函数单调性、奇偶性、周期性
◆知识点梳理
一函数的奇偶性：
1、定义域关于原点对称 奇函数)(xf在原点有定义,则0)0(f；
2、)(xf是奇函数)()(xfxf)(xf图像关于原点对称；
3、)(xf是偶函数)()(xfxf)(xf图像关于y轴对称；
4、一些判断奇偶性的规律:
①奇±奇=奇,偶±偶=偶
②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶
二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法;
1、单调性的定义：)(xf在区间M上是增减函数,,21Mxx
当21xx时)0(0)()(21xfxf
2、采用单调性的定义判定法应注意：
一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负；
3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法：
①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；
②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解;
4、一些判断单调性的规律:
①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；
②1()()()fxfxfx与、的单调性相反；
三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑
1、首先将原函数)]([xgfy分解为基本初等函数： )(xgu与)(ufy；
2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；
3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性;
四函数的周期性
1、周期性的定义：若有)()(xfTxf,则称函数)(xf为周期函数,T为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期; 2、三角函数的周期
①Txy:tan,||:tanTxy ②||2:)cos(),sin(TxAyxAy
3、与周期有关的结论：
①)()(axfaxf或(2)()fxafx )(xf的周期为a2；
②)()(xfaxf)(xf的周期为a2；③1()()fxafx)(xf的周期为a2；
函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[小题体验]
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案：B
2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
答案：－1
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.
答案：x(1－x)
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
[小题纠偏]
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－13 B.13
C.12 D．－12
解析：选B ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
1 / 26
函数奇偶性和周期性
一、必备知识：
1．奇、偶函数的概念
(1)偶函数:
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称．
3．具有奇偶性函数的定义域的特点
具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件．
4．周期函数的概念
(1)周期、周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为 ；
(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为 ．
6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .
7．函数的对称性
如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴x＝a＋b2；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心a＋b2，0.
8．函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a
高中数学公式大全函数的奇偶性与周期性的判定公式
高中数学公式大全：函数的奇偶性与周期性的判定公式
在高中数学中，函数的奇偶性和周期性是我们常常需要研究的性质之一。通过判定函数的奇偶性和周期性，我们可以更好地了解函数的特点，解决问题。本文将介绍函数的奇偶性和周期性的判定公式，帮助高中数学学习者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的奇偶性判定公式
函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值是否具有对称性的特点。下面是函数奇偶性的判定公式：
1. 若对任意的 x，有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 为偶函数。
例如，f(x) = x^2 就是一个典型的偶函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2
= f(x)。
2. 若对任意的 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 为奇函数。
例如，f(x) = x^3 就是一个典型的奇函数，因为 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
通过奇偶性的判定公式，我们可以方便地判断一个函数是偶函数还是奇函数。这在解题过程中具有重要的作用。
二、函数的周期性判定公式 函数的周期性是指函数在某一区间内，其函数值具有重复的规律性。下面是函数周期性的判定公式：
1. 若存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。
例如，f(x) = sin(x) 是一个周期为 2π 的函数，因为 sin(x+2π) =
sin(x)。
2. 若函数 f(x) 的定义域为全体实数集合 R，且存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。
例如，f(x) = tan(x) 是一个周期为 π 的函数，因为 tan(x+π) = tan(x)。
通过周期性的判定公式，我们可以快速确定函数是否具有周期，并且求出函数的周期值。
