空间几何中的相似四面体性质

第二十三章 特殊四面体的性质及应用【基础知识】特殊四面体包括垂心四面体（四条高线交于一点的四面体），直角四面体（有一个三面焦是直三面角的四面体，或过同一顶点的三条棱互相垂直的四面体），拟腰四面体（两对对棱相等的四面体），等面四面体（三对对棱相等的四面体），正四面体（六条棱长相等的四面体）等．特殊四面体除了具有一般四面体的性质外，还具有各自独特的性质． 1．垂心四面体性质1垂心四面体的对棱互相垂直．反之亦然．事实上，若四面体ABCD 为垂心四面体，垂心为H ，则AH ，BH 均与CD 垂直，从而AB CD ⊥． 同理，AC BD ⊥，AD BC ⊥．反之，由AB CD ⊥，过AB 作CD 的垂面交CD 于E ，设H 为ABE △的垂心，则AH BE ⊥，AH CD ⊥，所以AH 是面BCD 的垂线．同样，BH 是面ACD 的垂线，四面体ABCD 的每两条高交于一点，每三条高不共面，所以四条高必交于同一点．于是H 为四面体的垂心，即四面体为垂心四面体． 性质2垂心四面体的高过底面的垂心，反之亦然． 事实上，由性质1，设顶点A 在底面BCD 上的射影为F ，由于AB CD ⊥，所以AB 的射影BF CD ⊥．同样CF BD ⊥，即F 为BCD △的垂心．性质3垂心四面体对棱的平方和相等．反之亦然．事实上，由性质2，知A 在面BCD 上的射影F 为BCD △的垂心．设BF 交CD 于E ，则 22222222AC AD CF DF CE DE BC BD --==-=-，即有2222AC BD AD BC +=+． 同理，2222AC BD AB CD +=+．性质4垂心四面体连接对棱中点的线段相等．反之亦然． 事实上，由性质3，设E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则()22222222222114222EF AF BF AB AC AD CD BC BD CD AB =+-=+-++--()222222AC BD BC AD AB CD =+=+=+．即证．反之，考察过对棱的相互平行的六个平面构成的平行六面体，六面体的棱长恰好等于连结四面体对棱中点的线段，因此，六面体的棱均相等，各面为菱形，菱形对角线（即四面体的对棱）互相垂直． 由于从性质1⇒性质2⇒性质3⇒性质4⇒性质1，从而性质2，3，4的反之亦然． 上述性质中的反之亦然，其实也是垂心四面体的四条判定定理．由性质4的证明中可知有 性质5垂心四面体的外接平行六面体（四面体的棱为平行六面体的侧面对角线）各面是菱形． 性质6平行于四面体任一组对棱的平面截其余四条棱的截口面为矩形． 性质7垂心四面体对棱之公垂线共点于垂心．性质8垂心四面体的外心、重心、垂心共线，且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离． 2．直角四面体直角四面体有如下判定定理和性质：判定定理对棱都垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．事实上，在四面体ABCD 中，若90DAC ∠=︒，则由AD BC ⊥，知AC ⊥面ABC ，从而AD AB ⊥，即90DAB ∠=︒．又由AB CD ⊥，知AB ⊥面ACD ，有90BAC ∠=︒．即证． 推论1两组对棱垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．推论2四面体一顶点到对面的射影是该面的垂心，且该顶点的三面角的面角中有一个为直角，那么这个四面体是直角四面体．显然，上述判定定理及推论的逆命题也是直角四面体的性质．为了方便讨论直角四面体的一系列性质引进一些记号：设直角四面体PABC 的直三面角是三面角P ABC -，其体积为V ，棱PA a =，PB b =，PC c =．顶点x 所时的面的面积记为x S ；以棱y 为二面角棱的二面角大小记为y θ；四面体PABC 的内切球、外接球的半径分别记为x r ．由于直角四面体是垂心四面体，因此，可得 性质1直角四面体具有垂心四面体的所有性质．性质2三对对棱中点的连线共点（设为G ，且此点称为四面体的重心）且互相平分；三对对棱中点的性质3不含直角的侧面三角形是锐角三角形，且这每一个面角的正切值等于这个面的面积的2倍与该面角所对的棱长平方之比；这每一面角的余弦值等于与此面共顶点的另两个面角余弦值之积． 性质4（1）cos cos cos P A BC B AC C AB S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅； （2）cos A P BC S S θ=⋅，cos B P AC S S θ=⋅，cos C P AB S S θ=⋅； （3）222cos cos cos 1BC AC AB θθθ++=；（4）34AB BC AC θθθπ<++<π． 下面只给出（4）式的证明思路： 由（3）式有222cos cos cos cos cos cos cos 0BC AC AB AB AC AB AC θθθθθθθ---⋅+>==（）（）． 又cos cos 0AB AC θθ->，则cos cos 0AB AC θθ+<，故2AB AC θθπ<+．同理还有两式，相加即证（4）式左端．又()()cos cos AB AC AB AC θθθθ⎡⎤π++=-+⎣⎦，在[]0,π内余弦函数递减，有cos[]cos[]cos AB AC AB AC AB AC θθθθθθπ-+π--<-（）=（）（），即有()22cos cos BC AB AC θθθ⎡⎤>π-+⎣⎦，由此 即证得（4）式右端．由性质4（3）及幂平均、算术一几何平均值不等式，我们有推论（1）cos cos cos AB BC AC θθθ++（2）cos cos cos AB BC AC θθθ⋅⋅ （3）cos cos cos cos cos cos 1AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤；（4）sin sin sin AB BC AC θθθ++；（5）sin sin sin AB BC AC θθθ⋅⋅； （6）sin sin sin sin sin sin 2AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤．性质5含直角的侧面面积是它在不含直角的侧面上的射影面积与这不含直角的侧面面积的比例中项．性质62222P A B C S S S B =++．性质7二面角大小为θ（90θ≠︒）的两侧面中，含直角的侧面面积S 与不含直角的侧面面积P S 之比为cos θ．特别地，60θ=︒时，12P S S =∶∶；45θ=︒时，2P S S ∶；30θ=︒时，2P S S =∶；θ=P S S =∶ 性质P ABBCACS ==．性质916V abc ==性质10设S 为直角四面体的全面积，L 为6条棱长的乘积，则SL ≥． 性质11直角四面体的四顶点与其所对侧面重心的四条连线共点，共点于三对对棱中点连线的交点．亦即七线共点于直角四面体重心．性质12直角四面体的四顶点与其所对的侧面垂心的四条连线共点，共点于其直三面角顶点P ，此点为直角四面体的垂心．由此也可知直角四面体是垂心四面体．性质13非直三面角体的三顶点与其所对的侧面外心的三条连线共点，共点于不含直角的侧面三角形的重心．性质14过含直角的侧面三角形的外心，且与该侧面垂直的三直线共点，共点于直角四面体的外心． 性质15设A m 、B m 、C m 、P m 分别为直角四面体四顶点与所对面的重心的连线长（或称四面体的4条中线长），则()222222243A B C P m m m m a b c +++=++． 分析如图23-1，设1G 为侧面ABC △的重心，设1PG E α∠=．由三角线中线长公式，有()22214PE b c =+，()2222144AE a b c =++．又 图23-1ABEPG 1()2222222211222222cos 2cos 333333P P P P P PE PA AE m AE m AE m AE m m AE αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由此即有()222219P m a b c =++．类似可求()2222199A m a b c =++，()2222199B m a b c =++，()2222199C m a b c =++，由此即获结论． 性质16R =，且与对棱中点的连线长相等；外接球的球心是分别过直三面角的三条棱与其所对棱中点的三个平面的公共点．性质17()2AB C P A B C P S S S S abcr S S S S a b c ++-==+++++；内切球的球心是其棱不共顶点的三个二面角平分面的公共点． 性质18()2AB C P P A B C P S S S S abcr S S S S a b c+++==++-++； ()2AP B C A B C P A S S S S abcr S S S S b c a +--==++-+-； ()2BP A C B A C P B S S S S abcr S S S S a c b+--==++-+-； ()2CP A B C A B P C S S S S abcr S S S S a b c+--==++-+-． 旁切球的球心是其相切侧面与另三个延展切面所成二面角平分面（其中只须其棱不共顶点的三个二面角的平分面即可）的公共点． 证明思路只推证A r ，其余类似推证．作外切于侧面PBC 的旁切球的外切三棱台B C P BCP '''-，得新四面体AB C P '''，如图23-2．图23-2A'由()22C A B P AB C P A S S S S aS S S S a r ====''''+及()()()3313123A B C P ABCD AB C P A A A B C P r S S S S V a V a r r S S S S '''''''+++=='++++． 并注意到性质6、性质17，即可推证A r 的关系式． 推论1r 最小，P r 最大，且11112A B C P r r r r r+++=或 2A B C PA B C A B P A C P B C P r r r r r r r r r r r r r r r r r⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=推论2()32P V abc r r a b c a b c ⋅==++++或1111P A B C r r S S S =++⋅．推论3记()1122A B C P S S S S S S '==+++，则()()()()2222233333A AB BC C P P V S r S S r S S r S S r S S r '''''==-⋅=-⋅=-⋅=-⋅．推论4记四顶点到所对面的距离为A h 、B h 、C h 、P h ，则11111A B C P h h h h r +++=；11111A B C P Ph h h h r ++-=． （*）还有类似（*）式的三式．此略． 推论5令l 为四面体六条棱长之和，()12A B C P S S S S S '=+++，则)2l ≤；2S '；(39V r +≥；32V ． 性质19设am S 、bm S 、cm S 是分别过棱PA 及BC 的中点，过棱PB 及AC 的中点，过棱PC 及AB 的中点的截面面积，则am Sbm Scm S ，且222212am bm cm PS S S S ++=． 性质20设maS '、mb S '，mc S '是分别过棱BC 及PA 的中点，过棱AC 及PB 的中点，过棱AB 及PC 的中点的截面面积，则maS '=mb S '=mc S '222232ma mb mc P S S S S '''++=． 性质21设ad S 、bd S 、cd S 分别为过棱PA 与BC 垂直、过棱PB 与AC 垂直、过棱PC 与AB 垂直的截面面积，则/ad B C S S S =⋅bd A C S S S =⋅，cd A B S S S =⋅ 2222221111112ad bd cd AB C S S S S S S ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 性质22设at S 、bt S 、ct S 分别为过棱PA 及BPC ∠的平分线，过棱PB 及APC ∠的平分线，过棱PC 与APB ∠的平分线的截面面积，则B C at B C S S S S ⋅=+，A C bt A C S S S S ⋅=+，A Bct A BS S S S ⋅=+，且111111a t b t c t AB CS S S SSS⎫++=++⎪⎭． 性质23在直角四面体中，（1）斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （2）斜面上任一点与直角顶点的连线和三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （3）斜面上每一条棱与三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （4）斜面上每一条棱与三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （5）三条直角棱与斜面所成角的余弦的平方和等于2；（6）三条直角棱的平方的倒数和等于直角顶点到斜面的距离的平方的倒数． 性质24直角四面体的外接平行六面体，（1）当四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是菱形六面体； （2）当四面体的直三面角的三条棱成为平行六面体的棱，其余三条棱成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是长方体． 3．直棱四面体三条相连棱形成三边直角折线（即空间直角四边形）的四面体，称为直棱四面体． 显然，直棱四面体每个面都是直角三角形，若令1ADC β∠=，2ADB β∠=，3BDC β∠=， 则（1）123cos cos cos βββ⋅=； （2）321sin sin sin sin sin CD AD βββθθ==； （3）3sin cos sin ADCDθβθ=； （4）1tan tan sec AD CD θθβ⋅=．直角四面体和直棱四面体，都可以看作从长方体上截下的一部分，在部分多面体过程中，在棱、锥、台的计算中，它们经常出现．由于它有多方面的垂直关系和比较多的等量关系，有人称之为基本四面体．它们可以看作直角三角形在空间的自然推广，是工具性的四面体． 4．等腰四面体从某一顶点出发的三条棱（称为腰）相等的四面体称为等腰四面体，这一顶点称为腰顶点． 性质1等腰四面体的腰顶点在所对的面的射影为该面的外心．反之亦然． 性质2等腰四面体的腰顶点出发的三条棱与该点所对的面成等角．反之亦然． 性质3等腰四面体的底面为正三角形时，则该四面体为垂心四面体．性质4等腰四面体的底面为正三角形，且其边长为腰的压时，则该四面体是等腰直角四面体． 5．拟腰四面体两组对棱分别相等的四面体称为拟腰四面体．性质1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是它的棱均成为侧面对角线的外接平行六面体为直平行六面体．证明设四面体ABCD 的外接平行六面体为1111ACB D AC BD -，AD BC =，AC BD =⇔侧面11A DD A 与侧面11CB BC 为全等矩形，侧面11A CC A 与侧面11DB BD 为全等矩形1111ACB D AC BD -为直平行六面体． 推论1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱中点的连接线段垂直于此二棱．推论2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是这两对对棱中点的连接线段均与第三对对棱中点的连接线段垂直．推论3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是四面体在平行于这两对对棱中的每一对对棱的每一个平面上的射影为矩形．性质2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是两侧面面积相等，且另两侧面面积也相等，或四侧面分成等面积的两组．证明此定理即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，ACD BCD AC BD S S =⇔=△△，ABC ABD S S =△△． 必要性（⇒）：显然．充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．此时A 、B 到底面11A CB D 的距离1AH 、2BH 相等，作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，连1H E ，2H F ．图23-321则由ACD BCD S S =△△，有A E B F=，从而12AEH BFH ∠∠=，即二面角1A CD A --等于二面角1B CD B --，此时二面角A CD B --的平分面α垂直于底面11A CB D ，也就垂直于面11AC BD ，且面α交AB 于其中点1O ．又可证A 、B 两点到此平分面α的距离相等． 设此平分面α交AB 于1O ，则1O 为上底面中心．同理，由ABC ABD S S =△△，有二面角C AB D --的平分面β也垂直于两底面，也交CD 于其中点2O ．此时12O O αβ=∩且垂直于两底面，故平行六面体1111ACB D AC BD -为直平面六面体．由性质1即证得了充分性．性质3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱每条棱所张的二个面角分别相等．证明此性质即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD CAD CBD =⇔∠=∠，ACB ADB ∠=∠． 必要性（⇒）：显然． 充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．由题设CAD CBD ∠=∠，又A 、B 、C 、D 四点共球O ，则ACD △和BCD △所在的平面截球O 的截面圆是等圆．而A 、B 两点到面11A CB D 的距离相等，则过CD 及AB 中点1O 的截面圆必是球O 的大圆．从而1O 、O 及CD 的中点2O 在过CD 的球O 的大圆面内．同理，1O 、O 、2O 也在过棱AB 的球O 的大圆面内．故1O 、O 、2O 三点共线于这两个大圆面的交线上．又1OO AB ⊥，2OO CD ⊥，则111OO A B ⊥，211OO C D ⊥，从而12O O 垂直于平行六面体的两底面11A CB D 、11AC BD ，故知此平行六面体为直平行六面体，由性质1，充分性获证．此性质的充分性也可以这样证：设CAD CBD α∠=∠=，ACB ADB β∠=∠=，令AC a =，AD b =，BC c =，BD d =，CD x =，AB y =．对ADC △和BDC △应用余弦定理可得()()()22222222cos a b x c d y ab cd x bc ad ac bd ab cd α+-+-==⇒-=--．① 同理，得()()()2ad bc y cd ab ac bd ---=．②由①、②可知，若0ab cd -=，则0ad bc a c -=⇒=，b d =．因此论断获证．若0ab cd -≠，则0ad bc -≠，0ac bd -≠，于是由①、②推得()222x y ac bd =-⇒或xy bd ac +=，或0xy ac by +-=．③由托勒密定理及③式，可知A 、B 、C 、D 四点共圆，与题设矛盾．因此充分性获证． 性质4两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其外心（外接球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =，作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3．由性质1，即知此平行六面体为直平行六面体，从而上、下底面中心1O 、2O 的连线既是AB 、CD 中点的连线，又是AB 、CD 的公垂线，亦即既是AB 的中垂线，又是CD 的中垂线，因而四面体ABCD 的外心在12O O 上．充分性（⇐）：由题设，四面体的外心在一对对棱AB 、CD 的中点1O '、2O '的连线上，则12O O ''是AB 、CD 的中垂线，从而12O O ''：垂直于四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -的两底面，故此外接平行六面体是直平行六面体．由性质1，充分性获证． 性质5两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其内心（内切球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 证明必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，则此平行六面体为直平行六面体，故11A DC B CD S S =△△．又AD C BD C S S =△△，则二面角1A DC A --等于二面角1B DC B --．而上、下底面中心1O 、2O 所在直线与DC 两相交线所在对角面垂直于两底面，即知此对角面平分二面角A DC B --．同理，12O O 与AB 所在对角面也平分二面角C ABD --．故四面体内心I 在12O O 上．充分性（⇐）：设四面体ABCD 的内心I 在12O O 上，则1O 到面ACD 、BCD 的距离相等，从而A 到面BCD 的距离与B 到面ACD 的距离相等（都等于点1O 到这两个面的距离的两倍）．由13V Sh =得BCD ACD S S =△△．同理ABD ABC S S =△△．由性质2即证．性质6四面体有两对对棱相等的充要条件是，以这两对对棱为棱的二面角，分别相等．证明在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =的充要条件是二面角B AD C --等于二面角D BC A --，二面角B AC D --等于二面角A BD C --．必要性（⇒）：设AD θ、BC θ分别表示二面角B AD C --、二面角D BC A --的平面角的大小，由AD BC =、AC BD =，有DAC DBC △≌△，ABC BAD △≌△，如图23-4．图23-4H GI DABCEFMN于是DAC DBC ∠=∠，BAC ABD ∠=∠，BAD ABC ∠∠=．由三面角余弦公式（如cos cos cos cos sin sin AD BAC BAD DACBAD DACθ∠-∠⋅∠=∠⋅∠）或三面角全等定理，有AD BC θθ=，即二面角B AD C --等于二面角D BC A --．同理，可证二面角B AC D --等于二面角A BD C --． 充分性（⇐）：记I 为四面体ABCD 的内心，从I 向各侧面引垂线，垂足为E 、F 、G 、H ，如图23-4，设过IE 、IF 的平面交AC 于M ，过IG 、IH 的平面交BD 于N ，则EMF ∠，GNH ∠分别为二面角B AC D --、二面角A BD C --的平面角，由题设有EMF GNH ∠=∠． 在Rt IMF △和Rt ING △中，IF IG =，1122IMF EMF GNH ING ∠=∠=∠=∠，从而IM IN =．故I 在对棱AC 、BD 的公垂线段的中垂面α内．同理，I 又在对棱AD 、BC 的公垂线段的中垂面β内，故I 在α与β的交线上．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，知α与β的交线就是平行六面体上、下底面中心1O 、2O 的连线．由性质5即证得充分性．性质7两对对棱分别相等，则四面体的内切球切侧面于第三对对棱的中垂线上． 证明此性质即为：在四面体ABCD 中，若AD BC =，AC BD =，则四面体ABCD 的内切球I 切ACD △、BCD △于CD 的中垂线上，切ACB △、ADB △于AB 的中垂线上．如图23-5，由性质6的充分性证明中可推知12O M O N =，①其中1O 、2O 为球I 切侧面ACD △、BCD △的切点，M 、N 为I 在棱AC 、BD 上的射影．图23-5O 1O 2DABCEFMNI设过1IO 、2IO 的平面交CD 于E ，连1O E 、2O E ，则由球的切线长定理，知12O E O E =．②又由ACD BDC △≌△有MCE NDE ∠∠=，而1O E CD ⊥，2O E CD ⊥，则M 、C 、E 、1O 共圆，E 、D 、N 、2O 共圆．故12MOE EO N ∠=∠．③由①、②、③知ME EN =，从而12sin sin ME ENO C O D MCE EDN===∠∠，∴12Rt Rt CO E DO E CE ED ⇒=△≌△． 故1O E ，2O E 均是CD 的中垂线段．同理，球I 切侧面ACB △，ADB △于AB 的中垂线上． 6．等面四面体我们称三组对棱分别相等的四面体为等面四面体．为了讨论问题的方便，先引进一些记号：等腰四面体ABCD 中，设BC AD a ==，AC BD b -=，AB CD c ==；设()12p a b c =++，()222212k a b c =++；以BC 、BD 、CD 为棱的两侧面所成二面角的大小依次为α、β、γ；四面体的体积记为V ，其内切、外接球半径分别记为r 、R ；顶点x 所对的面的面积记为x S ；外切于顶点x 所对的面，且与其余侧面的延展面相切的旁切球的半径记为x r ． 性质1等面四面体对棱所成角的余弦值可表示为()222cos ,b c a a a -=，()222,cos b c a b b -=，()222cos ,a b c c c -=．性质2等面四面体中，对棱中点的连线共点（此点为四面体的重心），且互相平分；连结对棱中点的每一线段均垂直于此二棱，或者说，当四面体绕这样的线段旋转180︒则与本身重合；连结对棱中点的三线段彼此互相垂直．且后两个结论的逆命题也是成立的．推论四面体为等面四面体的充要条件是三对对棱的公垂线两两相互垂直．性质3设a d 、b d 、c d 分别为等面四面体对棱中点连线的长，则a d =，b d =，c d =性质4四面体为等面四面体的充要条件是四面体各面为全等的三角形． 性质5等面四面体所有的面角均为锐角，或者说各侧面是锐角三角形．（见本章练习题A 第7题） 性质6四面体为等面四面体的充要条件是过四面体的每一顶点的三条棱长的m （m ∈R 且0m ≠）次方之和相等．分析只证充分性：令BC a =，AC b =，AB c =，AD x =，BD y =，CD z =，由m m m m m m m m m m m m b c x c a y a b z x y z ++=++=++=++，即推得a x =，b y =，c z =．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体的每一顶点的三条棱长之和相等．性质7四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形边长的m （m 为非零实数）次方之和相等．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的周长相等．性质8四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的三条中线长的平方和相等． 性质9四面体为等面四面体的充要条件是四面体每一顶点处的三个面角之和为180︒．性质10四面体为等面四面体的充要条件是过每对对棱的二面角相等（即三对二面角分别相等）．性质11cos cos cos 1αβγ++=．性质1222sin sin sin 3x S a b cVαβγ===（其中x 可表示A 、B 、C 、D ，后面亦同）． 性质13()()()22222222222224cos cos cos 222xa k ab k bc k c S αβγ---===． 性质14在等面四面体ABCD 中，A B C D S S S S ==== 性质15四面体为等面四面体的充分必要条件是各面的面积相等．分析四面体的各二面角的大小分别用α、β、γ、α'、β'、γ'表示，如图23-6．图23-6β'γ'α'γβαDOAB由cos cos cos D C B A S S S S αβγ⋅+⋅+⋅=及D C B A S S S S ===有cos cos cos 1αβγ++=．同理，有cos cos cos 1γβα''++=，cos cos cos 1αβγ''++=，cos cos cos 1βαγ''++=． 由上推出，cos cos αα'=，cos cos ββ'=，cos cos γγ'=，而0α<，β，γ，α'，β'，γ'<π，所以αα'=，ββ'=，γγ'=，由此即证． 性质16等面四面体的体积V =()222212k a b c =++． 分析作四面体ABCD 的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线，如图23-7．由四面体对棱相等，可证得平行六面体侧面均为矩形，即为长方体，于是列方程组求得长方体共顶点的图23-7DABC性质17记等面四面体共顶点的三个面角分别为1θ、2θ、3θ，则V =分析如图23-8，设1B D Cθ∠=，2ADC θ∠=，3ADB θ∠=．又设A 点在面BCD 内的射影为E ，作A H C D⊥于H ，连EH ，则AHE γ∠=．由12B S CD AH =⋅，有2B AH S c =⋅，则2sin sin B AE AH S cγγ=⋅=⋅⋅．图23-8γabc D ABCEH注意到31212cos cos cos cos sin sin θθθγθθ-⋅=⋅，有1233A A B V S AE S S c=⋅=⋅123θθθ++=π及()222123123121cos cos cos 2cos cos cos cos θθθθθθθθ---+⋅⋅=-+()()()212312123cos cos cos cos cos θθθθθθθθ⋅--+++-⋅=⎡⎤⎣⎦1234cos cos cos θθθ⋅⋅，11sin 2A S bc θ=⋅，21sin 2B S ac θ=⋅，由此即证．性质18等面四面体的体积为 222222sin sin sin 333x x x V S S S c b a γβα=⋅=⋅=⋅；或43x V S r =⋅． 性质1912R k ==． 性质20r =性质21四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心（外接球球心）与重心重合（见本章例13证明部分）．或者，四面体各顶点和外心的连线与对面的交点为该面的重心．性质22四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心与内心（内切球球心）重合．（见本章例12） 性质23四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内心与重心重合．或者，各顶点和内心的连线与对面的交点为该面的重心．推论若四面体的外心、内心、重心中任意两个相重合，则第三个也必和它们重合． 性质24在等面四面体中，2A B C D r r r r r =====．（提示：设顶点x 到所对面的距离为x h ，则可证2x x x h rr h r⋅=-，由此即推得）性质25四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高长之和等于内切球半径的16倍（即16A B C D h h h h r +++=）．分析充分性：由以3x x Vh S =及16A B C D h h h h r +++=有1111316A B C D V r S S S S ⎛⎫⋅+++= ⎪⎝⎭．注意到()13A B C D V S S S S r =+++⋅， 则()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++= ⎪⎝⎭． 而()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥，取等号是当且仅当A B C D S S S S ===．由此即证． 推论42x x h r r ==．注对外接球半径也有一条性质见本章例13．性质26四面体为等面四面体的充要条件是它的切点四面体（内切球切侧面的切点）为等腰四面体． 分析充分性：设O 为四面体ABCD 的内心，亦即它是切点四面体A B C D ''''的外心．当A B C D ''''为等腰四面体时，由性质2的推论推之．性质27四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内切球与各侧面的切点为该面的外接圆圆心． 性质28四面体为等面四面体的充要条件是四面体的重心（或外心）在各侧面内的射影为该面的外接圆圆心．性质29四面体为等面四面体的充要条件是各侧面都具有相等外接圆半径的锐角三角形． 性质30四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面外接圆半径与内切圆半径之积相等． 分析充分性：在四面体ABCD 中，设BC a =，AC b =，AB c =，1DA a =，1DB b =，1DC c =，R '，r '分别为侧面三角形外接、内切圆半径，则2abcR r a b c''=++．同理，1111111111112ab c a bc a b cR r a b c a b c a b c''===++++++．由此得()()()()11110c a c b b b b a c c +-++-=， ()()()()11110c c b a a a b a c c +-++-=， ()()()()11110b b c a a a a c b b +-++-=．将上述三式看作1a a -，1b b -，1c c -为未知数的三元一次方程组，它只有唯一的一个零解．即证． 性质31四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长相等（中线长即为四面体的每一顶点和对面重心的连结线段长）．分析充分性：注意到中线长相等及四面体重心性质，推得重心与外心重合． 性质32性质33四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长的平方和等于2649R ． 分析由性质31及25推导．性质34四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高线长相等（即A B C D h h h h ===）．性质35等面四面体的过某棱及所对棱中点的截面，就是过此棱及与所对棱垂直的截面，也就是过此棱且平分此棱所在二面角的截面．性质36在等面四面体ABCD 中，设分别过棱BC 、BD 、CD 且平分α、β、γ的截面面积为a S 、S β、S γ，则cos2x S S αα=⋅，cos2x S S ββ=⋅，cos 2x S S γγ=⋅，且22222x S S S S αβγ++=．性质37四面体为等面四面体的充要条件是其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为长方体．性质38四面体为等面四面体的充要条件是四面体在平行于两对棱的每一个平画上的射影为矩形． 性质39四面体为等面四面体的充要条件是四面体的展开图是一个引出了三条中位线的锐角三角形． 性质40四面体为等面四面体的充要条件是四面体内任意一点到各侧面的距离之和为定值．分析充分性：设定值为l ，取点为内心时有4l r =，再取点为重心时有4A B C D h h h h l +++=，再由性质25即证． 7．正四面体称六条棱相等的四面体为正四面体．性质1正四面体的每个面是正三角形．反之亦然． 性质2正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体． 推论正四面体是两组对棱垂直的等面四面体．性质3倍，反之亦真． 性质4正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点． 性质5正四面体的每个三面角均是面角为60︒的三面角，因而都是全等的三面角，且每个三面角的特征，即()2S x ==．性质6正四面体的六个二面角都相等．若记其大小为θ，则1arccos 3θ=或．其逆命题亦成立．性质712倍，即2S 全=，3V =． 推论设S △为侧面三角形面积，则4228cos 2a S θ=⋅⋅△；22sin 3S a V θ=⋅⋅△；V S ⋅全．性质8正四面体的内切球与其外接球是同心球，内切球半径r =（等于高线的14）；外接球半径R =；两球面面积之比为1∶9． 性质9在各类四面体的比值R r ∶中，以正四面体的比值3R r =∶为最小． 性质10正四面体的体积与其内切球的内接正四面体的体积之比为27．且若内切球半径为r ，则其体积为3．性质11正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，即x r =，或等于正四面体高线的一半．性质12正四面体的内切球与各侧面的切点是侧面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心．除外心外，其逆命题均成立．性质13正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和．分析利用正四面体的外接球球心O 是过四面体的一棱AB 与对棱CD 中点N 的平面（共有六个这样的平面）的交点的特性，我们将指出，如果点P （空间中任一点）不在这些平面之一上即如果它不是O ，则和S PA PB PC PD =+++不是最小．由此得出结论：使S 最小的点位于所有这些平面上，因此最小值只可能在点O 达到．假定P 不在平面ABN 上，设l 为过P 平行于CD 的直线，因此垂直于平面ABN ，且设P '为l 和ABN 的交点，则PC PD P C P D ''+>+．①事实上，CPD △和CP D '△有相同的底和高，但后者是等腰三角形，它有较小的周长．又PA P A '>，PB P B '>．② 因为PA 是Rt APP '△的斜边，PB 是Rt BPP '△的斜边，把①和②中三个不等式加起来，得PA PB PC PD P A P B P C P D ''''+++>+++，这就是我们要证的．性质14四面体为正四面体的充要条件是，存在五个球与四面体的六条棱或其延长线相切． 此性质的充分性证明见本章例14．性质15正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高．性质16对于四个相异的平行平面，总存在一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上．性质17以正四面体的每条棱为直径作球，设S 是所作六个球的交集，则S 中含有两点，它们的距离为性质18 性质19四面体为正四面体的充要条件是，其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为正方体．性质20四面体为正四面体的充要条件是，其共顶点三棱作为外接平行六面体的棱时，平行六面体为一个三面角面角均为60︒的菱形六面体．性质21囚面体为正四面体的充要条件是，四面体在平行于两棱的每一个平面上的射影是正方形． 性质22四面体为正四面体的充要条件是，四面体的展开图是一个引出了三条中位线的正三角形． 性质23正四面体每条高的中点与底面三角形三顶点均构成直角四面体的四顶点，且高的中点为直三面角顶点．性质24正四面体是垂心四面体（四条高共点的四面体），且四面体的垂心、重心、内心、外心这四心合一．性质25设P 为正四面体1234A A A A 的外接球面上任一点，R 为该球的半径． （I ）42218i i PA R ==∑；（Ⅱ）若1B ，2B ，…，6B 分别为23A A ，34A A ，24A A ，12A A ，13A A ，14A A 的中点，则42218i i PB R ==∑；（Ⅲ）若i O 为i A 所对面的中心（1,2,3,4i =），则22409i PO R =∑． 证明（I ）设i O 为正四面体1234A A A A 的中心，则。

几何体的正四面体正四面体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。

在本文中，我将介绍正四面体的定义、属性以及一些有趣的应用。

一、正四面体的定义正四面体是一种具有四个等边等角面的多面体。

它的四个面都是等边三角形，每两个面之间的夹角都是一样的，也都是等于70.53°。

在正四面体中，任意两条边的长度和相等。

这些特点使得正四面体在几何学中有着重要的地位。

二、正四面体的性质1. 对称性：正四面体具有很高的对称性。

它有24个对称操作，包括旋转和翻转等。

这些对称性使得正四面体在立体几何中有广泛的应用，例如建筑设计和立体模型制作等。

2. 共面性：正四面体的四个顶点共面。

这意味着可以通过这四个顶点构成一个平面。

而且在这个平面上，正四面体可以被视为一个等边三角形。

3. 体积和表面积：正四面体的体积和表面积可以通过简单的公式计算得到。

其中，体积公式为V = (a³√2) / 12，表面积公式为S = a²√3，其中a表示正四面体一个面的边长。

4. 空间分割：正四面体可以将三维空间分割成四个完全相同的四面体。

这种空间分割在某些科学领域中非常有用，例如晶体结构的研究和分子模拟等。

三、正四面体的应用1. 立体几何学研究：正四面体是立体几何学中的一个基本概念，它的研究可以帮助我们理解和解决各种与几何学相关的问题，例如立体投影、体积计算等。

2. 建筑设计：正四面体的对称性和美观性使得它成为建筑设计中的常用元素。

例如，一些摩天大楼的外形可以采用正四面体的结构，使得建筑物更加稳定和美观。

3. 教育和娱乐：正四面体的独特性质和形状可以作为教学和娱乐的工具。

通过搭建正四面体模型或者使用虚拟现实技术，人们可以更直观地了解和体验正四面体的一些特点和性质。

总结：正四面体作为一种特殊的几何体，具有对称性、共面性以及特定的体积和表面积等性质。

它在几何学研究、建筑设计和教育娱乐等领域有着广泛的应用。

通过深入研究和探索正四面体，我们可以进一步拓展对几何学的理解和应用。

四面体是一种立体几何图形，它由四个三角形构成，并且每一个三角形都共享一个公共顶点。

四面体有着许多有趣的性质，其中一个引人注目的性质就是四面体四个顶点距离相等的平面。

本文将介绍这个有趣的几何性质，并进行相关讨论。

一、四面体的定义四面体是一个由四个三角形构成的立体几何图形。

这四个三角形被称为四面体的面，而它们共享一个共同的顶点。

四面体有六条边，四个顶点以及四个面。

四面体的每个面上都有三个顶点，每个顶点都与三条边相连。

二、四面体四个顶点距离相等的平面的几何性质定义四面体的四个顶点为A、B、C、D。

若对于任意三个顶点A、B、C四边形ABC的面积等于三个顶点A、B、D所构成四边形ABD的面积，且点D在BC的上方，那么四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等。

三、四面体四个顶点距离相等的平面的证明证明四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等可以通过以下步骤进行证明：1. 假设四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离不等。

2. 根据假设，选取四面体ABCD的四个顶点构成的面中距离最长的两个面。

不妨设为面ABC和面ABD。

3. 由面ABC和面ABD的距离不等可得面ABC的面积不等于面ABD的面积。

4. 然而，根据条件，面ABC的面积等于面ABD的面积，与假设矛盾。

5. 原假设不成立，得证四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等。

通过以上证明可知，四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等。

四、四面体四个顶点距离相等的平面的应用四面体四个顶点距离相等的平面的性质在实际生活中有许多应用。

例如在建筑设计中，设计师需要确保建筑结构的稳定性和坚固性，而四面体四个顶点距离相等的平面提供了一种均衡的支撑结构。

另外，在工程测量中，四面体四个顶点距离相等的平面也可以用来确定不同测量点之间的水平距离。

五、结论四面体是一种立体几何图形，它由四个三角形构成，并且每一个三角形都共享一个公共顶点。

四面体有许多有趣的性质，其中一个引人注目的性质就是四面体四个顶点距离相等的平面。

1四面体的性质不在一直线上的三点可以连成一个三角形，不共面的四点可以连成四个三角形，这四个三角形围成的几何体叫做四面体（如图1）.它有四个顶点，六条棱,四个面.研究四面体的有关性质可以加深对四面体,空间四边形的知识的理解，有利于提高熟练运用知识的能力。

性质1：四面体中相对的棱所在的直线是异面直线。

如图1中AB 和CD ，BC 和AD ，AC 和BD 都是异面直线。

性质2：四面体中，若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心,则四面体的三组对棱分别互相垂直.证明：如图2的四面体中，设顶点A 在面BCD 内的射影H 是BCD △的垂心。

AH BCD ⊥平面。

连结BH ，CH ，DH,则BH CD ⊥，CH BD ⊥,DH BC ⊥.根据三垂线定理得AB CD ⊥，AC BD ⊥，AD BC ⊥.性质3：四面体中，若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也互相垂直。

证明：设四面体ABCD 中,AB CD ⊥，AC BD ⊥，过A作AH BCD ⊥平面，H 为垂足（如图2）.连结BH ，CH ，则BH 为AB 在平面BCD内的射影，根据三垂线定理的逆定理,BH CD ⊥；同理CH BD ⊥，所以H 是BCD △的垂心。

由性质2知AD BC ⊥.根据性质2，3立即可以得到：性质4：四面体中，若一个顶点在它对面内的射影是这个面的中心,则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心。

利用全等三角形的判定和性质,可以证明下面两条性质：性质5：四面体中，若交于同一顶点的三条棱相等，则这个顶点在对面内的射影是这个三角形的外心，且这三条棱和顶点所对面所成的角相等。

反之也真。

特别地，若这个顶点所对的面是一个直角三角形，则这顶点的射影是直角三角形斜边的中点。

性质6：四面体中，若一个顶点在对面内的射影是这个三角形的内心,则顶点到对面三角形三条边的距离相等，且以这三角形三角形三条边为棱的三个二面角相等.性质7:四面体中，若交于同一点的三条棱两两互相垂直，则这个顶点所对面是一个锐角三角形。

空间几何中的平行四面体的性质平行四面体是一种常见的几何体，具有一些特殊的性质。

本文将介绍平行四面体的定义、特征、性质和应用。

一、定义平行四面体是一个具有四个面，并且每两个面都平行的多面体。

它是空间中的一个四面体，其中相邻的面是平行的。

二、特征1. 面的性质：平行四面体的四个面都是平行的，其中相邻的面是平行的，而且任意两个非相邻的面之间也是平行的。

2. 边的性质：平行四面体有六条边，每条边和另外三条边都平行。

3. 顶点的性质：平行四面体有四个顶点，并且每个顶点都连接着三条边。

4. 高度的性质：平行四面体有四条高，每条高是从一个顶点垂直地下垂到另一个面上。

5. 体积的性质：平行四面体的体积可以通过计算底面积与高度的乘积来得到。

三、性质1. 平行四面体的对角线相交于一个点，该点被称为中心。

2. 平行四面体的每个角都是锐角或钝角，不存在直角和平角。

3. 平行四面体的底面积相等的两个平行四面体，它们的体积相等。

4. 平行四面体的两条对边相等的两个平行四面体，它们的体积相等。

5. 平行四面体的每个侧面都是一个平行四边形。

6. 平行四面体的平面对角面积比等于它们的底面积比。

四、应用1. 建筑工程：平行四面体可以用于建筑物的结构设计，例如某些立柱或桥梁的设计中。

2. 几何分析：平行四面体的性质在几何分析中具有重要意义，可以用于计算面积、体积等参数。

3. 空间定位：平行四面体可以用于空间定位和坐标系统的建立，有助于测量和定位目标位置。

总结：平行四面体是一个具有四个平行的面的几何体，具有特殊的性质。

它在建筑工程、几何分析和空间定位等领域都有着广泛的应用。

通过了解平行四面体的定义、特征、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一几何形体。

空间几何中的平行四面体与正四面体知识点在空间几何学中，平行四面体和正四面体是两种常见的多面体。

它们具有不同的特点和性质，下面将详细介绍这两种多面体的知识点。

一、平行四面体平行四面体是指四个面中的任意两个面平行的四面体。

它具有以下几个重要的性质：1. 对角线平行性质：平行四面体的任意两条对角线都是平行的。

这是因为平行四面体的两个相对面平行，因此连接相对顶点的对角线也是平行的。

2. 面积比例性质：平行四面体的相邻两个面之间的面积比等于相邻两个对角面的面积比。

具体而言，如果平行四面体的两个相邻面的面积分别为S1和S2，而另外两个对角面的面积分别为S3和S4，则有S1/S2 = S3/S4。

3. 体积计算公式：平行四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3) * S * h，其中V表示体积，S表示底面积，h表示底面到顶点的距离。

4. 平行四面体的类型：根据底面形状的不同，平行四面体可以分为正方形底面四面体、长方形底面四面体和菱形底面四面体等多种类型。

二、正四面体正四面体是指四个等边等角的三角形构成的四面体。

它具有以下几个重要的性质：1. 边长和面积：正四面体的边长相等，每个面都是等边三角形。

正四面体的面积可以通过以下公式计算：S = (sqrt(3) * a2) / 4，其中S表示面积，a表示边长。

2. 高度和体积：正四面体的高度可以通过以下公式计算：h = (sqrt(6) * a) / 3，其中h表示高度，a表示边长。

正四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (sqrt(2) * a3) / 12，其中V表示体积，a表示边长。

3. 正四面体的特殊点：正四面体有四个特殊的点，分别为顶点、底心、重心和垂心。

顶点是四个面的交点，底心是底面三角形三个高线的交点，重心是四个面重心连线的交点，垂心是底面三角形三条垂线的交点。

4. 对称性：正四面体具有四个三角对称面和六个对称轴。

四个三角对称面将正四面体分为等价的四个部分，而六个对称轴则是通过连接各个面的中点和顶点形成的。

第二十二章一般四面体的性质及应用【基础知识】四面体是三角形在空间的直接推广，三角形的很多性质及其证法可以推广到四面体上去．四面体的许多性质可以借助于平行六面体来证．性质1任意四面体六个内二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，该点称为四面体的内切球球心（简称四面体的内心）．内切球与四面体四个面内切． 若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似地有B S ，C S ，D S （后面所设均同此），其内切球半径记为r ，则3A B C DVr S S S S =+++．性质2任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体四顶点的距离相等，该点称为四面体的外接球球心（简称四面体的外心）．外接球通过四面体四顶点． 若四面体ABCD 的体积为V ，其三对对棱的长分别为1a ，a ；1b ，b ；1c ，c ，其外接球半径为R ，则1624Q R V V===注其中Q 即为以三对对棱乘积为边的三角形面积． 性质3任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且每条中线从各该顶点算起都被这点分为31∶之比，这点称为四面体的重心． 性质4任意四面体的共顶点的（二面角的棱共顶点）三个内二面角的平分面与另三个内二面角的补（或外）二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，该点称为四面体的旁切球球心（简称四面体的旁心），且一个四面体有四个旁心，旁切球与四面体的一个侧面外切，与其他三个侧面的延展面相切．若与四面体ABCD 的顶点A 所对的面外切，与其余三个侧面的延展面相切的旁切球半径记为A r ，类似地有B r ，C r ，D r ，其他记号同前，则 3A B C D A V r S S S S =++-，3B A C D B Vr S S S S =++-，3C A B D C V r S S S S =+++，3D A B C DVr S S S S =+++．性质5（射影定理）四面体任意一个侧面的面积等于其他三个侧面在这个侧面上的射影面积之和．即在四面体ABCD 中，若记AB θ为棱AB 所在的内二面角的大小，其余类同，则有 cos cos cos A B CD C BD D BC S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅， cos cos cos B C AD D AC A CD S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅， cos cos cos C D AB A BD B AD S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅， cos cos cos D A BC B AC C AB S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅．性质6（余弦定理）四面体任意一个侧面的面积的平方，等于其他三个侧面的面积的平方和减去这三个侧面中每两个面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍之和．即在四面体ABCD 中，有22222cos 2cos 2cos A B C D B C AD C D AB B D AC S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅，22222cos 2cos 2cos B C D A C D AB C A BD D A BC S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅，22222cos 2cos 2cos C A B D A B CD A D BC B D AC S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅，22222cos 2cos 2cos D A B C A B AB A C BD B C AD S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅．注顺次用A S ，B S ，C S ，D S 去乘射影定理中各式并相加整理即得以上第一式，其余各式类同． 性质7（体积公式一）四面体体积13=倍底面面积与底面上的高的乘积．即11113333A AB BC CD D v S h S h S h S h =⋅=⋅=⋅=⋅．性质8（体积公式二）四面体的体积等于它的任意两个面的面积及其所夹二面角正弦之积的三分之二，除以这两个面的公共棱长．即对四面体ABCD ，有2sin 2sin 2sin 2sin 3333C D AB A D BC A B CD B C DAS S S S S S S S V AB BC CD DAθθθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====2sin 2sin 33B DAC A C BDS S S S AC BDθθ⋅⋅⋅⋅=． 注由2111sin sin 3332C C C AB C AB h AB V S h S h S AB θθ⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅斜高斜高2sin 3C DABS S ABθ⋅⋅等即证得． 性质9（体积公式三）四面体的体积等于共顶点的三条棱长乘积与该顶点三面角的特征值乘积的六分之一，即对于四面体ABCD ，若共顶点A 的三条棱长分别为a ，b ，c ，顶点A 处的三个面角分别为α，β，γ则有()1166v abc S A =⋅=16abc =，()12ωαβγ=++． 其中()S A =A的三面角的特征值． 注由111sin sin 332V S h ab C γβ=⋅=⋅⋅⋅⋅性质10（体积公式四）若记1P ，2P ，3P分别为四面体相对两棱（互为异面的两条棱）的积的平方，再乘以另外四条棱的平方和与这对棱的平方和的差所得的积；P 为四面体每个面上三条棱的积的平方和，则四面体的体积V 性质11（正弦定理一）在四面体ABCD 中，有（1）sin sin sin sin C D AB A D BC B C DA B D ACAB BC DA ACS S S S S S S S θθθθ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2sin sin 3A B CD A C BD CD BD S S S S Vθθ===⋅⋅⋅⋅； （2）22sin sin sin sin sin sin 9A B C D AB CD AD BC AC BD S S S S AB CD AD BC AC BDVθθθθθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅；（3）若()sin A 表示顶点A 处的三棱中，任意两棱上的二面角的正弦与这两条棱夹角的正弦三者的积，余类同，则()()()()22sin sin sin sin 9C A B C D A B DS S S S S S S S A B C D V====．注此性质由性质8即证．性质12（正弦定理二）四面体中各个面上三条棱长的积与其所对三面角的特征值之比都相等，该比值等于六条棱长的积与体积的六倍之比，即对四面体ABCD ，有 ()()()()BC CD BD AC CD AD AB BD AD AB BC ACS A S B S C S D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===6AB BC CD BD AC ADV⋅⋅⋅⋅⋅=．注此性质由性质9即证，性质13（对棱所成角公式）四面体一对对棱所成角的余弦等于其他两对对棱平方和之差的绝对值与这对对棱乘积的二倍之比．即对四面体ABCD ，有 ¼()cos ,AB CD =()()22222BC AD AC BD AB CD+-+⋅；¼()cos ,BC AD =()()22222AB CD AC BD BC CD+-+⋅；¼()cos ,AC BD =()()22222BCAD AB DC AC BD+-+⋅；注其证明可参见第18章中例1或补成平行六面体，运用三角形余弦定理及平行四边形的对角线平方和等于四边平方和即证．性质14（对棱距离公式）若a 和1a ，b 和1b ，c 和1c 是四面体的三对对棱长，三对对棱之间的距离分别记为()1,d a a ，()1,d b b ，()1,d c c ，则 ()112,Vd a a =；()1,d b b =()1212,Vd c c =．注补成平行六面体证．性质15若四面体的一对对棱长分别为a ，1a ，这对对棱间的距离为d ，对棱所成的角为θ，则四面体的体积V 为11sin 6V aa d θ=⋅．性质16（二面角平分面定理）四面体二面角的内（或外）平分面分所对的棱得两条线段和这个二面角的两个面的面积对应成比例．性质17（空间张角公式）设过四面体ABCD 的棱BC 的截面EBC 交所对的棱AD 于E ，二面角A BC E --，E BC D --的大小分别为1θ，2θ，则 ()1212sin sin sin EBCDBC ABCS S S θθθθ+=+△△△． 性质18（空间莱布尼兹公式）设四面体ABCD 的六条棱长分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，G 为其重心，P 为空间中任一点，则()()2222222222211416PG PA PB PC PD a b c d e f =+++-+++++性质19（空间塞瓦定理）设E ，F ，G ，H ，M ，N 分别为四面体ABCD 的棱CD ，DB ，BC ，AD ，AB ，AC 上的点，若六个平面ABE ，ACF ，ADG ，BCH ，CDM ，DBN 共点，则 1CE DH AM BGED HA MB GC⋅⋅⋅= 性质20（空间梅涅劳斯定理）平面KLMN 交四面体ABCD 的棱AB ，BD ，CD ，AC 于K ，L ，M ，N ，则1AK BL DM CNKB LD MC NA⋅⋅⋅=．证明设四边形KLMN 是四面体ABCD 被平面α所截的截面，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 是平面α的垂线（1A ，1B ，1C ，1D 分别为垂足）．考察棱AB 与平面α相交的部分，显然11AA K BB K △△≌，则11AA AK KB BB =．同理，11BB BL LD DD =,11DD BM MC CC =,11CC CN NA AA =． 以上四式两边相乘即证．性质21（空间斯特瓦尔特定理）在四面体ABCD 中．AD BC ⊥，过棱BC 作截面BCE 交棱AD 于E ，则222214BCE ABC BCD DE AE S S S BC AE DE AD AD =⋅+⋅-⋅⋅△△△．证明如图221-，作AF BC ⊥于F ，连BF ，DF ．注意到AD BC ⊥，知BC ⊥面ADF ，所以BC EF ⊥，BC EF ⊥．记AEF α∠=． 在AEF △中，由余弦定理，有 2222cos AF EF AE AE EF α=+-⋅⋅． 上式两边同乘以2BC 后，整理得EFBDC图22-1A222244cos 4BCE ABCBCES BC AE S AE BC S α+⋅-=⋅⋅△△△．同理在DEF △中，有222244cos 4BCE BCDBCES BE DE S DE BC S α+⋅--=⋅⋅△△△．由上述两式消去α，整理便证得结论．推论1当ABC BCD S S =△△时，有22214BCE ABCS S BC AE DE =-⋅⋅△△． 推论2当E 为AD 中点时，有222221112216BCE ABC BCD S S S BC AD =+-⋅△△△ 推论3当面BCE 平分二面角A BC D --时，有2214BCE ABC BCD S S S BC AE DE =⋅-⋅⋅△△△． 事实上，由ABC EABC BCD EBCD S V AE S V DE ==△△，有BCD ABC BCD S DE AD S S =+△△△，ABC ABC BCDS AECD S S =+△△△．由此即证． 推论4当AEk ED=时，有 ()222222111141BCE ABC BCD k k S S S AD BC k k k =+-⋅⋅⋅+++△△△． 性质22四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别在棱AB ，BC ，CD ，DA 上，且1AE EB λ=，2BFFCλ=， 3CG GD λ=，4DHHA λ=，则内接四面体EFGH 的体积与四面体ABCD 的体积之间有关系式 ()()()()1234123411111EFGH ABCDV V λλλλλλλλ⋅⋅⋅-=⋅++++．证明连ED ，BG ，得四棱锥E FBDG -，G EBDH -．在CBD △，ABD △中，有 ()()33232311111CFG CBD S CF CG S CB CD λλλλλλ⋅==⋅=⋅++++△△， ()()11141411111AEH ABD S AF AH S AB AD λλλλλλ⋅==⋅=⋅++++△△， ()()23223111FBDG CBD CFG CBD CBD S S S S S λλλλλ-++==++△△△△， ()()14414111ABD AFH EBDH ABD ABD S S S S S λλλλλ-++==++△△△△． 又()()()2321231111G FBDG FBDG ACBD CBD V S BE V S AB λλλλλλ-++=⋅=+++△ ()()()1441341111G EBDH EBDH CABD ABD V S GD V S CD λλλλλλ-++=⋅=+++△， ()()13111EBDG BDG ABDC BDC V S BE DG BE V S AB DC AB λλ=⋅=⋅=++△△． 设六面体EGFBDH 的体积为V '，则()()()()124224142324241231411111E FBDG G EBDH EBDG V V V V λλλλλλλλλλλλλλλλλλ--+++++++'=+-=++++ 设六面体FHEACG 的体积为V ''，则()()()()123134121334131231411111F GCAH H FCAE HACF V V V V λλλλλλλλλλλλλλλλλλ--+++++++'=+-=++++当B ，F 在平面EHG 的同侧时，有()EFGH ABCD V V V V '''=+-． 当C ，F 在平面EHG 的同侧时，有()EFGH ABCD V V V V '''==+． 综合，得()EFGH ABCD V V V V '''=-+．即证． 注由此性质可得E ，F ，G ，H 共面的充要条件是1AE BF CG DH EB FC GD HA⋅⋅⋅=． 【典型例题与基本方法】例1已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心，二面角H AB C --的平面角等于30︒，SA =S ABC -的体积．（1999年全国高中联赛题）解如图222-，由题设，知AH ⊥面SBC ，作BH SC ⊥于E ，则由三垂线定理知SC ⊥面ABE ．设S 在面ABC 的射影为O ，则SO ⊥面ABC ．由三垂线定理的逆定理，可知CO AB ⊥于F ．同理，BO AC ⊥．故O 为ABC △的中心，从而SA SB SC ===又CF AB ⊥，CF 是EF 在面ABC 上的射影，由三垂线定理知EF AB ⊥，所以EFC ∠是二面角H AB C --的平面角，故30EFC ∠=︒，cos6030OC SC =⋅︒=︒，tan603SO OC =⋅︒=．又OC AB =，则3AB ==，所以，21333S ABC V -=⋅例2证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边．（IMO 10-试题） 证明利用反证法来证，设四面体ABCD 中AB 是最长的棱，如果任意一个顶点出发的三条都不能构成一个三角形，则对由A 出发的三条棱，有AB AC AD +≥．又对由B 出发的三条棱，有BA BC BD +≥．两式相加，得2AB AC AD BC BD +++≥．()*但在ABC △与ABD △中，有AB AC BC <+，AB AD BD <+．此两式相加，有 2AB AC AD BC BD <+++． 上式与()*式矛盾，故原结论获证．注和这道试题类似的命题还有（1）任意四面体的三组对棱之和可以构成一个三角形的三边； （2）任意四面体的三组对棱之积可以构成一个三角形的三边；FOCBE HS图22-2A（波兰1975～1976年竞赛题）（3）任意四面体的三组对棱的平方和可以构成一个三角形的三边．例3若一个四面体恰有一棱之长大于1，求证这四面体的体积18V≤．证明如图223-，设AB是这个四面体的最长的棱，则ACD△，BCD△的边长不大于1．作BCD△的高BE和ACD△的高AF，则BE，AF1a≤表示CD的长度），四面体的高AO h AF=-≤111332BCDV h S a=⋅△≤()21424a a=-，而()()()()22431213a a a a a-=---+-≤，故当1a=时，()24a a-取最大值3，故31248V=≤．例4证明：在四面体中至多有一个顶点具有如下性质：该顶点处的任何两个平面角之和都大于180︒．（第22届莫斯科竞赛题）证明假定顶点A和B都具备所述的性质，则有180CAB DAB∠+∠>︒及180CBA DBA∠+∠>︒，但是作为CAB△和DAB△的全部6个内角之和也只有180180︒+︒，此为矛盾，从而原结论获证．例5设d是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h是四面体的最小高的长．证明2d h>．（第24届全俄竞赛题）证明如图224-，为确定起见，假定h是四面体ABCD中由顶点A所引出的高，而d是棱AB和CD之间的距离．经过顶点B引直线l CD∥，过点A作平面垂直于棱CD交CD于F，交l于E，于是AEF△的高AH和FG就分别等于h和d．由于AEF△的第三条高等于四面体ABCD的某一条高，所以其值不小于h，因此AF EF≤，且图22-3B C图22-4HGlFE BDAC2h AH AE AF FE d FG FE FE+==<≤，此即为所证． 例6试证：过四面体相对棱的中点的任一截面平分四面体的体积．（IMO 29-预选题）证法1如图225-，设M 和P 分别是四面体ABCD 的棱AC 和BD 的中点，MNPQ 是四面体ABCD 的一个包含线段MP 的截面，因为P 为BD 的中点，则BCP CDP S S =△△，即有ABCP ACDP V V =．因此，要证截面MNPQ 将四面体ABCD 分成体积相等的两部分，只要证明AMNP V 与OMPQ V 相等就可以了．由N 和Q 分别作平面APC 的垂线，垂足分别为E ，F ，如图225-．因为M 为AC 的中点，则有APM CPM S S =△△，故要证AMNP CMPQ V V =，只要证NE FQ =即可．设MP 与NQ 交于点O ，易证E ，O ，F 三点共线．要证NE FQ =，只要证明NO OQ =就可以了（通过Rt Rt NEO QFO △△≌得到）． 为此，考察两个平行平面，异面直线AB 和CD 分别在这两个平面上（如图226-）．因为MP 是连接AC ，BD 中点的线段，所以它在与上述两平面平行的平面上，这个平面到两已知平面的距离相等．由于线段NQ 与MP 相交于O ，所以O 等分线段NQ ，即有NO OQ =．故结论获证． 注上述证明中，没有对截面MNPQ 的形状进行讨论．若对其形状进行讨论，则有下述两种证法． 证法2如图227-，设M ，P 分别是四面体ABCD 的对棱AC ，BD 的中点．OF E P QNMA BD图22-5N OP M QBDCA图22-6当截面是平行四边形或特殊三角形时，证明比较简单（略）． 当截面是一般四边形MNPQ 时． 由AM CM =，有A MNPQ C MNPQ V V --=又在ABC △中，对截线MNG 应用梅涅劳斯定理，有1AM CG BNMC GB NA⋅⋅=． 从而，有1CG BNGB NA⋅=． 同理，在BCD △中，有1BP DQ CG PD QC GB ⋅⋅=，即1DQ CGQC GB⋅=． 于是BN DQ NA QC =,得BN DQBA DC=． 又1C BPN Q APD V BN CDV BA QD--⋅==⋅,即C BPN Q APD V V --=． 故C MNPQ C BPN A MNPQ Q APD V V V V ---+=+一．证毕．证法3前面同证法2，下证截面为一般四边形MNPQ 时的情形．记A d 表示顶点A 到截面MNPQ 的距离（其余类同），设N 分AB 的比为m n ∶．则由M ，P 分别是AC ，BD 的中点，可知Q 点分CD 的比C A D B d d CQ AN mQD d d NB n====． 由A C d d =，有A MNPQ C MNPQ V V --=．又13113APD Q APDQ APD C BPNBPN C APD S d V AB QD m n n V NB CD n m n S d ----⋅+==⋅=⋅=+⋅△．即Q APD C BPN V V --=．故C MNPQ C BPN A MNPQ Q APD V V V V ----+=+．例7如图228-，设四面体1234A A A A 的外接球与内切球的半径分别为R 与r ，则3R r ≥．图22-7DG证明设O 为四面体的外心，i A 所对的面的面积为(14)i S i ≤≤，球心O 到i A 所对的面的距离为(14)i d i ≤≤，四面体体积为V ，过顶点1A 的高11A H h =，则易知1111d OA d R h +=+≥，从而()111113S d R S h V +⋅=≥，即1111133S d S R V ⋅+⋅≥．同理2221133S d S R V ⋅+⋅≥，3331133S d S R V ⋅+≥， 4441133S d S R V +⋅≥． 以上四式相加，并注意()1122334413S d S d S d S d V ⋅+⋅++⋅=， 有4113i i V R S V =+⋅∑≥4，即419i i R S V =⋅∑≥．因4113i i V r S ==⋅∑，从而44113i i i i R S r S ==⋅⋅∑∑≥，即3R r ≥．例8在四面体1234A A A A 中，顶点i A 所对的面的面积为(14)i S i ≤≤，侧面面积为k S ，j S 的两侧面所夹的内二面角的大小记为,k j()14k j <≤≤，棱k j A A 的中点记为kj M ，含点kj M 与另两顶点（不含顶点k A ，j A ）的三角形称为四面体的一个中线面（或一棱与对棱中点的面），这个中线面的面积记为kj S ()14k j <≤≤，则()22212cos ,4kj k j k j S S S S S k j =++⋅⋅，其中k ，j 满足14k j <≤≤．证明对四面体1234A A A A ，由性质6，有223434131423242cos cos 1,3cos 1,42,32,4S S S S S S S S S S S S +=⋅⋅++⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅及221212131423242cos 1,2cos 1,3cos 1,4cos 2,3cos 2,4S S S S S S S S S S S S +=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅． 亦即13142324cos 1,3cos 1,4cos 2,3cos 2,4S S S S S S S S ⋅⋅++⋅+⋅⋅+⋅⋅2212122cos 1,2S S S S =+-⋅⋅．图22-843A 2A对四面体13412A A A M 和四面体23412A A A M 分别运用性质6，有2222123423411112cos 3,44422S S S S S S =++-⋅⋅⋅-3242112cos 2,32cos 2,422S S S S ⋅⋅-⋅⋅⋅，2222123413411112cos 3,44422S S S S S S =++-⋅⋅⋅-3141112cos 1,32cos 1,422S S S S ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅上述两式相加，并将前面结果代入，有()22222123412131412cos 1,3cos 1,42S S S S S S S S S =+++-⋅⋅-⋅-232434cos 2,3cos 2,4cos 3,4S S S S S S ⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2212131411cos 1,3cos 1,422S S S S S S =+-⋅⋅-⋅-232411cos 2,3cos 2,422S S S S ⋅⋅-⋅⋅()222212121212cos 1,22S S S S S S =+-+-⋅ ()2212121cos 1,22S S S S =++⋅． 故()22212121212cos 1,24S S S S S =++⋅⋅． 同理，得()22212cos ,4kj k j k j S S S S s k j =++⋅⋅． 注由性质5，有421412cos ,k j t k j i S S k j S =⋅⋅=∑∑≤≤≤，则推知()22214141412cos ,4kj k j k j k j k j k j S S S S S k j <<⎡⎤=++⋅⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑≤≤≤≤≤≤≤ 444222111134i i i i i i S S S ===⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑∑ 例9设G 为四面体1234A A A A 的重心，则222222221232434213143444GA A A A A A A GA A A A A A A +++=+++ 222222223121424412132344GA A A A A A A GA A A A A A A =+++=+++21434k j k j A A =∑≤≤≤．43图22-9证明如图229-，连A ，G 并延长交面234A A A 于点1G ，则1G 是234A A A △的重心，连21A G 并延长交34A A 于M ，则M 是34A A 的中点．连1A M ，对12A A M △及点1G 应用斯特瓦尔特定理，有2221121211212211AG A M A A MG A M A G A M A G MG ⋅=⋅+⋅-⋅⋅．而21121A G G M =∶∶，则2222111212122339AG A A A M A M =+-．()* 由三角形中线公式，有 ()224211212341124A M A A A A A A =+-,()222222324341124A M A A A A A A =+-, 并将其代入()*，有()()2222222111213142324341139AG A A A A A A A A A A A A =++-++． 从而()()222222232221111213142324342324343314164GA A G A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫==+++++-++ ⎪⎝⎭．故22222123243414344k j k j GA A A A A A A A A <+++=∑≤≤．同理可证其他三式均等于例10设R ，r 分别为四面体1234A A A A 的外接球半径与内切球半径，i h 为顶点i A 到所对面的距离，内切球切各顶点i A 所对的面于i A '(1234)i =，，，．求证： （Ⅰ）21416k j k j A A R <∑≤≤≤；（Ⅱ）4214194k j i k j i A A h <=∑∑≤≤≤（Ⅲ）422164i i h r =∑≥；（Ⅳ）141419nk j k j i k j k j i A A A A X <<=''∑∑∑≤≤≤≤≤．证明（Ⅰ）设O ，G 分别为四面体1234A A A A 的外心和重心，延长1A G ，交面234A A A 于1G ，则1G 为234A A A △的重心，连21A G 交34A A 于M 点，则M 点为34A A 中点，如图229-． 由例9中证明，知2222222111213142324341[3()()]9AG A A A A A A A A A A A A =++-++． 同理，在四面体234OA A A 中，有222222212342324341[3()()]9OG OA OA OA A A A A A A =++-++．()222223243419R A A A A A A =-++ 由于G 为四面体重心，由性质3，知1131AG GG =．于是，在11AOG △中，对点G 应用斯特瓦尔特定理，有 ()222211111[433]16OG OG OA AG =+- 2222222121314232434116()()16R A A A A A A A A A A A A ⎡⎤=-++-++⎣⎦． 由于20OG ≥，故21416k j k j A A R <∑≤≤≤．（Ⅱ）显然11AG h ≥，则()()22222221121314232434139h A A A A A A A A A A A A ⎡⎤++-++⎣⎦≤． 同理，对2h ，3h ，3h 也有类似于上述的不等式．此四式相加，得4214194k j i k j i A A h <=∑∑≤≤≤．（Ⅲ）由13i i V S h =()1,2,3,4i =，则有4411113ii i iSh V ===∑∑又由4113i i V S r ==⋅∑，则4111i ih r ==∑．由14411234114i i h h h h h =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑≥，有()412344h h h h r ≥． 故()()()114222222212341234448h h h h h h h h r r ⎡⎤+++=⎣⎦≥≥4．（Ⅳ）四面体1234A A A A ''''的外接球半径记为R '，则214116k j k j R A A <'''∑≤≤≥． 又四面体1234A A A A ''''的外接球半径恰是四面体1234A A A A 的内切球半径，故R r '=．于是4222214119999166416k j i k j i R A A h r R <='=∑∑≤≤≥≥≥≥14k j k j A A <''∑≤≤．故214149k j kj k j k j A A R A A <<'''∑∑≤≤≤≤≥8≥． 例11四面体1234A A A A 中，外接球半径为R ，体积为V ，过顶点k A ，j A 的中线面为()14kj S k j <≤≤．试证：141k j kjS <∑≤≤ 证明设1d ，2d ，3d 与1θ，2θ，3θ分别为三对对棱12A A ，34A A ；13A A ，24A A ；14A A ，23A A 的距离与夹角，则由性质15，有1234111sin 6V A A A A d θ=⋅⋅⋅，亦即113346V d A A A A ⋅≤． 同理，有213246V d A A A A ⋅≤，314236Vd A A A A ⋅≥．取34A A 的中点M ，则121212112MA A S S A A d =⋅△≥，同理，可得关于kj S 的不等式，从而412113214323324234111111112k j kj S A A d A A d A A d A A d A A d A A d <⎛⎫+++++ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭∑1≤≤≤122141413k j k j k j k j A A A A V <<⎫⎪⎭∑∑≤≤≤≤≤)12216R =例12设四面体1234A A A A 的内心为I ，记k j A IA △的面积为kj S '，顶点i A 所对的面的面积为i S ．试证：4141kji k j i S S <='∑≤≤ 证明过I 作1IA '⊥面234A A A 于1A '，作34IN A A ⊥于N ，若记面积为k S ，j S 的两侧面夹角为()14kj k j θ<≤≤，则易见11212A NI θ'∠=．设r 为四面体1234A A A A 的内切球半径，则在1Rt IA N '△中，有121sin 2rIN θ=,则34121212sin 2A A r S θ⋅'=． 由性质8，有1212342sin 3S S V A A θ⋅⋅=，于是消去34A A ，得12121221cos 32S V S S θ'⋅=⋅，注意到4113i i V S r ==⋅∑，则1212124121cos 2ii S S S S θ='''=⋅∑．对上述两边取∑，并用canchy 不等式，有1241414121cos 2kj k j k j ii S S θ<<=⎫'=⋅⎪⎭∑∑∑≤≤≤≤ 12241414121cos 2k j k j kj k j k j i i S S S S S θ<<=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑≤≤≤≤≤．()* 注意到性质5，有1212313414cos cos cos S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅，即42213121423411cos cos cos 2222i i S S S S θθθ==⋅+⋅+⋅∑， 对上式两边同乘以1S 后，再两边取∑，有241141cos 42kj i k j i k j S S S θ=<⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑∑≤≤．又由对称平均不等式，有1421141146i k j i k j S S S =<⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑∑≤≤ 于是，由()*式（将上述结果代入()*式）即有414114kj i k j i S S <='∑≤≤．例13四面体1234A A A A 的三组对棱乘积的平方和不小于各侧面面积平方和的4倍，即若令12A A a =，34A A a '=，13A A b =，24A A b '=，14A A c =，23A A c '=，顶点i A 所对面的面积为()1234i S i =，，，，则 222222222212344()a a b b C C S S S S '''+++++≥，其中等号当且仅当各对棱的平方和相等．证明对234A A A △应用海伦一秦九韶公式，有 ()24442222221122216S a b c a b a c b c '''''''''=---+++ 同理，()24442222222122216S a b c a b a c b c '''=---+++， ()2444222223122216S a b c a b a c b c '''=---+++， ()24442222224122216S a b c a b a c b c '''=---+++． 以上四式相加并整理，得22221234S S S S +++=()()()()()()(){}2222222222222222222221416a a b b a a c c b b c c a a b b c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'''''''''-+-+-+-+-+-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22222214a ab bc c '''++≤． 例14四面体1234A A A A 内一点P 到顶点i A 及i A 所对的面的距离分别为i l ，i d ，顶点i A 到所对的面的距离为()1234i h i =，，，，34k ≥ ．求证：41423ki k i i i l h d =⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑≥．证明先证一个结论：设()01,2,3,4i x i >=，41i i x a ==∑，则4143ki k i i x a x =⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑≥．其中等号当且仅当1234x x x x ===时取得．事实上，由()443333()44i i i i x a x a x a x ⎡⎤+-⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤，有443343k kk i i k i x x a x a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≥，从而 4434444433314114443343k k k kk ii i i k ki i i x x x a x a a ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑≥≥ 下证原题：设四面体1234A A A A 的体积为V ，如图2210-，作11A H ⊥面234A A A 于1H ，作11PE A H ⊥于E ，作1PD ⊥面234A A A 于1D ，则11A P l =，11PD d =，111A H h =．设i A 所对面的面积为(1234)i S i =，，，，则()1111111113S l S d S A E d S h V ⋅+⋅+==≥， 从而2341133PA A A S l V V ⋅-≥．同理，1342233PA A A S l V V ⋅-≥，1243333PA A A S l V V ⋅-≥， 1234433PA A A S l V V ⋅-≥．从而()13412412322334493PA A A PA A A PA A A V S l S l S l V V V +++-+≥()234111632PA A A V V S h d =+=+，即111112233442l S l h d S l S l S l '+++≥． 同理，222221133442l S l h d S l S l S l +++≥，333331122442l S l h d S l S l S l +++≥，444441122332l S l h d S l S l S l +++≥． 令()1,2,3,4i i i x l R i =⋅=，由前述结论，得4411423kki i ki i i i i l x h d a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∑∑≥≥． 【解题思维策略分析】1．解四面体的有关问题时，要善于与三角形类比A 3A 4图22-10例15一个球内切于四面体，将每个切点与该点所在面的三顶点连结起来，这样形成的每面的三个角（以切点为顶点）组成一个集合．试证这四个集合是相等的．（第16届普特南竞赛题）证明设四面体的顶点为()1234i P i =，，，，又设i Q 是正对着i P 的面与球相切的切点．用i ，j ，k ，l 表示{}1234，，，的不同元素，由于i j PQ 与i k PQ 是从同一顶点向球所作的切线，故ij i k PQ PQ =． 同理，i j i k PQ PQ =，从而i j l i k l PQ p PQ P △△≌（边，边，边）．于是i j l i k l PQ P PQ P ∠=∠， 并用il θ表示这种角，即有il li θθ=.由于以i Q 为顶点的三个角相加是2π，故有2334422πθθθ++=，3441132πθθθ++=，4112242πθθθ++=，1223312πθθθ++=．将这些等式的前两个相加减去后两个，且利用ij ji θθ=．得3412220θθ-=，即1234θθ=． 又由对称性，得ij kj θθ=．()*以1Q 为顶点的角是23θ，34θ，42θ，由()*式，它们分别等于以2Q 为顶点的三个角，即41θ，34θ，13θ． 由对称性，在所有四个面上的中心角都有同样的情形．证毕，注第26届IMO 由前苏联提供的预选题：“四面体ABCD 的内切球与面ABD 和DBC 分别相切于K 和M 点，证明：AKB DMC ∠=∠．”显然，这道试题是例15的特殊情形． 例16已知ABC △的面积力S △，外接圆半径为R ，过A ，B ，C 作平面ABC 的垂线，并在平面ABC 的同一侧的垂线分别取1A ，1B ，1C ，使1a AA h =，1b BB h =，1c CC h =，这里a h ，b h ，c h 分别表示边BC ，CA ，AB 边上的高．求四个平面11A B C ，11B C A ，11C A B ，ABC 所围成的四面体的体积．解求解此问题的关键是确定这个四面体的四个顶点的位置．设平面11A B C 与直线AB 相交于K 点，则点K 在11A B 上．由11AA BB ∥知11a b h AA KA b ACKB BB h a BC====．因此，K 是BCA ∠的外角平分线与BA 的交点，从而平面11A B C 与ABC 的交线是BCA ∠的外角平分线． 同理，类似可得：平面11B C A 与ABC 的交线是CAB ∠的外角平分线．上述两条外角平分线的交点是ABC △的旁心B I ，因此B I 就是平面11A B C ，11B C A 与ABC 的公共点，即为所求四面体的一个顶点．这样，旁心A I ，B I ，C I 是所求四面体的三个顶点．设第四个顶点为P ，则P 是平面11A B C 和11B C A 的公共点，因而在直线1B B I 上，P 在平面ABC 上的射影在B BI 上，也在A AI 上，因而P 的射影就是ABC △的内心I ．由相似三角形，1PI AA ∥，且1A P 与AI 相交于A I ，可得1a A a A ar rII PI PI AA h AI r -===，其中r 为ABC △的内切圆半径，a r 为劳切圆半径．设ABC △的周长为2l ，则11221a a a a r r S S l a l PE h r a l l a ---=⋅=⋅=-△．由平面几何知识，易证A B C I I I △的面积为 ()1222a b c S a b c S S ar br cr l a l b l c ⎛⎫'=+++=+++ ⎪---⎝⎭△△△()()()2abc S l a l b l c ⋅=---△． 故所求体积()()()211332A B C PI I I S abc S V S PI l l a l b l c ⋅'=⋅=⋅⋅---△△△1433abc S R ==⋅△． 例17在四面体1234A A A A 中，顶点i A 所对的面的面积记为()1234i S i =，，，，以i j A A 为棱的二面角为il θ，则 （Ⅰ）2142cos 3ij k j θ<∑≤≤≥；（Ⅱ）6141cos 3ij k j θ<≤≤≤C ． 证明联想到在ABC △中，运用三角形射影定理并结合柯西不等式，有2223cos cos cos 4A B C ++≥，31cos cos cos 2A B C ⋅⋅≤，于是有下述证法： （Ⅰ）由性质5，1234324423cos cos cos S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅， 由Cauchy 不等式，有221234324423(cos cos cos )S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅()()222222234342423cos cos cos S S S θθθ++++≤，从而22221342423222234cos cos cos S S S S θθθ++++≥． 同理，还有类似于上式的三个式子，四式相加，得2444222141112cos 4111i ii ij k j i i i i i i S x x S S x x θ<===⎛⎫==-++ ⎪---⎝⎭∑∑∑∑≤≤≥ ()1234141ix x x x x =-++++-∑()4411111641143133i i i ix x ==⎛⎫⎡⎤=-+-⋅-+= ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭∑∑≥． 故2142cos 3ijk j θ<∑≤≤≥． （Ⅱ）由1234324423cos cos cos S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅≥．同理，还有类似于上式的三个不等式，此四式相乘，化简即得6141cos 3ij k j θ<∏≤≤≤． 注将三角形与四面体的上述两个不等式各统一为（Ⅰ）2111cos ,2k j n n i j n<++∑≤≤≥； （Ⅱ）()11211cos ,n n i j n i j n -+<+∏≤≤≤，其中2n =为三角形的，3n =为四面体的．2．善于将有关问题进行转化例18四面体ABCD 三个侧面ABD ，ACD ，BCD 上，由顶点D 引出的中线与底面ABC △对应边所成的角相等，证明：每个侧面的面积小于另外两个侧面面积之和．（1997年波兰竞赛题）证明设E ，F ，G 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，连结DE ，DF ，DG 如图2211- （a ）．设DE 与AB 所成角为θ，则 1sin sin 2DAB S DE AB DE FG θθ=⋅⋅=⋅⋅△， 1sin sin 2DBC S DF BC DF GE θθ=⋅⋅=⋅⋅△， 1sin sin 2DCA S DG CA DG EF θθ=⋅⋅=⋅⋅△． 由于sin 0θ>，所要证明的命题转化为证明：在四面体DEFG 中，任意一组对棱的乘积小于另两组对棱乘积之和．为此，我们来证明： DE FG DF GE DG EF ⋅<⋅+⋅．将四面体DEFG 的面DFG △绕FG 翻转到底面所在的平面上，得D FG '△如图2211- （b ）．在四边形D FFG '中，显然，有D G DG '=，D F DF '=．由Ptolemy （托勒密）不等式，有D E GF D F GE D G EF DF GE DG EF '''⋅++⋅=⋅+⋅≤．设D E '与GF 交于点O ，由DFG D FG '△△≌，得DO D O '=．在DOE △中， DE DO OE D O OE D E ''<+=+=．故DE GF D E GF DF GE DG EF '⋅<⋅⋅+⋅≤．从而原题得证．例19给出三个四面体()123i i i i A B C D i =，，，过点i B ，i C ，i D 作平面i α，i β，i γ() 123i =，，分别与棱i i A B ，i i A C ，i i A D 垂直()123i =，，．如果九个平面i α，i β，i γ()123i =，，相交于一点E ，而三点1A ，2A ，3A 在同一直线l 上，求三个四面体的外接球面的交集（形状怎样？位置怎样？）．（CMO 3-试题）解由于几何元素太多，画出准确的全图几乎不可能．为此，画出一个局部图．COCDEFGABDEFG(b)(a)图22-11连1A E 与1B E 如图2212- （a ），可知111A B B E ⊥，此表明以1A E 为直径的球过1A ，1B ，E 三点．同样可知，这球过1A ，1B ，1C ，1D ，E 五点，此表明中心在1A E 的中点1O ，直径为1A E 的球也正好是四面体1111A B C D 的外接球．类似地可定出四面体i i i i A B C D 的外接球直径和中心()123i =，，． 于是问题转化为到直线123A A A 及其线外一点E 所决定的平面上来了．这个平面与三个球的交线是三个圆，它们有一个公共点E ，从E 向直线123A A A 作垂线，垂足为E '，显然E '是E 关于直线123O O O 的对称点，所以E 与E '是这三圆的公共点．由此知以EE '为直径且垂直于直线123A A A 的圆就是三个四面体的外接球的交集．当E 在直线123A A A 上时，此圆就退化为一个点E ．此时三个球面相切于E 点． 例20如图22-13，过四面体PABC 的重心G 的任一直线l 与四个面分别相交于M ，N ，S ，T 四点．求证：11110GM GN GS GT+++=u u u u r u u u r u u u r u u u r ．（《数学通报》问题1362题）证明设1G 为ABC △的重心，连1PG ，并设直线L 与直线1PG 确定的平面α与侧面ABC 的交线分别与ABC △的三边交于1A ，1B ，1C ．连1PA ，1PB ，1PC ，在平面α内，直线l 与1PA ，1PB ，1PC ，11A B 的交点分别为M ，N ，S ，T ．因G 是四面体重心，1G 是ABC △的重心，由重心性质，知G 分1PG u u u u r所成的比为31∶，且1112111110G A G B G C ++=u u u u r u u u u u r u u u u r ．231B 1图22-12(a)(b)B 1lG 1C 1A 1G TPNMSAC B图22-13以1G 为原点，以直线11G A 为x 轴，建立平面直角坐标系如图2214-．设()1,0A a ，()1,0B b ，()1,0C c ，(),P m n ，别由1112121110G A G B G C ++=u u u u r u u u u u r u u u u u r ，知1110a b c ++=，,44m n G ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由两点式得直线1PA ，1PB ，1PC ，11A B 的方程分别为()n y x a m a =--，()ny x b m b=--， ()ny x c m c=--，0y = 设直线l 的参数方程为 1cos 41sin 4x m t y n t αα⎧=+⋅⎪⎪⎨⎪=+⋅⎪⎩（α为倾斜角，t 为参数） 并设M ，N ，S ，T 对应的参数分别为1t ，2t ，3t ，4t ． 将直线l 的方程分别代入直线1PA ，1PB ，1PC ，11A B 方程，得 114sin 4cos 4sin 33m n t na nααα-⋅-⋅=+， 214sin 4cos 4sin 33m n t nb nααα-⋅-⋅=+， 314sin 4cos 4sin 43m n t nc nααα-⋅-⋅=+，414sin t n α-= 由1110a b c++=，得123411110t t t t +++=，故11110GM GN GS GT +++=u u u ur u u u r u u u r u u u r ． 3．适当构作辅助体例21求证：若四面体相对棱间的距离分别为1d ，2d ，3d ，则四面体的体积V 不小于13123d d d ．图22-14证明如2215-，过四面体ABCD 的三组对棱AB 与CD ，AD 与BC ，AC 与BD ，分别引三对相互平行的平面，得平行六面体（或以四面体ABCD 的棱为侧面对角线构作平行六面体），各相对面的距离分别等于四面体三组对棱的距离，又易知该平行六面体的体积正好是四面体ABCD 体积的3倍． 在底面11A DB C 中，作1EF CA ⊥于E ，则1EF B D ⊥．设垂足为F ，则EF 不小于平面11A AC C 与平面11DD BB 间的距离，即3EF d ≥．又12AC d ≥，所以1123A DB CS d d ⋅≥Y ． 又平面11A DB C 与平面11AD BC 的距离为1d ，因此， 1111111123AD BC A DB C A DB C V S d d d d -=⋅⋅⋅≥Y ．Suoyi 12313ABCD V d d d ≥．例22设a ，b 为四面体ABCD 的一对对棱AB 与CD 的长，r 为四面体内切球半径，求证：()2abr a b <+．（第22届全苏竞赛题）证明如图2416-，过AB 与CD 分别作ABEF Y 与CDGH Y ，使得AF CD ∥，CH AB ∥，连AC ，BH ，EG ，FD ，得一个平行六面体AFEB CDGH -（或以四面体ABCD 的三棱CA ，CB ，CD 为共顶点的棱构成平行六面体）． 设AB 与CD 之间的距离为d ，它们所成的角为θ，则由性质15，知1sin 6V ab d θ=⋅⋅四面体．设a h 为ABD △中AB 边上的高，显然D 到AB 的距离大于D 到面AFEB 的距离，即a h d >，而1122ABD a S a h ad =⋅>△．同理，12ABC S ad >△，12ACD S bd >△，12BCD S bd >△．于是，四面体ABCD 的表面积D B CA EFC 1D 1A 1B 1图22-15GABCDHFE图22-16()ABD ABC ACD BCD S S S S S a b d =+++>+△△△△表．注意到性质1，即13V S r =⋅表，得到()3sin 222V abd abd ab r S S S a b θ⋅==<+表表表≤ 4．注意运用向量知识求解例23设平面α，β，γ，δ与四面体ABCD 的外接球面分别切于点A ，B ，C ，D ．证明：如果平面α与β的交线与直线CD 共面，则γ与δ的交线与直线AB 共面．（1981年保加利亚竞赛题）证明设四面体ABCD 的外心为O ，半径为R ．令OA a =u u u r ，OB =b u u u r ，OC c =u u u r ，CD d =u u u r．对空间中任意一点X ，令OX x =u u u r，则222222R =====a b c b d ．因为OA α⊥，所以平面α上的点X 满足()0⋅-=a x a ，即2⋅a x =R ． 同理，平面β，γ，δ上的点X 分别满足2R ⋅=b x ，2⋅c x =R ，2R ⋅=d x ． 注意到，对任意不同时为零的数λ，μ，有方程()()2R λλλμ⋅⋅+a b x =．给出了一个过平面α与β的交线l 的平面（因0λλ≠a +b ，且对任意X l ∈，有2R ⋅=⋅a x b x =．另外，对空间中任意一点X 也存在一对不同时为零的数λ，μ，使得()()220R R λμ⋅-+⋅-=a x b x ．即适当选取λ与μ，可使相应的平面过点X ．因此直线CD 与直线l 共面的充要条件是：关于未知数λ与μ的方程组()()()()22220,0,R R R R λμλμ⎧⋅-+⋅-=⎪⎨⋅-+⋅-=⎪⎩a c b c a c b c 有非零解，即有()()()()2222R R R R ⋅-⋅-=⋅-⋅-a c b c a b b c ． 同理可证，平面γ与δ的交线和直线AB 共面的充要条件为()()()()2222R R R R ⋅-⋅-=⋅-⋅-c a d b c b d a ．因为上面得到的两个条件是等价的，所以题中结论得证．例24设四面体ABCD 对应于各顶点的高分别为a h ，b h ，c h ，d h ，在各高线上分别取1A ，1B ，1C ，1D ，使1a k AA h =，1a k BB h =，1c k CC h =，1dkDD h =为任一实数．求证：四面体1111A B C D 的重心合于四面体ABCD 的重心． 证明令AB b =u u u r ，AC c =u u u r ，AD d =u u u r ，根据向量矢量积的意义，知同BD BC ⨯u u u r u u u r 的方向是对应A 点高线的方向，而它的长度是BCD △面积的2倍．设A 点对应高线的单位向量为i ，则2BCDBD BCi S ⨯=△u u u r u u u r，而()()BD BC ⨯=-⨯-=⨯⨯⨯d b c d b d +d c +c b u u u r u u u r ．故2i S⨯⨯⨯=b d +dc +c d．同理，设B ，C ，D 点对应的高线的单位向量分别为j ，k ，l ，则22ACD ACD AC AD S S ⨯⨯=△△c d j =u u u r u u u r ，2ADB S ⨯△d b k =，2ABCS ⨯△b c l =．若设四面体ABCD 的体积为V ， 因而()16a k k AA h V ==⨯⨯⨯i =b d +d c +c d u u u r ．同理，()16k BB V =⨯c d u u u r ，()16k CC V =⨯d b u u u u r ，()16kDD V =⨯b c u u u u r ． 因而，有11110AA BB CC DD +++=u u u r u u u r u u u u r u u u u u r． 又设1O 为四面体1111A B C D 的重心，则()1111111114AO A B AC A D =++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r()11111114A A AB BB A A AC CC A A AD DD =++++++++u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ()11111144A A AA BB CC DD =++++b +c +d +u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ()114A A =-b +c +d u u u r ． 而111AO AA A O =+u u u u r u u u r u u u u r ，故()114AO AO ==b +c +d u u u u r u u u r，这表示1O 与O 重合．【模拟实战】 习题A1．在三棱锥S ABC -的棱SA ，SB ，SC 上分别取点1A ，1B ，1C ，使得11SA SA SB SB ⋅=⋅1SC SC =⋅．证明：点A ，B ，C ，1A ，1B ，1C ．在同一球面上．（第15届全俄竞赛题）2．在四面体ABCD 内求作一点P ，使四个四面体的体积比满足P BCD P CDA P DAB P ABC V V V V αβγδ----=∶∶∶∶∶∶，其中α，β，γ，δ为给定的正数．3．设P ，Q ，R 分别是四面体ABCD 的棱AC ，AD ，AB 或延长线上的点，E ，F 在BC 上，且BE EF FC ==，AE ，AF 分别与RP 交于点G ，H ．记四面体APQR 与AGHQ 的体积分别为V ，1V ．求证：13V V ≥，当且仅当RP BC ∥或RP 与BC 重合时等号取得．4．四面体ABCD 内接于半径为R 的球，且球心O 在四面体内部．求证：四面体ABCD 至少有一条棱长． 5．在四面体ABCD 中，P 为各棱长之和，V 为其体积，用()CD S 表示过四面体棱CD 及相对棱AB 中点。

正四面体与正八面体的性质正四面体是一种特殊的三维几何体，它具有一些独特的性质和特征。

正八面体也是一种特殊的三维几何体，与正四面体有着一些相似和不同的性质。

本文将分别探讨正四面体和正八面体的性质，以便更好地理解它们在几何学中的重要性。

正四面体的性质正四面体是一种四面体，它的底部是一个等边三角形，而其顶部则是一个共平面的点。

这种结构使得正四面体具有一些特殊的性质。

1. 对称性：正四面体具有高度的对称性。

它的任意两个面都能通过某个旋转操作相互转换。

换句话说，正四面体的每个面都是相似的。

这种特性使得正四面体在几何学中非常重要，它可以用于建模和解决各种问题。

2. 边长和角度：正四面体的边长相等，且顶点到中心的距离相等。

其底部三角形的内角为60度，而顶点的内角为70.53度。

这些角度的特殊性质使得正四面体在计算和测量中非常实用。

3. 体积和表面积：正四面体的体积可以通过公式V = (√2/12) × a³来计算，其中a代表边长。

而其表面积则可以通过公式S = √3 × a²来计算。

这些公式对于计算正四面体的空间需求和相关问题非常有用。

正八面体的性质正八面体是一种八面体，它的每个面都是一个正方形。

这使得正八面体具有一些独特的性质和特征。

1. 对称性：正八面体具有高度的对称性，它有24个对称操作。

这些操作包括旋转、反射和转动等，可以使得正八面体的不同面相互转换。

这种对称性使得正八面体在几何学中有着广泛的应用。

2. 边长和角度：正八面体的边长相等，且所有顶点的内角为90度。

这些特性使得正八面体在计算和测量中具有一定的方便性。

3. 体积和表面积：正八面体的体积和表面积可以通过相应的公式进行计算。

其体积公式为V = (√2/3) × a³，而表面积公式为S = 2√2 × a²。

这些公式可以帮助我们计算正八面体的空间需求和相关问题。

正四面体与正八面体的比较尽管正四面体和正八面体都是特殊的三维几何体，但它们在性质和特征上有一些区别。

空间几何的性质四面体的性质及其应用四面体是空间中常见的立体图形，它具有一些独特的性质和应用。

本文将介绍四面体的性质及其应用。

一、四面体的定义和性质四面体是由四个三角形面组成的立体图形。

它具有以下性质：1. 定义：四面体是由四个不在同一平面上的点及连接这些点的边组成的立体。

2. 面积和体积：四面体的表面积和体积可以通过一定的公式计算得出。

其中，表面积等于四个三角形面积之和，体积等于底面积乘以高的一半。

3. 棱和顶点：四面体有六条棱和四个顶点。

任意两个顶点之间可以连接一条棱。

4. 高、中线和外接球：四面体的高是从一个顶点到相对的底面的垂直距离。

每个面的中线是连接该面上的两个中点的线段。

四面体还可以围绕外接球，外接球的球心与四面体的顶点都在同一平面上。

二、四面体的分类根据四面体的性质，我们可以将其分为以下几类：1. 正四面体：如果四面体的四个面都是等边三角形，那么它就是正四面体。

正四面体具有对称性，在空间几何学中起到重要作用。

2. 正交四面体：如果四面体的三个互相垂直的棱对同时相等，那么它就是正交四面体。

正交四面体具有一些特殊的性质，常用于计算几何和物理学中。

3. 锐角四面体和钝角四面体：根据四个顶点形成的凸四面体的内角是锐角还是钝角，可以将四面体分为两类。

在实际应用中，这些分类有助于确定四面体的稳定性和结构特征。

三、四面体的应用四面体不仅具有美学价值，还在许多领域有实际应用：1. 建筑与工程学：在建筑设计和工程施工中，四面体的结构特性可以用于设计和计算支撑结构的强度和稳定性。

2. 化学与结晶学：在化学和结晶学研究中，四面体被广泛用于分子和晶体的描述和分析。

3. 三维造型与动画：计算机图形学中，四面体被用于表示和生成三维模型和动画效果。

4. 数学与几何学：四面体是数学和几何学中研究的重要对象之一，对于解决空间几何问题和推导数学定理有重要意义。

总结：四面体是空间几何中重要的立体图形，具有独特的性质和应用。

立体几何基础立方体与正四面体的性质与计算立体几何基础：立方体与正四面体的性质与计算立方体是一种具有六个相等的正方形面的立体几何体，它有一些特殊的性质和计算方法。

与之相似的还有正四面体，它有四个相等的等边三角形面。

在本文中，我们将探讨立方体和正四面体的性质，并介绍一些与它们相关的计算方法。

一、立方体的性质与计算方法立方体具有以下性质：1. 六个面积相等的正方形面：立方体的所有面都是正方形，且这六个面的面积都相等。

2. 八个顶点、十二条棱和六个面：立方体由八个顶点、十二条棱和六个面组成。

3. 所有的内角都为直角：立方体的六个顶点都是直角，即内角为90度。

4. 对角线相等：立方体的对角线相等，可以通过勾股定理进行计算。

计算方法：1. 立方体的体积计算：立方体的体积公式为V = a^3，其中a为立方体的边长。

通过将边长三次方即可得到立方体的体积。

2. 立方体的表面积计算：立方体的表面积公式为S = 6a^2，其中a 为立方体的边长。

通过将边长平方乘以6即可得到立方体的表面积。

二、正四面体的性质与计算方法正四面体具有以下性质：1. 四个边相等的等边三角形面：正四面体的四个面都是等边三角形面，且这四个面的边长都相等。

2. 四个顶点、六条棱和四个面：正四面体由四个顶点、六条棱和四个面组成。

3. 所有的内角都小于180度：正四面体的所有内角都小于180度，但不是直角。

4. 对角线相等：正四面体的对角线相等，可以通过勾股定理进行计算。

计算方法：1. 正四面体的体积计算：正四面体的体积公式为V = (a^3) / (6√2)，其中a为正四面体的边长。

通过将边长的立方除以6乘以根号2即可得到正四面体的体积。

2. 正四面体的表面积计算：正四面体的表面积公式为S = √3a^2，其中a为正四面体的边长。

通过将边长的平方乘以根号3即可得到正四面体的表面积。

结论：立方体和正四面体作为常见的立体几何体，具有各自独特的性质和计算方法。

四面体的特殊性原理四面体是一个具有四个面的多面体，每个面都是一个三角形。

它是空间中最简单的多面体之一，具有许多特殊性质和原理。

1.形状特性：四面体的最基本特性是其形状。

正四面体是最常见的四面体类型，其四个面都是等边三角形，并且所有的内角也相等。

正四面体具有对称性，每个面都等效地相对于其他三个面。

这种形状特性使得正四面体具有优秀的稳定性和抗力特性。

2.内外共点性：四面体的一个重要特性是其四个顶点共面且共点。

换句话说，四面体的顶点均位于同一平面上，这被称为“共点性”。

这个特性很容易证明，只需考虑四面体的两个对角线，它们必定会相交于一个点。

3.顶点对称性：四面体的另一个重要特性是其顶点的对称性。

四面体的顶点分别对称于其他三个顶点，具有相同的距离和角度关系。

这种对称性使四面体在空间中具有优雅和美学上的特殊性。

4.重心性质：四面体的重心是四个顶点的平均值，即四个顶点的坐标均值。

重心在许多应用中起着重要的作用，例如在计算力学性质时，求解质心是简化计算和分析的关键步骤。

每个面的重心位于该面的中心，而整个四面体的重心位于整个四面体内部的一个点上。

5.体积与高度的关系：四面体的体积可以根据其底面积和高度计算得出。

四面体的高度是从底面到对面顶点上垂线的距离。

根据勾股定理，四面体的高度可以通过底边长和平行于对面底边的高边的长度计算得出。

四面体的体积是其底面积和高度的乘积的1/3倍。

6.四面体剖分：四面体可以通过不同的剖分方式展示其特殊性质。

例如，当将四面体通过从顶点到对面底边作垂线分成两个小的四面体时，这两个小的四面体与原始四面体具有相似性质。

该剖分方式可以应用于几何中的许多问题，例如计算体积和表面积。

7.点与平面的关系：一个点可以描述为一个四面体的顶点，而四面体的三个面可以描述为三个相交的平面。

这种关系在几何学和图形学中得到广泛应用，例如在计算射线与平面的交点时。

8.斜四面体的稳定性：斜四面体是指四个面都是三角形，但不满足等边性质的四面体。

关于四面体的一个性质
李世臣
【期刊名称】《数学通报》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】@@ 四面体是空间里较为简单的几何体,笔者通过将它与三角形的有关性质进行类比,得到一个有价值的结论.
【总页数】1页(P23)
【作者】李世臣
【作者单位】河南省周口市川汇区教委教研室,46601
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.四面体的一个性质的巧证与应用 [J], 高群安
2.四面体的一个性质及应用 [J], 蒋晓东;金迅婴;陈立明
3.数量积与正四面体的一个有趣性质 [J], 陈世明
4.数量积与正四面体的一个有趣性质 [J], 陈世明
5.有关四面体的高和旁切球半径的一个性质 [J], 张赟
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空间几何中的四面体与四面体的性质四面体是空间几何中的一个基本几何体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。

四面体的性质十分有趣，它们在数学和几何中有广泛的应用。

本文将介绍四面体的定义、特征以及一些重要的性质。

一、四面体的定义和构造四面体的定义很简单：它是一个具有四个面的立体，且每个面都是一个三角形。

这四个面彼此相邻，共享边。

通过四个顶点，可以唯一地确定一个四面体。

构造四面体有多种方法，下面介绍两种常见的方法。

1. 顶点法构造：选取空间中的四个点作为四面体的顶点，通过连接这四个点，就可以构造出一个四面体。

2. 剖分法构造：将一个三角形沿着一个内部点作剖分，得到四个小三角形。

这四个小三角形的边即为四面体的边，而原来的三角形则成为四面体的底面。

无论是哪种构造方法，生成的四面体都具有相同的性质和特征。

二、四面体的性质1. 顶点、边、面和体积：一个四面体有四个顶点、六条边、四个面。

其中每个面都是一个三角形，每个顶点都是三条边的交点。

四面体的体积可以通过海伦公式来计算，该公式将四面体的面积和边长联系在一起。

设四面体的底面积为S，底面和顶点的距离为h，则四面体的体积V可以通过如下公式求得：V = (1/3) * S * h。

2. 共面性：四面体的四个顶点不共面，也就是说它们不会在同一个平面上。

这个性质使得四面体与其他几何体有所区别。

3. 高度和正交性：对于任意一个面，可以通过顶点引垂线得到一条高。

同时，四面体的相邻面也满足正交关系，即相交直线互相垂直。

4. 对称轴和中线：四面体具有对称轴和中线。

对称轴是通过两个相对的棱的中点连接而成的直线，它可以将四面体分为两个对称的部分。

中线则是通过两个相对的顶点的中点连接而成的直线。

5. 欧拉公式：对于一个凸四面体，其顶点数、边数和面数满足欧拉公式：顶点数 + 面数 = 边数 + 2。

四、特殊类型的四面体1. 正四面体：四个等边三角形组成的四面体称为正四面体。

正四面体具有以下特点：所有边长相等，任意两条边的夹角为60度，底面上的高相等。

空间几何中的平行四面体平行四面体是空间几何中一种重要的多面体，它由四个平行的三角形面构成。

在本文中，我将介绍平行四面体的基本定义、性质和一些相关的应用。

一、基本定义平行四面体的定义是：如果一个四面体的四个面都是平行的，则称其为平行四面体。

平行四面体的四条棱相应地也是平行的，并且任意两个相对面之间的平行距离是相等的。

二、性质1. 对角线与体积平行四面体的对角线有两种情况：一种是连接非共面的两个顶点，另一种是连接共面的两个顶点。

对于前一种情况，对角线的长度等于棱长的平方根乘以2；对于后一种情况，对角线的长度等于棱长的平方根。

平行四面体的体积可以通过任意三条棱和它们所对的面的面积计算得到。

2. 高度和底面积平行四面体的高度是从顶点到底面所在平面的垂直距离。

底面积是底面的面积。

平行四面体的体积等于底面积与高度的乘积的三分之一。

3. 平行四面体的中位线平行四面体的中位线是连接相邻棱中点的线段。

对于任意两个相邻的面，它们所在棱的中点和平行四面体的中位线构成一个四面体，该四面体与原平行四面体相似。

4. 平行四面体的重心平行四面体的重心是连接相邻面中心的线段交点。

平行四面体的重心将中位线分成1:3的比例。

三、应用1. 空间定位平行四面体可以用于空间定位。

通过已知条件，如四个点的坐标或者两组平行面的方程，可以确定平行四面体的位置。

2. 物体分析在物体分析中，平行四面体可以用来判断物体是否倾斜或平衡。

通过测量平行四面体的各边长和角度，可以分析物体的形态和稳定性。

3. 包装设计平行四面体在包装设计中有广泛应用。

由于平行四面体具有稳定性和体积较大的特点，可以用来设计包装盒和容器，以最大限度地利用空间并保护物品。

4. 三维建模在计算机图形学和三维建模中，平行四面体是一种重要的基本几何元素。

通过组合平行四面体，可以构建复杂的三维模型，如建筑物、汽车和动画人物等。

总结：平行四面体是空间几何中的重要概念，具有许多有用的性质和应用。

空间几何中的平行四边形与平行四面体在空间几何中，平行四边形和平行四面体是两个重要的概念。

它们涉及到平行线和平行面的性质，是几何学中的基础概念之一。

在本文中，将详细介绍平行四边形和平行四面体的定义、性质和应用。

一、平行四边形平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

它有以下性质：1. 对边平行性：平行四边形的两对对边是平行的，即两对对边分别平行。

2. 对角线关系：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线相交于各自的中点。

3. 边长关系：平行四边形的对边长度相等，即相对的两条对边长度相等。

4. 内角性质：平行四边形的内角之和为360度，即四个角的和为一个圆周角。

平行四边形的应用非常广泛。

例如，在建筑设计中，平行四边形的性质可以帮助设计师确定建筑物的结构平衡性；在工程测量中，平行四边形的边长关系可以用于测量距离和角度。

二、平行四面体平行四面体是指具有四个平行面的四面体。

它有以下性质：1. 平行面性质：平行四面体的四个面是平行的，即相邻的任意两个面是平行的。

2. 对边比例：平行四面体的对边比例相等，即两个平行面之间的对边与另外两个平行面之间的对边的比值相等。

3. 推移性：平行四面体的平行性可以推导出许多性质，例如平行四面体的高度、体积等。

平行四面体在几何学、物理学等领域有广泛的应用。

例如，在流体力学中，平行四面体可以用于描述流体的流动和力学特性；在建筑设计中，平行四面体的性质可以用于确定建筑物的结构强度和稳定性。

结论平行四边形和平行四面体是空间几何中的重要概念，它们分别涉及到平行线和平行面的性质。

通过研究平行四边形和平行四面体的定义、性质和应用，可以更深入地理解几何学在现实生活中的应用和意义。

这两个概念为我们探索空间几何提供了基础，并为其他几何学理论的学习打下了坚实的基础。

在进一步学习几何学的过程中，我们应当深入研究平行四边形和平行四面体的性质和定理，并将其应用于实际问题的解决中。

通过对平行四边形和平行四面体的学习，我们能够更好地理解空间中平行线和平行面的性质，从而拓展我们的几何学能力。

探索几何认识四面体和五面体四面体和五面体是几何学中的常见多面体。

它们在三维空间中具有一些独特的性质和特征。

本文将探索这两种多面体的认识，从它们的定义、性质、分类以及一些实际应用等方面展开讨论。

一、四面体四面体是一个拥有四个面的多面体，每个面都是一个三角形。

四面体的定义有很多种，其中最常见的一种是四个非共面的点组成的凸体。

四面体通常由顶点、边和面组成，其中顶点是四面体的角，边是连接两个顶点的线段，而面是连接三个顶点的平面。

1.1 四面体的性质四面体的一些重要性质如下：1) 四面体的顶点个数是4，边的个数是6，而面的个数是4。

2) 四面体的每个面都是一个三角形，因此它们的内角之和是180度。

3) 四面体的表面积可以通过计算其各个面的面积之和得到。

4) 四面体的体积可以通过计算以任意一条边为底面的高度与底面面积的乘积再除以3得到。

1.2 四面体的分类根据四面体的特征，我们可以将其分类为正四面体和非正四面体。

1) 正四面体是指四个面均为等边三角形的四面体，它具有对称性，并且所有的面和边长度也相等。

2) 非正四面体是指除了四个面都是等边三角形外，其他面和边的长度不相等的四面体。

1.3 四面体的实际应用四面体在实际应用中有很多重要的作用，例如在晶体学、化学以及计算机图形学等领域都有广泛的应用。

在晶体学中，四面体模型用于描述晶格结构；在化学中，四面体结构被用来描述一些分子的空间构型；在计算机图形学中，四面体网格则被用于三维建模和网格生成等方面。

二、五面体五面体是一个拥有五个面的多面体，每个面都是一个三角形。

五面体的定义有很多种，其中最常见的一种是五个相等等边三角形组成的凸体。

五面体通常由顶点、边和面组成，其中顶点是五面体的角，边是连接两个顶点的线段，而面是连接三个顶点的平面。

2.1 五面体的性质五面体的一些重要性质如下：1) 五面体的顶点个数是5，边的个数是10，而面的个数是5。

2) 五面体的每个面都是一个三角形，因此它们的内角之和是180度。

空间几何中的平行四边形与四面体在空间几何中，平行四边形和四面体是常见的几何形体，它们具有独特的性质和特点。

本文将从定义、性质、公式推导以及应用等方面，探讨空间几何中的平行四边形与四面体。

一、平行四边形平行四边形是由四条平行的线段所组成的四边形。

它具有以下的性质：1. 对角线分割：平行四边形的对角线互相平分。

2. 对边平行：平行四边形的对边互相平行。

3. 对边长度相等：平行四边形的对边长度相等。

4. 相邻角补角：相邻角的补角之和为180°。

5. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度关系为对角线互相等分。

根据上述性质，我们可以推导出平行四边形的面积和周长的计算公式。

设平行四边形的一条边长为a，另一条边长为b，两条对角线的长度分别为d1和d2，则平行四边形的面积S可计算为S = a * d2 或 S = b * d1，周长P可计算为P = 2 * (a + b)。

平行四边形在实际生活中有很多应用。

例如，在建筑工程中，平行四边形的性质常常被用于确定平行线和平行面的关系，以确保建筑的结构稳定和坚固。

同时，平行四边形也是数学教学中的一个重要概念，通过学习平行四边形的性质，可以培养学生的逻辑思维和空间想象能力。

二、四面体四面体是由四个三角形面构成的多面体，它具有以下的性质：1. 顶点数与边数的关系：四面体的顶点数为4，边数为6。

2. 边长关系：四面体的任意两条边之间都有共享的顶点。

3. 面积与体积计算：四面体的面积和体积的计算公式较为复杂，可以利用海伦公式和三棱锥的体积公式进行推导和计算。

根据四面体的性质，我们可以进一步研究三种特殊的四面体：正四面体、直角四面体和正规四面体。

正四面体的四个面都是等边三角形，直角四面体有一个直角，正规四面体的所有面都相等。

在实际应用中，四面体可以用于测量物体的体积和表面积。

例如，通过测量一个房间的长、宽和高，可以计算出房间的体积，从而指导家具的摆放和空间的利用。

总结起来，在空间几何中，平行四边形和四面体是重要的几何形体，它们具有独特的性质和特点。

正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为．∴正方体的内切球半径．∴．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵正四面体的棱长为a，∴由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴．∴CE与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC 1、DD 1为该球的直径．连结C 1D 1，交AB 于点M ，连结MC ．∵ MC ⊥AB ，MD 1⊥AB ，∴ ∠CMD 1为平面ABC 与平面AC 1D 1所成的角．设正方体棱长为a ，在中，．∴ 平面ABC 与平面ACD 所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不P ABC -D E F AB BC CA成立的是　②　．①面；//BC PDF ②面面；PDF ⊥ABC ③面；DF ⊥PAE ④面面．PAE ⊥ABC2.正四面体中，与平面ABCD AB ACD3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值ABCD E F AD BC EF BA为 ()A ．4B ．C ．D ．24-2-选：．C 4.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；20.3a =2log 0.3b =0.32c =b a c <<②已知：指数函数过点，则；()(0,1)x f x a a a =>≠(2,4)log 41a y =③；3④已知函数的值域是，，则的值域是，；()y f x =[13]()(1)F x f x =-[02]⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．//m αn αm n 其中正确的序号是　①③　．5.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM AD ()A ．BCD ．1223选：．C 6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线ABCD E F AD BC AF CE 和所成角的正弦值为 AF CE ()A ．B ．CD 1323选：．D【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答AF CE 案．B 7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，A BCD -E AD P AC BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是 ()A B ．C D ．6π32π选：．A 8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面ABCD E AB A B E ACD和平面的距离分别为，，则的最小值为　BCD a b 11a b+【考点】：基本不等式及其应用7F 【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式5F 5T 【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交O ACD OB EF AO ⊥F AO CD于点，则点为的中点．设．，，M M CD (01)AE AB λλ=<<23AO AM =AM =．由，可得．同理可得：BO =//EF BO EF BO a λ===．代入利用基本不等式的性质即可得出．)b EN λ==-【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点O ACD OB EF AO ⊥F AO CD ，则点为的中点．M M CD 设．(01)AE AB λλ=<<2233AO AM ===BO ∴==，//EF BO．EF BO a λ∴===同理可得：．)b EN λ==-当且仅当时取等号．∴2111111()11(1)()2a b λλλλλλ+=+==+---…12λ=故答案为：9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列M ABCD AB N CD C D 结论中，正确的个数有 ()（1）；（2）若为中点，则与所成角为；MN AB ⊥N MN AD 45︒（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．CDM ⊥ABN N MN AC A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：LM LO LW 直线与平面垂直；：平面与平面垂直LY 【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取CM DM AB ⊥CDM MN AB ⊥AC 中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，E EM EN EN NM 就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为MN AD MN AD ，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定45︒MN AB ⊥理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在N MN AC 的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有N MN AC ⊥N CD ”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．MN AC ⊥N MN AC 【解答】解：（1）连接、CM DM正中，为的中点ABC ∆M AB CM AB∴⊥同理，结合DM AB ⊥MC M D M= 平面，而平面AB ∴⊥CDM MN ⊆CDM，故（1）是正确的；MN AB ∴⊥（2）取中点，连接、AC E EM EN中，、分别是、的中点ADC ∆ E N AC CD ，．//EN AD ∴12EN AD =、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角EN ∴NM MN AD设正四面体棱长为，在中，2a MCD ∆2CM DM a ===则中Rt MNC ∆122CN a a =⨯=∴MN ==在中，MNE ∆122ME EN a a ==⨯=∴222cos 2EN MN EM ENM EN MN +-∠==⨯⨯，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；45ENM ∴∠=︒MN AD 45︒（3）由（1）的证明知：平面AB ⊥CDM平面AB ⊂ ABN平面平面，故（3）正确；∴ABN ⊥CDM （4）若有，根据（1）的结论，MN AC ⊥MN AB ⊥因为、相交于点，所以平面AB AC A MN ⊥ABC中，，MCD ∆ CM MD ==2CD a =2221cos 023CM MD CD CMD CM MD +-∴∠==> 可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，CMD ∠N CD C D 的最大值是锐角，不可能是直角，CMN ∠因为平面，与不能垂直，CM ⊂ABC CM NM 以上结论与平面矛盾，MN ⊥ABC 故不论在线段上的何处，都不可能有．N CD MN AC ⊥因此不存在点，使得过的平面与垂直．N MN AC 综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．C 10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：a ①正四面体的体积为；324a V =②正四面体的表面积为；2S =③内切球与外接球的表面积的比为；1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为　②③④　．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积LE LF 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离5F【分析】①正四面体的高，体积为，计算即h ==213V =可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；24S a =③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r，解得，即可判断出正误；R =R ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简即可判断出正误．221133H ⨯=【解答】解：①正四面体的高，体积为h ==，因此不正确；3231324a V ==≠②正四面体的表面积为，正确；224S a ==③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r =，解得．R =R =，因此表面积的比为，正确；:1:3r R ∴=1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简可得：，即为正四面体的高，221133H ⨯=H =均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。

相似四面体中常见基本模型
相似四面体是一种具有相似尺寸和形状的四面体，它们之间的比例关系保持一致。

在三维几何学中，相似四面体是一个常见的基本模型。

本文将介绍一些相似四面体的常见基本模型。

正四面体
正四面体是最简单且最常见的相似四面体之一。

它的四个面都是等边三角形，所有的边长和角度都相等。

正四面体的顶点到底面中心的距离与底边的长度之比为根号3：2，这个比例关系在所有相似四面体中都成立。

锥面四面体
锥面四面体是一个具有底面和四个三角形侧面的相似四面体。

它的底面可以是任意形状的多边形，但是侧面都是三角形。

锥面四面体的所有侧面都共边，而且都与底面共有一个顶点。

斜四面体
斜四面体是一个具有倾斜底面和四个三角形侧面的相似四面体。

它的底面可以是任意形状的多边形，但是底面的边与侧面的边不平行。

斜四面体的侧面三角形的形状和大小都不相等。

倒四面体
倒四面体是一个具有倒立的顶点和四个三角形侧面的相似四面体。

它的底面可以是任意形状的多边形，但是底面的边与侧面的边
不共面。

倒四面体的侧面三角形的形状和大小都不相等。

以上介绍了一些相似四面体的常见基本模型，它们在几何学和
工程学中有着广泛的应用。

研究相似四面体有助于我们理解三维空
间中的形状和结构，并在实际问题中应用几何学原理。