数学物理方法第11章2011

行波法
达朗贝尔公式
u x,t x at x at 1
x
at
d
2
2a xat
分离变量法（又称为本征函数展开法）是解 偏微分方程定解问题最常用的重要方法．
其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 微分方程，其中有的常微分方程带有附加 条件从而构成本征值问题．
11.1 分离变量理论 11.1.1 偏微分方程变量分离及条件
故得
（11.2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（11.2.７）这样简单的结 论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程
（11.2.5） （11.2.7）
定义：
本征值
不 能任意取，只能根据边界条件（11.2.7）取某
些特定值。 本征函数
11.2直角坐标系中的分离变量法
11.2.1 分离变量法介绍
例11.2.1：具体考虑长为 由振动 泛定方程
，两端固定的均匀弦的自
（11.2.１）
边界条件
（11.2.２）
初始条件
（11.2.３）
【解】
用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：
第一步：分离变量
变量分离形式的试探解 代入（11.2.１）和（11.2.２）
C2er2x C2 xerx
y
e
x
(C1
cos
x
C2
sin
x)
求解（11.2.5），将
三种可能逐一加以分析
（１）
（11.2.5）的解为
和
由（11.2.７）确定，即有
由此解出
（２）、
被排除 方程（11.2.5）的解是

将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解 ，其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
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2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i
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u'y1+ v'y2 ＝0
→ u"y1+ u'y1'+ v "y2 + v'y2'＝ 0
→ u"y1+ v"y2 ＝ (u'y1'+ v 'y2')
(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
化。
(4) 分离变量法的适用范围： 波动、输运、稳定场问题等(比行波法适用范围要广)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问 • 首先通过实例说明用题分离变量法解题的六个
基本步骤.
• 【例11.1.1】求两端固定的弦自由振动的规律 .
解 定解问题为
1.分离变量
y ＝ eax (c1cosbx + c2sinbx) (7)

0

ih t
复数


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h2 2m
x, y, z, t
1. 数的概念的扩充
正整数（自然数） 1，2，…
负数
整数

运算规则 ＋，－，×，÷， 2 ，
－ 1 2 1
÷2
2
x2
0，-1，-2，…
…，-2，-1，0，1，2，…
2
y 2
1 0.5 1 0.333
有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数
无理数 无限不循环小数
实 数 有理数、无理数
虚数 复数
2. 负数的运算符号
2 1.414
1 i yi
实数、虚数、实数＋虚数
x2 1
x i
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

流
程
T Aexp(a2t)
X sin
x,
n l
图
un Tn (t)Xn ( x)
u u(x,t)
u Tn X n
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1. 补充：三角函数的正交性
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【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 解 定解问题为
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解， 其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
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2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i， 将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其线 性组合即为通解
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
p(uy1+vy2)'＝ p(u'y1+ uy1')+ p(v'y2+ vy2') q(uy1+vy2)
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→ (u"y1 +2u'y1'+ uy1")+ p(u'y1 +uy1') + quy1 + (v"y2 +2v'y2'+ vy2")+ p(v'y2+ vy2')