一元二次方程所有知识点总结复习.ppt
- 格式：ppt
- 大小：3.04 MB
- 文档页数：80
下载文档原格式
合集下载
一元二次方程专题复习讲义(知识点_考点_题型总结材料)haouseok
一元二次方程专题复习解与解法元二次方程 根的判别韦达定理⑴②未知数的最高次数是.2,这样的③整式方程就是一元二次方程。
2⑵一般表达式：ax bx c 0(a0)⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2 ① 该项系数不为“ 0 ”; ② 未知数指数为“ 2 ”;③ 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、- ■下列方程中是关于 x 的一兀二次方程的是()A 3 x 1 2 2 x 1B 11 c c2 2 0x xC2axbx c 0Dx 2x x 1变式：: 当k时, 关于x 的方程kx 222x x 23是一元二次方程。
例2、方程 m 2 x m 3mx 1 0是关于x 的一元二次方程，则 m 的值为 _________________ 。
2★1、方程8x 7的一次项系数是 _______________ ，常数项是 __________ 。
★2、若方程 m 2x 向10是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。
★★3、若方程m 1 x2m ? x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是____________★★★4、若方程nx m+x n-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）2 2例2、关于x的一元二次方程a 2 x x a 4 0的一个根为0,则a的值为 ___________ 。
2例3、已知关于x的一元二次方程ax bx c 0 a 0的系数满足a c b，则此方程必有一根为________ 。
例4、已知a, b是方程x 4x m 0的两个根，b, c是方程y 8y 5m 0的两个根，贝U m的值为_________。
★1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2，则k为__________________ ，另一根是___________x 1★2、已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程3的解相同。
21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
一元二次方程全章复习讲义
一元二次方程 内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠.2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解【知识要点】1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、 在20(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一、 一元二次方程的定义1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 二、 一元二次方程的解1. 方程解的含义解题方法：将方程的根带入方程求出参数.三、 解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）1. 直接开平方法：适用于)0()()0(22≥=+≥=b b a x a a x 或形式的方程. 2. 配方法：2222244)2(0)0(0a ac b a b x b c x a b x a c bx ax -=+⇒=++⇒≠=++. 注意：用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.3. 公式法：a ac b b x ac b c bx ax 24040222-±-=≥-=++时当. 4. 因式分解法：将一元二次方程化简成一般式后，把等号左边的多项式进行因式分解，再根据“如果，0=ab ，那么00==b a 或”进行求解.注意：利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;四、 判别式与一元二次方程解的个数的关系1. 一元二次方程解与判别式的关系：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况可由根的判别式△=ac b 42-的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:①042>-ac b ⇔方程有两个不等的实数根.②042=-ac b ⇔方程有两个相等的实数根.③042<-ac b ⇔方程没有实数根.五、 一元二次方程的应用题（增长率、面积、握手、传染）1. 增长率问题：设a 为原量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则nx a b )1(+=.2. 面积问题：先通过平移变换，再根据面积公式列出方程.3. 握手问题：n 个人见面，任意两人都要握手一次，一共握手2)1(-n n 次. 4. 传染问题：一人感染，一人传染x 人，第一轮：1＋x ；第二轮：1＋x ＋x （1＋x ）.六、 根与系数的关系1. 根与系数的关系：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x 则a cx x a b x x ==+2121-，.注意：使用根与系数的关系时需要先检验△。
一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.
中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用
C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数 根．故选B.
【自主解答】 解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0， 移项，得x2－2x＝24， 配方，得x2－2x＋1＝24＋1， 即(x－1)2＝25， 两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数 的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增 根．
知识点二 一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式 的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业 产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可． 【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.
一元二次方程根与系数关系复习课件
应用
通过根的和与积，可以快 速求解一元二次方程的根 。
根的判别式与系数的关系
判别式
应用
一元二次方程的判别式等于方程的一 次项系数平方减去四倍的常数项除以 二次项系数。
通过判别式与系数的关系，可以判断 方程的根的情况，进而解决实际问题 。
判别式与系数的关系
判别式的值可以判断一元二次方程的 根的情况，如有两个实的过程中，要注意归纳总结，将知识点串联起来形成知识网 络，有助于加深理解和记忆。
积极参与课堂讨论
在课堂上要积极参与讨论，通过与老师和同学的交流，可以发现自 己的不足并及时纠正。
THANKS
感谢观看
高阶习题
总结词
考察创新思维
VS
详细描述
题目难度较大，需要学生具备较高的数学 素养和创新能力。这类题目通常会涉及到 一些较为复杂的数学问题，需要学生通过 创新思维和数学方法的综合运用来解答。
05
总结与回顾
重点回顾
根与系数的关系
一元二次方程的根的和等于方程 的一次项系数除以二次项系数所 得的商的相反数；根的积等于常 数项除以二次项系数所得的商。
根与系数关系的理解
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的和等于-b/a，根的积等于c/a，但在使用时需要 注意a≠0且Δ≥0。
根的性质的运用
一元二次方程的实根具有对称性，但需要注意这个性质只适用于实根，不适用于虚根。
学习建议
强化练习
通过大量的练习题来巩固对一元二次方程根与系数关系的理解和 应用，特别是对于易错点和难点要重点练习。
判别式
总结词
判别式 Δ = b^2 - 4ac 是用于判断一元二次方程解的个数的 工具。
详细描述
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。
高考数学高中复习2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点讲解PPT课件
类题通法 解分式不等式的基本方法就是利用符号法则，将分式不等式转化 为两个整式不等式组或转化为与其同解的整式不等式(组).
二、易错易混 3．当 x∈{x|1<x<2}时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是( ) A．{m|－5≤m≤－4} B．{m|m≤－4} C．{m|m≤－5} D．{m|m<－5}
答案：C 解析：令 y＝x2＋mx＋4，由题意知 x＝1 与 x＝2 时，y 的值恒小 于等于 0，即 1＋m＋4≤0 且 4＋2m＋4≤0，所以 m≤－5 且 m≤－4. 所以 m≤－5.故选 C.
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4a0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有 两 个 _不__相__等___ 有 两 个相__等__ 的 实
答案：{x|x<2 或 x≥5} 解析：移项得xx－＋21－2≤0，整理得xx－ －52≥0， 不等式等价于(x－5)(x－2)≥0 且 x－2≠0， 解得 x<2 或 x≥5， 故原不等式的解集是{x|x<2 或 x≥5}．
(2)不等式x2＋x＋x＋2 1>1 的解集为________．
答案：{x|－1<x<1} 解析：∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0 ∴原不等式化为 x＋2>x2＋x＋1 即 x2－1<0，解得－1<x<1 故原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
答案：C 解析：M＝{x|4x2－4x－15>0}＝{x|x>52或 x<－32} N＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6 或 x<－1} ∴M∩N＝{x|x>6 或 x<－32}．
一元二次方程所有知识点总结复习 ppt课件
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
4
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。
（2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
21 . 3
18
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
2020/10/22
x 102,x 102
2
2
一元二次方程所有知识点总结复习
20
解下列方程：
小结
(1 ) ( x 1 ) 2 4 (2) 1 (y 2)2 3 0
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
5
练习：
（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X 的一元二次方程，求m的值。 答案：m=2
（2）当m=
时，方程（m2－1）x2－（m
－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。 答案：m=－1
（3）已知关于x的一元二次方程（m－1） x2＋ 3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1
13
一元二次方程的解法(1) ----开平方法
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
14
问题1：
一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2，李林用这
桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x=± p 或mx+n= ± p （p≥0）．
如：4x2+16x&方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程
有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两 队，高高兴兴在游戏， 八分之一再平方，蹦蹦跳跳树 林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数 共多少，两队猴子在一起”．
解 设正方体的棱长为X，则一个正方体的表面积 为6X2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10 6x2 1500
由此可得
x2 25
根据平方根的意义，得 x 5
即
x1 5, x2 5
因为棱长不能是 负值，所以正方 体的棱长为5dm.
对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程 2x 12 5
及方程 x2 6x 9 2 ?
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
活动2
3．猜测下列方程的根是什么？
大意是说：1 一群猴子分成两队，一队猴子数是猴 子总数的 8 的平方，另一队猴子数是12，那么猴 子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：
x 1 x 2 12 8
整理得：x2-64x+768=0
问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面 上， 修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直
4.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?
师生合作 1
配方法
例2 解方程 3x2+8x-3=0.
解: 3x x2
28x8x130.
0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
8
x
3
4
2
1
4
2
.
3 3 3
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
复习
填空
1) x2-2x+ (1) = [x+ (-1)]2
2) x2+6x+ ( 9) = [x- (-3)]2
3) x2+ 1 x+ (1 ) = [x+ ( 1)]2
4)
2
y2-y+
(1
)
16
=
[y-
5)y2
4
5y
(
5) 2
(
1 2
)]2
y
4
(
5 )2
2
2
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
活动1
1．要使一块矩形场地的长比宽多 6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和 宽分别是多少？
归纳：通过配成完全平方式的形式解一 元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目 的是为了降次，把一元二次方程转化为两个 一元一次方程.
配方法
先把方程的常数项移到方程的右边，再把 左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数， 就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
方式而后二个不具有．
（2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该
设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面 ，我们就来讲如何转化：
x2-64x+768=0 移项→ x2-64x=-768
两边加（ 64 ）2使左边配成 x2+2bx+b2 的形式
2
x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式 → （x-32）2=•256
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
x2 x 56 0
方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.
活动2
4.（1）下列哪些数是方程 x2 x 6 0
的根？从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
（2）若x＝2是方程 ax2 4x 5 0 的一个
做一做 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的
高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2 .
小球何时能达到10m的高度?
解 : 根据题意得
t3 1. 22
10 15t 5t 2.
即t2 3t 2.
t2
3t
3
2
2
3
2
.
2
2
t 3 1. 22
t1 2, t2 1.
活动1
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
t
3
2
1
.
2 4
答 : 在1s时,小球达到10m;至最高点 后下落, 在2s时, 其高度又为10m.
小结 拓展 回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二
4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式 x2 5x 7 值总大于0，再求出当x取何值时，代数式 x2 5x 7 的值
最小？最小值是多少？
随堂练习 1 用配方法解下列方程. 1.x2 – 2 = 0;
2.x2 -3x- 1 =0 ;
4
3.x2＋4x＝2；
你能行吗
5.3x2 +8x –3=0 ; 这个方程与前4个方程不 一样的是二次项系数不是 1,而是3. 基本思想是: 如果能转化为前4个方程 的形式,则问题即可解决.
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
x 10 2 , x 10 2
2
2
解下列方程：
(1) (x 1)2 4
(2) 1 ( y 2)2 3 0 3
(3) 4(3 2x)2 49 0
(4) 1 (2x 3)2 10 0
小结
2
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。 （2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使 得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
问题2：设道路的宽为x，则可 列方程：
（20-x）（32-2x）=5000
整理，得：x2-36x-2180=0
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的
三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平
降次→
x-32=±16
即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16
可以验证：x1=48，x2=16都是方程 的根，所以共有16只或48只猴子．
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
解 由方程 2x 12 5
方程 x2 6x 9 2
得： 2x 1 5
可化为 x 32 2
即
2x 1 5 ,2x 1 5 得
x3 2
方程的两根为
x1
1 2
5
, x2
1 2
5
方程的两根为
x1 2 3 ,
x2 2 3
形如 ax2 c 0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
x
4
2
5
2
.
3 3
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
x 4 5 . 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
34 53
x .
x1
3
1 3
3 ,
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x2 3.
心动 不如行动
成功者是你吗
用配方法解下列方程.
6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ;
x2＋12x=－9
如：4x2+16x&方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程
有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两 队，高高兴兴在游戏， 八分之一再平方，蹦蹦跳跳树 林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数 共多少，两队猴子在一起”．
解 设正方体的棱长为X，则一个正方体的表面积 为6X2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10 6x2 1500
由此可得
x2 25
根据平方根的意义，得 x 5
即
x1 5, x2 5
因为棱长不能是 负值，所以正方 体的棱长为5dm.
对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程 2x 12 5
及方程 x2 6x 9 2 ?
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
活动2
3．猜测下列方程的根是什么？
大意是说：1 一群猴子分成两队，一队猴子数是猴 子总数的 8 的平方，另一队猴子数是12，那么猴 子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：
x 1 x 2 12 8
整理得：x2-64x+768=0
问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面 上， 修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直
4.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?
师生合作 1
配方法
例2 解方程 3x2+8x-3=0.
解: 3x x2
28x8x130.
0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
8
x
3
4
2
1
4
2
.
3 3 3
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
复习
填空
1) x2-2x+ (1) = [x+ (-1)]2
2) x2+6x+ ( 9) = [x- (-3)]2
3) x2+ 1 x+ (1 ) = [x+ ( 1)]2
4)
2
y2-y+
(1
)
16
=
[y-
5)y2
4
5y
(
5) 2
(
1 2
)]2
y
4
(
5 )2
2
2
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
活动1
1．要使一块矩形场地的长比宽多 6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和 宽分别是多少？
归纳：通过配成完全平方式的形式解一 元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目 的是为了降次，把一元二次方程转化为两个 一元一次方程.
配方法
先把方程的常数项移到方程的右边，再把 左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数， 就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
方式而后二个不具有．
（2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该
设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面 ，我们就来讲如何转化：
x2-64x+768=0 移项→ x2-64x=-768
两边加（ 64 ）2使左边配成 x2+2bx+b2 的形式
2
x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式 → （x-32）2=•256
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
x2 x 56 0
方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.
活动2
4.（1）下列哪些数是方程 x2 x 6 0
的根？从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
（2）若x＝2是方程 ax2 4x 5 0 的一个
做一做 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的
高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2 .
小球何时能达到10m的高度?
解 : 根据题意得
t3 1. 22
10 15t 5t 2.
即t2 3t 2.
t2
3t
3
2
2
3
2
.
2
2
t 3 1. 22
t1 2, t2 1.
活动1
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
t
3
2
1
.
2 4
答 : 在1s时,小球达到10m;至最高点 后下落, 在2s时, 其高度又为10m.
小结 拓展 回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二
4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式 x2 5x 7 值总大于0，再求出当x取何值时，代数式 x2 5x 7 的值
最小？最小值是多少？
随堂练习 1 用配方法解下列方程. 1.x2 – 2 = 0;
2.x2 -3x- 1 =0 ;
4
3.x2＋4x＝2；
你能行吗
5.3x2 +8x –3=0 ; 这个方程与前4个方程不 一样的是二次项系数不是 1,而是3. 基本思想是: 如果能转化为前4个方程 的形式,则问题即可解决.
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
x 10 2 , x 10 2
2
2
解下列方程：
(1) (x 1)2 4
(2) 1 ( y 2)2 3 0 3
(3) 4(3 2x)2 49 0
(4) 1 (2x 3)2 10 0
小结
2
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。 （2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使 得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
问题2：设道路的宽为x，则可 列方程：
（20-x）（32-2x）=5000
整理，得：x2-36x-2180=0
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的
三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平
降次→
x-32=±16
即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16
可以验证：x1=48，x2=16都是方程 的根，所以共有16只或48只猴子．
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
解 由方程 2x 12 5
方程 x2 6x 9 2
得： 2x 1 5
可化为 x 32 2
即
2x 1 5 ,2x 1 5 得
x3 2
方程的两根为
x1
1 2
5
, x2
1 2
5
方程的两根为
x1 2 3 ,
x2 2 3
形如 ax2 c 0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
x
4
2
5
2
.
3 3
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
x 4 5 . 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
34 53
x .
x1
3
1 3
3 ,
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x2 3.
心动 不如行动
成功者是你吗
用配方法解下列方程.
6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ;
x2＋12x=－9