函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性及周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性 定义 图象特点

偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称

奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[小题体验]

1．下列函数中为偶函数的是( )

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x| D．y＝2－x

答案：B

2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.

答案：－1

3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.

答案：x(1－x)

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．

3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

[小题纠偏]

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )

A．－13 B.13

C.12 D．－12

解析：选B ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，

初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性

函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。在初中数学中，我们学习了函数的奇偶性与周期性的概念。本文将对这两个概念进行归纳总结，并提供相关的例子，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。

一、函数的奇偶性

1. 定义

一个函数f(x)，若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

2. 性质

（1）偶函数的图像关于y轴对称，即关于原点中心对称；奇函数的图像关于坐标原点对称。

（2）偶函数的奇点（f(x) = 0的点）关于y轴对称，奇函数的奇点关于原点对称。

（3）偶函数与偶函数的和、差、积仍为偶函数；奇函数与奇函数的和、差为偶函数，积为奇函数。

（4）若函数可以表示为偶函数与奇函数的和，那么该函数为任意函数。

3. 举例 （1）常见的偶函数：f(x) = x^2、f(x) = cos(x)等。

（2）常见的奇函数：f(x) = x、f(x) = sin(x)等。

二、函数的周期性

1. 定义

一个函数f(x)，若存在正数T，对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。

2. 性质

（1）周期函数的图像在每一个周期内完全重复。

（2）一个函数的周期不唯一，只要存在一个T使得f(x+T) = f(x)，那么T的所有倍数也是f(x)的周期。

（3）若f(x)和g(x)都是周期为T的周期函数，那么f(x) ± g(x)、f(x)

× g(x)也是周期为T的周期函数。

3. 举例

（1）常见的周期函数：f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)等。

（2）常见的非周期函数：f(x) = x^2、f(x) = e^x等。

三、奇偶性与周期性的关系

1. 性质 （1）对于一个函数f(x)，若它既是奇函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍。

函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇函数 偶函数

定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

图象特征 关于原点对称 关于y轴对称

2.函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)

(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)

(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)

(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)

(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)

(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)

考点一 判断函数的奇偶性

命题点

用函数奇偶性定义判断

[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )

高中数学公式大全函数的奇偶性与周期性的判定公式

高中数学公式大全：函数的奇偶性与周期性的判定公式

在高中数学中，函数的奇偶性和周期性是我们常常需要研究的性质之一。通过判定函数的奇偶性和周期性，我们可以更好地了解函数的特点，解决问题。本文将介绍函数的奇偶性和周期性的判定公式，帮助高中数学学习者更好地理解和应用这些概念。

一、函数的奇偶性判定公式

函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值是否具有对称性的特点。下面是函数奇偶性的判定公式：

1. 若对任意的 x，有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 为偶函数。

例如，f(x) = x^2 就是一个典型的偶函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2

= f(x)。

2. 若对任意的 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 为奇函数。

例如，f(x) = x^3 就是一个典型的奇函数，因为 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

通过奇偶性的判定公式，我们可以方便地判断一个函数是偶函数还是奇函数。这在解题过程中具有重要的作用。

二、函数的周期性判定公式 函数的周期性是指函数在某一区间内，其函数值具有重复的规律性。下面是函数周期性的判定公式：

1. 若存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。

例如，f(x) = sin(x) 是一个周期为 2π 的函数，因为 sin(x+2π) =

sin(x)。

2. 若函数 f(x) 的定义域为全体实数集合 R，且存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。

例如，f(x) = tan(x) 是一个周期为 π 的函数，因为 tan(x+π) = tan(x)。

通过周期性的判定公式，我们可以快速确定函数是否具有周期，并且求出函数的周期值。