拿”，如“以毒攻毒”、“以子之矛，攻子之盾”等。

但“以”的用法有一点值得注意，就是它在句中的位置，可以用在谓语动词之前，也可以用在谓语动词之后。

如《荀子·劝学》中，“以羽为巢，而编之以发”，这两个“以”字的位置就不同。