中考数学专项复习之二次函数的应用训练

中考数学专项复习之二次函数的应用训练

1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点M（﹣2，92）和N（2，−72）两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）若点M是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；

（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）若B（m，0），且1≤m≤3，求a的取值范围．

2．某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：y={20𝑥(0≤𝑥≤10)10𝑥+200(10＜𝑥≤30)．

（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；

（2）设第x天每件电子产品的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？

3．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式：

（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？

（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？

4．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．

（1）分别判断函数y=12x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数y=2𝑥（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；

（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．

5．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

6．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−110x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）

（1）直接写出c＝ ；

（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？

（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．

7．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．

甲 乙 丙

单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

8．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，﹣1）和（2，7）．

（1）求二次函数解析式及对称轴；

（2）若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．

9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．

（1）求该抛物线的对称轴；

（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．

10．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB=43，点P为x轴下方的抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；

（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：

s/m … 9 12 15 18 21 …

h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …

（1）假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，s＝ m；

（2）求h关于s的函数解析式；

（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．

12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）如图1，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG∥x轴交直线BC于点G，求△EFG面积的最大值；

（3）如图2，点M在线段OC上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线BN、BM分别与抛物线交于P、Q两点，连接PA、QA，若△BMN的面积为S1，四边形BPAQ的面积为S2，求𝑆1𝑆2的值．

13．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B、C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0）．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP＝∠DPC，求出m值； （3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

14．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53𝑚，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

（1）求y关于x的函数表达式．

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

15．在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． （1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式；

（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=23𝑥2+43𝑥−2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求线段AC的长度；

（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移√13个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

17．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．

（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？

（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？