2021-2022学年北京市西城区八年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

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2021-2022学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

1. 下列图案中，可以看成轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

2. 下列运算中，结果正确的是( )

A. (𝑎2)3=𝑎5 B. (3𝑎)2=6𝑎2 C. 𝑎6÷𝑎2=𝑎3 D. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎5

3. 在△𝐴𝐵𝐶中，作出𝐴𝐶边上的高，正确的是( )

A. B.

C. D.

4. 如图是一个平分角的仪器，其中𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐵𝐶=𝐷𝐶.将点𝐴放在一个角的顶点，𝐴𝐵和𝐴𝐷沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线𝐴𝐶是这个角的平分线，这里判定△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶是全等三角形的依据是( )

A. 𝑆𝑆𝑆

B. 𝐴𝑆𝐴

C. 𝑆𝐴𝑆

D. 𝐴𝐴𝑆

5. 下列分式中，从左到右变形错误的是( )

A. 𝑐4𝑐=14 B. 1𝑎+1𝑏=1𝑎+𝑏

C. 1𝑎−𝑏=−1𝑏−𝑎 D. 𝑎2−4𝑎2+4𝑎+4=𝑎−2𝑎+2

6. 已知三条线段的长分别是4，4，𝑚，若它们能构成三角形，则整数𝑚的最大值是( )

A. 10 B. 8 C. 7 D. 4

7. 某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：第2页，共24页 购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本．设他花费24元买了𝑥本笔记本，根据题意可列方程( )

A. 24𝑥−20𝑥−2=1 B. 24𝑥−2−20𝑥=1 C. 20𝑥−2−24𝑥=1 D. 20𝑥+2−24𝑥=1

8. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(0,2)，𝐵(𝑎,0)，𝐶(𝑚,𝑛)(𝑛>0).若△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐵𝐶，当0<𝑎<1时，点𝐶的横坐标𝑚的取值范围是( )

A. 0<𝑚<2 B. 2<𝑚<3 C. 𝑚<3 D. 𝑚>3

9. 计算：(1)2−1=______；(2)(𝜋−1)0=______．

10. 若分式1𝑥−2有意义，则𝑥的取值范围为______．

11. 若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是______边形．

12. 计算：2𝑎𝑏(3𝑎2−5𝑏)=______．

13. 若𝑎2+𝑘𝑎+9是一个完全平方式，则常数𝑘= ______ ．

14. 如图1，将一个长为2𝑎，宽为2𝑏的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形(如图2).设图2中的大正方形面积为𝑆1，小正方形面积为𝑆2，则𝑆1−𝑆2的结果是______(用含𝑎，𝑏的式子表示)．

15. 如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(2,0)，𝐵(4,2)，若点𝑃在𝑥轴下方，且以𝑂，𝐴，𝑃为顶点的三角形与△𝑂𝐴𝐵全等，则满足条件的𝑃点的坐标是______．

第3页，共24页 16. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，𝐴𝐶=2.𝐷为𝐵𝐶上一动点，连接𝐴𝐷，𝐴𝐷的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点𝐸，𝐹，则线段𝐵𝐹长的最大值是______．

17. 分解因式：

(1)3𝑎2−6𝑎𝑏+3𝑏2；

(2)𝑥2(𝑚−2)+𝑦2(2−𝑚)．

18. (1)计算：(𝑥−8𝑦)(𝑥+𝑦)；

(2)先化简，再求值：(𝑎+1−3𝑎−1)÷𝑎2−4𝑎2−2𝑎+1，其中𝑎=−3．

19. 解方程：𝑥−1𝑥+1−2𝑥2−1=1．

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20. 如图，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷在一条直线上，𝐴𝐸//𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐷𝐹，𝐴𝐵=𝐶𝐷．

(1)求证：△𝐴𝐸𝐶≌△𝐷𝐹𝐵．

(2)若∠𝐴=40𝑜，∠𝐸𝐶𝐷=145°，求∠𝐹的度数．

21. 如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点𝐴，𝐵，𝐶都是格点．请按要求解答下列问题：

平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴，𝐵的坐标分别是(−3,1)，(−1,4)，

(1)①请在图中画出平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦；

②点𝐶的坐标是______，点𝐶关于𝑥轴的对称点𝐶1的坐标是______．

(2)设𝑙是过点𝐶且平行于𝑦轴的直线，

①点𝐴关于直线𝑙的对称点𝐴1的坐标是______；

②在直线𝑙上找一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐵最小，在图中标出此时点𝑃的位置；

③若𝑄(𝑚,𝑛)为网格中任一格点，直接写出点𝑄关于直线𝑙的对称点𝑄1的坐标(用含𝑚，𝑛的式子表示)． 第5页，共24页

22. 已知：如图1，线段𝑎，𝑏(𝑎>𝑏)．

(1)求作：等腰△𝐴𝐵𝐶，使得它的底边长为𝑏，底边上的高的长为𝑎．

作法：①作线段𝐴𝐵=𝑏．

②作线段𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝑁，与𝐴𝐵相交于点𝐷．

③在𝑀𝑁上取一点𝐶，使𝐷𝐶=𝑎．

④连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶就是所求作的等腰三角形．

用直尺和圆规在图2中补全图形(要求：保留作图痕迹)；

(2)求作：等腰△𝑃𝐸𝐹，使得它的腰长为线段𝑎，𝑏中一条线段的长，底边上的高的长为线段𝑎，𝑏中另一条线段的长．

作法：①作直线𝑙，在直线𝑙上取一点𝐺．

②过点𝐺作直线𝑙的垂线𝐺𝐻．

③在𝐺𝐻上取一点𝑃，使𝑃𝐺=______． 第6页，共24页 ④以𝑃为圆心，以______的长为半径画弧，与直线𝑙分别相交于点𝐸，𝐹．

⑤连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，则△𝑃𝐸𝐹就是所求作的等腰三角形．

请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形(要求：保留作图痕迹)．

23. (1)如果(𝑥−3)(𝑥+2)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛，那么𝑚的值是______，𝑛的值是______；

(2)如果(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑥2−2𝑥+12，

①求(𝑎−2)(𝑏−2)的值；

②求1𝑎2+1𝑏2+1的值．

24. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，点𝐸是射线𝐴𝐷上一动点，连接𝐶𝐸，作∠𝐶𝐸𝑀=60°，射线𝐸𝑀与射线𝐵𝐴交于点𝐹．

(1)如图1，当点𝐸与点𝐷重合时，求证：𝐴𝐵=2𝐴𝐹；

(2)如图2，当点𝐸在线段𝐴𝐷上，且与点𝐴，𝐷不重合时，

①依题意，补全图形；

②用等式表示线段𝐴𝐵，𝐴𝐹，𝐴𝐸之间的数量关系，并证明．

(3)当点𝐸在线段𝐴𝐷的延长线上，且𝐸𝐷≠𝐴𝐷时，直接写出用等式表示的线段𝐴𝐵，𝐴𝐹，𝐴𝐸之间的数量关系． 第7页，共24页

25. 观察下列等式：

①1−1−12=−11×2；

②12−13−14=−13×4；

③13−15−16=−15×6；

④14−17−18=−17×8；

…

根据上述规律回答下列问题：

(1)第⑤个等式是______；

(2)第𝑛个等式是______(用含𝑛的式子表示，𝑛为正整数)．

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26. 对于面积为𝑆的三角形和直线𝑙，将该三角形沿直线𝑙折叠，重合部分的图形面积记为𝑆0，定义𝑆0𝑆−𝑆0为该三角形关于直线𝑙的对称度．如图，将面积为𝑆的△𝐴𝐵𝐶沿直线𝑙折叠，重合部分的图形为△𝐶′𝐷𝐸，将△𝐶′𝐷𝐸的面积记为𝑆0，则称𝑆0𝑆−𝑆0为△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙的对称度．

在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(0,3)，𝐵(−3,0)，𝐶(3,0)．

(1)过点𝑀(𝑚,0)作垂直于𝑥轴的直线𝑙1，

①当𝑚=1时，△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度的值是______；

②若△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度为1，则𝑚的值是______．

(2)过点𝑁(0,𝑛)作垂直于𝑦轴的直线𝑙2，求△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙2的对称度的最大值．

(3)点𝑃(−4,0)满足𝐴𝑃=5，点𝑄的坐标为(𝑡,0)，若存在直线，使得△𝐴𝑃𝑄关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数𝑡的值．

第9页，共24页 答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

选项A、𝐶、𝐷的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

故选：𝐵．

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴.(𝑎2)3=𝑎6，故此选项不合题意；

B.(3𝑎)2=9𝑎2，故此选项不合题意；

C.𝑎6÷𝑎2=𝑎4，故此选项不合题意；

D.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项符合题意；

故选：𝐷．

直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．

此题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3.【答案】𝐷

【解析】解：根据三角形高线的定义，𝐴𝐶边上的高是过点𝐵向𝐴𝐶作垂线垂足为𝐷，

纵观各图形，𝐷选项符合高线的定义，

故选：𝐷．

根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．