最新华东师大版八年级数学上册《勾股定理》·教学设计-评奖教案

第14章 勾股定理

14.1 勾股定理

1.直角三角形三边的关系

【教学目标】

知识与技能

1.经历勾股定理的探索过程,体会数形结合的思想.

2.理解直角三角形三边的关系,会应用勾股定理解决简单的数学问题.

过程与方法

1.经历观察—猜想—归纳———验证等一系列过程,体会数学定理发现的过程.

2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力.

3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般的数学思想方法.

情感、态度与价值观

1.通过对勾股定理历史了解,感受数学文化,激发学习兴趣.

2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.

【重点难点】

重点 应用勾股定理解决简单的数学问题.

难点

勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证.

【教学过程】

一、创设情景,导入新课

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各类图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.

让学生画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.

以上这个事实是我国古代3 000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.

你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗?

二、师生互动,探究新知

1.勾股定理的证明.

【活动】

8方法一:

如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图的图形,利用面积证明.

S正方形=c2

S正方形=2ab+(a+b)2

从而c2=2ab+(a-b)2

即c2=a2+b2

方法二:已知:在△ABC中 ,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边a、b、c.

求证:a2+b2=c2.

【分析】

左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等.

左边S=4×ab+c2,右边S=(a+b)2

左边和右边的面积相等,

即4×ab+c2=(a+b)2化简可得c2=a2+b2.

【教学说明】

以上两图出示给学生,分两组交流、证明,完成后由学生代表展示.教师归纳板书:勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.求直角三角形的边长.

【活动】 出示习题:

(1)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,AC=5,BC=20,则AB= ;

(2)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,AB=25,AC=20,则BC=

;

(3)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,它的两边是6和8,则它的第三边长是 ;

【答案】(1)13 (2)12 (3)10或2

【教学说明】

先由学生独立完成,再由学生展示,注意(3)要分类,按8为直角边或斜边,最后教师板书:在Rt△ABC中,∠C=90°,b=,a=,b=.

三、随堂练习,巩固新知

1.在Rt△ABC中,已知∠B=90°,AB=6,BC=8,求AC.

解:由勾股定理,可得AB2+BC2=AC2. 所以AC===10.

2.如图,Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm,另一直角边BC长为6 cm,求AC的长.

解:由已知AB=(AC-2)cm,BC=6 cm,根据勾股定理,可得AB2+BC2=(AC -2)2+62E=AC2.

解得AC=10(cm).

3.如图1,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离,一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形,通过测量,得到AC的长为160米,BC的长为128米,问从点A穿过湖到点B有多远?

解:如图2,在Rt△ABC中 ,AC=160米,BC=128米,根据勾股定理,可得AB===96(米)

答:从点A穿过湖到点B有96米.

四、典例精析,拓展新知

【例】

如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高.

解:设BD=x,则DC=14-x,

由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,

即132-x2=152-(14-x)2, 解得x=5,

∴AD=132-52=12.

【教师说明】

引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边,也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x,可否建立方程关系.

五、运用新知,深化理解

1.在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)已知:a=6,b=8,求c;

(2)已知:a=40,c=41,求b.

2.一个高4米,宽3米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为( )

A.3米 B.4米

C.5米 D.6米

【答案】

1.(1)10 (2)9

2.C

已知,如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则AE的长度为多少?

【答案】

设AE=x,则DE=9-x,由题意可知BE=DE=9-x,在直角三角形ABE中,由勾股定理可得:AB2+AE2=BE2,∴32+x2=(9-x)2,∴x=4,∴AE=4 cm.

【教学说明】

第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.

六、师生互动,课堂小结

这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生发言的基础上,教师归纳总结.

【教学反思】

新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同,新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手,用面积法证明勾股定理难度不大,但面积法教材首次用到,基于此教师在教学过程中应给予适当的引导,让学生体会成功的快乐.

2.直角三角形的判定

【教学目标】

知识与技能

掌握直角三角形的判定条件,并能进行简单运用.

过程与方法

经历探索直角三角形的判定条件过程,理解勾股定理的逆定理.

情感、态度与价值观 激发学生解决问题的愿望,体会勾股定理逆向思维所获得的结论,明确其应用范围和实际价值.

【重点难点】

重点

理解和应用直角三角形的判定方法.

难点

运用直角三角形判定方法解决问题.

【教学过程】

一、创设情景,导入新课

【实验观察】

实验方法:用一根打上13个等距离结的细绳子,让同学操作,用钉子钉在第一个结上,再钉在第4个结上,再钉在第8个结上,最后将第十三个结与第一个结钉在一起,然后用角尺量出最大角的度数.(90°),可以发现这个三角形是直角三角形.

二、师生互动,探究新知

【教师活动】

古埃及人曾经用过这种方法来得到直角,这个三角形三边长分别为多少?(3,4,5).这三边满足了怎样的条件呢?(32+42=52),是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢?请同学们动手画一画,如果三角形的三边分别为2.5 cm,6 cm,6.5

cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为5 cm,12 cm,13 cm或8 cm,15 cm,17 cm呢? 【学生活动】

动手画图,体验发现,得到猜想.

【教师活动】

操作投影仪,提出探究的问题,引导学生思考,然后再提问个别学生.

【学生活动】

拿出事先准备好的纸片、剪刀,实验、领会、感悟:(1)它们完全重合;

(2)理由是在△A'B'C'中,A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2,因为a2+b2=c2,因此,A'B'=c,从△ABC和△A'B'C'中,BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B',推出△ABC≌△A'B'C',所以∠C=∠C'=90°,可见△ABC是直角三角形.

【教师归纳】

如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,且边c对的角是直角.

【教学说明】

采用实验、观察、比较的教学方法,突破难点.

出示习题:(投影显示)

1.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是( )

A.5,6,7 B.10,8,4

C.7,25,24 D.9,17,15

2.以下各组正数为边长,能组成直角三角形的是( ) A.a-1,2a,a+1 B.a-1,2,a+1

C.a-1,,a+1 D.a-1,a,a+1

【答案】

1.C;2.B;(a-1)2+(2)2=(a+1)2.

【教学说明】

引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.

三、随堂练习,巩固新知

三角形三边之比为:(1)1∶∶2;(2)4∶7.5∶8.5;(3)1∶∶2;(4)3.5∶4.5∶5.5,其中可以构成直角三角形的有( )

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

【答案】C

四、典例精析,拓展新知

【例】

某港口位于东西方向的海岸线上,“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口,各自沿固定的方向航行,“远航号”每小时行16海里,“海天号”每小时行12海里,它们离开港口1.5小时后相距301海里,如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗?