第三讲：三角形一边的平行线判定定理 一、知识要点： 1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若① AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC AB AC = 中之一为已知条件，则DE ∥BC E D C B A 2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则DE ∥BC. E D C B A E D C B A 牛刀小试： 1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。判断在下列条 件下能否推出DE ∥BC,为什么 （1） 2 3 AD DB =,AE=2，AC=3 （2） 25AD AB =,2 5 DE BC = E D C B A
（3）23AD DB =,5 3 AC CE = 2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出DE ∥BC 的条件是（ ） A 、 AB 3=AD 2,EC 1=AE 2 B 、AD 2=AB 3,DE 2 =BC 3 C 、AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3=EC 4 二、典型例题 例1、如图EF ∥BC ， 3 1 =AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A D E F B C 例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。 求证：CD ∥AB. 分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。 本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。 例3、如图，已知MB ∥ND ，PA PD PB ?=2 ，求证：NB ∥MA M N O F E D C B A
相似三角形的判定说课稿 一、教材分析： 本节内容隶属于初中数学三大板块中空间与图形一部分，是相似一章的重点内容。既是全等三角形研究的继续,也为后面测量和研究三角函数做铺垫。因此必须熟练掌握三角形相似的判定,学会灵活运用相似三角形的判定.。是中考必考的知识点。 二、学情分析 学生已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的变换。相似作为图形变换的一种，学生对它的学习应该是比较轻松的。另外学生在上两节也已了解了三角形相似的概念，掌握了相似三角形判定的预备定理，这为探究三角形相似的条件做好了知识上的准备，使学生能主动参与本节课的操作、探究。 .三、教学目标： 根据学生已有的认知基础和教材所处的地位和作用，我将本节课的教学目标定位为： 1、知识技能掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 2、情感态度通过画图、观察猜想、度量验证等活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。从思维上培养学生用类比的方法展开探索； 3、数学能力经历发现两个三角形相似的判定方法的过程；体验画图操作、观察猜想、分析归纳结论的乐趣；会运用“两个角对应相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。 四、教学重难点： 1.教学重点： 两个三角形相似的判定方法1及应用。 2.教学难点： 探究三角形相似的条件；运用三角形相似的判定解决问题。 五、说教法、学法： 〈一〉教法： 教学中不仅要教知识，更重要的是教给学生方法。多样的教法必带来多样的学法。一节课不能是单一的教法，因此，本节课我将采用以下方法进行教学： （1）类比教学法：类比全等三角形的判定方法——进行探究。 （2）转化教学法：推导相似三角形的判定时，把新问题转化为我们已经解决的问题，从而把问题从未知转化为已知，从复杂转化为简单。 （3）情景教学法：创设问题情境，激发学生兴趣，让学生带着好奇进入新课的学习。（4）启发性教学法：在教师的启发下，让学生成为课堂上真正的主人。 〈二〉学法： 本节课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——运用——提高”的主线进行学习，充分调动学生的手口脑，引起兴趣，主动学习。 六、说教学过程
相似三角形的判定练习 【知能点分类训练】 知能点1 角角识别法 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______． 4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________． 8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D ，E 是AB 边上的三等分点，F ，G 是AC 边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比． 10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）?和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 【综合应用提高】 11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC ． 12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ． 13．在ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FN NE 的值．
《27.2 相似三角形的判定4 》教学设计 【教学目标】： 1、通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，使学生进一步领悟类比的思想方法 2、能够运用相似三角形的判定4解决求线段长度、角相等之类的问题 【教学重点】：掌握“两组对角相等，两三角形相似”的判定方法 【教学难点】：找出对应角相等 【教学准备】：三角板、多媒体设备 【教学过程】: 一、复习练习 1、判定两三角形相似的方法： ①____________, ②_____________, ③_____________, ④_____________. 2、如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD:DB=1:3 ，DE=2，则BC的长为__________ 3、证明两个三角形全等，用“角角边”判定定理：两个______和其中一个角的_______对应相等的两个三角形全等(简写成“________”) 4、如图所示，AB=AD，∠E=∠C，要想使△ABC≌△ADE可以添加的条件是____________,依据是___________ （第2题）（第4题） 二、新课学习 1、预习课本第35-36页内容 2. 如图，作△ABC与△A’B’C’, 使∠A=∠A'=600，∠B=∠B'=500， 问题1：∠C与∠C'有何关系？_______________ 问题2：猜想△ABC与△A’B’C’的关系？ 让学生思考讨论，从图形的外观，绝大多数学生会猜这两个三角形相似。结论的证明以教师讲授为主，并引导学生思考：根据题设条件，难于用定义来证明，因为用定义来证明需要的条件较多，所以不妨考虑用定理来证明。为此，需要构造出符合定理条件的图形：在?A′B′C′中，作B′C′的平行线，且在?A′B′C′中截得的三角形与?ABC又有
教学时间 课题 27.2.1相似三角形的判定（3） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 过 程 和 方 法 经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 情 感 态 度 价值观 教学重点 三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 教学难点 三角形相似的判定方法3的运用． 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD ?AB ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由． （3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD= ∠B ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题． （4）教材P46的探究4 ． 二、例题讲解 例1（教材P46例2）． 分析：要证PA ?PB=PC ?PD ，需要证PB PC PD PA ，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似． 证明：略 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一 点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长． 分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、 AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只
第3讲三角形一边的平行线（二） 知识框架 本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备． 3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论 我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确． 如图，在ABC △中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AE DB EC =，那么DE//BC 吗？ 解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上． 如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD． 证明：∵CF//AB ∵AD AE CF EC =（三角形一边平行线性质定理的推论） 又∵AD AE DB EC = ∵ AD AD CF DB =，得CF DB =． 由CF//DB，CF DB =，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC． 根据比例的性质可知，在关系式∵AD AE DB EC =、∵ AD AE AB AC =、∵ BD CE AB AC =中，由其中 一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理： 三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ． 由此由得到： 三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上， 如果DE AD BC AB =，那么能否得到DE //BC ，为什么？ 例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC 是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =； （4）2AB BD =，2AC CE =． 例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________． 例1题图 例2题图 例题分析
期中考试复习讲义(4) 三角形一边平行线的判定 一、填空题 1. 如图,在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=3 4 ,由此判断DE 与BC 的位置关系是 ,理由是 . 2. 如图,AM∶MB=AN∶NC=1∶3，则MN∶BC= . 3.如图, △PMN 中, 点A 、B 分别在MP 和NP 的延长线上, 83==BN BP AM AP 则=A B MN 4.△ADE 中,点B 和点C 分别在AD 、AE 上,且AB=2BD ，AC=2CE ，则BC∶DE= . 5.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O,若BO DO CO AO =，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= . 二、选择题 6.△ABC 中,直线DE 交AB 于D,交AC 于点E,那么能推出DE∥BC 的条件是( ) (A) ；，2123==AE EC AD AB (B) 32 32==BC DE AB AD ，; (C) ；，3232==AE CE DB AD (D) ；，3 4 34==EC AE AB AD 三、解答题 7.△ABC 中,DE∥BC， DB AD DF AF =,求证:EF∥CD.
8.如图,AC 、BD 相交于点O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求证：∠A=∠C. 9.已知在△ABC 中,点D 、 E 、 F 分别在AB 、BC 、CA 上,且EB CE DB AD FC AF ==,CF=CE ，求证：四边形CFDE 是菱形. 10.在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上,且DE=3,BF=4.5，5 2 ==AB AE AC AD ， 求证：EF∥AC.
《相似三角形的判定》教案 课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明． 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，
∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF． 师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ． 追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？ 当l3//l4//l5时， 有AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE//BC时，有
相似三角形的判定--角角 一、内容及内容解析： 1.内容：两角分别相等的两个三角形相似。 2.内容解析： 三角形相似的判定是在学习了三角形内角和性质，三角形全等、多边形相似及三角形相似的后续学习，它是相似多边形中最为简单的相似图形。 在探究“两角分别相等的两个三角形相似”的过程中，学生看书自学，先度量发现结论成立，再通过作与?A'B'C'相似的三角形，把证明三角形相似转化为三角形全等的问题。此判定的学习具有承上启下的作用，培养学生对知识转化的能力和化繁为简的思想。相似三角形是今后学习锐角三角函数和圆的知识基础，另外在学习物理等相关方面也要用到相似三角形的知识。 基于以上分析，本节课的教学重点是：判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”。 二、教学目标： 1.课程标准：经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。掌握判定两个三角形相似的基本方法。 2. 知识与技能：通过经历两个三角形相似条件的探索过程，发现“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法。 3.过程与方法：进一步发展学生的自学、探究、交流能力、合情推理能力和初步的逻辑推理意识，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。 4.情感、态度与价值观：通过自学，激发学生学习兴趣，培养学生自主学习的能力，培养学生主动、愉快的学习情感。 三、教学问题诊断分析 在判定定理证明的过程中，教科书做了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用中介三角形与原三角形全等，这种转化的方法学生往往很难想到。不同于以往证角相等的方法，也会给定理的证明带来一定的难度。 本节课的教学难点是：判定定理“两脚分别相等的两个三角形相似”的证明。 四、学情分析： 1.九年级学生已经具备了一定的图形之间关系的认识。
相似三角形的判定 学习目标 1、经历两个三角形相似的探索过程，发展自己的探索、交流能力。 2、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。 3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。 学习重点： 两个三角形相似的判定定理3及其应用。 学习难点： 探索两个三角形相似判定定理3的过程。 学习过程： 一、自学指导 （一）、复习巩固 1、已学过判断三角形相似的方法： （1）定义； （2）预备定理； （3）判定定理1 ; （4）判定定理2 。 2、已知：△ABC的三边分别为6㎝、7.5㎝、9㎝，△DEF的一边为4㎝，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（） A、2㎝，3㎝ B、4㎝，5㎝ C、5㎝，6㎝ D、6㎝，7㎝ 3、在△ABC和△DEF中，若AB DE = BC EF ，再添加一个条件，则△ABC ∽△DEF。 (二)、自主学习 预习课本46页探究4 1、想一想：在△ABC和△A′B′C′中，其中∠A=∠A′,∠B=∠B′,△ABC 和△A′B′C′全等吗？。△ABC和△A′B′C′相似吗？。
证明： 归纳： 定理：那么这两个三角形 。二、合作探究 1、在三角形ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC=∠ ，AC=3,求CD 的长。 C A 2、如图，弦AB 和CD 相交于圆O 内一点 P ，求证PA ?PB=PC ?PD D A 归纳：在相似三角形中，经常利用 求线段长。
三、自我检测 1、 ABC ?中，∠A=75°，∠B=35°,DEF ?中，0 75=∠D ,当 ∠F= 时△ABC ∽△DEF 。 2、 在△ABC 中，点D 在AB=5,AC=4,AD=x,AE=y.则 3、 如图，D 是△ABC 的边若∠2= ，则△ABC 4、（2008武汉）如图，点D 、求证：△ABC ∽△FDE. 四、作业设计 1、完成课本48页练习1、2. 2、（2009山西）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线交BC 的延长线于点E,则CE 的长为 。 3、已知⊙O 中，两弦AB 与CD 相交于点P,若AP:PB=2:3,CP=2㎝,DP=12㎝,则弦
初三数学-相似三角形 的判定
【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
课题：27.2.1相似三角形的判定3 学习目标： 1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 学习重点:三角形相似的判定方法4——“两角对应相等，两个三角形相似”．学习难点:三角形相似的判定方法4的运用． 教具:三角板 学法指导：自主完成一、认真阅读教材小组合作交流完成二、三、四、五 学习过程备注 一、复习导学: 1、我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ 2、如图，△ABC中，点D在AB上，如果 AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似 吗？说说你的理由． 二、探究新知： 问题1：观察两副三角板其中同样度数的两个三角尺相似吗？说说理由。 问题2：作△ABC和△A/B/C/ 使得∠A=∠A/ ,∠B=∠B/，这时它们的第三个角满足∠C=∠C/ 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算△ABC和△A/B/C/的对应边的比是否相等？自主完成 把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A/B/C/相似吗？
小结：三角形相似的判定方法4： 的两个三角形相似． 几何语言： 证明： 三、巩固提升 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点， AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长. 解： 由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足_______或 _____，那么这两个直角三角形相似. 四、思考探究： 对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。那 么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗? 自己画图证 明。 自己动脑完 成看谁最先 做出来
一、本节知识点汇总： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==()b 、 d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线 段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3．平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 用符号语言表示： AD ∥BE ∥CF, ,,AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF AC DF ∴===. 4.平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等. 用符号语言表示： AD BE CF AB BC DE EF ? ?=?=? . 5. 三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 6.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. E C
23．1——23．3比例线段单元测试 班级_______姓名________学号________分数________ 一、填空 1．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a ＝9，c ＝4，则b ＝ ． 2．线段AB ＝6cm ，点P 在线段AB 上，且AP 是是AB 与BP 的比例中项，则PB ＝_______cm ． 3．△ABC 与△A 1B 1C 1中3 2 111111===C B BC C A AC B A AB ， 若AB ＋AC ＋BC ＝40cm ，则△A 1B 1C 1的周长是__________． 4．在比例尺为1︰1000000的地图上，AB 两地的图上距离是3．4厘米，则AB 两地的实际距离是____________千米． 5．已知 832=-b b a ，则______=b a ． 6．已知：在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，AB ＝6，AD ＝2，EC ＝3，则AE ＝ ． 7．已知：点D 、E 分别在⊿ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上，且DE ∥BC ，15,3 2 ==BC AB AD ，则DE ＝ ． 8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ．若S △AOD ＝4，S △AOB ＝6，则S △BOC ＝_________． 9．如图，l 1∥l 2∥l 3 ， AB ＝2，AC ＝5，DF ＝10，则DE ＝ ． 10．如图,AM ∶MB ＝AN ∶NC=1∶3，则MN ∶BC = ． 11．如图，在ΔABC 中，AM 是中线，G 是重心，GD ∥BC ，交AC 于D ．若BC ＝6，则GD ＝ ． 12．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝13厘米、BC ＝18厘米，AE ︰EB ＝2︰3，则EF ＝ ． （第13题）（第12题）（第11题） L3 M M B A B C C 第10题 第11题 第12题
第二讲：三角形一边的平行线性质定理 一、知识要点： 1复习、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比， （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若AD ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若DE ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 1 ＝＝特殊地：EC AE DB AD ， 如图（2），若DE ∥BC ，则 AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则AD DE AE AB BC AC == ; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则A B B C A C A E D E A D == . 小试牛刀：
选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则 AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5厘米， 则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于 点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A 二、典型例题： 例1、 如图所示，DE ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD 。 F E D C B A 例2、 如图所示，E 为平行四边形ABCD 边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O 。求证：
27．2．1相似三角形的判定 第三课时 教学目标 (一)知识与技能 掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 (二)过程与方法 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。 (三)情感态度与价值观 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕 教学重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用 教学难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程 教学过程： 新课引入： 复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系： 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1） 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2） 提出问题： 观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？ 延伸问题： 作?ABC与?A 1B 1 C 1 ，使得∠A=∠A 1 ，∠B=∠B 1 ，这时它们的第三角满足∠C=∠
C 1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 11AB A B ﹑11BC B C ﹑11 AC A C ，你有什么发现？（学生独立操作并判断） 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ∠C=∠C 1，11AB A B =11BC B C =11 AC A C 。 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 探究方法： 探究3 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。） 归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成） 符号语言： 若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 ，则?ABC ∽ ?A 1B 1C 1 应用新知： 例2 如图27·2-7，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ， 求证：PA ·PB=PC ·PD 。 分析：欲证PA ·PB=PC ·PD ，只需PA PC PD PB =，欲证PA PC PD PB =只需?PAC ∽?PDB ，O C A B D A B C A 1 B 1 C 1
教学内容 一、知识要点： 1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比， （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若A D ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若D E ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 如图（2），若D E ∥BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 A D D E A E A B B C A C ==; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则 AB BC AC AE DE AD ==.
E D E （2） （1） C B A D C B A 小试牛刀： 选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则 AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5 厘米，则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A
27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点) 2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B 和∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比 AB A ′B ′，AC A ′C ′，BC B ′ C ′ 相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流． 二、合作探究 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AB 边上一点，且∠ADE ＝60°. (1)求证：△ABD ∽△DCE ； (2)若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长． 解析：(1)由题有∠B ＝∠C ＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD ＝∠CDE ，即可证明△ABD ∽△DCE ；(2)根据△ABD ∽△DCE ，列出比例式，即可求出△ABC 的边长． (1)证明：在△ABD 中，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，又∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE .在△ABD 和△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABD ∽△DCE ； (2)解：设AB ＝x ，则DC ＝x －3，由△ABD ∽△DCE ，∴AB DC ＝BD DE ，∴ x x －3＝3 2 ，∴x ＝9.即等边△ABC 的边长为9. 方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 添加条件证明三角形相似 如图，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一
教学设计 27.2.1相似三角形判定(角角判定) 内容分析：相似三角形的判定是相似三角形研究的重要内容。前面已学习了“定义”、“平行线”、“三边”“两边及夹角”这几种方法，这些方法都与“边”有关，很自然地提出“无边”能否判定三角形相似。“两角分别相等的两个三角形相似”是证明两个三角形相似最简单、最常用的方法。 学情分析：九年级学生已具备一定的逻辑推理能力，可放手给学生探究。但外宿班同学基础较差，教师要适时加以提示点拨。 教学目标：第一，理解三角形相似的角角判定；第二，会运用角角判定解决简单问题；第三，在教学中渗透类比、转化、几何直观思想；第四，培养学生探究、合作精神；第五，通过知识的应用学会正确推理，以理服人 教学重点：理解三角形相似的角角判定，会运用角角判定解决简单问题。 教学难点：三角形相似的角角判定的推导过程及几何证明题的书面文字表达。 教学方法：运用多媒体进行启发式、引导式教学。 教学过程：（运用多媒体教学） 一、知回识顾 相似三角形的判定方法（教师简单板书在黑板左边） 1.定义法：三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似。 2. 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 3. 边边边（SSS）: 三边对应成比例的两个三角形相似。 4.边角边(SAS): 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 学生回答完相似三角形的判定方法后做以下既简单又易错的练习，目的是达到温故知新。 练习：在△ABC和△A′B′C′中，已知： (1)AB＝6 ，BC＝8，AC＝15， A′B′＝12，B′C′＝16，A′C′＝35 试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由。（不相似）
27.2.1 相似三角形的判定（三） 一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 2．掌握"两角对应相等，两个三角形相似"的判定方法． 3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：三角形相似的判定方法3--"两角对应相等，两个三角形相似" 2．难点：三角形相似的判定方法3的运用． 3．难点的突破方法 （1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法． （2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据． （3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似． 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是教材P48的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法． 例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课学习"27.2.2 相似三角形的应用举例"打基础． 四、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB， 那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由． （3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B， 那么△ACD与△ABC相似吗？--引出课题． （4）教材P48的探究3 ． 五、例题讲解 例1（教材P48例2）． 分析：要证PA?PB=PC?PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质"同弧上的圆周角相等"得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似． 证明：略（见教材P48例2）． 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．