广东省普宁市兴文中学2009届高三毕业考试数学试卷(文科)

普宁市城东中学2009届高三文科数学综合测试题一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1. 与集合{}1,3x x x ∈>≤N 且相等的集合是（ ）A. {}2B. {}123，，C. {}3,2x x x ==或D.{}3,2x x x ==且 2. 若四边形ABCD 满足：AB DC = ，且||||AB AD =，则四边形ABCD 的形状是（ ）A.矩形B.正方形C. 等腰梯形D.菱形3. 设221()1x f x x +=-，则11()()(2)(3)23f f f f +++=（ ） A.3512 B.3512- C. 1 D.0 4. 已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是A ．2∶πB ．1∶πC ．1∶2πD ．4∶3π5. 若,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是 （ ）A.3-B.32C.2D.36. 函数(1)||xxa y a x =>的图象的大致形状是（ ）7. 设:431p x -≤，()()2:2110q x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[0,]2B.1(0,)2C.(,0]-∞∪1[,)2+∞D.(,0)-∞∪1(,)2+∞8. 若函数()2cos 2y x ϕ=+是奇函数，且在(0,)4π上是增函数，则实数ϕ可能是（ ）A.2π-B.0C.2πD.π 9. 数列{}n a 中,114a =-,111(2)n n a n a -=-≥,则2008a =（ ） A.2008 B.14-C.45D.5 10.下列说法中正确的是（ ）①命题：“a 、b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“a +b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”；②若等式()sin sin sin αβαβ+=+对任意角β都成立，则角α可以是2π； ③若a <0，10b -<<，则ab >a >ab 2；④椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点的距离等于3，则P 到右准线的距离是5.A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题(本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．)11.平行四边形两条邻边的长分别是和4π，则平行四边形中较长的对角线的长是12. 数列{}n a 中，()321n n a S n =-≥ , 则{}n a 的通项n a = 13. 当[,]2παπ∈时，方程22sin cos 1x y αα-=表示的曲线可能是 .（填上你认为正确的序号）① 圆 ②两条平行直线 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆22cos 30ρρθ+-=上的动点到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最大值是 ．15. (几何证明选讲选做题)如右图所示，AB 是圆O 的直径，AD DE =，10AB =，8BD =，则cos BCE ∠= ．三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16. （本题满分12分）已知锐角ABC ∆中，三个内角为A 、B 、C ，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+，(sin cos ,1sin )q A A A =-+。

GMD 1C 1B 1A 1NDCBA广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考 (数学文)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合B A B x Z x A 则},3,2,1,0,1,2,3{},16|{---=-≤≤-∈=中元素的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ） A 若11-≤≥x x ，或，则12≥x B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D. .若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 3．若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =（ ）A ．45B ．50C ．55D ．605．函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．已知向量)1 , 1(=a ，) , 2(n b =，若b a b a ⋅=+||，则n =A ．3-B ．1-C ．1D ．37．若曲线x 2+y 2+a 2x+(1–a 2)y –4=0关于直线y –x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ）．Ａ．21±Ｂ．22±Ｃ．2221-或 Ｄ．2221或-8．对于函数M x f x x x f ≥+=)(,2)(2在使成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫2222)(,0,,,2)(b a b a b a b a x x x f ++∈+=不全为且则对于的下确界R 的下确界为（ ）A ．21 B ．2 C ．41 D ．49．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点．则求MN 与平面1B BG 所成的角为（ ） A ．2πB ．3πC ．4π10．设()11x fx x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x ff x k +=== 则()2008f x =（ ） A ．11x x+-； B ．11x x -+；C ．x ；D ．1x-；二、填空题（每题5分，共20分，其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

广东省揭阳市2009年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时l20分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若函数()f x =A ，函数()lg g x x =,[1,10]x ∈的值域为B ，则A B 为A.(,1]-∞B.(,1)-∞C. [0,1]D.[0,1)2．已知复平面内复数sin cos z i αα=- (0)απ<< 对应的点P在直线y =上，则实数α的值为 A.56π B. 23π C. 3π D. 6π3．在平行四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，若(2,4)AB =， BD = (－3,－5）则AC =A ．（－2，－4）B ．(1,3)C ．（3，5）D ．（2，4） 4．执行如下的程序框图，输出结果应为A.63B.127C.255D.5115．已知条件p ：1x ≤，条件q ：x1<1，则q 是⌝p 成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件6． 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示， 则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 A.y =sin 2x B. y =cos 2x C. y =2sin(2)3x π+ D. y =sin(2)6x π- 7．若命题“x R ∃∈，使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 A.3a >或1a <- B. 3a ≥或1a ≤- C. 13a -<< D. 31≤≤-a8． 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为AB．2 C．2(2D9．从4名男生和2名女生中任选3 人参加演讲比赛，则所选3人恰有1名女生的概率为A.12 B. 15 C. 35 D. 4510．若三角形的三边均为正整数，其中有一边长为４，另外两边长分别为b 、c ，且满足4b c ≤≤，则这样的三角形有．A. 21个B. 15个C. 14个D. 10个 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题,每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．已知函数132log ,(0)() 1.(0)x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩，则[(f f ＝ ．12.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：下面的临界值表供参考： 则根据以下参考公式可得随机变量2K 的值为 、（保留三位小数）有 ％．侧视图主视图M NOBCA俯视图0.00080.00040.00030.0001的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++13．一简单组合体的三视图及尺寸如右图示（单位: cm ） 则该组合体的表面积为 2cm ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 如图，AB 是半径为１的圆的一条直径， C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得1AP AC ⋅=, 以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系，则圆的方程为 、 动点P 的轨迹方程为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的半径O B 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N， 若⊙O的半径为，，则MN 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量(,)m a c b =+ ，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅= ，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围. 17．（本小题满分12分）右图是某市有关部门根据对某地干部的月 收入情况调查后画出的样本频率分布直方图， 已知图中第一组的频数为4000.请根据该图提 供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端 点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000[）（1）求样本中月收入在[2500,3500)的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？ （3）试估计样本数据的中位数.18．（本小题满分14分）如图，一简单组合体的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径， 四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （2）若2AB =，1BC =，tan 2EAB ∠= 的体积V ．19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 是首项114a =的等比数列，其前n 项和n S 中3S ，4S ，2S 成等差数列， （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设12log n n b a =，若111ni i i b b =+∑≤1n b λ+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的最小值．20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x x b =++()x R ∈与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为M .(1) 求实数b 的取值范围；(2) 设抛物线与ｘ轴的交点从左到右分别为A 、B ，与ｙ轴的交点为C ，求A 、B 、C 三点的坐标；(3) 设直线l 是抛物线在点A 处的切线，试判断直线l 是否也是圆M 的切线？并说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数ln ()1xf x x=-． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； (3) 试证明：对n N *∀∈，不等式11ln()e n nn n++<恒成立．b揭阳市2009年高中毕业班第二次高考模拟考数学（文科）参考答案及评分说明一．选择题：CABBB DDBCD1．∵A=(,1]-∞,B=[0,1]∴A B =[0,1],故选C ．2．由点P 在上直线y =上得cos αα-⇒tan 3α=-， ∵0απ<< ∴56πα=，故选A . 3．∵(2,4)(3,5)(1,1)AD AB BD =+=+--=--, AC AB BC AB AD =+=+(2,4)(1,1)(1,3)=+--=∴选B5．⌝p ：1x >，q ：110x x <⇔<或1x >，故q 是⌝p 成立的必要不充分条件，故选B. 6.由图像知A=1, 311341264T πππ=-=,T π=⇒2ω=,由sin(2)16πφ⨯+=,||2πφ<得32ππφ+=⇒6πφ=⇒()sin(2)6f x x π=+，则图像向右平移6π个单位后得到的图像解析式为sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选D. 7.利用该命题的否定是真命题，即对()2,110x R x a x ∀∈+-+≥31≤≤-a ．故选 D.8．如图在12Rt MF F∆中，211260,2MF F F Fc ∠==24MF c =∴，1MF =1242MF MF c a +=+=∴2ce a⇒==- B.9．画出树状图易得35P =,故选C.10．依题意得444b c c b ≤⎧⎪≥⎨⎪-<⎩且,b c N *∈,如图易得满足条件的三角形有10个，故选D .二．填空题：11.－2；12.8.333、99.5； 13. 12800ｃｍ2； 14. 2cos ρθ=、1cos 2ρθ=；15. 2.解析：11．13(9,[(log 92f f f ===-12. 2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表可知有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关．13．该组合体的表面积为：222212800S S S cm ++侧视图主视图俯视图＝14. 易得圆的方程为2cos ρθ=，设0(,),(,)C P ρθρθ，则002cos ,1ρθρρ== ∴动点P 方程为1cos 2ρθ=.15．OM=2，BO=，BM=4,∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2． 三．解答题：16.解：（1）由0m n ⋅= 得()()()0a c a c b b a +-+-=222a b c ab ⇒+-=---------2分由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===--------------------------------4分 ∵0C π<< ∴3C π=-------------------------------------------6分(2)∵3C π=∴23A B π+=∴sin sin A B +=2sin sin()3A A π+-22sin sin cos cos sin 33A A A ππ=+-3sin 2A A =1cos )2A A =+)6A π=+--------------------------------------------9分∵203A π<<∴5666A πππ<+<------------------------------10分∴1sin()126A π<+≤ ∴)26A π<+≤sin sin A B <+≤分17．解：（1）∵月收入在[1000,1500)的频率为0.00085000.4⨯= ，且有4000人∴样本的容量4000100000.4n ==------------------------------2分 月收入在[1500,2000)的频率为0.00045000.2⨯= 月收入在[2000,2500)的频率为0.00035000.15⨯= 月收入在[3500,4000)的频率为0.00015000.05⨯=∴月收入在[2500,3500)的频率为；1(0.40.20.150.05)0.2-+++=----4分 ∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为：0.2100002000⨯=-------6分（2）∵月收入在[1500,2000)的人数为：0.2100002000⨯=，---------------------------7分 ∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这段应抽取20001002010000⨯=（人） ----------------------------------------------------9分（3）由（１）知月收入在[1000,2000)的频率为：0.40.20.60.5+=>-------------------10分∴样本数据的中位数为：0.50.41500150025017500.0004-+=+=（元）-----------12分18．解：（１）证明：∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥． ----------------2分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C =∴BC ⊥平面ADC ． ---------------------------------------------------------------4分 ∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴DE//BC∴DE ⊥平面ADC ------------------------------------------------------------------6分 又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE -------------------------7分（2）解法１：所求简单组合体的体积：E ABC E ADC V V V --=+-----9分∵2AB =，1BC =， tan EB EAB AB ∠==∴BE =AC =分∴111362E ADC ADC V S DE AC DC DE -∆=⋅=⋅⋅=-------12分 111362E ABCABC V S EB AC BC EB -∆=⋅=⋅⋅=---------13分∴该简单几何体的体积1V =-------------------------------14分 解法２：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分如图∵2AB =，1BC =，tan EB EAB AB ∠==∴BE =AC =分∴ACB FDE E ADF V V V --=-=13ACB ADC S DC S DE ∆∆⋅-⋅-----------------------------12分 1126AC CB DC AC DC DE =⋅⋅-⋅⋅=1111126=-----------------------------------------------14分19．解：（1）若1q =，则342311,42S S S ===，，显然3S ，4S ，2S 不构成等差数列---1分∴1q ≠， 当1q ≠时，由3S ，4S ，2S 成等差数列得432111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⋅=+--- -----------------------------3分 ∴4322q q q =+ ⇒2210q q --=(21)(1)0q q ⇒+-=， ∵1q ≠ ∴12q =- ----------------------------------------5分 ∴11111()()422n n n a -+=⋅-=-----------------------------------------7分 （2）∵111221log log ()12n n n b a n +==-=+-------------------------------9分∴11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ ∴111ni i i b b =+∑＝12231111n n b b b b b b ++++ ＝111111()()()233412n n -+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-++11222(2)nn n =-=++----12分由111ni i i b b=+∑≤1n b λ+ 得2(2)n n +≤(2)n λ+ ∴λ≥22(2)nn + 又2142(2)2(4)n n n n =+++≤112(44)16=+ ∴λ的最小值为116------------------------------------------------14分（其它解法请参照给分）20．解：（１）∵抛物线与坐标轴有三个交点∴0b ≠，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符,由0b ≠知，抛物线与ｙ轴有一个非原点的交点(0,)b ，故抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，即方程220x x b ++=有两个不同的实根∴440b ∆=->即1b <∴b 的取值范围是0b <或01b <<-----------------------------------3分 （２）令ｘ＝０得y b =，∴C (0,)b ---------------------------------4分令0y =得220x x b ++=解得1x ==-∴(1A -,(1B - ------------------------------6分 （３）解法１：∵22y x x b =++ ∴'22y x =+∴直线l的斜率2(11)l k =-=------------------------7分 ∵圆M 过A 、B 、C 三点，∴圆心M 为线段AB 与AC 的垂直平分线的交点 ∵AB 的垂直平分线即抛物线的对称轴1x =- ∵线段AC的中点为)2b直线AC的斜率AC k =∴线段AC的垂直平分线方程为11()22b y x b --=-----(*)------10分将1x =-代入(*)式解得12b y +=，即1(1,)2bM +--------------------------11分∴1MAbk +==，若直线l 也是圆M 的切线，则1l MA k k ⋅=-即1-=-11b ⇒+=解得0b =这与0b <或01b <<矛盾----------------------------------------13分 ∴直线l 不可能是圆M 的切线．-----------------------------------14分 解法２：∵22y x x b =++ ∴'22y x =+∴直线l的斜率2(11)l k =-=-----------------------------7分 设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵圆M过(1A -,(1B -，C (0,)b∴222(1(10(1(100D F D F b Eb F ⎧-+-+=⎪⎪-+-++=⎨⎪++=⎪⎩解得2(1)D E b F b =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩----------------10分∴圆心1(1,)2b M +--------------------------------------------------11分∴1MA b k +==，若直线l 也是圆M 的切线，则 1l MA k k ⋅=-即1-=-11b ⇒+=解得0b = 这与0b <或01b <<矛盾----------------------------------------13分 ∴直线l 不可能是圆M 的切线．-----------------------------------14分21．解：（１）∵21ln '()x f x x -=-----------------------------------1分 令'()0f x =得1ln 0x -=∴x e = ------------------------------------------------------------3分∵当0x e <<时21ln '()x f x x-=0>，当x e >时'()0f x <--------------5分 ∴函数()f x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减∴当x e =时函数有最大值max 1()()1f x f e e==--------------------------------7分 （２）由（１）知函数()f x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减故①当02m e <≤即02e m <≤时()f x 在[,2]m m 上单调递增 ∴max ()(2)f x f m =＝ln 212m m-------------------------------8分 ②当m e ≥时()f x 在[,2]m m 上单调递减∴max ()()f x f m =＝ln 1m m----------------------------------9分 ③当2m e m <<，即2e m e <<时 max 1()()1f x f e e ==----------------------------------------10分（３）由（1）知当(0,)x ∈+∞时，max 1()()1f x f e e==- ∴在(0,)+∞上恒有ln ()1x f x x =-11e ≤-，即ln 1x x e≤且仅当x e =时“＝”成立 ∴对任意的(0,)x ∈+∞恒有1ln x x e≤----------------------------------12分 ∵10n n +>且1n e n +≠∴111ln n n n e n ++<⋅11ln()e n n n n++⇒< 即对n N *∀∈，不等式11ln()e n n n n++<恒成立．---------------------------14分。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。