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03-02 空间问题的四面体单元

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空间问题的四面体单元

空间问题的四面体单元

第三章 轴对称、三维和高次单元§ 3-2空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完 全相同。

由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方 程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题 和平面问题大得多。

它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。

这些问题都给三维 有限单元法的具体运用带来许多困难。

和平面问题一样，空间有限单元法采用单元 也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体 单元。

采用四面体单元和线性位移模式来处理空 间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。

在采用四面体单元离散化后的空间结构物 中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处 以空间铰相互连接。

四节点四面体单元仅在四个 顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p 。

每个单元的 计算简图如图3-7所示。

在位移法中，取节点位移为基本未知量，四 节点四面体单元共有十二个自由度 （位移分量），其节点位移列阵为U i V i W i (i,j,m)相应的节点力列阵为U i Viw i U j V j w jU mTW m U p V p W p其子矩阵图3-7空间四面体单元F i F j F m F p其子矩阵F i U i V i w一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标 X 、y 、z 的函数。

当单元足够小时， 单元内各点的位移可用 简单的线性多项式来近似描述， 即u1 2 X3y 4Zv56 X7y 8Z(3-49)w0 10Xny12Z曰2，…，12是卜二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。

假定节 点 i,j,m,p 的坐标分别为(x i y i Z i )、、(xj y j z j )、(X m将它们代入 (3-49)式的第一式可得各个节点在X 方向的位移U i1 2X i 3Y i4Zu j1 2X j3Y j4Z jU m 1 2X m 3Y m 4 Z mU p12X p3Y p4 Z p解上述线性方程组，可得到1 ,2 ,3 ,4 , 再代入U6V[(a i bXcy d i Z)U i (a jb j x(a m b m X C m yd m z)U m(a p b p X C(3-50)y d p Z )U p ] 1 X i Y i Z i 1 X j y j Z j 1 X m y m Z m1X PY PZ P(3-52)(3-50)式，得y m Z m)、(X p y p Z p )，5y 3)5 (3-51)式中1 ,其中V 为四面体ijmp 的体积，a,b i ,…，c p ,d P 为系数。

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
1.一维单元分析 ； 2.二维单元分析； 3.三维单元分析 ； 4.板壳单元 ； 5.其它各种单元介绍； 6.单元选用；
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k

空间四面体的体积公式

空间四面体的体积公式

空间四面体的体积公式空间四面体是由四个平面构成的立体图形，每个平面都是一个三角形，其中有一个特殊的点，称为顶点，连接顶点和三角形的其他三个点称为底面。

对于空间四面体，确定其位置和大小的参数有四个，分别是三个角度和一个高度。

在计算空间四面体的体积时，需要使用特定的公式来求解。

对于一个空间四面体，其体积可以由底面积和高度来计算。

底面积是指底面的面积，可以通过三角形的边长和高度来计算。

高度是指从顶点到底面的垂直距离，可以通过垂直距离和角度来计算。

假设空间四面体的底面三角形的边长分别为a、b和c，底面面积为S，并且顶点到底面的垂直距离为h。

则空间四面体的体积V可以由以下公式计算：V = (1/3) * S * h其中，1/3是一个常数，用于将底面积和高度的乘积缩小成体积。

S 是底面的面积，可以由底面三角形的边长和海伦公式来计算：S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中，s是底面三角形的半周长，可以由边长a、b和c计算：s = (a + b + c) / 2通过上述公式，可以计算出空间四面体的体积。

举个例子来说明如何计算空间四面体的体积。

假设底面三角形的边长分别为5、7和8，顶点到底面的垂直距离为6。

首先，可以使用海伦公式计算底面的面积：s = (5 + 7 + 8) / 2 = 20/2 = 10S = sqrt(10 * (10 - 5) * (10 - 7) * (10 - 8)) = sqrt(10 * 5 * 3 * 2) = sqrt(300) ≈ 17.32然后，可以使用空间四面体的体积公式计算体积：V = (1/3) * S * h = (1/3) * 17.32 * 6 = 34.64因此，底面边长分别为5、7和8，顶点到底面的垂直距离为6的空间四面体的体积为34.64。

需要注意的是，上述公式只适用于三维空间中的四面体。

若对应于更高维度的空间，则需要使用相应的公式来计算体积。

03-02_空间问题的四面体单元

03-02_空间问题的四面体单元

第三章轴对称、三维和高次单元§3-2 空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。

由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。

它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。

这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。

和平面问题一样，空间有限单元法采用单元也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体单元。

采用四面体单元和线性位移模式来处理空间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。

在采用四面体单元离散化后的空间结构物中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。

四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p。

每个单元的计算简图如图3-7所示。

在位移法中，取节点位移为基本未知量，四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量)，其节点位移列阵为{}[]Tpp p m m m j j j i i ip m j i ew v u w v u w v u w v u =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=δδδδδ其子矩阵 {}[]i iii w v u =δ (i,j,m)相应的节点力列阵为{}[]Tp mj ie F F F F F -图3-7 空间四面体单元其子矩阵 {}[]Ti i i i W V U F =一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标x 、y 、z 的函数。

当单元足够小时，单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述，即⎪⎭⎪⎬⎫+++=+++=+++=z y x w z y x v z y x u 121110087654321αααααααααααα (3-49) 式中1α，2α，…，12α是十二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。

假定节点i,j,m,p 的坐标分别为(i x i y i z )、(j x j y j z )、(m x m y m z )、 (p x p y p z )，将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x 方向的位移⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=p p p p m m m m j j j j i i i i z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα (3-50)解上述线性方程组，可得到1α，2α，3α，4α，再代入(3-50)式，得])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a Vu +++-+++++++-+++=(3-51) 其中V 为四面体ijmp 的体积，a i ,b i ，…，c p ,d p 为系数。

空间几何中的平行四面体与正四面体知识点

空间几何中的平行四面体与正四面体知识点

空间几何中的平行四面体与正四面体知识点在空间几何学中，平行四面体和正四面体是两种常见的多面体。

它们具有不同的特点和性质，下面将详细介绍这两种多面体的知识点。

一、平行四面体平行四面体是指四个面中的任意两个面平行的四面体。

它具有以下几个重要的性质：1. 对角线平行性质：平行四面体的任意两条对角线都是平行的。

这是因为平行四面体的两个相对面平行，因此连接相对顶点的对角线也是平行的。

2. 面积比例性质：平行四面体的相邻两个面之间的面积比等于相邻两个对角面的面积比。

具体而言，如果平行四面体的两个相邻面的面积分别为S1和S2，而另外两个对角面的面积分别为S3和S4，则有S1/S2 = S3/S4。

3. 体积计算公式：平行四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3) * S * h，其中V表示体积，S表示底面积，h表示底面到顶点的距离。

4. 平行四面体的类型：根据底面形状的不同，平行四面体可以分为正方形底面四面体、长方形底面四面体和菱形底面四面体等多种类型。

二、正四面体正四面体是指四个等边等角的三角形构成的四面体。

它具有以下几个重要的性质：1. 边长和面积：正四面体的边长相等，每个面都是等边三角形。

正四面体的面积可以通过以下公式计算：S = (sqrt(3) * a2) / 4，其中S表示面积，a表示边长。

2. 高度和体积：正四面体的高度可以通过以下公式计算：h = (sqrt(6) * a) / 3，其中h表示高度，a表示边长。

正四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (sqrt(2) * a3) / 12，其中V表示体积，a表示边长。

3. 正四面体的特殊点：正四面体有四个特殊的点，分别为顶点、底心、重心和垂心。

顶点是四个面的交点，底心是底面三角形三个高线的交点，重心是四个面重心连线的交点，垂心是底面三角形三条垂线的交点。

4. 对称性：正四面体具有四个三角对称面和六个对称轴。

四个三角对称面将正四面体分为等价的四个部分，而六个对称轴则是通过连接各个面的中点和顶点形成的。

空间几何的性质四面体的性质及其应用

空间几何的性质四面体的性质及其应用

空间几何的性质四面体的性质及其应用四面体是空间中常见的立体图形，它具有一些独特的性质和应用。

本文将介绍四面体的性质及其应用。

一、四面体的定义和性质四面体是由四个三角形面组成的立体图形。

它具有以下性质：1. 定义：四面体是由四个不在同一平面上的点及连接这些点的边组成的立体。

2. 面积和体积：四面体的表面积和体积可以通过一定的公式计算得出。

其中，表面积等于四个三角形面积之和，体积等于底面积乘以高的一半。

3. 棱和顶点：四面体有六条棱和四个顶点。

任意两个顶点之间可以连接一条棱。

4. 高、中线和外接球：四面体的高是从一个顶点到相对的底面的垂直距离。

每个面的中线是连接该面上的两个中点的线段。

四面体还可以围绕外接球，外接球的球心与四面体的顶点都在同一平面上。

二、四面体的分类根据四面体的性质，我们可以将其分为以下几类：1. 正四面体：如果四面体的四个面都是等边三角形，那么它就是正四面体。

正四面体具有对称性，在空间几何学中起到重要作用。

2. 正交四面体：如果四面体的三个互相垂直的棱对同时相等，那么它就是正交四面体。

正交四面体具有一些特殊的性质，常用于计算几何和物理学中。

3. 锐角四面体和钝角四面体：根据四个顶点形成的凸四面体的内角是锐角还是钝角，可以将四面体分为两类。

在实际应用中，这些分类有助于确定四面体的稳定性和结构特征。

三、四面体的应用四面体不仅具有美学价值，还在许多领域有实际应用：1. 建筑与工程学：在建筑设计和工程施工中，四面体的结构特性可以用于设计和计算支撑结构的强度和稳定性。

2. 化学与结晶学：在化学和结晶学研究中，四面体被广泛用于分子和晶体的描述和分析。

3. 三维造型与动画：计算机图形学中，四面体被用于表示和生成三维模型和动画效果。

4. 数学与几何学：四面体是数学和几何学中研究的重要对象之一，对于解决空间几何问题和推导数学定理有重要意义。

总结：四面体是空间几何中重要的立体图形，具有独特的性质和应用。

空间问题的四面体单元

空间问题的四面体单元

第三章 轴对称、三维和高次单元§3-2 空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。

由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。

它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。

这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。

和平面问题一样，空间有限单元法采用单元也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体单元。

采用四面体单元和线性位移模式来处理空间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。

在采用四面体单元离散化后的空间结构物中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。

四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p 。

每个单元的计算简图如图3-7所示。

在位移法中，取节点位移为基本未知量，四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量)，其节点位移列阵为{}[]Tpp p m m m j jj i i ip m j i ew v u w v u w v u w v u =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=δδδδδ其子矩阵 {}[]i ii i w v u =δ (i,j,m)相应的节点力列阵为{}[]Tp m j ie F F F F F -图3-7 空间四面体单元其子矩阵 {}[]Ti i i i W V U F =一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标x 、y 、z 的函数。

当单元足够小时，单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述，即⎪⎭⎪⎬⎫+++=+++=+++=z y x w z y x v z y x u 121110087654321αααααααααααα (3-49) 式中1α，2α，…，12α是十二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。

假定节点i,j,m,p 的坐标分别为(i x i y i z )、(j x j y j z )、(m x m y m z )、 (p x p y p z )，将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x 方向的位移⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=p p p p m m m m j j j j i i i i z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα (3-50)解上述线性方程组，可得到1α，2α，3α，4α，再代入(3-50)式，得])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a Vu +++-+++++++-+++=(3-51) 其中V 为四面体ijmp 的体积，a i ,b i ，…，c p ,d p 为系数。

空间几何中的四面体与四面体的性质

空间几何中的四面体与四面体的性质

空间几何中的四面体与四面体的性质四面体是空间几何中的一个基本几何体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。

四面体的性质十分有趣，它们在数学和几何中有广泛的应用。

本文将介绍四面体的定义、特征以及一些重要的性质。

一、四面体的定义和构造四面体的定义很简单：它是一个具有四个面的立体，且每个面都是一个三角形。

这四个面彼此相邻，共享边。

通过四个顶点，可以唯一地确定一个四面体。

构造四面体有多种方法，下面介绍两种常见的方法。

1. 顶点法构造：选取空间中的四个点作为四面体的顶点，通过连接这四个点，就可以构造出一个四面体。

2. 剖分法构造：将一个三角形沿着一个内部点作剖分，得到四个小三角形。

这四个小三角形的边即为四面体的边，而原来的三角形则成为四面体的底面。

无论是哪种构造方法，生成的四面体都具有相同的性质和特征。

二、四面体的性质1. 顶点、边、面和体积：一个四面体有四个顶点、六条边、四个面。

其中每个面都是一个三角形，每个顶点都是三条边的交点。

四面体的体积可以通过海伦公式来计算，该公式将四面体的面积和边长联系在一起。

设四面体的底面积为S，底面和顶点的距离为h，则四面体的体积V可以通过如下公式求得：V = (1/3) * S * h。

2. 共面性：四面体的四个顶点不共面，也就是说它们不会在同一个平面上。

这个性质使得四面体与其他几何体有所区别。

3. 高度和正交性：对于任意一个面，可以通过顶点引垂线得到一条高。

同时，四面体的相邻面也满足正交关系，即相交直线互相垂直。

4. 对称轴和中线：四面体具有对称轴和中线。

对称轴是通过两个相对的棱的中点连接而成的直线，它可以将四面体分为两个对称的部分。

中线则是通过两个相对的顶点的中点连接而成的直线。

5. 欧拉公式：对于一个凸四面体，其顶点数、边数和面数满足欧拉公式：顶点数 + 面数 = 边数 + 2。

四、特殊类型的四面体1. 正四面体：四个等边三角形组成的四面体称为正四面体。

正四面体具有以下特点：所有边长相等，任意两条边的夹角为60度，底面上的高相等。

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析

汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
这样空间梁单元就由3个节点组成， 点必须 在一个平面内，但不能共线。i节点到j节点为单 元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、j和k构成 的平面上且与x轴垂直，应用右手定则可以确定 另一坐标z轴(或y轴)。 三点确定后，单元坐 标系即确定，梁单元的截面方位也就完全确定下 来。所增加的一个用于定向的参考点k，也是构 建空间刚架有限元模型的内容，汽车不结构能有限忽元分析略03单。元类型及单
目前使用的梁单元除一次梁单 元外，还有二次梁单元、曲梁单 元和锥梁单元等。二次梁单元是 由三个节点确定的抛物线，曲梁 单元是由两个节点决定的、具有 曲率半径的圆弧，而锥梁单元则 是采用两个节点处截面积不等的 线性梁。
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁 单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位 置不同、倾角不同，有限元模型要求一个 单元在整体坐标系中能够任意定位，这就 需要建立两种坐标系下的转换关系。对平 面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架， 都需要建立这种坐标变换关系。
形函数的构成要分成八个角点的形函 数和各棱边中节点的形函数两种情况表述。 其表达式如下：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式： 由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可以
表示成： 单元刚度矩阵为 ：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
实体单元可以直接利用三维CAD所做好的 实体模型，所以非常容易理解。实体单元能够 适用于所有的结构，但其节点数或单元数可能 非常之多。虽然板梁结构都可以采用实体单元 建模，但对于符合板或梁形式的结构还是采用 梁单元或板壳单元为佳，其精度完全满足工程 结构设计要求。采用实体单元分析所花费时间 一般较采用梁单元与板单元为多，另外三维网 格调整是比较困难的，用板梁单元建立的模型， 截面内力容易判断，在初期设计阶段，更易于 评价计算结果。

空间实体单元

空间实体单元

yj ym yn 1 1 1 zj zm zn
zj zm zn
1 bi 1 1 xj d i xm xn
yj ym yn yj ym yn
zj zm zn 1 1 1
(i, j, m, n)
（8-7）
1
xi
yi yj ym yn
zi zj zm zn
（8-8）
1 xj V 1 xm 1 xn
{i } [ui vi wi ]T (i, j, m, n)
（8-1）
z
n m
单元节点位移向量为
i
j
T T T { }e [ iT T j m n ]
y
x
图 8-2
[u i vi wi u j v j w j u m vm wm u n vn wn ]T （8-2）
与平面问题式（2-12）类似，假定单元内一点的位移 分量为坐标的线性函数
（8-21） （8-22）
应力矩阵[S]为
[ S ] [ D][B]
由于 [D] 、 [B] 都是常数矩阵，因此应力矩阵 [S] 也是常 数矩阵。也就是说，单元中的应力分量也是常数。
u j a1 a 2 x j a3 y j a 4 z j u m a1 a 2 x m a3 y m a 4 z m u n a1 a 2 x n a3 y n a 4 z n
（8-4）
由此可解出a1～a4，再代回到式（8-3）的第1式，与式（219）的第1式类似，有
在式（8-8）中， V为四面体的体积。为使其计算值不为负， 单元的节点（i,j,m,n）编号次序应遵循右手法则。(p4) 采用同样的方法，可得
v Ni vi N j v j N m vm N n vn

空间四面体单元(2015)

空间四面体单元(2015)
zx
T
T
平衡方程
23/09/2008
北京航空航天大学
x yx zx fx 0 x y z y zy xy f y 0 y z x z xz yz fz 0 z x y
面力等效节点载荷列阵
q qx
23/09/2008
q y qz
T
北京航空航天大学
11
空间问题的应力分析 __四面体单元的刚度矩阵和
载荷矩
体积力等效节点载荷列阵
g gx
g y gz
T
23/09/2008
北京航空航天大学
12
空间问题的应力分析 __形成四面体的对角线划分法
x
23/09/2008
北京航空航天大学
E e x 1 1 2 E y e y 1 1 2 E z e z 1 1 2 E xy xy 2 1 E yz yz 2 1 E zx zx 2 1
北京航空航天大学
17
第3章 轴对称问题的有限元法__作业
Ħ 作业： 10试推导空间四面体单元形函数中的系数，其与 体积矩阵的关系是否与三角形单元的相似？若 相似，又是如何相似的。
23/09/2008
北京航空航天大学
18
23/09/2008
北京航空航天大学
4
空间问题的应力分析 __四面体单元 四面体单元位移的形状函数表达式
其中
23/09/2008
北京航空航天大学
5
空间问题的应力分析 __四面体单元 同理

2、空间问题的有限元法

2、空间问题的有限元法

机电工程学院
由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要
难题：
1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。 2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要 求较高。
车辆工程技教研室
机电工程学院
解决问题： 1、编程建模 2、采用高精度单元
由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。
或： f N
e
（由结点位移表示的单元内位移）
N1 N 0 0
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0 0 N2
N3 0 0
0 N3 0
0 0 N3
N4 0 0
0 N4 0
0 0 N4
形函数矩阵
车辆工程技教研室
机电工程学院
1. 基本变量 单元内任一点位移:
u { f } v w 单元内任一点应变:
{ } x y z xy yz zx
单元内任一点应力:
T
{ } x y xy yz zx z 车辆工程技教研室
T
机电工程学院
其中：
A1
A1c r cr A1c r A2br A2 d r 0
A1d r A1d r dr 0 A2 cr A2br
(r 1,2,3,4)

1
,
1 2 A2 , 21
E 1 A3 361 1 2
设单元内任一点的位移为坐标的 线性函数:
u ( x, y, z ) 1 2 x 3 y 4 z v( x, y, z ) 5 6 x 7 y 8 z w( x, y, z ) x y z 9 10 11 12

20191214有限元讲稿第四章四面体单元rev2

20191214有限元讲稿第四章四面体单元rev2
式中，{}e=[ui, vi, wi, uj, vj, wj, um, vm, wm, up, vp, wp]T，为单 元节点位移列阵，[I]为三阶单位矩阵。
由于位移模式是线性函数，因此在相邻单元边界上满足位移连续条件。
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6
（2）单元应变和应力
由弹性力学可知，在三维空间问题中，每个节点有六个应变与应力分量。
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（1）单元形函数
与基本单元相对应，以点、曲线、曲面为边界的不规则形状单元称为“实际单 元”，将固定的直角坐标系称为“整体坐标系”或“基本坐标系”。实际单元定
义在整体坐标系中，如图所示。
2 y
1 x
o
一维单元
8
3
7
6
5
7 6
4 y
2z
4
3
8
5
o x1
1 xo y
2
二维单元
三维单元
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V 1 1 xj 6 1 xm
yj ym
zj , zm
ijm的方向转动时，右手螺旋 应向节点p的方向前进。
1 xp yp zp
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（1）位移模式
三维四面体单元节点位移分量可表示为：
u {f} v [N ] {}e[[I]N i [I]Nj [I]N m [I]N p] {}e
w
kip
kjp
kkpmpp
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（3）单元刚度矩阵
其中，子矩阵[krs]由下式确定：
[krs][Br]T[D][Bs]V
36(1E(1)(1)2)Vbrbsg1cgrb2s(crcgs2brdcsrds)
g1drbs g2brds

FLAC3D基本原理

FLAC3D基本原理

2.5 三维显示有限差分基本方程当FLAC3D 达到平衡或是稳定的塑性流动时，它通过显示有限差分来模拟三维连续介质的力学行为。

监控的力学响应主要是通过特殊的数学模型和数值计算过程得到。

接下来介绍这两方面。

2.5.1 数学模型描述介质的力学行为主要来源于一般原理（应变定义、运动规律），和理想材料的本构关系。

这个数学结果表达式通常是一些偏微分方程，涉及到力学（应力）和运动学（应变率、速度）变量。

这些偏微分方程联合个别的几何关系、材料参数，以及给定的边界条件和初始条件就可以求解。

虽然FLAC3D 在平衡状态附近，主要关注介质的应力状态和变形，但是必须要注意到该数学模型中的运动方程。

（1） 符号约定在FLAC 3D 中采用拉格朗日算法，介质中的一个点，通过矢量i i i x u v ，，和13i dv dt i =，，来定义一个点的坐标，位移，速度和加速的。

记号i a 表示矢量[]a 的第i 个分量，在笛卡尔坐标系中；ij A 表示张量[]A 的第（i ，j ）个分量。

i a ，表示变量对i x 的偏导数。

（变量a 可以使标量，矢量和张量）默认结构受拉为正，变形伸长为正。

爱因斯坦求和记号只针对下标，i ，j ，k （i ，j ，k =1，2，3）。

（2） 应力介质中一已知点的应力状态是通过对称应力张量ij σ来表示。

任意斜面上的应力矢量[]t 可以通过柯西公式得到（拉为正），如下：i ij j t n σ= （2.37）[]n 表示任意斜面上的单位法向矢量（3） 应变率和转动率假设介质的离子以张量[]v 运动。

在一个无限短时间dt 内，介质产生一个无限小的应变为i v dt ，相关的应变率张量可以写成如下：(),,12ij i j j i v v ξ=+ （2.38） 第一应变率张量不变量描述了体积单元的的膨胀程度。

张量ij ξ中没有包含变形率，由于速度矢量的平移和角速度的转动，一个体积单元会产生一个瞬间的刚体位移，如下：12i ijk jk e ωΩ=- （2.39）ijk e 表示置换符号，矢量[]ω表示转动率张量，定义如下：(),,12ij i j j i v v ω=- （2.40） （4） 运动平衡方程采用连续介质的动量原理和柯西公式，平衡方程如下：,i ij j i dvb dtσρρ+= （2.41）ρ为介质的密度，[]b 表示单位体力，[]d v dt 表示速度矢量对时间的导数。

有限元空间问题

有限元空间问题
V为四面体的体积
（3）单元应变场的表达 由弹性力学的几何方程有：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ∂ ∂y ⎢ y ⎥ ⎢0 u ( x , y , z ) ⎡ ⎤ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ ⎥ = ⎢ v ( x , y , z ) ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢∂ ∂y ∂ ∂x ⎢ w( x, y, z ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ∂ ∂z ∂ ∂y γ yz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎣∂ ∂z 0 x ∂ ∂ ⎦ ⎣ zx ⎦ e = B ( x, y , z ) ⋅ δ
μ
1− μ 1
μ
1− μ
μ
1− μ 1 0
μ
1− μ 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − 2μ ⎥ 2(1 − μ ) ⎥ ⎦ 0
四、单元刚度矩阵 由势能表达式得到刚度矩阵Ke：
K = ∫ B D B d Ω = ∫ ∫ B eT D e B e rdθ drdz
e eT e e Ω A 0 2π
1 Ni = ( ai + bi r + ci z ) 2A
(i, j , m)
ai = rj zm − rm z j , bi = z j − zm , ci = −rj + rm
1 ri 2 A = 1 rj 1 rm zi zj zm
二、单元应变 由几何方程可推出几何矩阵Be：
⎡ε r ⎤ ⎡∂ ∂r 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ u (r , z ) 1 r 0 ⎡ ⎤ θ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ = ε (r , z ) = ⎥ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ v ( r , z ) ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣γ rz ⎦ ⎣∂ ∂r ∂ ∂z ⎦ ⎡∂ ∂r 0 ⎤ ⎢1r ⎥ N1 0 N 2 0 N 3 0 ⎤ e 0 ⎡ ⎥ =⎢ ⋅δ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ⎥ ⎣ 0 N1 0 N 2 0 N 3 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣∂ ∂r ∂ ∂z ⎦ = B e (r , z ) ⋅ δ e

9-有限元四面体及六面体单元

9-有限元四面体及六面体单元

8 节 点 正 六 面 体
与平面4节点四边形单元类似，由单元的位移表达式(4117)可知，该单元的位移在x，y，z方向呈线性变化，所以称
为线性位移模式，正因为在单元的边界上，位移是按线性变
化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证 两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的 位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它 的应变和应力为一次线性变化，因而比4节点四面体常应变单
基本概念 空间问题有限元分析
1. 4节点四面体单元几何和节点描述
4 节 点 四 面 体
(4-102) (4-103)
基本概念 空间问题有限元分析
2.单元位移场的表达
4 节 点 四 面 体
该单元有4个节点，单元的节点位移有12个自由度(DOF)。因此每个方向的 位移场可以设定4个待定系数，根据节点个数以及确定位移模式的基本原则 （从低阶到高阶的完备性、唯一确定性），选取该单元的位移模式为
4 节 点 四 面 体
(4-108)
基本概念 空间问题有限元分析
3.单元应变场的表达Fra bibliotek4 节 点 四 面 体
(4-109)
(4-110)
基本概念 空间问题有限元分析
4.单元应力场的表达
4 节 点 四 面 体
(4-111)
基本概念 空间问题有限元分析
5.单元的刚度矩阵及节点等效载荷矩阵
4 节 点 四 面 体
元精度高。
基本概念 空间问题有限元分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
基本概念 空间问题有限元分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例

空间四面体单元(2015)

空间四面体单元(2015)


e
其子阵
v i, j , m, n i i wi
u a1 a2 x a3 y a4 z 单元内各点的位移可近似为线性多项式 v a5 a6 x a7 y a8 z w a9 a10 x a11 y a12 z
23/09/2008
北京航空航天大学
4
空间问题的应力分析 __四面体单元 四面体单元位移的形状函数表达式
其中
23/09/2008
北京航空航天大学
5
空间问题的应力分析 __四面体单元 同理
v N i vi N j v j N m vm N n vn
w N i wi N j w j N m wm N n wn
面力等效节点载荷列阵
q qx
23/09/2008
q y qz
T
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空间问题的应力分析 __四面体单元的刚度矩阵和
载荷矩
体积力等效节点载荷列阵
g gx
g y gz
T
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空间问题的应力分析 __形成四面体的对角线划分法
zx
T
T
平衡方程
23/09/2008
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x yx zx fx 0 x y z y zy xy f y 0 y z x z xz yz fz 0 z x y
N 为形函数矩阵。 式中， I 为三阶单位阵；
应力应变关系式
23/09/2008
北京航空航天大学
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第三章 轴对称、三维和高次单元§3-2 空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。

由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。

它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。

这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。

和平面问题一样，空间有限单元法采用单元也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体单元。

采用四面体单元和线性位移模式来处理空间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。

在采用四面体单元离散化后的空间结构物中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。

四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p 。

每个单元的计算简图如图3-7所示。

在位移法中，取节点位移为基本未知量，四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量)，其节点位移列阵为{}[]Tpp p m m m j jj i i ip m j i ew v u w v u w v u w v u =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=δδδδδ其子矩阵 {}[]i ii i w v u =δ (i,j,m)相应的节点力列阵为{}[]Tp m j ie F F F F F -图3-7 空间四面体单元其子矩阵 {}[]Ti i i i W V U F =一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标x 、y 、z 的函数。

当单元足够小时，单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述，即⎪⎭⎪⎬⎫+++=+++=+++=z y x w z y x v z y x u 121110087654321αααααααααααα (3-49) 式中1α，2α，…，12α是十二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。

假定节点i,j,m,p 的坐标分别为(i x i y i z )、(j x j y j z )、(m x m y m z )、 (p x p y p z )，将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x 方向的位移⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=p p p p m m m m j j j j i i i i z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα (3-50)解上述线性方程组，可得到1α，2α，3α，4α，再代入(3-50)式，得])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a Vu +++-+++++++-+++=(3-51) 其中V 为四面体ijmp 的体积，a i ,b i ，…，c p ,d p 为系数。

pppm m m j j j i i i z y x z y x z y x z y x V 1111=(3-52)p p pm m mj j ji z y x z y x z y x a = 111j ji m m p py z b y z y z = p p m m j j i z x z x z x c 111= 111p pm mj ji y x y x y x d = (i,j,m,p) (3-53) 为了使四面体的体积V 不致为负值，单元四个节点的标号i,j,m,p 必须按照一定的顺序：在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照i →j →m 的转向转动时，向p 的方向前进，象图3-1中单元那样。

用同样方法，可以得出其余二个位移分量：])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i v z d y c x b a v z d y c x b a v z d y c x b a v z d y c x b a Vv +++-+++++++-+++=(3-54) ])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i w z d y c x b a w z d y c x b a w z d y c x b a w z d y c x b a Vw +++-+++++++-+++=(3-55) 综合表达式(3-51)、(3-54)及(3-55)，可以将位移分量表示成为{}[]{}[]{}ep mj ieTIN IN IN IN N w v uf δδ===][ (3-56)其中I 是三阶的单位矩阵，[N]为形函数矩阵，而各个形函数为⎭⎬⎫+++-=+++=),(6/)(),(6/)(p j Vz d y c x b a N m i V z d y c x b a N i i i i j i i i i i (3-57) 和平面问题相似，(3-49)式中的系数1α，5α，6α代表刚性移动0u ，0v ，0w ；系数2α，7α，12α代表常量的正应变；其余6个系数反映了刚性转动x w ，y w ，z w 和常量剪应变。

这就是说，12个系数充分反映了单元的刚体位移和常量应变。

同时，可以证明：由于位移模式是线性的，两个相邻单元的共同边界在变形过程中 ，始终是相互贴合的，使得离散的模型变形中保持为连续体。

这样，选用的位移函数满足收敛的充分必要条件，保证了有限单元法解答收敛于精确解。

二、载荷移置空间问题的单元载荷移置和平面问题一样，也是根据静力等效原则，将不作用在节点上的集中力、体力、面力移置成作用在节点上的等效节点载荷。

其通用公式的形式和平面问题也是一样的，只不过多出一维空间分量。

1. 集中力设单元上某点(x,y,z)作用有集中力{}Txyz P P P P ⎡⎤=⎣⎦则仍然得到等效节点载荷{}{}P N R T ][= (3-58)这里 {}T p pp m m m j j j i i ieZ Y X Z Y X Z Y X Z Y X R ][=2. 分布体力单元上作用有分布体力{}T Z YXP ][=，则{}{}dV P N R T e ⎰=][ (3-59)其中dV 是单元中的微分体积，对于直角坐标系上式为{}{}dxdydz p N R eT e ⎰⎰⎰=][ (3-60)3. 分布面力单元的某一边界面 S 上作用有一分布面力{}[]TZ YX P =则 {}{}dA P N R T e⎰=][其中dA 是边界面S 上的微分面积。

4. 常见载荷的移置上列公式是空间问题载荷移置的通用公式。

对于四节点四面体单元，由于其采用线性位移模式，采用直接计算虚功的方法求出节点载荷比较简单。

下面介绍常见的二种载荷的移置。

(1) 重力四面体单元的自重为W ，作用在质心C 处(如图3-8)。

为求得节点载荷X i ,Y i ,Z i ,可分别假想发生1*=i u ,1*=i v 或1*=i w 的虚位移。

在1*=i u 或1*=i v 时，整个单元上各点的均没有z 方向上的虚位移，重力W 不做功，所以X i =Y i =0。

当1*=i w 时，jmp 面上各点的虚位移为零，即0*=b w ，又因bi bc 41=,所以有 41*=c w ， 4WZ i -= 对于其余三个节点可得同样结论，于是有{}Tei W R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=400(i,j,m,p) (3-61)即，对于四节点四面体单元承受的重力载荷，只需要把共41移置到每个节点上即可。

(2) 界面压力设四面体的一个边界面ijm 上受有一线性分布的压力P ，共在三个节点上的强度分别为q i ,0,0。

很容易看出，该力向p 点移置的等效节点力为零。

由水力学知，总压力ijm q P i ∆=31,作用于ijm 面上的d 点，d 点到ij 边和im 边的距离分别为m 到ij 及j 到im 边的距离的1/4。

于是可得{}Tijm i Tei q P P P R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=021211610442(3-62) 所得各节点载荷的方向和分布力的方向相同，要求各节点载荷分量还需乘上相应的方向余弦。

图3-8 重力移置由上述面力移置结果，可求出任意线性分布面的等效节点载荷。

如在ijm 面受有线性分布面力在各点强度分别为q i ，q j ，q m ，时，在i 节点的等效载荷为ijm m j i i q q q P ∆++=)2121(61 (i ，j ，m) (3-63)三、应力应变矩阵空间问题几何方程为{}Tz y x z y x z u x w yw z u x v y u z w y vx u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=γγγεεεε 将四面体单元之位移表达式(3-52)、(3-54)和(3-55)代入几何方程，即得单元应变。

用节点位移可表示为{}{}[]{}ep mj ie B B B B B δδε--==][ (3-64)式中应变矩阵子矩阵为6×3矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii i i ii i ii b d c d b c d c b V B 00000000061][ (i,j,m,p) (3-65) 由上式可以看出，每一个单元的应变矩阵是一个常量矩阵；因此，采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。

这与平面问题中的三角形单元是一样的。

而与平面问题的不同之处仅在于应变矩阵的阶数不同。

将表达式(3-16)代入空间问题的物理方程，即可得出用单元节点位移表示的单元应力：{}{}[]{}{}eeS B D D δδεσ][][][=== (3-66)式中弹性矩阵[]D 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=)1(221000)1(2210000)1(221000111111][μμμμμμμμμμμμ称对D 应力矩阵 []p m j iS S S S ][=S (3-67)令 μμ-=11A ， )1(2212μμ--=A则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=i ii i i i b A d A c A d A b A V E S 22222i2i i 1i 1i 1i i 1i 1i 1i 000c A d c A b A d A c b A d A c A b )21)(1(6)1(][μμμ (i,j,m,p) (3-68) 显然，式(3-68)中各元素均为常量，应力矩阵[Ｓ]是常量矩阵，所以，四面体单元是常应力单元。