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2008年第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛《几何概型》教案及其说明湖南省长沙市长郡中学王小伟《几何概型》教案说明一、《几何概型》的教学目标：1、教学目标：1）学生能够正确区分几何概型及古典概型；2）学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题；3）提高学生自主探究问题、解决问题的能力；4）渗透数学的基本思想：猜想验证思想、以旧引新思想等等；5）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
2、教学目标的设置意图：几何概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），尤其是特征（2），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。
同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。
几何概型是对古典概型有益的补充，几何概型将古典概型的研究从有限个基本事件过渡研究无限多个基本事件，几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例。
在强化几何概型概念教学的同时，将几何概型概念形成的教学通过猜想验证思想逐步让学生自主探究，并体会概念形成的合理性。
二、《几何概型》在教材中的地位：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型是对古典概型有益的补充，将研究有限个基本事件过渡到研究无限多个基本事件；2、学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。
三、《几何概型》的重难点分析：1、《几何概型》的重难点：1）学生能够正确区分几何概型及古典概型两者的区别；2）学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题；3) 通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；4）难点在于把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题；2、几何概型的学习是建立在古典概型的学习基础之上，少数学生受古典概型学习的影响，容易忽视对几何概型的判断和选择，不善于把求未知量的问题转化成几何概型求概率的问题，而常常转化成古典概型进行分析；因此在教学中结合[课前练习]、[问题初探]进行深入讨论，让学生真正体会到判断几何概型的特点以及重要性，利用回顾、猜想、试验、对比等手段来帮助学生解决问题。
3.3 几何概型一、教学目标： 1. 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2. 情感态度与价值观：本节课主要特点是随机试验多，学习是养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：1. 几何概型的概念、公式及应用；2. 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、教学过程：1. 创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2. 基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：① 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；② 每个基本事件出现的可能性相等． 3. 例题分析：例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。
§3.3.1 几何概型教学设计教学内容：人教版《数学必修3》第三章第三节几何概型。
学情分析：学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。
现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型的目的。
教学目标知识与技能目标１．初步体会几何概型及其基本特点；2．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3．让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；过程与方法目标1．通过游戏、案例分析，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力；2．经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识；情感、态度与价值观目标通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
教学重点：初步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题教学难点：将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度。
教学过程：一、复习引入古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.小试牛刀1、从区间[-10,10]上任取一个整数,求取到大于1小于5的数的概率. 思考：那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢? (设计意图：通过古典概型的特点以及概率公式的应用巩固，为后面的对比学习奠定基础，同时也引出的新的概率模型，增强学生的好奇心。
）（师生互动：学生回答并完成练习，师生共同总结）二、创设情景，引入新课探究实验11. 取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？探究实验22.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?()AP A包含基本事件的个数公式：基本事件的总数探究实验33、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中,始终保持与正方体的6各面的距离都大于1,则称其为“安全飞行”,求蜜蜂安全飞行的概率.由以上3个实验回答：（1）实验中的基本事件是什么:（2）每个基本事件发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？（设计意图：通过实验操作，让学生能直观感受几何概型的基本事件覆盖的区域）（师生互动：学生观察并回答问题，教师及时修正和确认答案）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等．思考：在几何概型中，如何求得某事件A的概率？在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:学生活动（分组讨论）求几何概型概率问题的步骤：1、判断实验的概率模型是否满足几何概型的两个特征；2、2、利用作图法描述基本事件对应的区域；3、3、把随机事件A转化为与之对应的区域d；4、4、利用几何概型概率公式计算。
几何概型教学设计教学内容：人教版《数学必修3》第三章第3.3.1节几何概型。
学情分析：这部份是新增加的内容，介绍几何概型主若是为了更普遍地知足随机模拟的需要，可是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，因此教科书当选的例题都是比较简单的，随机模拟部份是本节的重点内容。
几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于实验的结果不是有限个。
本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性。
几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是实验的可能结果不是有限个；它的特点是在一个区域内均匀散布，因此随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。
教材的地位与作用：概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中时期概率的学习中，起了继往开来的作用。
本章的核心是运用数学方式去研究不确信现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观看、分析研究客观世界的态度，并获取熟悉世界的初步知识和科学方式；这对全面系统地把握概率知识，关于学生辩证思想的进一步形成具有增进的作用。
教学目标：知识与技术了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。
进程与方式通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的进程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。
情感、态度与价值观通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培育学生的数学素养。
教学重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。
教学难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何气宇。
教学进程：一、温习引入一、古典概型的两个大体特点是什么？二、如何计算古典概型的概率？二、创设情景，引入新课一、问题情境⑴、以下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获?胜,不然乙获胜.在两种情形下别离求甲获胜的概率是多少⑵、取一根长度为3米的绳索，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？（演示绳索）⑶、射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。
3.3.1 几何概型教材分析本节内容是数学必修4 第三章 第三节的第一课，本小节是继古典概型之后学习的另一类等可能概型，是教材新增加的内容，对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义．几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结果有限个拓广到无限个；它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性．本节课的教学重点是理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题；难点是将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量．由于学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型，初步学会了用古典概型公式解决概率题，大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣，逐渐会把一些问题模型化．但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强． 课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解几何概型的特点及利用几何概型的计算公式解决问题． 教学目标重点: 理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题．难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量．知识点：理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题.能力点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量.教育点：逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力.自主探究点：让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式.考试点：几何概型的特点及利用几何概型的计算公式解决问题.易错易混点：从实际背景中不能找到正确的几何度量.拓展点：单点事件的概率问题．教具准备 投影仪和实物模型课堂模式 学案导学一、复习引入问题1.古典概型的两个基本特征是什么？如何计算古典概型的概率？【设计意图】复习回顾，便于学习新知．【设计说明】学生回答．问题2.(1)在区间[0，4]上任取一个整数，恰好取在区间[1，3]上的概率为多少？(2)若x ,y 均从0，1，2，3，4五个整数中任取，组成25个点P (x ,y )，求这些点P (x ,y )恰是圆形区域22{(,)|(2)(2)4}x y x y -+-≤边界或内部点的概率？【设计意图】利用这题组复习古典概率的的特点和概率计算公式．事实上，学生们做出该题是没有问题的，这道题为下题奠定了基础．问题3.(1)在区间[0，4]上任取一个实数，恰好取在区间[1，3]上的概率为多少？(2)在正方形ABCD 区域{(,)|04,04}x y x y ≤≤≤≤中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在圆形阴影区域22{(,)|(2)(2)4}x y x y -+-≤的概率是多少？【设计意图】此题与学生上题的思维形成了认知冲突，这无疑为几何概念的引出铺垫了基础． 思考：(1)问题3与问题2的相同点与不同点分别是什么？学生回答：不同点：问题2所有的基本事件是有限个，问题3的基本事件是无限多个；相同点：问题2与问题3中，每个基本事件的发生都是等可能的．(2)怎样求问题3的概率？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，通过问题的对比，探索新知，引出本课题．【设计说明】学生回答．引入：为此我们引入今天的课题-几何概型．【设计意图】由此具体的数学问题引入，能激发学生的好奇心，另外还能为理解几何概型的概念作好铺垫．【设计说明】教师指出几何概型正是我们接下来要探究的问题．二、探究新知探究概念思考：老师这里有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜．在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？【设计意图】以学生做游戏为载体，通过分析这两个游戏，其一：此题的随机事件的发生应理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点，引导学生初步体会把具有实际背景的随机事件与几何区域联系在一起；其二：针对上面问题2、问题3以及该问题引导同学们思考：对于“无限性”类问题，其概率的计算公式是什么呢？同学们自然会联想到面积等几何度量，把上述几何图形的几何度量的比值作为这类问题的概率就显得合理．这样就可以自然而然的给出几何概型的定义及计算公式．【设计说明】此问题涉及到的实物模型在教学中事先做好，通过提问让学生积极参与，以激发学生的学习兴趣．形成概念1.几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．3.几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率：()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．【设计意图】通过对比、归纳，将新的知识建构到旧的知识系统，完成知识的延伸．【设计说明】学生归纳总结并叙述，教师板书并补充．三、理解新知1.2.()d P A D =的几何度量的几何度量． 注：解决几何概型问题一是要弄清该题是不是几何概型；二是要弄清该题的几何度量与长度、面积、体积谁有关．【设计意图】引导学生分析、比较，更加深对几何概型的理解．【设计说明】教师提问，学生回答．四、运用新知例1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率． 分析: 收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型．解：设A ={等待的时间不多于10分钟}．事件A 发生：打开收音机的时刻恰好位于[50,60]时间段内． 因此由几何概型的求概率公式得60501()606P A -==， 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16．【设计意图】一是例题的选择贴近学生实际，入手比较容易；二是从时间长度上认识几何概型；三是通过解决一些实际问题，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法．【设计说明】此例首先让学生独立思考，然后教师再分析并求解．变式：1.引入中问题3 (1)．2.取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?【设计意图】结合这两个题目让学生进一步从长度上认识几何概型．例2.在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？分析：病种子在这1L 种子中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），取得10mL 种子可视作区域d ，所有种子可视为区域D ．【设计意图】经过分析本题符合几何概型的条件，几何度量是体积，让学生从体积上认识几何概型，提醒学生注意书写的规范性.【设计说明】学生回答．例3.再回首刚才的问题—甲乙两人玩转盘游戏，在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？分析：结合上述两个例题的研究，同学们会出现以下几种几何度量来解决该几何概型问题．解：法一（利用B 区域所占的弧长）：1(1)();2B P B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长3(2)().5B P B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长 法二（利用B 区域所占的面积）：1(1)();2B P B ==所在扇形的面积整个圆的面积3(2)().5B P B ==所在扇形的面积整个圆的面积 法三（利用B 区域所占的圆心角）：1801(1)();3602B P B ︒︒===所在圆心角的大小圆周角336035(2)().3605B P B ︒︒⨯===所在圆心角的大小圆周角 【设计意图】本题是一题多解，让学生从不同几何度量来进一步研究认识几何概型问题，对几何概型的题目有了更深刻的理解，几何度量中到底是长度、面积还是体积呢？我们要认真加以判断，要学会用数形结合的思想解决概率问题．其中法三由于指针在转盘的圆心角的任一位置都是随机的，都是等可能的，故选择圆心角作为问题解决的切入点是可行的，这样测量几何区域的尺度除了前面介绍的长度、面积、和体积外，角度也可以；这样既拓展了概念的外延，又为下面问题的解决奠定概念基础．【设计说明】此例可让学生将答案做在作业纸上，挑选几个有代表性的解答用实物投影展出，请一些同学进行点评，教师进行总结．变式：1.引入中问题3 (2)．2.(1)一海豚在水中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边超过2m 的概率．(2)一海豚在水中自由游弋，水池为长30m ，宽20m ，深40 m 的长方体，求此刻海豚嘴尖离岸边离水面、水底都不超过2m 的概率．【设计意图】让学生从不同的几何度量解决几何概型，进一步加深学生对几何概型概念的理解．【设计说明】教师提示．小结：通过以上问题的研究归纳出求解几何概型问题的步骤：1.判断该概率模型是不是几何概型；2.如果是，把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式；3.根据几何概型计算公式求出概率．引申：将引入中问题3(2)中圆形区域的实线部分改为虚线表示，求P(x ，y)恰为圆形区域整点的概率和黄豆落在阴影部分区域的概率？【设计意图】通过此题，引导学生理解事件的区域和一个单点有关的特殊情况．如果随机事件A 所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0即P (A )=0，但它不是不可能事件． 设问：又请同学们想一想，若P (A )=1，它是不是必然事件呢？【设计说明】此时教师要大胆放手，由学生进行总结几何概型与古典概型的区别与联系，从而得出：如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．结合上述问题的理解判断对错：若()()()1P A B P A P B=+=，则事件A与B的关系是互斥且对立．【设计意图】进一步加深几何概型与古典概型两种概率模型的区别与联系，让学生明白几何概型中单点事件的概率．【设计说明】该结论在古典概型中成立，但在几何概型中不成立．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1.知识：(1)几何概型的概念及基本特点；(2)几何概型中概率的计算公式；(3)注意理解几何概型与古典概型的区别；(4)掌握几何概型的求解步骤，找准涉及到的度量关系是长度、面积、体积还是角度等.2.思想：数形结合的思想．教师总结: 几何概型的概率公式的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生：在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容，“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力，进一步完成教学目标.六、布置作业1.书面作业必做题：1.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．2.ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随取一点，求取到的点到O点的距离大于1的概率．3.已知半径为选做题：在等腰直角三角形ABC中，(1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率？(2)过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM的长小于AC的长的概率？2.课外思考在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率是多少？【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生能够根据不同的条件，正确的找准几何概型的度量关系是长度、面积、体积还是角度；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生进一步理解几何概型的概念，起让学生课下探索发现、预习新课的作用．七、教后反思1.用实物演示，加深学生对学习内容的印象，让学生在做中学，增强了学生学习数学的兴趣．2.情景引入，让学生很自然地把实际问题演变成数学概念，体验到了探寻数学规律的乐趣，符合新课改精神．3.例题的设置从长度、面积、体积三种几何度量设置题目，由浅入深，覆盖面广，符合学生的认知规律．4.课后书面作业实施分层设置，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，使不同的人在数学上得到不同的发展，充分体现了课改精神．5.采用问题式教学, 发挥了学生的主观能动性．6.绝大部分学生在单独处理例3时是不用费多大劲的，但是当面对例3变式时，大部分学生很有可能感觉无从下手，原因何在？在于学生找不到本题中的几何度量是什么——这恰好是本节课的难点，因此本题的教学对本节课的难点的突破至关重要．课堂上，教师不要急于讲解，可以让学生讨论，哪怕是争论，让学生参与进来，另外，本题的点评也留给学生完成．如此一来，不仅本节课的重点、难点得以突破，而且学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了．这样，这节课的教学目标就基本上都达到了．八、板书设计。
教师课时教案备课人授课时间课题3．3．1几何概型（1）课标要求（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式教学目标知识目标（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式；技能目标会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型情感态度价值观本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率难点等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一．导入新课1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二．研探新知探究（一）：几何概型的概念提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑教学过程及方法色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+.(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,于是事件A发生的概率P(A)=31.第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.2教学过程及方法(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型的概念.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.注：几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P（A）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A.(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.探究二、几何概型的应用例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型. （1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断. 解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 3教学过程及方法区域长度有关。
