广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学(理) Word版含答案

广东实验中学2015届高三阶段考试（一）文 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1. 从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是 A ．5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C ．1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，322．如图，设全集为U=R ，{|(2)0},{|1(1)}A x x x B x y n x =-<==-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≤3.已知复数12,z z 在复平面上对应的点分别为()()211,2,1,3,z A B z -=则A.1i +B.iC.1i -D.i -4．如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为A ．84，85B ．84，84C ．85，84D ．85，855.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面， 那么这个正方体的前面是 A.定B.有C.收D.获6.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A.1 B.53C.2D.37.在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形7 8 9 94 56 47 3 第4题图8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“m l //”是“αβ⊥”的 A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件9.已知m 是两个正数2和8的等比中项,则圆锥曲线122=+my x 的离心率是 A ．23或25 B ．23C ．5D ．23或5 10.各项互不相等的有限正项数列{}n a ,集合{},,2,1,...n a aa A =,集合{(,)i j B a a =},,,1,i j i j a A a A a a A i j n ∈∈-∈≤≤,则集合B 中的元素至多有( )个.A ．2)1(-n n B ．121--nC ．2)1)(2(-+n n D ．1-n二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.各项都是正数的等比数列{}23111,,2n a q a a a ≠的公比，且成等差数列，则3445a aa a ++的值为_________.12. 在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，21=∆ABC S ，则=BC .13.已知点()()1212,,x x A x aB x a 、是函数xy a=的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++＞成立.运用类比思想方法可知，若点()()()1122,sin ,sin sin 0,A x x B x x y x x π=∈⎡⎤⎣⎦、是函数图象上的不同两点，则类似地有________________成立.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图,点A 、B 、C 都在⊙O 上,过点C 的切线交A B 的延长线于点D ,若AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC 的长为_______。

2015数学广东卷(理科)参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考广东卷,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N等于( D )(A){1,4} (B){-1,-4} (C){0} (D)○解析:化简集合得M={-4,-1},N={1,4},显然M∩N=⌀,故选D.2.(2015高考广东卷,理2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于( A )(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,所以=2-3i,故选A.3.(2015高考广东卷,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( D )(A)y=(B)y=x+(C)y=2x+(D)y=x+e x解析:易知y=与y=2x+是偶函数,y=x+是奇函数,故选D.4.(2015高考广东卷,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( B )(A)(B)(C)(D)1解析:从15个球中任取2个球,取法共有种,其中恰有1个白球,1个红球的取法有×种,所以所求概率为P==,故选B.5.(2015高考广东卷,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( A )(A)2x+y+5=0或2x+y-5=0(B)2x+y+=0或2x+y-=0(C)2x-y+5=0或2x-y-5=0(D)2x-y+=0或2x-y-=0解析:切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.故选A.6.(2015高考广东卷,理6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为( B )(A)4 (B)(C)6 (D)解析:由约束条件画出可行域如图.由z=3x+2y得y=-x+,易知目标函数在直线4x+5y=8与x=1的交点A1,处取得最小值,故z min=,故选B.7.(2015高考广东卷,理7)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( C )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由已知得解得故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.8.(2015高考广东卷,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( B )(A)至多等于3 (B)至多等于4(C)等于5 (D)大于5解析:首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等,于是可以排除C,D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等,于是排除A,故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015高考广东卷,理9)在(-1)4的展开式中,x的系数为.解析:(-1)4的展开式通项为T r+1=()4-r(-1)r=(-1)r··,令=1,得r=2,从而x的系数为(-1)2=6.答案:610.(2015高考广东卷,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .解析:利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.答案:1011.(2015高考广东卷,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .解析:在△ABC中,由sin B=可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=π,利用正弦定理=,可得b=1.答案:112.(2015高考广东卷,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)解析:因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,所以全班共写了40×39=1560(条)毕业留言.答案:156013.(2015高考广东卷,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .解析:因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.答案:(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(2015高考广东卷,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-=,点A的极坐标为A2,,则点A到直线l的距离为.解析:将直线l的极坐标方程2ρsinθ-=化为直角坐标方程为x-y+1=0.由A2,得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d==.答案:15.(2015高考广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= .解析:易得AC==,由OP∥BC,且O为AB的中点可知CP=AC=,OP=BC=,∠APO=∠ACB=90°.所以∠CPD=90°.因为EC是切线,所以∠DCP=∠B,从而△CPD∽△BCA,故=,所以DP=.故OD=DP+OP=+=8.答案:8三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015高考广东卷,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,-,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.即sin x=cos x,又x∈0,,所以tan x==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sin x-cos x=sin x-=.又因为x∈0,,所以x-∈-,.所以x-=,解得x=.17.(本小题满分12分)(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少?(精确到0.01%)?解:(1)由系统抽样知识知,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)均值==40;方差s2=×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=.(3)由(2)可知s=.由题意,年龄在-s与+s之间,即在区间[37,43]内的工人共有23人,所占的百分比为×100%≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P AD C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)解:由(1)可知PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义可知∠PDC为二面角P AD C的一个平面角.在Rt△PDE中,PE==,所以tan∠PDC==.从而二面角P AD C的正切值为.(3)解:连接AC.因为==,所以FG∥AC.易求得AC=3,PA==5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,在△PAC中,cos∠PAC==.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.19.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤-1.(1)解:函数f(x)的定义域为R.因为f'(x)=2x·e x+(1+x2)e x=(x2+2x+1)e x=(x+1)2e x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)证明:因为a>1,所以f(0)=1-a<0,f(ln a)=(1+ln2a)e ln a-a=aln2a>0,所以f(0)·f(ln a)<0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.又由(1)知f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.(3)证明:设点P(x0,y0),由题意知,f'(x0)=(x0+1)2=0,解得x0=-1.所以y0=(1+)-a=-a,所以点P的坐标为-1,-a.所以k OP=a-.由题意可得f'(m)=(m+1)2e m=a-.要证明m≤-1,只需要证明m+1≤,只需要证明(m+1)3≤a-=(m+1)2e m,只需要证明m+1≤e m.构造函数:h(x)=e x-x-1(x∈R),则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增;所以函数h(x)有最小值,为h(0)=0,则h(x)≥0.所以e x-x-1≥0,故e m-m-1≥0,即m+1≤e m,故原不等式成立.20.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程得y0=.因为+=+===3x0,所以x0-2+=.由(*)解得t2<,又t2≥0,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-2+y2=<x≤3.(3)由(2)知,曲线C是在区间,3上的一段圆弧.如图,D,,E,-,F(3,0),直线L过定点G(4,0).于是k GD=-,k GE=.当直线L与圆C相切时,=,解得k=±,由图可知,当k∈-,∪-,时直线L与曲线C只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理21)数列{a n}满足:a1+2a2+…+na n=4-,n∈N*.(1)求a3的值;(2)求数列{a n}的前n项和T n;(3)令b1=a1,b n=+1+++…+a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2ln n.(1)解:当n=1时,a1=1;当n=2时,a1+2a2=2,解得a2=;当n=3时,a1+2a2+3a3=,解得a3=.(2)解:当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)a n-1+na n=4-,①a1+2a2+…+(n-1)a n-1=4-,②由①-②得na n=,所以a n=(n≥2),经检验,a1=1也适合上式,所以a n=(n∈N*).所以数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列.所以T n==2-.(3)证明:b1=1,b n=-·+1+++…+·(n≥2).当n=1时,S1=1<2+2ln 1.当n≥2时,b n=+1+++…+·a n=+1+++…+·(T n-T n-1)=+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1=1+++…+·T n-1+++…+·T n-1,所以S n=1+1+·T2-1·T1+1++·T3-1+·T2+…+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1=1+++…+·T n<21+++…+=2+2++…+,以下证明++…+<ln n(n≥2).构造函数h(x)=ln x-1+(x>1),则h'(x)=-=>0(x>1),所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,即h(x)>h(1)=0.所以ln x>1-(x>1),分别令x=2,,,…,得ln 2>1-=,ln >1-=,ln >1-=,…ln>1-=.累加得ln 2+ln +…+ln>++…+,即ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]>++…+,所以++…+<ln n(n≥2).综上,S n<2+2ln n,n∈N*.。

一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =（ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．x e x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ）A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3第Ⅱ卷(共110分)二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为10．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 11．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b =12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ． (二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =图1三.解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，已知向量2m ⎛= ⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

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整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

整份试卷充分体现了“数学来源于生活”这一新课程理念。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ）.A 21-.B i21 .C 21.D i 21-【知识点】虚数的概念;虚数除法的运算法则.【答案解析】C 解析 ：解：化简得iz 2121+=，则虚部为21，故选C .【思路点拨】分式上下同时乘以分子的共轭复数再化简整理即可. 2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3 .B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=【知识点】集合元素的意义;集合运算;分段函数求值域.【答案解析】C 解析 ：解：已知集合),,3(+∞-=A ),,2[+∞=B ∴B B A = ,故选C . 【思路点拨】{}|||1,A y y x x R ==-?指的是函数值域，将绝对值函数数形结合求值域，在验证各答案.3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为( ).A 15 .B 20 .C 25.D 30【知识点】分层抽样.【答案解析】B 解析 ：解：三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450=++⨯人，故选B .【思路点拨】利用样本三个年级学生容量比与总体中其容量比相同建立等式求值. 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18 .B 36 .C 54.D 72【知识点】等差数列的性质和求和公式.【答案解析】D 解析 ：解：由题意1854=+a a ，等差数列中8154a a a a +=+，所以722)(8548=+=a a S ，故选D .【思路点拨】先应用等差数列的性质得8154a a a a +=+，再应用等差数列求和公式1()2n n n a a S +=求和.5．在二项式52)1(x x -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） .A 10 .B 10- .C 5- .D 20【知识点】二项展开式通项的公式.【答案解析】A 解析：解：由二项式定理可知，展开式的通项为rr r x C 3105)1(--，则4310=-r 得2=r ，所以含4x 项的系数为10)1(225=-C ，故选A . 【思路点拨】先由二项式定理得通项rr r x C 3105)1(--，再根据未知量次数建立等式4310=-r 得2=r ，将r 值代回通项得系数.【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）.A 30 .B 12 .C 24 .D4【知识点】由三视图求面积、体积．【答案解析】C 解析 ：解：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C .【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可． 【典型总结】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键，要求熟练掌握空间几何体的体积公式．7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ） 3 2 4 3 第6题图.A 24π .B π2 .C 21.D 22π【知识点】几何概型.【答案解析】A 解析 ：解：此题为几何概型，事件A 的度量为函数sin y x =的图像在[0,]2π内与x 轴围成的图形的面积，即20sin 1S xdx π==⎰，则事件A 的概率为21422s P s πππ==='⨯，故选A .【思路点拨】利用积分找出满足题意的图形的面积与边长为2p的正方形的面积的比值即可.8．已知向量与的夹角为θ，定义⨯为与的“向量积”，且⨯是一个向量，它θ=，若(2,0)u =r，(1,u v -=r r=+)(（ ）.A 34 .B 3 .C 6.D 32【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算.【答案解析】D 解析 ：解：由题意()(1,3)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3cos ,u u v <+>=，得1sin ,2u u v <+>=，由定义知1()sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯=D ..【思路点拨】先求v ，再求u v +，数形结合求sin q ，最后套“向量积”的长度公式即可. 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .【知识点】对数函数的定义域.【答案解析】),32(+∞解析 ：解：由023>-x 得32>x ，则定义域为：),32(+∞ .【思路点拨】本题对未知量的限制只在真数部分，列式直接可求得.10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .【知识点】待定系数法求双曲线方程.【答案解析】2213y x -=解析 ：解：抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a =，且2c e a ==，得2c =，又222c a b =+得33b =，则双曲线的标准方程为：2213y x -=.【思路点拨】据已知求a ，由离心率为2求c ，再由222c a b =+求b ，从而得到方程. 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个. 【知识点】有限制条件的排列问题；优限法.【答案解析】12解析 ：解：由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A =种排法，末位为4时一样有336A =种，两类共有：33212A =种，故共有没有重复数字的偶数12个. 【思路点拨】本题为有限制条件的排列问题，一定要先按排限制位即个位，个位有两种情况，再分类分别求个数，最后求和即可.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .【知识点】线性规划.【答案解析】3 解析 ：解：由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数z x y =+在点(2,1)B 取得最大值， 代入得3x y +=，故x y +的最大值为3. 【思路点拨】先由约束条件画可行域，再数形结合平移目标函数直线系得最优解，最后代入目标函数求值即可.13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．【答案解析】(1,)-+∞解析 ：解：设F x f x 2x 4=-+（）（）（）， 则F 1f 124220-=---+=-=（）（）（），又对任意R x ∈，2)('>x f ，所以F x f x 20??（）（）＞，即F （x ）在R 上单调递增，则F （x ）＞0的解集为（-1，+∞），即f （x ）＞2x+4的解集为（-1，+∞）．故答案为：（-1，+∞）【思路点拨】构建函数F x f x 2x 4=-+（）（）（），由f （-1）=2得出F （-1）的值，求出F（x ）的导函数，根据2)('>x f ，得到F （x ）在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到F （x ）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

凤翔中学2014－2015学年度第一次阶段考试高三级理科数学试卷注意：本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1、设i 为虚数单位，则复数56ii -=（ ） A ．65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2、设集合{}U 1,2,3,4,5,6=，{}1,2,4M =，则U M =ð（ ）A ．UB ．{}1,3,5C ．{}3,5,6D ．{}2,4,6 3、若向量()2,3BA =，()C 4,7A =，则C B =（ ）A ．()2,4--B ．()3,4C ．()6,10D ．()6,10-- 4、下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A ．()ln 2y x =+ B．y = C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x =+5、已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 6、某几何体的三视图如图所示，它的体积是（ ） A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．198、对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量a ，b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈Z ⎨⎬⎩⎭中，则a b =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．52二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. ） （一）必做题（9～13题）9、不等式21x x +-≤的解集是 ．10、621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 ．（用数字作答）11、已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = ．12、曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程是 ．13、执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值是 ．（二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做一题．）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标是 ．15、（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，且满足C 30∠AB =，过点A 作圆O 的切线与C O 的延长线交于点P ，则P A = ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）16、（本小题满分12分）已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=A + ⎪⎝⎭（0A >，R x ∈）的最大值为2．()1求()f π的值；()2若3sin 5θ=-，,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求26f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17、（本小题满分12分）佛山某中学高三()1班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm ）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、163，篮球队10人的身高（单位：cm ）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．()1请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；()2利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18、（本小题满分14分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥平面CD AB ，1C D 2PA =AB =B =A ，四边形CD AB 是直角梯形，C D 90∠AB =∠BA =．()1证明：CD ⊥平面C PA ；()2求二面角D C A -P -的余弦值．19、（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：1368n ≤T <．20、（本小题满分14分）椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，其左焦点到点()2,1P()1求椭圆C 的标准方程；()2若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21、（本小题满分14分）已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．()1若1a =，判断函数()f x 是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；()2求函数()f x 的单调区间；()3设函数()ag x x =-．若至少存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．凤翔中学2014－2015学年度第一学期第一次阶段考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCAABCDC二、填空题 （一）必做题9、1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10、20 11、21n - 12、210x y -+= 13、8（二）选做题14、()1,1 15三、解答题16、解：()1∵函数()sin 6f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值为2∴2A =()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………2分1()2sin 2sin 21662f ππππ⎛⎫=+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭…………………4分()2∵3sin 5θ=-,,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭∴4cos 5θ==…………………6分3424sin 22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭…………………7分2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭…………………8分∴26f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2cos 2cos 2sin 333πππθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭…………………10分2417242225225225⎛⎫=⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭…………………12分 17、解：()1茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图3分，方差结论正确1分）()2排球队中超过170cm 的有4人，超过178cm的有3人，篮球队中超过170cm 的有5人， 超过178cm 的有2人，所以X 的所有可能取值为2,1,0…………6分则203)0(15141311===C C C C X P ， ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C ， 排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8()2P X ==20615141213=C C C C ……………………………10分 所以X 的分布列为所以X的数学期望2023202201200=⨯+⨯+⨯=EX …………………………12分 18、()1证明：∵PA ⊥平面ABCD ∴CD PA ⊥…………………1分 又∵,90o AB BC ABC =∠= ∴AC =…………………2分过C 作//CE AB ，交AD 于E ，则,90o CE AB BC DE CED ===∠=………………3分∴CD =…………………4分 在ACD ∆中，22224AC CD AB AD +== ∴CD AC ⊥…………………5分 又∵PAAC A =∴CD ⊥平面PAC …………………6分()2（方法一）∵,CE AD CEPA ⊥⊥∴CE ⊥平面PAD …………………7分过E 作EF PD ⊥于F ，连结CF ，可知CF PD ⊥…………………8分 ∴GHC ∠是二面角A PD C --的平面角…………………9分 设2AD =，则1PA AB CE DE ====，DP =．PAD ∆∽DEF ∆，EF DEPA DP∴=EF ∴=…………………11分∴CF ===12分∴cos 6EF CFE CF ∠==即二面角A PD C --14分 （方法二）如图建立空间直角坐标系，设2AD =，则1AB PA == ∴(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0)A B P D C ……7分(1,1,1),(1,1,0)CP CD =--=-…………………8分 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00n CP n CD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩化简得x y z x y =⎧⎨=+⎩令1x =，得1,2y z ==所以(1,1,2)=n 是平面PCD 的一个法向量…………………10分 又平面ACD 的一个法向量为(1,0,0)=m …………………11分 设向量n 和m 所成角为θ，则cos θ∙===n m n m 13分 ∴即二面角A PD C --的余弦值为614分 19、()1解：数列{}n a 是等差数列，且570S =∴151070a d += ①…………………2分2722,,a a a 成等比数列∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………………4分由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………………5分∴42n a n =+ ………………6分()2证明：由()1可得224n S n n =+ …………………7分所以2111112442n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭…………………8分 所以123111111n n nS S S S S -T =+++⋅⋅⋅++ 111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++ …………10分 3111()08412n T n n -=-+<++∴38n T <…………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++∴数列{}n T 是递增数列∴116n T T ≥=………13分 ∴1368n T ≤<…………14分 20、()1解：由题意得：12c e a == ① 左焦点 (－c ,0) 到点 P (2,1) 的距离为：d = (2 + c ) 2 + 1 2 =10 ② (2)分由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3………………3分 ∴所求椭圆 C 的方程为 x 24 + y 23= 1 ………………4分()2证明：设 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，将 y = kx + m 代入椭圆方程得x(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴x 1 + x 2 = －8km4k 2 + 3 ，x 1x 2 = 4m 2－124k 2 + 3 ………………6分 且y 1 = kx 1 + m ，y 2 = kx 2 + m ．∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A 2(2,0) ，所以 A 2A → •A 2B → = 0………………7分 所以 (x 1－2,y 1)·(x 2－2,y 2) = (x 1－2) (x 2－2) + y 1y 2 = (x 1－2) (x 2－2) + (kx 1 + m ) (kx 2 + m ) = (k 2 + 1) x 1x 2 + (km －2) (x 1 + x 2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·4m 2－124k 2 + 3 －(km －2)·8km 4k 2+ 3+ m 2+ 4 = 0………………10分 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0∴m = －27 k 或 m = －2k 都满足 △ > 0………………12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx －2k = k (x －2) ，恒过定点 A 2(2,0)，不合题意舍去………13分若 m = －27 k 时，直线 l 为 y = kx －27 k = k (x －27 )， 恒过定点 (27 ,0) ………14分21、解：()1当1a =时，x xx x f ln 21)(--=，其定义域为()0,+∞． 因为0)1(211)(22≥-=-+='x x x xx f ，………………1分 所以)(x f 在（0，+）上单调递增，………………2分所以函数()f x 不存在极值. ………………3分()2函数x x x a x f ln 2)1()(--=的定义域为(0,)+∞．22222)11()(x ax ax x x a x f +-=-+='当0a ≤时，因为0)(<'x f 在（0，+）上恒成立所以)(x f 在（0，+）上单调递减. ………………4分当0a >时，当),0(+∞∈x 时，方程0)(='x f 与方程022=+-a x ax 有相同的实根. …………5分)1(44422a a -=-=∆①当01a <<时，>0，可得a a x 2111--=，a a x 2211-+=，且210x x <<因为),0(1x x ∈时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0(1x 上单调递增；………………6分 因为),(21x x x ∈时，0)(<'x f ，所以)(x f 在),(21x x 上单调递减；………………7分因为),(2+∞∈x x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),(2+∞x 上单调递增；………………8分②当1≥a 时，0≤∆，所以0)(>'x f 在（0，+）上恒成立故)(x f 在（0，+）上单调递增. ………………9分综上，当0a ≤时，)(x f 的单调减区间为（0，+）；当01a <<时，)(x f 的单调增区间为)11,0(2a a --与),11(2+∞-+a a ；单调减区间为)11,11(22a a a a -+--；当1≥a 时，)(x f 的单调增区间为（0，+）. ………………10分()3由存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f >成立，得002ln ax x >，即02ln x a x >. ………………11分 令2ln ()xF x x=，等价于“当],1[e x ∈ 时，min )(x F a >”. ………………12分 因为22(1ln )()x F x x-'=，且当],1[e x ∈时，()0F x '≥， 所以()F x 在[1,e]上单调递增，………………13分故min ()(1)0F x F ==，因此0a >. ………………14分。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -， 因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径， 因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，， 因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△， 故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r， ，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+， 又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个， 分别为：444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， ，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形， 又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥， 又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥， 又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥， 因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠， 在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+， 求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解， 亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-， 因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：， 联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-， 由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-， 所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=， 又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理科数学本试卷共21题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =A ．∅B ．{}1,4−−C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．xx y 1+= C ．x x y 212+= D ．21x y +=4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 2155．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+−y x 或052=−−y x B. 052=++y x 或052=−+y x C. 052=+−y x 或052=−−y x D. 052=++y x 或052=−+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=−b y a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为 （ ）A ．13422=−y x B. 191622=−y x C. 116922=−y x D. 14322=−y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(−x 的展开式中，x 的系数为 。

绝密★启用前试卷类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题本大题共小题，每小题5分，满分0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合，，则（） A． B． C． D． 2、若复数（是虚数单位），则（） A．B．C．D．3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A．B．C．D． 4个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为（） A．B．C．D．5、平行于直线且与圆相切的直线的方程是（） A． B． C． D． 6、若变量，满足约束条件，则的最小值为（） A．B．C．D．7、已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（） A．B．C．D．8、若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（） A． B． C． D． 二、填空题本大题共小题，考生作答小题，每小题5分，满分0分一必做题11~13题的展开式中，的系数为． 10、在等差数列中，若，则． 11、设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则． 12、某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 13、已知随机变量服从二项分布，若，，则． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为． 15、（几何证明选讲选做题如图是圆的直径，，是圆的切线，切点为，．过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则． 三、解答题 16.（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知向量，求的值；与的夹角为，求的值 用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； 计算（1）中样本的均值和方差；和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01）？所在的平面与长方形所在的平面垂直，，点是的中点，点分别在上，且； 求二面角的正切值；与直线所成角的余弦值 19. （本小题满分14分） 设，函数的单调区间；在上仅有一个零点；在点P处的切线与处的切线与直线OP平行，（），证明：与圆相交于不同的两点A、B的圆心坐标；与曲线C只有一个交点？若存在，求出满足：的值；的前；证明：数列的前项和满足。

试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本平均值.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则MN =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅ 2．若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i - 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．y =．1y x x =+C ．122xx y =+ D ．e x y x =+ 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521 B ．1021 C ．1121D ．15．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +-= C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6．若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157．已知双曲线:C 22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9—13题） 9．在)41的展开式中，x 的系数为 ．10．在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 11．设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则p = ． （二）选做题（14—15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = ．P AOBCD E三、解答题:本大题共6小题，满分30分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量(),,sin ,cos ,0,222x x x ⎛π⎛⎫=-=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭m n (1) 若⊥m n ，求tan x 的值； (2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分） 某工厂36名工人年龄数据如下表:据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3）36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图所示，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6,3AB BC ==，点E 是CD 的中点，点F G ，分别在线段AB ，BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 求证：PE FG ⊥；(2) 求二面角P AD C --的正切值； (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.GFEDCAP19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)e xf x x a =+-. (1) 求()f x 的单调区间；(2) 求证：()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），求证：321em a --.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . (1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）数列{}n a 满足：*12122+4,2n n n a a na n -+++⋅⋅⋅=-∈N . (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 的前n 项和n T ； (3) 令()111111,12,23n n n T b a b a n n n -⎛⎫==++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭求证：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.本文由洞穿高考数学辅导丛书研发部提供。

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、 座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置 上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏 涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y +=4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。