函数的奇偶性与周期性

第 1 页 函数奇偶性与周期性基础过关

奇偶性的概念：

1．几何图形的角度：

2．代数表达式：

判断奇偶性的方法：

1．求定义域，作图

2．“一看”，“二验”，“三判断”

奇偶函数的运算性质：

奇奇 偶偶 奇*奇 奇*偶 偶*偶

复合函数奇偶性：

内外函数均具有奇偶性时，有偶则偶，无偶则奇．

复合函数单调性的表达：

若函数axf为奇函数，则函数xf的图像关于点0,a中心对称，且axfaxf．

函数的奇偶性与单调性的关系：

如果函数存在奇偶性，则在定义域的对称位置奇函数的点调性相同，偶函数的单调性相反

对函数奇偶性的两点说明：

①函数xf为奇函数，并且定义域内有000f

定义域内有0且00fxf为奇函数

②已知函数奇偶性，代点求参数值必须检验．

函数奇偶性延伸的函数的一般的对称性质：

1．如果函数关于直线ax对称，则函数满足下列常见形式：

xafxaf，xafxf2„ 第 2 页 2．如果函数关于点0,a中心对称，则函数满足下列常见性质：

xafxaf，xafxf2

练习：

1．指出下列函数所满足的性质

（1）022xfxf（2）11xfxf（3）xfxf11

函数的周期性：

若函数满足下列性质，则函数为周期函数：

1．aTaxfxfRx,

2．aTaxfxfRx,

3．abTbxfaxfRx,

4．aTRCCaxfxfRx2,,

5．aTCCaxfxfRx20,,

6．aTxfaxfaxfRx62,

函数的对称性与周期性的关系：

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函数的周期性与奇偶性

作者：李子明

来源：《黑河教育》2012年第09期

函数的性质一直以来都是高考的一个重要考点。如何准确灵活地把握函数的性质，顺利地解答有关问题，是需要我们探索和研究的课题。笔者从函数的周期性和奇偶性方面入手进行了如下研究：

一、函数的周期性

一般地说，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使取定义域内的每一个x值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。理解周期性要注意以下几点：1.定义适合定义域中的每一个x值。2.并不是所有周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)=c，所有的正数都是它的周期，但没有最小值，故常数函数没有最小正周期。3.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(?资∈?篆+)也是周期。4.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。5.设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）=

③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），则函数y=f（x）是周期函数。

二、函数的奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数y=f（x）就叫做奇函数；如果对于函数（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数。理解奇偶性要注意以下几点：1.定义域必定关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2.奇偶性是研究函数在整个定义域内的函数值的对称问题。3.若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，反过来不一定成立，如：f（x）=0（-1

三、周期性与奇偶性的结合

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1 / 2 函数的奇偶性与周期性

一、函数的奇偶性

1.定义：关于函数f〔x〕，假设关于定义域内恣意一个x，都有f〔-x〕=-f〔x〕，那么f〔x〕为奇函数；

关于函数f〔x〕，假设关于定义域内恣意一个x，都有f〔-x〕=f〔x〕，那么f〔x〕为偶函数；

2.性质：

〔1〕函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数；

〔2〕 f〔x〕，g〔x〕的定义域为D；

〔3〕图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；

〔4〕定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充沛条件，奇函数f〔x〕在原点处有定义，那么有f〔0〕=0；

〔5〕恣意一个定义域关于原点对称的函数f〔x〕总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的方式：f〔x〕=g〔x〕+h〔x〕，其中g〔x〕=-[f〔x〕+f〔-x〕]为偶函数，h〔x〕=-[f〔x〕-f〔-x〕]为奇函数；

〔6〕奇函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。

3.判别方法：

〔1〕定义法 优秀教育文档

2 / 2 〔2〕等价方式：f〔-x〕+f〔x〕=0，f〔x〕为奇函数；

f〔-x〕-f〔x〕=0，f〔x〕为偶函数。

4.拓展延伸：

〔1〕普通地，关于函数y=f〔x〕，定义域内每一个自变量x，都有f〔a+x〕=2b-f〔a-x〕，那么y=f〔x〕的图象关于点〔a，b〕成中心对称；

〔2〕普通地，关于函数y=f〔x〕，定义域内每一个自变量x都有f〔a+x〕=f〔a-x〕，那么它的图象关于x=a成轴对称。

第 1 页 共 5 页 第四讲 函数的奇偶性与周期性

A组基础巩固

一、选择题

1．函数f(x)＝1x－x的图象关于( C )

A．y轴对称 B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称

[解析] ∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于坐标原点对称．

2．(2021·西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( D )

A．y＝2x B．y＝x

C．y＝|x| D．y＝－x2＋1

[解析] A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝x的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.

3．已知函数f(x)＝ x4＋1，x>0，cos 2x，x≤0，，则下列结论正确的是( D )

A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数

C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

[解析] 因为y＝x4＋1(x>0)的值域为(1，＋∞)，且y＝cos 2x(x≤0)的值域为[－1,1]，所以，f(x)的值域为(1，＋∞)∪[－1,1]＝[－1，＋∞)．故选D.

4．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中不正确的是( D )

A．函数f(g(x))是偶函数 B．函数g(f(x))是偶函数

C．函数f(x)·g(x)是奇函数 D．函数f(x)＋g(x)是奇函数

[解析] 对于选项A，f[g(x)]是偶函数，A正确；对于选项B，g[f(x)]是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶数，故选D.