湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高一上学期期末数学试题含答案

湖北省武汉市2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题（五）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =，11,B x ⎧⎫=⎨⎩⎭，且B A ⊆，则实数x =（）A ．12B ．1C ．12或1D ．02．已知实数,,a b c满足12330a b +⨯-=1=，()()25log 3a c x x x =+-+∈R ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a c b>>3．若ABC 的三个内角,,A B C 满足cos sin 2tan 2CA B ==，则sin cos 2tan A A A ++的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的0x >，()()22f x f x +=-成立，当[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，若对任意的[](),0x m m m ∈->，都有()13f x +≤，则m的最大值是（）A ．72B ．92C ．112D ．1325．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．12B 1C 1D ．126．已知函数()23f x x x =+，x ∈R .若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．()9,+∞C ．()()0,19,⋃+∞D ．()1,97．已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦8．已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x ++的最小值为（）A ．72B ．8C ．92D ．12二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4B ．()12x f x x +=+图象关于点()2,1-成中心对称C ．函数1y x=的单调递减区间是()(),00,∞-+∞U D ．幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为110．已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，()f x 为偶函数，且()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=，下列说法正确的有（）A ．函数()g x 的图象关于1x =对称B ．函数()f x 的图象关于()1,1--对称C ．函数()f x 是以4为周期的周期函数D ．函数()g x 是以6为周期的周期函数11．设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减12．已知函数232()log 1ax bx cf x x ++=+，以下说法正确的有（）A ．若()y f x =的定义域是(1,3)-，则0a >B ．若()y f x =的定义域是R ，则0a >C ．若()y f x =在R 上的值域是[0,2]，则10a c +=D ．()y f x =的值域不可能是R三、填空题13．已知{}23100A x x x =∈--≤R ，()146,0,B x x t t t ⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭R ，则集合A B = ______．14．某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，已知过滤过程中废气的剩余污染物数量P （单位：mg/L ）与过滤时间t （单位：小时）之间的关系式为0ektP P -=其中0P 为废气中原污染物总量，k 为常数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n 小时，则正整数n 的最小值为_______．（参考数据：ln 20.693≈，ln 5 1.609≈）15．已知a，b ，c 是正实数，且b c +=，则2241ac a bc a +++最小值为__________.16．函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()R t ∈上的最大值与最小值之差的取值范围为______.四、解答题17．已知全集[0,5],{|121}A B x m x m ==+≤≤-．(1)若2m =，求A B⋂(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．18．已知函数()2sin (cos sin ) 1.f x x x x =-+(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.19．已知ABC 为斜三角形．(1)证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；(2)若ABC 为锐角三角形，sin 2sin sin C A B =，求tan tan tan A B C ++的最小值．20．已知函数()()22log 2,R f x x mx m =-∈.(1)记集合(){01,0}A xf x x =≤≤>∣，若[],A a b =，求证：1b a -；(2)设函数()(),32,3f x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，若存在实数0x ，使()()00g x g x -=-，求实数m 取值范围.21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y （单位：万元）随着业绩值x （单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值得5%．（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数lg 1y x kx =++（k 为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg 20.30≈，lg 30.48≈）（2）若采用函数21()(0.05)10090004f x x a x a =--+-，求a 的范围．22．对于函数()f x ，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“伪奇函数”．(1)已知函数2()21f x x x =--，试判断()f x 是否为“伪奇函数”，并说明理由；(2)若幂函数()()()31ng x n xn -=-∈R 使得()()2g x f x m =+为定义在[2,2]-上的“伪奇函数”，试求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得12()422x x f x m m +=-⋅+-是定义在R 上的“伪奇函数”，若存在，试求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【分析】根据集合的包含关系，利用元素互异性的特征，建立方程，可得答案.【详解】解：∵集合{0,1,2}A =，11,B x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知12x=，解得实数12x =．故选：A ．2．D【分析】根据指数运算法则可知31a b ->，得到a b >；>结合幂函数单调性知c b >；根据对数型复合函数值域的求法可求得a c >，由此可得结果.【详解】由12330a b +⨯-=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b-∴=>，0a b ∴->，即a b >；1=>，即c b >；由()()25log 3a c x x x =+-+∈R 得：()25log 3a c x x -=-+，221553222y x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭ ，()25555log 3log log 102x x ∴-+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>.故选：D.3．B【分析】根据cos sin 2tan2CA B ==利用诱导公式推得π2B A =-或ππ()2B A =--，说明π2B A =-时不合题意，则由ππ()2B A =--可得π22C A =-，化简2tan 2C可得2(1tan )cos sin 1tan A A B A-==+，整理变形即可求得答案.【详解】由题意ABC 的三个内角,,A B C 满足cos sin 2tan2C A B ==，则πcos sin 0,(0,)2A B A =>∴∈，故πsin()sin 2A B -=，则π2B A =-或ππ()2B A =--，若π2B A =-，则ππ,22A B C +=∴=，则cos sin 2tan2tan 22π4C A B ====，不合题意；若ππ()2B A =--，则ππ,π222B AC A B A =+∴=--=-,所以2(1tan )2tan 2tan()2an 4t π1C A A A -=-=+，则2(1tan )cos sin 1tan A A B A -==+，则2(1tan )cos ,cos (1tan )2(1tan )1tan A A A A A A-=∴+=-+，即cos sin 22tan ,sin cos 2tan 2A A A A A A +=-∴++=，故选：B 4．A【分析】求出函数()f x 在区间[]2,4、[]4,6上的值域，然后在[]4,6x ∈时解不等式()3f x ≤，根据题意可得出关于实数m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围，即可得解.【详解】令()()g x f x =，其中x ∈R ，则()()()()()g x f x f x f x g x -=-=-==，所以，函数()g x 为偶函数，当[]0,2x ∈时，()[]20,12f x x x -∈=，则当[]2,4x ∈时，022x ≤-≤，则()()()()[]222222222680,2f x f x x x x x =-=---=-+-∈，当[]4,6x ∈时，042x ≤-≤，则()()()()[]22444244410240,4f x f x x x x x =-=---=-+-∈，当[]4,6x ∈时，由()2410243f x x x =-+-≤可得942x ≤≤或1162x ≤≤，当[](),0x m m m ∈->时，111m x m -≤+≤+，由()13f x +≤可得9129120m m m ⎧+≤⎪⎪⎪-≥-⎨⎪>⎪⎪⎩，解得702m <≤.故选：A.5．D【分析】分离变量将问题转化为a 0,0x y >>恒成立，进而求出(0)t t =>及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，a 0,0x y >>的最1y x +(0)t t =>2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m==时取得“=”.所以212a ≥，即实数a的最小值为12.故选：D.6．C【分析】分析23y x x =+、|1|y a x =-的性质，将问题化为()f x 与|1|y a x =-（0a >）有4个交点，进而只需保证23y x x =+与(1)y a x =-（0a >）相交求参数范围即可.【详解】由23y x x =+开口向上且对称轴为32x =-，而(1)y a x =-恒过点(1,0)，所以2()|3|f x x x =+的图象只需将23y x x =+函数值为负的部分翻折到x 轴上方，对应|1|y a x =-关于1x =对称，当0a >时图象在x 轴上方，当0a =时图象为x 轴，当0a <时图象在x 轴下方，所以要使()f x 与|1|y a x =-有4个交点，则0a >.综上，2()|3|f x x x =+与|1|y a x =-的示意图象如下图：当|1|y a x =-左侧与()f x 在(3,0)x ∈-上相交有4个交点，或|1|y a x =-在1x =两侧与()f x 各有2个交点，由图知：只需保证23y x x =+与(1)y a x =-（0a >）相交即可，令23(1)x x a x +=-，则2(3)0x a x a +-+=，故2(3)4(9)(1)0a a a a ∆=--=-->，所以01a <<或9a >.故选：C 7．B【分析】由已知，分别根据函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合ω的本身范围进行求解.【详解】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈①又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈②又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：028********ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.8．D【分析】先画出分段函数图像，确定1x ，2x ，3x ，4x 的范围，由()()3334log 1log 1x x --=-结合对数运算可得()()34111x x --=，)12x x -与34122x x +分别利用均值不等式求最小值，确认取等条件相同，即可得最小值.【详解】函数图像如图所示，()17f =，(]0,7t ∈，1234212x x x x <-<≤<<<，124x x +=-，由()()()()()()333433434log 1log 1log 110111x x x x x x --=-⇒--=⇒--=，∴()()34342112122251x x x x =-+++-5922≥+=，当且仅当343,32x x ==时，等号成立，此时1t =；)()2212121212422x x x x x x x x ⎛⎫-+-+⎛⎫=-≥-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1222x x =-=-时等号成立，此时1t =.所以)1234122x x x x +++的最小值为91422-=.故选：D 9．BD【分析】计算抽象函数定义域得到A 错误；根据平移法则得到B 正确；计算单调区间得到C 错误；根据幂函数的定义结合单调性计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为满足022x ≤≤，解得01x ≤≤，故定义域为[]0,1，错误；对选项B ：()11122x f x x x +==-++，函数可以由奇函数1y x=-，向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，故()f x 图象关于点()2,1-成中心对称，正确；对选项C ：函数1y x=的单调递减区间是(),0∞-和()0,∞+，错误；对选项D ：幂函数()()23433m f x m m x -=-+，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，当2m =时，()2f x x =在()0,∞+上为增函数，排除；当1m =，()1f x x -=，满足条件，故1m =，正确.故选：BD10．BC【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=．由()()21f x g x +-=，可得()()21f x g x -++=，可得()()22g x g x +=-，所以，函数()g x 的图象关于直线2x =对称，A 错；对于B 选项，因为()()43g x f x --=，则()()223g x f x ----=，又因为()()21f x g x +-=，可得()()22f x f x +--=-，所以，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，B 对；对于C 选项，因为函数()f x 为偶函数，且()()22f x f x +--=-，则()()22f x f x ++=-，从而()()242f x f x +++=-，则()()4f x f x +=，所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为()()43g x f x --=，且()()4f x f x =-，()()3g x f x ∴-=，又因为()()21f x g x +-=，所以，()()24g x g x +-=，又因为()()22g x g x -=+，则()()24g x g x ++=，所以，()()244g x g x +++=，故()()4g x g x +=，因此，函数()g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.11．AB【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π3]3ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,)32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.12．CD【分析】对AB ，根据对数函数的定义域，结合二次不等式解集与系数的关系判断即可；对C ，根据对数函数的值域，结合二次不等式判别式法求值域的逆用求解即可；对D ，根据()y f x =的值域为R 则221ax bx c x +++的值域包含()0,∞+，结合二次函数的性质求解即可.【详解】对A ，232()log 1ax bx c f x x ++=+的定义域是2201ax bx c x ++>+，即20ax bx c ++>，若()y f x =的定义域是(1,3)-，则2y ax bx c =++开口向下，a<0，故A 错误；对B ，若0,0a b c ==>，则32()log 1c f x x =+，其定义域为R ，故B 错误.对C ，因为232()log 1ax bx c f x x ++=+的值域是[0,2]，则221ax bx c y x ++=+的值域为[1,9]，整理221ax bx c y x ++=+可得()20a y x bx c y -++-=，则19y ≤≤且y a ≠是关于()20a y x bx c y -++-=的判别式()()240b a y c y ---≥的解，而y a =也符合该不等式，所以1,9是方程()()240b a y c y ---=，即()224440y a c y ac b -++-=的两根，此时由韦达定理()4194a c ++=，即10a c +=，故C 正确；对D ，当()y f x =的值域为R 则函数221ax bx c y x ++=+的值域包含()0,∞+，则同C ，()()240b a y c y ---≥，即()224440y a c y ac b -++-≤的解集包含()0,∞+.但其关于y 的二次函数开口向上，解集不可能包括()0,∞+，故函数221ax bx c y x ++=+的值域不包含()0,∞+，故D 正确；故选：CD13．{}25x x -≤≤【解析】解一元二次不等式即可化简出集合A ，结合基本不等式即可化简集合B ，从而可求出两集合的交集.【详解】{}()(){}{}2310052025A x x x x x x x x =∈--≤=∈-+≤=∈-≤≤R R R ，∵14662x t t =+-≥-=-，∴{}2B x x =∈≥-R ，∴{}25A B x x ⋂=-≤≤，故答案为:{}25x x -≤≤.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了基本不等式，考查了两集合交集运算，属于基础题.本题的关键是正确化简两集合.14．13【分析】由题求出k 值，再令05%P P ≤，求出对应n 值即可.【详解】由题可知3001e 2k P P -=，解得ln 23k =，故l 230n e t P P -=，若ln 23005e %n P P P -≤=，即ln 2ln 202ln 2ln 53n ≥=+，2ln 2ln 5ln 532312.965ln 2ln 2n +⎛⎫≥⨯=+⨯≈ ⎪⎝⎭，故正整数n 的最小值为13.故答案为：1315．2-【分析】首先变形为2222ac a ac a c a bc b bc b bc +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再根据b c +=，变形为22c c b bc b +=+，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求2241ac a bc a +++最小值.【详解】由题，2242424111ac a ac a c a bc a b bc a b bc a +⎛⎫+=++=++ ⎪+++⎝⎭，其中22c c b bc b +=+()2422233333b c c c b b bc b c +=+=+≥=，当且仅当433c b b c=，即2b c =时取等，故242442111ac a c a a b bc a b bc a a ⎛⎫++=++≥+ ⎪+++⎝⎭()4212221a a =++-≥=+，当且仅当()4211a a +=+时，即1a =时取等.故答案为：216．⎣【分析】根据三角函数的性质结合函数的图象可得函数在区间π,4t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭内取得最值且()π4f t f t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，函数的最大值与最小值之差取得最小值，当函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内最值在端点上取时取得最大值，进而即得.【详解】作函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的大致图象，区间π,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为π4，函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为π，当函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内取得最值，且()π4f t f t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()R t ∈上的最大值与最小值之差取得最小值为2122-=；当函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内最值在端点上取时，()π4f t f t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ππ121πsin 2sin 222t t ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos 2si 22n 12t t ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π124t ⎛⎫++≤ ⎝⎭，所以函数()π12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()R t ∈上的最大值与最小值之差的取值范围为⎣.故答案为：22⎡⎢⎣.17．(1){3}；(2)3m ≤.【分析】（1）当2m =时，得B ，由交集运算即可求解；（2）由题可知B 真包含于A ，分集合B =∅和B ≠∅两种情况分类讨论，即可求解m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，{}3B =，又[0,5]A =，所以A B ⋂={3}；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，于是得B 真包含于A ，①当B =∅时，211,2m m m -<+∴<；②当B ≠∅时，由B 真包含于A 得21121510m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩（等号不能同时成立），23m ∴≤≤，综上所述，3m ≤.18．(1)3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)10.【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；（2）由题意可求得πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据平方关系求出πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据ππsin sin 44αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：π()2sin (cos sin )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）解：因为π24f αα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3π5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππ34sin sin 44525210αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=--⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.19．(1)证明见解析(2)8【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；（2）推导出tan tan 2tan tan A B A B +=，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得tan tan tan A B C ++的最小值.【详解】（1）证明：180A B C +=- ，所以()tan tan A B C +=-．因为90C ≠ ，所以tan tan 1A B ≠，所以()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-．由tan tan tan 1tan tan A B C A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．（2）解：因为()sin sin o si c s cos sin n C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 2sin sin A B A B A B +=，可得tan tan 2tan tan A B A B +=．由（1）得tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=()22tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1A B A B A B A B A B +=⋅=--．因为ABC 为锐角三角形，由tan tan tan 01tan tan A B C A B+=-<-可知tan tan 10A B ->，设tan tan 1A B t -=，则()2211tan tan tan 222228t A B C t tt ⎛⎫+⎛⎫++==++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1t =时取等号，再由（1）可得tan tan 2tan tan 22tan 4tan tan 1tan tan 121A B A B C A B A B +⨯====---，此时tan tan 4tan tan 2A B A B +=⎧⎨=⎩，解得tan 2tan 2A B ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或tan 2tan 2A B ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩时，即当tan 2tan 2tan 4A B C ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或tan 2tan 2tan 4A B C ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为8.20．(1)证明详见解析(2)5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）解不等式()01f x ≤≤，根据其解集为[],a b ，求得b a -，进而证得不等式成立.（2）将问题转化为()2f x =在区间[)3,+∞有解，结合分离常数法以及函数的单调性求得m 的取值范围.【详解】（1）依题意集合()[]{01,0},A xf x x a b =≤≤>=∣，由()220log 21x mx ≤-≤得2122x mx ≤-≤，222122x mx x mx ⎧-≥⎨-≤⎩，即22210220x mx x mx ⎧--≥⎨--≤⎩，由于0x >m m >=≥，所以不等式2210x mx --≥解得x m ≥，不等式2220x mx --≤解得0x m <≤，所以不等式组22210220x mx x mx ⎧--≥⎨--≤⎩的解为m x m ≤≤，所以a m b m ==+所以b a-=1=.（2）依题意，函数()(),32,3f x xg xx⎧≥=⎨-<⎩，且存在实数0x，使()()00g x g x-=-，所以()2f x=在区间[)3,+∞有解，即()22log22x mx-=在区间[)3,+∞有解，即()222log22log4x mx-==，2224,240x mx x mx-=--=，2442xm xx x-==-，函数4y xx=-在[)3,+∞上递增，所以45523,336m m≥-=≥，所以m的取值范围是5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本小题的第一问比较抽象和难理解，关键点是解对数不等式()01f x≤≤，大胆往下计算，即可求得,a b.第二问类似奇函数图象关于原点对称，突破口在于将问题进行转化，转化为()2f x=，研究方程有解来进行求解.21．（1）5.3万元；（2）1030.05a≤≤．【分析】（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.（2）根据题意列出关于x的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数a的取值范围.【详解】（1）对于函数模型lg1y x kx=++（k为常数），当100x=时，4y=，代入解得1100k=，即1lg1100y x x=++，当[]60,200x∈时，1lg1100y x x=++是增函数，当200x=时，()lg20021lg21003lg25 5.30y=++=⨯+=+≈，所以业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励．（2）对于函数模型21()(0.05)10090004f x x a x a=--+-，因为函数()f x在[]60,200递增，所以(0.05)60124a---≤⨯，即30.05a≤；又由奖金不超过业绩值得5%，得21()(0.05)10090005%4f x x a x a x =--+-≤⋅恒成立，即21100900004x ax a -+-≤对[]60,200x ∈恒成立．记21()10090004g x x ax a =-+-，因为二次函数()g x 图象开口向上且30.05a ≤，所以函数图象的对称轴260.1x a =≤，所以只需max ()(200)0g x g =≤，即1000020010090000a a -+-≤解得10a ≥．综上可知，实数a 的取值范围是：1030.05a ≤≤．22．(1)见解析；(2)17,18⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；(3)1⎡⎣.【分析】（1）根据“伪奇函数”的概念，可以求出1x =±满足()()f x f x -=-，得到()f x 是“伪奇函数”；（2）由幂函数的概念求出n 的值，把结论转化为对勾函数在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域问题，进而解不等式得答案；（3）由题意把结论化为关于22x x -+的二次方程有解的问题，通过换元引入二次函数，进而转化二次函数为在给定的区间有零点问题，列不等式解得答案.【详解】（1）若函数2()21f x x x =--为“伪奇函数”，则方程()()f x f x -=-有实数解，即222121x x x x +-=-++有解，整理得21x =解得1x =±，所以()f x 为“伪奇函数”；（2）因为3()(1)(R)n g x n x n -=-∈为幂函数，所以11n -=即2n =，所以()g x x =，则由()2x f x m =+为定义在[2,2]-上的“伪奇函数”，所以22x x m m -+=--在[2,2]-有解，整理得122222x x x xm --=+=+，令2x t =，则144t ≤≤，对于函数()1h t t t=+，答案第17页，共17页设12144t t ≤<≤，则()()()212121211t t h t h t t t t t --=-⋅当121,4t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()()21h t h t <，所以()h t 是减函数，当[]12,1,4t t ∈时，有()()21h t h t >，所以()h t 是增函数，又()111744444h h ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，()12h =，所以()1724h t ≤≤，所以17224m ≤-≤解得1718m -≤≤-，所以实数m 的取值范围是17,18⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（3）若12()422x x f x m m +=-⋅+-是定义在R 上的“伪奇函数”，则()()f x f x -=-在R 上有实数解，即2242224222x x x x m m m m ---⋅+-=-+⋅-+，整理得()244222240x x x x m m --+-++-=，()()2222222260x x x x m m --+-++-=，令122222x x x x s -=+=+≥=，当且仅当0x =取到等号，则222260s ms m -+-=在[)2,+∞上有解，令()()22222266h s s ms m s m m =-+-=-+-在[)2,+∞上有零点，所以()222Δ44260m m m ≥⎧⎪⎨=-⨯-≥⎪⎩，即2m m ≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩2m ≤，或者()()222222420Δ44260m h m m m m ⎧<⎪⎪=--≤⎨⎪=-⨯-≥⎪⎩，即211m m m <⎧⎪≤≤+⎨⎪≤≤⎩12m <，综上可得m的取值范围是1⎡⎣【点睛】关键点点睛；本题为新概念题，第一问判断函数是否为“伪奇函数”，第二问已知函数为“伪奇函数”求参数的范围，第三问是否存在参数使函数为“伪奇函数”，解题关键是正确理解“伪奇函数”的概念，把问题转化为方程有解的问题，理解了概念就会发现三者本质上是一个问题.。

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．5(1+i 3)(2+i)(2−i)=（ ）A ．﹣1B ．1C ．1﹣iD ．1+i2．一组数据按从小到大的顺序排列为1、2、4、4、4、x 、7、8、8、9，若该组数据的中位数是众数的54倍，则x 为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．73．已知向量a →与b →的夹角为5π6，且|a →|=2，|b →|=3，则a →在b →方向上的投影向量是（ ）A ．−√23a →B ．−√33b →C ．13b →D ．−13b →4．某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成组（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为0.006B ．估计某校成绩落在[60，70）内的学生人数为50人C ．估计这20名学生考试成绩的众数为80分D ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为80分5．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γB ．m 与n 异面，l ⊥m ，l ⊥n ，则不存在α，使得l ⊥α，m ∥α，n ∥αC ．m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nD ．m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ∥β6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1（包含边界）上的一动点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是（ ）A ．[1，√52]B ．[3√24，√52]C ．[3√22，√5]D ．[2，√5]7．已知△ABC ，AB ＝6，AC ＝4，N 是边BC 上的点，且BN →=3NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →⋅AO →的值为（ ） A ．212B ．10C ．173D ．98．已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．36πD ．40π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．2+i ＞1+2i B ．|z •i |＝|z |C ．若复数z 满足|z |＝1，则z ＝±1或z ＝±iD ．已知复数z 满足|z ﹣1|＝|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线10．为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为6，方差为8；图书管理员乙也抽取了一个容量为200的样本，并算得样本的平均数为9，方差为11．若将两个样本合在一起组成一个容量为300的新样本，则新样本数据的（ ） A ．平均数为7.5 B ．平均数为8 C ．方差为12D ．方差为1011．已知α∈（0，π），且α≠π2．当∠xOy ＝α时，定义平面坐标系xOy 为“α﹣仿射”坐标系，在“α﹣仿射”坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e 1→，e 2→分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若OP →=xe 1→+ye 2→，则记为OP →=(x ，y)，那么下列说法中正确的是（ ）A ．设a →=(m ，n)，则|a →|=√m 2+n 2B ．设a →=(m ，n)，b →=(s ，t)，若a →∥b →，则mt ﹣ns ＝0C ．设a →=(m ，n)，b →=(s ，t)，若a →⊥b →，则ms +nt +（mt +ns ）sin α＝0D ．设a →=(−1，2)，b →=(−2，1)，若a →与b →的夹角为α，则α=π3 12．某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②．则下列说法正确的有（ ）A ．多面体ABCDEF 的体积为94B ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4C ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58D ．球离球托底面DEF 的最小距离为√3+√63−1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知2i ﹣3是关于x 的方程2x 2+px +q ＝0（其中p ，q ∈R ）的一个根，则p +q ＝ ．14．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ＝2，E 为PC 的中点，则异面直线AP 与DE 所成角的余弦值为 ．15．在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ．若3sin C cos A ＝sin B ，a 2﹣c 2＝2，则b ＝ ． 16．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙= ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A （2，0），B （0，1），C （1，2），直线AB 与单位圆在第一象限的交点为P ． （1）求cos ∠BCA ； （2）求OP →⋅OC →．18．（12分）已知直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC ，AB ⊥面B 1C 1CB ，M 为AB 的中点． （1）证明：AC 1∥平面MB 1C ；（2）若直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为1，且AB ＝BC ＝1，求直线AC 1与平面B 1C 1CB 所成角的正弦值．19．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数x 和y ，样本方差分别为S 12和S 22．已知x =10，y =10.3，S 12＝0.036．（1）求a ，S 22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y −x ≥2√S 12+S 2210，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）．20．（12分）等腰直角△ABC 中，BA ＝BC ＝5，∠ABC ＝90°，P 为△ABC 内一点，∠APB ＝90°． （1）若AP ＝4，求PC ；（2）若∠BPC ＝120°，求tan ∠BAP ．21．（12分）如图，在三棱台ABC ﹣DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，DC ＝2BC ． （1）求异面直线EF 与DB 所成角的余弦值； （2）求二面角A ﹣CD ﹣B 的大小的正切值．22．（12分）小明对圆柱中的截面进行一番探究．他发现用平行于底面的平面α去截圆柱可得一圆面，用与水平面成一定夹角φ的平面β去截可得一椭圆面，用过轴的平面去截可得一矩形面．（1）图1中，圆柱底面半径为√3，高为2，轴截面为ABCD，设Q为底面（包括边界）上一动点，满足Q到A的距离等于Q到直线DB的距离QH，求三棱锥Q﹣ABD体积的最大值；（2）如图2，过圆柱侧面上某一定点O的水平面α与侧面交成为圆C1，过O点与水平面成φ角的平面β与侧面交成为椭圆C2，小明沿着过O的母线MN前开，把圆柱侧面展到一个平面上，发现圆C1展开后得到线段OO'，椭圆C2展开后得到一正弦曲线（如图3），设P为椭圆上任意一点，他很想知道原因，于是他以O为原点，OO'为x轴建立了平面直角坐标系，且设P（x，y）（图3）．试说明为什么椭圆C2展开后是正弦曲线，并写出其函数解析式y＝f（x）．2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．5(1+i 3)(2+i)(2−i)=（ ）A ．﹣1B ．1C ．1﹣iD ．1+i解：5(1+i 3)(2+i)(2−i)=5(1−i)5=1﹣i ．故选：C ．2．一组数据按从小到大的顺序排列为1、2、4、4、4、x 、7、8、8、9，若该组数据的中位数是众数的54倍，则x 为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7解：10个数据按从小到大的顺序排列为1、2、4、4、4、x 、7、8、8、9， 所以该组数据的中位数是12×（4+x ），众数是4，由12×（4+x ）＝4×54，解得x ＝6．故选：C ．3．已知向量a →与b →的夹角为5π6，且|a →|=2，|b →|=3，则a →在b →方向上的投影向量是（ ）A ．−√23a →B ．−√33b →C ．13b →D ．−13b →解：因为向量a →与b →的夹角为5π6，且|a →|=2，|b →|=3，所以a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos5π6=2×3×(−√32)=−3√3， 所以a →在b →方向上的投影向量为a →⋅b→|b →|×b→|b →|=−3√33×b →3=−√33b →．故选：B ．4．某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成组（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．频率分布直方图中a的值为0.006B．估计某校成绩落在[60，70）内的学生人数为50人C．估计这20名学生考试成绩的众数为80分D．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为80分解：由频率分布直方图，得：10×（2a+3a+7a+6a+20）＝1，解得a＝0.005，故A错误；总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为3×0.005×10×200＝30，故B错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；前三个矩形的面积和为10×（2a+3a+7a）＝0.6，∴这20名学生数学考试成绩的第60百分数为80，故D正确．故选：D．5．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．m与n异面，l⊥m，l⊥n，则不存在α，使得l⊥α，m∥α，n∥αC．m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n∥β解：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内a与b外任取一点A，分别过A作a与b的垂线，可得两垂线都垂直于l，即可得到l⊥γ，故A正确；m与n异面，l⊥m，l⊥n，则存在平面α，使得m∥α，n∥α，l⊥α，故B错误；m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n有三种位置关系：平行、相交或异面，故C错误；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又m⊥β，则n⊥β，故D错误．故选：A．6．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BCC1B1（包含边界）上的一动点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A ．[1，√52]B ．[3√24，√52]C ．[3√22，√5]D ．[2，√5]解：如下图所示，分别取棱BB 1，B 1C 1的中点M 、N ，连MN ，BC 1， ∵M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则MN ∥BC 1，EF ∥BC 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴MN ∥平面AEF ． ∵AA 1∥NE ，AA 1＝NE ， ∴四边形AENA 1为平行四边形， ∴A 1N ∥AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴A 1N ∥平面AEF ， 又A 1N ∩MN ＝N ， ∴平面A 1MN ∥平面AEF ．∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P ∥平面AEF ， ∴点P 必在线段MN 上．在Rt △A 1B 1M 中，A 1M =√A 1B 12+B 1M 2=√22+1=√5． 同理，在Rt △A 1B 1N 中，可得A 1N =√5， ∴△A 1MN 为等腰三角形．当点P 为MN 中点O 时，A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短；点P 位于M 、N 处时，A 1P 最长． ∵A 1O =√A 1M 2−OM 2=√(√5)2−(√22)2=3√22，A 1M ＝A 1N =√5． ∴线段A 1P 长度的取值范围是[3√22，√5]．故选：C ．7．已知△ABC ，AB ＝6，AC ＝4，N 是边BC 上的点，且BN →=3NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →⋅AO →的值为（ ）A ．212B ．10C ．173D ．9解：设外接圆的半径为r ，O 为外接圆心， 则r cos ∠OAB =12AB =3，r cos ∠OAC =12AC =2，因为N 是边BC 上的点，且BN →=3NC →，∴AN →=14AB →+34AC →，所以AO →⋅AN →=AO →⋅(14AB →+34AC →)=14AO →⋅AB →+34AO →⋅AC → =14r ×6×cos∠OAB +34r ×4×cos∠OAC =14×6×3+34×4×2=212． 故选：A ．8．已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．36πD ．40π解：如第一个图所示，正四棱锥S ﹣EFGH 中，其侧棱上的八个三等分点构成正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，且正方形ABCD 的边长为2，正方形A 1B 1C 1D 1的边长为4；正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，MN 是正四棱台的高，MB=√22×2=√2，NB1=√22×4=2√2，在直角梯形MNB1B中，MN=√22−(2√2−√2)2=√2，由对称性外接球球心O在直线MN上，设球半径为r，连接OA，OA1，AM=√2，A1N=2√2，若O在线段MN上（如第二个图所示），由OM+ON＝MN得√r2−2+√r2−8=√2，因为r2≥8，√r2−2＞√2，所以方程无实数解，因此O在MN的延长线上（如第三个图所示），即在平面A1B1C1D1下方，因此有√r2−2−√r2−8=√2，解得r2＝10，所以球表面积为S＝4πr2＝40π．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．2+i＞1+2iB．|z•i|＝|z|C．若复数z满足|z|＝1，则z＝±1或z＝±iD．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：复数不能比较大小，A错误；设z＝a+bi（a，b为实数），则|z•i|＝||ai﹣b|=√a2+b2=|z|，B正确；当z =12+√32i 是，C 显然错误；由|z ﹣1|＝|z +1|可得√(a −1)2+b 2=√(a +1)2+b 2，即a ＝0，此时z ＝bi 所对应的点（0，b ）的轨迹为直线，D 正确． 故选：BD ．10．为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为6，方差为8；图书管理员乙也抽取了一个容量为200的样本，并算得样本的平均数为9，方差为11．若将两个样本合在一起组成一个容量为300的新样本，则新样本数据的（ ） A ．平均数为7.5 B ．平均数为8 C ．方差为12D ．方差为10解：由题意可知，新样本数据的平均数为：100×6+200×9100+200=8，新样本数据的方差为：100100+200×[8+（8﹣6）2]+200100+200×[11+(8−9)2]=12．故选：BC ．11．已知α∈（0，π），且α≠π2．当∠xOy ＝α时，定义平面坐标系xOy 为“α﹣仿射”坐标系，在“α﹣仿射”坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e 1→，e 2→分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若OP →=xe 1→+ye 2→，则记为OP →=(x ，y)，那么下列说法中正确的是（ ） A ．设a →=(m ，n)，则|a →|=√m 2+n 2B ．设a →=(m ，n)，b →=(s ，t)，若a →∥b →，则mt ﹣ns ＝0C ．设a →=(m ，n)，b →=(s ，t)，若a →⊥b →，则ms +nt +（mt +ns ）sin α＝0D ．设a →=(−1，2)，b →=(−2，1)，若a →与b →的夹角为α，则α=π3解：由题意可得：|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→⋅e 2→=1×1×cosα＝cos α， 对于A ，若a →=(m ，n)，则a →=me 1→+ne 2→，则有a →2=m 2e 1→2+2mn e 1→⋅e 2→+n 2e 2→2=m 2+n 2+2mn cos α， 所以|a →|=√m 2+n 2+2mncosα，故A 错误； 对于B ，∵a →=(m ，n)，b →=(s ，t)，则a →=me 1→+ne 2→，b→=se 1→+te 2→，若a →∥b →，则有：当a →=0→或b →=0→时，则m ＝n ＝0或s ＝t ＝0，可得mt ﹣ns ＝0成立； 当a →≠0→且b →≠0→时，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →， 则m e 1→+n e 2→=λ(se 1→+te 2→)=λse 1→+λte 2→， 可得{m =λs n =λt，整理得mt ﹣ns ＝0；综上所述：若a →∥b →，则mt ﹣ns ＝0，故B 正确；对于C ，∵a →=(m ，n)，b →=(s ，t)，则a →=me 1→+ne 2→，b →=se 1→+te 2→， 可得a →⋅b →=(me 1→+ne 2→)⋅(se 1→+te 2→) =mse 1→2+(mt +ns)e 1→⋅e 2→+nte 2→2＝ms +nt +（mt +ns ）cos α，若a →⊥b →，则ms +nt +（mt +ns ）cos α＝0，故C 错误； 对于D ，∵a →=(−1，2)，b ＝（﹣2，1），由选项A 可得：|a →|=√5−4cosα，|b →|=√5−4cosα，由选项C 可得：a →⋅b →=(−1)×(−2)+2×1+[（﹣1）×1+2×（﹣2）]cos α＝4﹣5cos α，若a →与b →的夹角为π3，则cosπ3=a →⋅b→|a →||b →|，即12=√5−4cosα⋅√5−4cosα=4−5cosα5−4cosα，解得cosα=12，∵α∈（0，π ），则α=π3，故D 正确． 故选：BD ．12．某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②．则下列说法正确的有（ ）A ．多面体ABCDEF 的体积为94B ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4C ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58D ．球离球托底面DEF 的最小距离为√3+√63−1 解：设球的半径为R ，则4πR 33=4π3，解得R ＝1，B ：经过A 、B 、C 的球的截面圆，如下图即为等边△GHI 的外接圆， 若其半径为r ，则r =13⋅DF ⋅sin π3=√33，所以面积为πr 2=π3，故错误；C ：如下图，过D 作DK ∥FC 且DK ＝FC ，则∠KDA 为异面直线AD 与CF 所成角，且△KMD ≅△CDF ，H ，G 为MD ，DE 中点，∴AK =HG =12ME =√3，故cos ∠KDA =KD 2+AD 2−AK 22KD⋅AD=58，故正确； A ：将几何体补全为直三棱柱，如下图示，∴多面体ABCDEF的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，∴由下图知：V=√3×12×2×2×sinπ3−3×13×√3×12×1×1×sinπ3=94，故正确；D：如下图为球体纵向轴截面，LN为球面上过A、B、C的截面圆直径，则OM=√1−13=√63，∴球离球托底面DEF的最小距离为OM+√3−R=√3+√63−1，故正确；故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q＝0（其中p，q∈R）的一个根，则p+q＝38．解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q＝0（其中p，q∈R）的一个根，∴﹣2i﹣3也是关于x的方程2x2+px+q＝0（其中p，q∈R）的一个根．∴2i﹣3+（﹣2i﹣3）=−p2，（2i﹣3）（﹣2i﹣3）=q2．解得p＝12，q＝26．∴p+q＝38．故答案为：38．14．在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为√33．解：如图，取PC中点E，设AC∩BD＝0，连接EO，ED．因为四边形ABCD 为正方形，E 为PC 的中点，则OE ∥AP ，OE =12AP ． 所以∠DEO （或其补角）为异面直线AP 与DE 所成角． 在正四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝AB ＝2，所以P A ＝PC ＝PD ＝CD ＝BC ＝2，DO =12BD =12√BC 2+CD 2=√2，OE =12AP ＝1．在正三角形PDC 中，E 为PC 的中点，DE ＝CD •sin60°=√3． 所以DO 2+EO 2＝DE 2，∠DOE ＝90°． cos ∠DEO =OE DE =3=√33． 即异面直线AP 与DE 所成角的余弦值为√33． 故答案为：√33． 15．在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ．若3sin C cos A ＝sin B ，a 2﹣c 2＝2，则b ＝ √6 ． 解：因为3sin C cos A ＝sin B ， 所以由正弦定理可得3c cos A ＝b ，由余弦定理可得3c ⋅b 2+c 2−a 22bc=b ，化简得b 2＝3a 2﹣3c 2，又由于a 2﹣c 2＝2， 解得b 2＝6， 可得b =√6． 故答案为：√6．16．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙=8√55． 解：设甲、乙两个圆锥的母线长为l ，底面圆的半径分别为r 甲，r 乙，高分别为h 甲，h 乙，则根据题意可得：{ 2πr 甲l +2πr 乙l =2π(r 甲+r 乙)l=3π2S 甲S 乙=πr 甲l πr 乙l =r甲r乙=2，解得r 甲=12l ，r 乙=14l ， ∴ℎ甲=√32l ，ℎ乙=√154l ， ∴V 甲V 乙=13π(r 甲)2ℎ甲13π(r 乙)2ℎ乙=4×√32√154=8√55．故答案为：8√55． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A （2，0），B （0，1），C （1，2），直线AB 与单位圆在第一象限的交点为P ． （1）求cos ∠BCA ； （2）求OP →⋅OC →．解：（1）由A （2，0），B （0，1），C （1，2），可得CB →=（﹣1，﹣1），CA →=（1，﹣2）， 所以cos ＜CB →，CA →＞=CB →⋅CA →|CB →||CA →|=−1+22×5=√1010，即cos ∠BCA =√1010．（2）由题意，直线AB 的方程为：x2+y 1=1，即x +2y ﹣2＝0，由{x +2y −2=0x 2+y 2=1可得，第一象限的交点P 为（45，35）， 则OP →⋅OC →=（45，35）•（1，2）=45×1+35×2=2． 18．（12分）已知直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC ，AB ⊥面B 1C 1CB ，M 为AB 的中点． （1）证明：AC 1∥平面MB 1C ；（2）若直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为1，且AB ＝BC ＝1，求直线AC 1与平面B 1C 1CB 所成角的正弦值．解：（1）证明：连接C 1B 与B 1C 交于点N ，则N 为C 1B 中点，MN 为△BAC 1中位线，∴MN ∥AC 1，又MN ⊂面MB 1C ，AC 1⊄面MB 1C ， ∴AC 1∥平面MB 1C ．（2）∵AB ⊥平面B 1C 1CB ，∴C 1B 是C 1A 在平面B 1C 1CB 上射影， ∴∠AC 1B 是直线AC 1与平面B 1C 1CB 所成的角， 又∵V A 1B 1C 1−ABC =1， ∴12⋅BC ⋅AB ⋅B 1B =1，∴B 1B ＝2，在Rt △AC 1B 中，AC 1=√AB 2+BC 12=√12+12+22=√6．∴直线AC 1与平面B 1C 1CB 所成角的正弦值为ABAC 1=√6=√66． 19．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数x 和y ，样本方差分别为S 12和S 22．已知x =10，y =10.3，S 12＝0.036．（1）求a ，S 22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y −x ≥2√S 12+S2210，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）． 解：（1）因为y =10.1+10.4+a+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.510=10.3， 所以a ＝10.1， S 22=110×[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；（2）y −x =10.3﹣10＝0.3，S 12+S 2210=0.036+0.0410=0.0076，因为（y−x 2）2＝0.152＝0.0225＞0.0076，所以y −x ＞2√S 12+S 222，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．20．（12分）等腰直角△ABC 中，BA ＝BC ＝5，∠ABC ＝90°，P 为△ABC 内一点，∠APB ＝90°． （1）若AP ＝4，求PC ；（2）若∠BPC ＝120°，求tan ∠BAP ．解：（1）在Rt △ABP 中，AB ＝5，AP ＝4， ∴BP ＝3，∴cos ∠PBC =sin ∠BPA =45，∵在△BPC 中，由余弦定理得PC 2＝BP 2+BC 2﹣2BP •BC •cos ∠PBC =32+52−2×3×5×45=10， ∴PC =√10． （2）设∠BAP ＝θ， 则∠PBC ＝θ， 又BP ＝5sin θ，在△BPC 中由正弦定理得BC sin∠BPC=BP sin∠BCP，即5sin120°=5sinθsin(60°−θ)，∴√3sinθ=√3cosθ−sinθ，即(√3+1)sinθ=√3cosθ， ∴tan θ=3−√32．21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．（1）求异面直线EF与DB所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CD﹣B的大小的正切值．解：（1）过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O，连接OB，由∠ACD＝45°，DO⊥AC，得CD=√2CO，由平面ACFD⊥平面ABC，得DO⊥面ABC，所以DO⊥BC，由∠ACB＝45°，BC=12CD=√22CO得BO⊥BC，又BO∩DO＝O，所以BC⊥面BDO，又BD⊂面BDO，所以BC⊥BD，由三棱台ABC﹣DEF，得BC∥EF，所以EF⊥DB，所以EF与DB所成角的余弦值为0．（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，由面ADFC⊥面ABC，得BH⊥面ADFC，过点H作HK⊥DC，垂足为K，连接BK，因为BH⊥面ADFC，DC⊂面ADFC，所以BH⊥DC，又DC⊥HK，BH∩HK＝K，所以CD⊥面BHK，又BK⊂面BHK，所以DC⊥BK，所以∠HKB为二面角A﹣DC﹣B的平面角，设HC＝1，则BH＝1，HK=√22，在Rt△BHK中，tan∠BKH=BHHK=1√22=√2，所以二面角A﹣DC﹣B大小的正切值为√2．22．（12分）小明对圆柱中的截面进行一番探究．他发现用平行于底面的平面α去截圆柱可得一圆面，用与水平面成一定夹角φ的平面β去截可得一椭圆面，用过轴的平面去截可得一矩形面．（1）图1中，圆柱底面半径为√3，高为2，轴截面为ABCD，设Q为底面（包括边界）上一动点，满足Q到A的距离等于Q到直线DB的距离QH，求三棱锥Q﹣ABD体积的最大值；（2）如图2，过圆柱侧面上某一定点O的水平面α与侧面交成为圆C1，过O点与水平面成φ角的平面β与侧面交成为椭圆C2，小明沿着过O的母线MN前开，把圆柱侧面展到一个平面上，发现圆C1展开后得到线段OO'，椭圆C2展开后得到一正弦曲线（如图3），设P为椭圆上任意一点，他很想知道原因，于是他以O为原点，OO'为x轴建立了平面直角坐标系，且设P（x，y）（图3）．试说明为什么椭圆C2展开后是正弦曲线，并写出其函数解析式y＝f（x）．解：（1）过Q作QK⊥AB，垂足为K，过K作KH⊥DB，因为AD⊥底面ABQ，QK⊂底面ABQ，则QK⊥AD，又AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABD，于是QK⊥平面ABD，又BD⊂平面ABD，则DB⊥QK，又KH∩QK＝K，因此DB⊥平面QKH，因为QH⊂平面QKH，所以QH⊥DB，QH即Q到DB的距离，因为QA2＝QK2+AK2，QH2＝QK2+KH2，且QA＝QH，所以AK＝KH，所以DK平分∠ADB，在△DAK和△DHK中，设点D到直线AB的距离为h，由三角形面积公式得S△DAK=12⋅AK⋅ℎ，S△DHK=12⋅KB⋅ℎ，所以S△DAKS△DHK =AKKB，又S△DAK=12⋅DA⋅DK⋅sin∠KDA，S△DHK=12⋅DB⋅DK⋅sin∠KDH，所以S△DAKS△DHK =DADB，所以DADB =AKKB，因为DA=2，AB=2√3，所以DB＝4，所以DADB =AKKB=2√3−AK，所以AK=2√33，BK=4√33，第21页（共22页）第22页（共22页） 所以Q 点的轨迹是过K 与AB 垂直的垂线段上（圆内部分），当三棱锥Q ﹣ABD 体积最大时，三棱锥的高最大，此时点Q 在圆周上， 在△QAB 中，由△QAK ∽△BQK 可得QK 2=AK ⋅BK =83，所以V QABD =13×QK ×S △ADB =13×2√63×12×2×2√3=4√23．（2）设倾斜平面β与水平面α交线为OO ″．过P 作PT ⊥水平面α，垂足为T ，过T 作TH ⊥OO ″，连接PH ， 则∠PHT 是倾斜平面β与水平面α的夹角，设∠PHT =φ，PT =y ，OT ̂=x ，则∠TO 1O =x R， 所以HT =R ⋅sin(π−x R )=Rsin x R，在Rt △PHT 中，tanφ=PT HT ， 所以y =Rtanφ⋅sin x R ，即展开后的曲线是正弦曲线．。

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。

武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期末联考高一数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C2.B3. A4.A5.B6.D7.B8. C【详解】特殊值法：函数()()()2log0x xf xxx⎧>⎪=⎨≤--⎪⎩与()1g x x a=++的图象上存在关于y轴对称的点，则()(-)f xg x=有解，注意到：()--11g x x a=++≥，0x--≤。

只需考虑0x>时，()(-)f xg x=有解即可：当2a=，20()logx f x x>=时，=21x-++有解即可，显然2222211x==-++=时log，所以2a=成立.当2a=-，0x>时，由222log log23x xx x x x<⇒<=<+，()2+13g x x x-=--=+2()log()f x xg x∴==-无解，所以不成立，答案选C二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。

9.ABC 10.ABC 11.CD12.ABD【详解】f(2x)=2f(x)表示横坐标变为原来2倍的同时纵坐标标为原来的2倍。

首先作出f(x)在(1,2]上的图像,然后根据图像的变换作出f(x)在定义域(0，+∞)上的图像，如图所示，由图可知，A,B都正确。

因为f(2x)=2f(x)，∴f(2n+1)=2f(2n+12)=4f(2n+14)=8f(2n+18)=16f(2n+116)=9，则f(2n+116)=916=2−2316=f(2316)，由2n+116=2316⟹2n=22,所以C错误。

当x∈(2k,2k+1)且k∈Z时，函数单调递减，所以D正确。

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.111,,1433⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦14.6 15.1216.()1,2.令m=x+1x−2,则对于一个确定的m值，关于x的方程m=x+1x−2最多两解；其中x+1x−2∈(−∞，−4]∪[0,+∞).作出函数f(x)图像，由图像可知：当t<0时：存在唯一的m∈(4,+∞),使得f(m)=t,此时方程m=x+1x−2有两解；四.解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

武汉市江夏区2022-2023学年高一年级（上）数学期末模拟测试一、单项选择题（（本题共8个小题，每小题5分，共（40分。

下列各题，每小题只有一个选项符合题意。

）1.（若集合{2,1,0,1},{0,1,2,3}A B =--=，则下列选项正确的是（（（（（） A.（A B B =B.（1,0,1{,2,}3A B =-C.（{0,1}AB =D.（A B A ⋃=2.（sin 45cos15cos 45sin15-=（（（（（）A.（2B.（2C.（12D.（2-3.（()sin 1080-︒=（（（（（） A.（12-B.（1C.（0D.（﹣14.（设函数()f x =22log ,2,, 2.x x x a x >⎧⎨-+≤⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（（（（（） A.（(-∞，1] B.（[1，+∞) C.（(-∞，5]D.（[5，+∞)5.（()00f =是()f x 为奇函数的（（（（（） A.（充分不必要条件 B.（必要不充分条件 C.（充分必要条件D.（既不充分也不必要条件 6.（设3log 42a =，则4a -=（（（（（） A.（116B.（19C.（18D.（167.（函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移3π单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式是（（（（（）A.（()sin2g x x =B.（()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.（()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.（()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.（已知定义在[]3,3-上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，在[]0,3的函数图象如图所示，则不等式()cos 04x f x π⎛⎫⋅<⎪⎝⎭的解集为（（（（（）A.（()()0,12,3B.（()()2,12,3--C.（()()2,10,1--⋃D.（()()()2,10,12,3--二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（已知集合P ，Q 是全集U 的两个非空子集，如果P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠，那么下列说法中正确的有（（（（（） A.（P ∀∈，有x Q ∈ B.（P ∃∈，使得x Q ∉ C.（Q ∀∈，有x P ∈D.（Q ∃∈，使得x P ∉10.（已知α∈R，sin cos 2αα+=，那么tan α的可能值为（（（（（）A.（2+B.（2-C.（2D.（2-11.（下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（（（（（） A.（sin y x =B.（cos y x =C.（tan y x =D.（cos 2y x =12.（已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，当1x >时，()0f x <，且()()()f x y f x f y ⋅=+，且(2)1f =-，下列说法正确的是（（（（（）A.（()10f =B.（函数()f x 在(0,)+∞上单调递减C.（1111()()()()(2)(3)(2020)(2021)20212021202032f f f f f f f f +++++++++= D.（满足不等式1()(3)2f f x x--≥的x 的取值范围为[4,)+∞三.填空题(共4题，总计（16分)13.（不等式201x x -≥+的解集是___________. 14.（()sin 501︒+︒（的值__________. 15.（若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.16.（若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()f x f x π+=，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2sin f x x =，则13934f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________.四.解答题(共6题，总计74分)17.（设函数()lg(2)f x x m =-的定义域为集合A ，函数()g x =B .（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围; （2）若AB =∅，求实数m 的取值范围.18.（计算下列各式的值：（1）11241814⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯.19.（已知函数()f x =()2g x x =-.（1）求方程()()f x g x =的解集； （2）定义：{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值.20.（已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21.（已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点()9,2. （1）求a 的值.（2）若()()()22g x f x f x =-++. （i）求()g x 的定义域并判断其奇偶性； （ii）求()g x 的单调递增区间.22.（设函数()142221x x x f x +-+=-，0x >．（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数()21g x x ax =-+，若对[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，求正实数a 的取值范围．武汉市江夏区2022-2023学年高一年级（上）数学期末模拟测试参考答案及解析一.单项选择题（ 1.【答案】：C 【解析】：由{}0,1A B =，故A 错，C 正确；由}1,0,12,,2,{3AB --=，故B，D 错；故选：C 2.【答案】：C【解析】：()1sin 45cos15cos 45sin15sin 4515sin 302-=-==. 故选：C 3.【答案】：C【解析】：()sin(1080)sin 33600sin 00-︒=⨯-︒+︒=︒=⎡⎤⎣⎦． 故选：C． 4.【答案】：B【解析】：x（>（2时，y（=（log 2x（>（1∴要使函数的值域为R ，则y（=（-x 2（+（a 在x（≤（2上的最大值a 大于等于1 即，a（≥（1 故选：B 5.【答案】：D【解析】：因为奇函数的定义域关于原点对称，()00f =时()y f x =的定义域不一定关于原点对称，所以()00f =不是()f x 为奇函数的充分条件； 如果()f x 为奇函数在0x =处有定义时有()00f =， 在0x =处没有定义时没有()00f =，所以()00f =不是()f x 为奇函数的必要条件；综上，()00f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件.故选：D. 6.【答案】：B【解析】：由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 7.【答案】：C【解析】：由图可知1A =；设周期为T ，则1741234T πππ=-=，所以T π=； 又2T ππω==，所以2ω=.由23k πϕπ⨯+=，k Z ∈，令0k =，得3πϕ=.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；因为将()y f x =的图象向右平移3π单位长度得到函数()y g x =的图象， 所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C. 8.【答案】：D【解析】：由函数()f x 在[]0,3的函数图象知：当0x >时， 当01x <<时，044x ππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫>< ⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭； 当12x <<时，442x πππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅>⎪⎝⎭； 当23x <<时，3244x πππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫<>⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭； 又因为函数()f x 满足()()f x f x -=-， 所以函数()f x 是[]3,3-上的奇函数，所以不等式()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭的解集为()()()2,10,12,3--，故选：D 二.（多选题（ 9.【答案】：BC【解析】：由于,P Q 是全集U 的非空子集，P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠， 所以Q 是P 的真子集，所以P ∃∈，使得x Q ∉、Q ∀∈，有x P ∈，即BC 选项正确. 故选：BC 10.【答案】：BD【解析】：因为sin cos 2αα+=①，又sin 2α+cos 2α=1②，联立①②，解得4sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或，4sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为α∈R，所以tan 2α=-+2- 故选：BD 11.【答案】：CD【解析】：对于A ，sin y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上sin sin y x x ==单调递减，所以A 错误；对于B ，cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以B 错误； 对于C ，tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以C 正确； 对于D ，cos 2y x =最小正周期为22T ππ==，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 正确， 故选:CD .12.【答案】：ABD【解析】：对于A：令1x y ==，得(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，所以(1)0f =，故选项A 正确；对于B：令1y x =，得11()(1)0f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则()()()2212111x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为211x x >，所以21()0x f x <，所以21()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故选项B 正确； 对于C：1111()()()()(2)(3)(2020)(2021)2021202032f f f f f f f f +++++++++1111(2021)(2020)(3)(2)2021202032f f f f =⨯+⨯++⨯+⨯=(1)(1)(1)0f f f +++=故选项C 不正确；对于D：因为(2)1f =-，由1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得1()(2)12f f =-=，所以111()()()2422f f f =+=，所以不等式1()(3)2f f x x --≥等价于111()()()34f f f x x +≥-即11()()(3)4f f x x ≥-，因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以11(3)430x x x ⎧≤⎪-⎨⎪->⎩解得：4x ≥，所以原不等式的解集为[4,)+∞，故选项D 正确；故选：ABD 三.（填空题13.【答案】：（{|2x x ≥或}1x <-【解析】：因为201x x -≥+，所以()()21010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得2x ≥或1x <-， 所以不等式201x x -≥+的解集是{|2x x ≥或}1x <-.故答案为：{|2x x ≥或}1x <-. 14.【答案】：（1【解析】：解：（()sin501sin50︒+︒=︒⨯()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1.15.【答案】：（1m ≤-【解析】：由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减， 二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-16.【答案】：（【解析】：解：因为()()f x f x π+=， 所以函数()f x 是以π为一个周期的周期函数，所以92sin 444f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1313333f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以13934f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 四.解答题 17【答案】：（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（（（（ （2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】：【小问1详解】 解：由题知{}2A x x m =>， 2901x x ⎧-≥⎨>⎩（，解得：13x <≤， {}13B x x =<≤若B A ⊆，则21m ≤，即12m ≤， ∴实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【小问2详解】解：若A B =∅，则23m ≥，即32m ≥， ∴实数m 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 18【答案】： （1）12-；（2）0. 【解析】：（1）11241814⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1211234341232⨯⨯⨯⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 112322=+-=-； （2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯3325log 4log 36log 52log 2=-+⨯34lg52lg 2log 36lg 2lg5=+⨯ 31log 29=+23log 32-=+ 220=-+=19【答案】：（1）{}1,4（（（（（2）2,01()42,4x x h x x x x -≤<⎧=≤≤->⎩（（（（（3）图象见解析，单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，最小值为1【解析】：()2,0124222,4x x x h x x x x x x -≤<⎧⎧≥-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩.【小问3详解】函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.20【答案】： （1）2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（（（（（2）()min 1f x =-，()max2f x = 【解析】：【小问1详解】 令2223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈， 可得236k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈ 故()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【小问2详解】（由（1）知当1k =时，()f x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 可得()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减， 而,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 从而()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 故()min 13f x f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()max max ,12212f x f f f πππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭. 21【答案】：（1）3a =； （2）（i）定义域为()2,2-，()g x 是偶函数；（ii）()2,0-.【解析】：（1）由条件知()9?log 92a f ==，即29a =，又0a >且1a ≠，所以3a =； （2）()()()()()3322 log 2log 2g x f x f x x x =-++=-++.（i）由2020x x ->⎧⎨+>⎩得22x -<<，故()g x 的定义域为()2,2-. 因为()()()()33log 2log 2g x x x g x -=++-=，故()g x 是偶函数；（ii）()()()()2222log 2log 2log 4g x x x x =-++=-，因为函数3log y u =单调递增，函数24u x =-在()2,0-上单调递增，故()g x 的单调递增区间为()2,0-.22【答案】：（1）[)2,+∞；（（（（ （2）50,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【解析】：【小问1详解】∵()()21214221212121211x x x x xx x f x +-+-+===-+---，又0x >，210x ->， ∴()2f x ≥=，当且仅当12121x x -=-，即1x =时取等号， 所以()[)2,f x ∈+∞，即函数()f x 的值域为[)2,+∞． 【小问2详解】∵()12121x x f x =-+-， 设21x t =-，因为[]1,2x ∈，所以[]1,3t ∈，函数1y t t =+在[]1,3上单调递增，∴102,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()102,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 设[]1,2x ∈时，函数()g x 的值域为A ．由题意知102,3A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦， ∵函数()21g x x ax =-+，函数()g x 图象的对称轴为02a x =>，当12a ≤，即02a <≤时，函数()g x 在[]1,2上递增， 则()()121023g g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即22112102213a a ⎧-+≤⎪⎨-+≥⎪⎩， ∴506a <≤， 当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[]1,2上的最大值为()1g ，()2g 中的较大者， 而()120g a =-<且()2521g a =-<，不合题意， 当22a >，即4a >时，函数()g x 在[]1,2上递减， 则()()101322g g ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，即22101132212a a ⎧-+≥⎪⎨⎪-+≤⎩，满足条件的a 不存在， 综上，50,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．。

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期末数学试卷1. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是( )A. y=x与y=(1x)−1 B. y=|x|与y=(√x)2C. y=x与y=e lnxD. y=x与y=√x552. 已知f(x−1)=x2−2x，则f(x)=( )A. x2B. x2−1C. x2+1D. x2+23. 已知幂函数的图象经过点P(16,14)，则该幂函数的大致图象是( )A. B.C. D.4. 函数f(x)=lnx−1x的零点所在的大致区间是( )A. (1,2)B. (2,e)C. (e,3)D. (e,+∞)5. 函数f(x)=2x−1,x∈[2,6]的值域是( )A. [13,2] B. [25,2] C. [25,+∞) D. (−∞,2]6. 已知函数f(x)=|log3x|，若a<b，有f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是( )A. [2√2,+∞)B. (2√2,+∞)C. [5,+∞)D. (5,+∞)7. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=[x]−x，那么下列命题中正确命题的序号是( )①函数{x}的定义域为R，值域为[−1,0]；②方程{x}=−12有无数解；③函数{x}是周期函数；④函数{x}是减函数；A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④8. 函数f(x)={log 2x (x >0)−√−x (x ≤0)与g(x)=|x +a|+1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A. RB. (−∞,−2]C. [2,+∞)D. ⌀9. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(−6)=0，则( ) A. f(x)在(−∞,0)上单调递减 B. f(8)<0C. 不等式f(x)>0的解集为(−∞,−6)∪(0,6)D. f(x)的图象与x 轴只有2个交点10. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =−π3对称，则( ) A. φ=π6 B. f(5π12−x)+f(5π12+x)=0 C. f(π7)=f(4π21)D. f(x)在区间(0,π4)上单调递增11. 已知函数f(x)=log 3(ax 2+bx +c)，以下说法正确的有( ) A. 若y =f(x)的定义域是(−1,3)，则a >0 B. 若y =f(x)的定义域是R ，则a >0 C. 若f(−x)=f(1+x)恒成立，则a +b =0 D. 若a <0，则y =f(x)的值域不可能是R12. 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足：①对任意x ∈(0,+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；②当x ∈(1,2]时，f(x)=2−x.下列结论正确的是( )A. 对任意m ∈Z ，有f(2m )=0B. 函数f(x)的值域为[0,+∞)C. 存在n ∈Z ，使得f(2n +1)=9D. “函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a,b)⊆(2k ,2k+1)”13. 函数f(x)=33x−1+√−4x 2+5x −1的定义域为______.14. 已知函数g(x)=6e x +1+ln(√x 2+1+x)，则g(3)+g(−3)=______.15. 已知定义在整数集合Z 上的函数f(x)，对任意的x ，y ∈Z ，都有f(x +y)+f(x −y)=4f(x)f(y)且f(1)=14，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=______.16. 函数f(x)={|log 5(1−x)|(x <1)−(x −2)2+2(x ≥1)，若关于x 的方程f(x +1x −2)−t =0恰好有8个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______.17. 化简求值：(1)2−12+(−4)0√2+1√2+1−√6−2√5+512；(2)log 327+lg25−7log 73+lg4−log 32⋅log 43.18. 已知α为第三象限角，且f(α)=sin(π2−α)cos(−α)tan(π+α)cos(π−α).(1)化简f(α)； (2)若f(α)=2√55，求cosα的值． 19. 已知函数f(x)=√2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2)的部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像，若关于x 的方程g(x)−m =0在区间[0,3π4]上有两个不同的实数解，求实数m 的范围．20. 国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》标准规定：①车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为酒后驾驶，酒后驾驶，暂扣驾驶证6个月，并处1000元以上2000元以下罚款．如果此前曾因酒驾被处罚，再次酒后驾驶的，处10日以下拘留，并处1000元以上2000元以下罚款，吊销驾驶证．②血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．醉酒驾驶，由公安机关约束至酒醒，吊销其驾驶证，依法追究刑事责任，5年内不得重新取得驾驶证．由检验标准规定可知驾驶人员血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升才可以正常驾车上路．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图”如图，该函数近似模型如下：f(x)={a(x −32)2+47.42,0≤x <254.27⋅e −0.3x+10.18,x ≥2，又已知酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：现行的酒驾标准类型血液中酒精含量(mg/ml)酒后驾车20−80醉酒驾车≥80(1)当0≤x<2时，确定f(x)的表达式；(2)喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？(时间以整分钟计算)(附参考数据：ln982=6.89，ln5427=8.60，ln0.18=−1.71)21. 已知函数f(x)=log a4x+12x(a>0且a≠1).(1)当a=√2时，求函数f(x)的值域；(2)已知g(x)=x−2√x，若∀x1∈[0,2]，∃x2∈[0,4]，使得f(x1)−g(x2)≤2，求实数a的取值范围．22. 已知函数f(x)=x+ax(其中a为常数).(1)如果存在x∈[1,2]，使得不等式f(2x)<2x−14x −14能成立，求实数a的取值范围；(2)设g(x)=1−x1+x ，是否存在正数a，使得对于区间[−35,0]上的任意三个实数m，n，p，都存在以f[g(m)]，f[g(n)]，f[g(p)]为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x ，其定义域为R ，y =(1x)−1，其定义域为{x|x ≠0}，故两个函数不是相同函数； 对于B ，y =|x|，其定义域为R ，y =(√x)2，其定义域为{x|x ≥0}，故两个函数不是相同函数； 对于C ，y =x ，其定义域为R ，y =e lnx ，其定义域为{x|x >0}，故两个函数不是相同函数； 对于D ，y =x ，其定义域为R ，y =√x 55=x ，其定义域为R ，故两个函数是相同函数； 故选：D.根据题意，依次分析选项中函数是否为相同函数，即可得答案． 本题考查函数的定义，注意函数的解析式，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵f(x −1)=x 2−2x =(x −1)2−1， ∴f(x)=x 2−1， 故选：B.利用f(x −1)=(x −1)2−1，可求得f(x)的解析式． 本题考查函数的解析式的求解，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：设f(x)=x a ， 由题意得f(16)=16a =14， 所以a =−12，f(x)=x−12，结合幂函数的性质可知，f(x)的定义域为(0,+∞)，排除选项CD ， 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，排除选项B. 故选：A.由已知先求出函数解析式，然后结合幂函数性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了幂函数的解析式的求解及幂函数性质的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵y =lnx 在(0,+∞)上单调递增，y =−1x 在(0,+∞)上单调递增， ∴函数f(x)=lnx −1x 在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=ln1−1=−1<0，f(2)=ln2−12=ln2−ln √e >0，∴由零点存在性定理得函数f(x)=lnx −1x 的零点所在的大致区间是(1,2)， 故选：A.由题意得函数f(x)=lnx −1x 在(0,+∞)上单调递增，根据函数零点的判定定理，即可得出答案． 本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2x−1在[2,6]上单调递减， 故当x =2时，函数取得最大值2，当x =6时函数取得最小值25. 故选：B.由已知结合函数的单调性即可求解函数的值域．本题主要考查了函数的单调性在函数值域求解中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为f(x))=|log 3x|，如图，0<a <b ，且f(a)=f(b)，所以−log 3a =log 3b 即log 3a +log 3b =log 3ab =0， 所以ab =1，0<a <1，由对勾函数的单调性可知，a +4b =a +4a ，在(0,1)上单调递减，则a +4a >5. 故选：D.由已知结合对数函数的运算性质可求得ab =1，然后结合对勾函数的单调性即可求解．本题主要考查了对数函数性质的应用及对勾函数单调性在求解函数值域中的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由于[x]表示不超过x 的最大整数，则−1<[x]−x ≤0， 所以函数{x}的定义域为R ，值域为(−1,0],故①错误；②若{x}=−12则x =1.5，2.5，3.5，…， ∴方程{x}=12有无数解，故②正确：③{x +1}=[x +1]−(x +1)=[x]−x ={x}， 所以函数{x}是周期为1的周期函数，故③正确；④因为{3}=3−3=0，{4}=4−4=0，所以{3}={4}，而3<4，所以函数{x}在其定义域上不是减函数；故④错误．命题中正确的序号是②③． 故选：B.根据函数的定义结合定义域和值域的概念判断命题①，根据定义解方程判断命题②，根据周期函数的定义判断命题③，根据减函数的定义判断命题④，由此确定正确选项． 本题考查函数的性质，周期性，单调性，定义域与值域，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：设y =ℎ(x)与y =f(x)的图象关于y 轴对称， 则ℎ(x)=f(−x)={log 2(−x),x <0−√x,x ≥0，作出y =ℎ(x)与y =g(x)的函数图象如图所示：∵f(x)与g(x)图象上存在关于y 轴对称的点， ∴y =ℎ(x)与y =g(x)的图象有交点， ∴−a ≤−2，即a ≥2. 故选：C.作出f(x)关于y 轴对称的函数ℎ(x)和g(x)的函数图象，根据ℎ(x)与g(x)有交点得出a 的范围． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由已知可得函数在(−∞,0)上单调递减，且f(6)=0， 如图所示：则f(8)<0，故A 正确，B 错误，当x <−6或0<x <6时，f(x)>0，故C 正确，函数f(x)与x 轴有三个交点，分别为(−6,0)，(0,0)，(6,0)，故D 错误， 故选：AC.由已知可得函数在(−∞,0)上单调递减，且f(6)=0，然后画出函数的图象，利用数形结合思想对各个选项逐个判断即可求解．本题考查了函数的奇偶性以及单调性，涉及到数形结合思想的应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由于函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =−π3对称， 故有2×(−π3)+φ=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=π6，f(x)=sin(2x +π6)，故A 正确； ∵令x =5π12，求得f(x)=0，故函数f(x)的图象关于点(5π12,0)对称， 故f(5π12−x)+f(5π12+x)=0成立，故B 正确； 根据f(π7)=sin19π42，f(4π21)=sin23π42=sin19π42，故f(π7)=f(4π21)，即C 正确；当x ∈(0,π4)，则2x +π6∈(π6,2π3)，函数f(x)不单调，故D 错误， 故选：ABC.由题意，根据正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】CD【解析】解：对于A 选项，若y =f(x)的定义域是(−1,3)，则关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−1,3)，故a <0，A 错；对于B 选项，若函数y =f(x)的定义域为R ，则对任意的x ∈R ，ax 2+bx +c >0， 所以，a =b =0，c >0或a >0，且Δ=b 2−4ac <0，B 错；对于C 选项，由f(−x)=f(1+x)可得f(x)的对称轴为x =12，则有f(0)=f(1)， 则有c =a +b +c ，所以，a +b =0，C 对 对于D 选项，当a <0时，则函数y =ax 2+bx+c 的值城为(−∞,4ac−b24a)，若函数f(x)的值域为R ，则(0,+∞)⊆(−∞,4ac−b 24a)，显然是不可能的，D 对．故选：CD.利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A 选项；分析可知对任意的x ∈R ，ax 2+bx +c >0，列出关于a 的各种情况，可判断B 选项；利用对数运算求出a +b 的值，可判断C 选项；利用二次函数的基本性质可判断D 选项．本题考查对数函数的性质，考查一元二次不等式，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ：f(2m )=f(2⋅2m−1)=2f(2m−1)=2m−1⋅f(2)，而当x ∈(1,2]时，f(x)=2−x ，所以f(2)=0，所以f(2m )=0故A 正确； 对于B ：取x ∈(2m ,2m+1],则x2m∈(1,2]；f(x 2m)=2−x2m， 从而f(x)=2f(x2)，而f(x)=2m ⋅f(x 2m)=2m+1−x ，其中，m =0，1，2..，从而f(x)∈[0,+∞),所以B 正确；对于C ：f(2m +1)=2m+1−2m −1，假设存在n 使f(2n +1)=9，∵2n +1∈[2n ,2n+1),∴f(2n +1)=2n+1−2n −1=2n −1,∴2n −1=9,2n =10, 这与n ∈Z 矛盾，所以该命题错误；对于D ：由选项B 知当x ∈(2k ,2k+1)时，f(x)=2k+1−x 单调递减，为减函数， 所以若(a,b)⊆(2k ,2k+1)，则函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，故正确． 故选：ABD.对于选项A 、B ：直接利用关系式的变换和函数的性质求出结果． 对于选项C ：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果． 对于选项D ：直接利用函数的单调性判定结果．本题考查的知识要点：函数的性质，关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.【答案】{x|14≤x ≤1,且x ≠13}【解析】解：要使原函数有意义，则{3x −1≠0−4x 2+5x −1≥0，解得14≤x ≤1，且x ≠13. ∴函数f(x)=33x−1+√−4x 2+5x −1的定义域为{x|14≤x ≤1,且x ≠13}. 故答案为：{x|14≤x ≤1,且x ≠13}.由分式的分母不为0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14.【答案】6【解析】解：∵函数g(x)=6e x+1+ln(√x2+1+x)的定义域为R，且g(−x)+g(x)=61+e−x +ln(√(−x)2+1−x)+6e x+1+ln(√x2+1+x)=6e xe x+1+6e x+1+ln[(x2+1)−x2]=6+ln1=6，∴g(3)+g(−3)=6.故答案为：6.根据已知条件得到g(−x)+g(x)=6，进而求解结论．本题主要考查函数性质的应用以及计算能力，属于基础题．15.【答案】12【解析】解：已知已知定义在整数集合Z上的函数f(x)，对任意的x，y∈Z，都有f(x+y)+f(x−y)=4f(x)f(y)，令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=f(x)，即f(x+2)+f(x)=f(x+1)，即f(x+2)+f(x−1)=0，即f(x+3)+f(x)=0，即f(x+6)+f(x+3)=0，即f(x+6)=f(x)，即函数f(x)的周期为6，又f(0)+f(3)=0，f(1)+f(4)=0，f(2)+f(5)=0，则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0，又f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=336×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(2016)=f(0)令x=1，y=0，则有2f(1)=4f(1)f(0)，又f(1)=14，即有f(0)=12，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=12，故答案为：12.由抽象函数的应用，结合函数的周期性及赋值法求解即可．本题考查了抽象函数的应用，重点考查了函数的周期性，属中档题．16.【答案】(1,2)−2，由对勾函数的性质可知：【解析】解：令m=x+1x−2最多两个解，对于一个确定的m值，关于x的方程m=x+1x−2的图象如下：画出m=x+1x−2值域为(−∞,−4]∪[0,+∞)，故m=x+1x作出函数f(x)的图象，如下：令|log5(1−x)|=1，解得：x1=0.8，x2=−4，令|log5(1−x)|=2，解得：x3=0.96，x4=−24，令−(x−2)2+2=0，解得：x5=2+√2，当t<0时，存在唯一的m∈(2+√2,+∞)，使得f(m)=t，此时方程m=x+1x−2有两解；当t=0时，存在m1=0,m2=2+√2使得f(m)=0，此时方程m=x+1x−2有三解，其中m1=0时，有1个解，即x=1,m2=2+√2时，有2个解；当t∈(0,1)时，存在m1∈(−4,0),m2∈(0,0.8),m3∈(3,2+√2)使得f(m)=t，此时方程m=x+ 1x−2有四解，m1∈(−4,0)时，无解，m2∈(0,0.8)时，有2个解，m3∈(3,2+√2)时，有2个解；当t=1时，存在m1=−4，m2=0.8，m3=1，m4=3使得f(m)=1，此时方程m=x+1x−2有七解，m1=−4时，有1个解，即x=−1，m2=0.8时，有2个解，m3=1时，有2个解，m4=3时，有2个解；当t∈(1,2)时，存在m1∈(−24,−4)，m2∈(0.8,0.96)，m3∈(1,2)，m4∈(2,3)使得f(m)=t，此时方程m=x+1x−2有八个解，当m1∈(−24,−4)时，有2个解，m2∈(0.8,0.96)时，有2个解，m3∈(1,2)时，有2个解，m4∈(2,3)时，有2个解；当t=2时，存在m1=−24，m2=0.96，m3=2使得f(m)=2，此时方程m=x+1x−2有六解，当m1=−24时，有2个解，m2=0.96时，有2个解，m3=2时，有2个解；当t∈(2,+∞)时，存在m1∈(−∞,−24)，m2∈(0.96,1)使得f(m)=t，此时方程m=x+1x−2有四解，当m 1∈(−∞,−24)时，有2个解，m 2∈(0.96,1)时，有2个解； 综上：实数t 的取值范围是(1,2). 故答案为：(1,2).令m =x +1x−2，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数f(x)的图象，数形结合得到不同的t 时，根据两函数交点情况，得到答案． 本题考查了复合函数的零点问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)原式=1212+√2+√2−1−√(√5−1)2+√5=√22+√22+√2−1−√5+1+√5=2√2.(2)原式=3+(lg25+lg4)−3−lg2lg3⋅lg32lg2=lg100−12=2−12=32.【解析】(1)利用指数的性质和运算法则求解． (2)利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查指数，对数的性质、运算法则及换底公式，属于中档题．18.【答案】解：(1)f(α)=cosα⋅cosα⋅tanα−cosα=−sinα.(2)∵f(α)=−sinα=2√55， ∴sinα=−2√55， 又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−1−(−2√55)2=−√55.【解析】(1)根据诱导公式化简即可；(2)利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可．本题主要考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．19.【答案】解：(1)由已知函数f(x)=√2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象得{√2sinφ=−1ω⋅π8+φ=0， 解得{ω=2ϕ=−π4，∴f(x)=√2sin(2x −π4)；(2)由题意可知，g(x)=√2sin(x +π4)，g(x)−m =0在区间[0,3π4]上有两个不同的实数解，则直线y =m 与函数g(x)=√2sin(x +π4)有两个不同的交点，令x +π4=π2+kπ,k ∈Z ，则g(x)对称轴为x =π4+kπ,k ∈Z ， ∵x ∈[0,3π4]，∴当k =0，x =π4符合题意，即两个交点关于x =π4对称， ∴g(π4)=√2，g(0)=1， ∴m 的取值范围为[1,√2).【解析】(1)由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、φ的值，可得f(x)得解析式；(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数g(x)在区间[0,π]上的值域．本题主要考查三角函数的图象，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，所以x =1时，y =44.42，又f(x)=a(x −32)2+47.42,0≤x <2， 所以44.42=a(1−32)2+47.42，解得a =−12， 所以当0≤x <2时，f(x)=−12(x −32)2+47.42. (2)由(1)当0≤x <2时，f(x)=−12(x −32)2+47.42， 所以当0≤x <2时，20.42≤f(x)≤47.42，不可驾车， 令f(x)<20可得，x ≥2且54.27⋅e −0.3x +10.18<20， 化简可得e −0.3x <9825427，所以0.3x >ln5427−ln982，又ln5427=8.60，ln982=6.89，所以x >10(8.60−6.89)3≈5.7，5.7小时等于342分钟，所以喝1瓶啤酒后，需342分钟后才可以驾车．【解析】(1)由已知x =1时，y =44.42，代入函数解析式求a 即可； (2)解不等式f(x)<20求其解可得结果．本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =√2时，f(x)=log √21+4x2x ，因为1+4x2x=2x +12x≥2√2x ⋅12x=2，当且仅当x =0时取等号，属于f(x)≥2，即函数的值域为[2,+∞)；(2)若∀x 1∈[0,2]，∃x 2∈[0,4]，使得f(x 1)−g(x 2)≤2， 则f(x)max ≤[g(x)+2]max ，因为g(x)+2=x −2√x +2=(√x −1)2+1≤2， 因为y =1+4x 2x =2x +12x 在[0,2]上单调递增， 所以y =1+4x 2x=2x +12x≤174， 当a >1时，f(x)在[0,2]上单调递增，f(x)max =f(2)=log a 174≤2， 解得a ≥√172，当0<a <1时，f(x)在[0,2]上单调递减，f(x)max =f(0)=log a 2≤2显然满足题意， 故a 的取值范围为(0,1)∪[√172,+∞).【解析】(1)把a =√2代入已知函数解析式，结合函数的单调性及基本不等式可求； (2)由题意可知x 1∈[0,2]，x 2∈[0,4]时，f(x)max ≤[g(x)+2]max ，结合函数的单调性可求． 本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为f(x)=x +ax ，所以由不等式f(2x)<2x−14x −14可得2x +a 2x <2x−14x −14，即a<−12x −2x4，因为存在x ∈[1,2]，使得不等式f(2x )<2x −14x−14能成立，所以存在x ∈[1,2],a <−12x −2x4能成立，即a<(−12x−2x4)max ，因为2x>0，所以12x+2x 4≥2√12x ⋅2x4=1，当且仅当12x =2x4，即x =1时，等号成立，所以在x ∈[1,2]上，−12x−2x4≤−1，即(−12x −2x4)max =−1，故a <−1，即实数a 的取值范围是(−∞,−1)； (2)假设存在正数a 满足题意；设t =g(x)=1−x 1+x =−1+21+x ，则t =−1+21+x 在[−35,0]上单调递减， 所以t ∈[1,4]，则f(g(x))=f(t)=t +a t；所以对于区间[−35,0]上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以f[g(m)]，f[g(n)]，f[g(p)]为边长的三角形，等价于2f(t)min >f(t)max ， 因为f(x)=x +a x,a >0，任取0<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+a x 1)−(x 2+ax 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−a)x 1x 2， 当0<x 1<x 2<√a 时，x 1−x 2<0，0<x 1x 2<a ，故f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(0,√a)上单调递减；当0<√a <x 1<x 2时，x 1−x 2<0，x 1x 2>a >0，故f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(√a,+∞)上单调递增；综上：f(x)在(0,√a)上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增， 所以对于f(t)=t +a t(t ∈[1,4])，当√a ≤1，即a ≤1时，f(t)在[1,4]上单调递增， 故f(t)min =f(1)=1+a,f(t)max =f(4)=4+a4， 则2(1+a)>4+a4，解得a >87，故a ∈⌀；当1<√a <4，即1<a <16时，f(x)在(1,√a)上单调递减；在(√a,4)上单调递增， 故f(t)min =f(√a)=2√a,f(t)max =max{f(1),f(4)}，(i)当f(1)≤f(4)时，1+a ≤4+a4，解得a ≤4，此时f(t)max =f(4)=4+a4， 则2×2√a >4+a 4，整理得a −16√a +16<0，解得8−4√3<√a <8+4√3， 所以(8−4√3)2<a ≤4，即16(7−4√3)<a ≤4，(ii)当f(1)>f(4)时，1+a >4+a4，解得a >4，此时f(t)max =f(1)=1+a ， 则2×2√a >1+a ，整理得a −4√a +1<0，解得2−√3<√a <2+√3， 所以4<a <(2+√3)2，即4<a <7+4√3， 所以16(7−4√3)<a <7+4√3；当√a ≥4，即a ≥16时，f(t)在[1,4]上单调递减， 故f(t)min =f(4)=4+a4,f(t)max =f(1)=1+a ， 则2(4+a 4)>1+a ，解得a <14，故a ∈⌀； 综上：16(7−4√3)<a <7+4√3，所以存在正数a 满足题意，且a 的取值范围为(16(7−4√3),7+4√3). 【解析】(1)先将问题转化为a <−12x −2x4在x∈[1,2]上能成立，再利用基本不等式求出(−12x−2x4)max，从而得解； (2)先利用反比例函数的单调性求得t =g(x)的值域，再将问题将转化为2f(t)min >f(t)max ，从而分类讨论a ≤1，1<a <16，a ≥16三种情况，结合对勾函数的单调性，列出不等式求解，由此得解．本题考查了函数的恒成立问题，属于难题．。

2021-2022学年度上学期部分省示范高中期末考试高一数学试题一､单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 设集合{}*{13},04A x x B x N x =-<<=∈<<∣∣,则A B = （ ）A {03}x x <<∣ B. {14}x x -<<∣C. {}1,2 D. {}0,1,2【结果】C 2. 命题P x R ∀∈：,210x x ++>,则命题p 地否定是（ ）A. x R ∃∈,210x x ++≤ B. x R ∃∉,210x x ++≤C. x R ∀∈,210x x ++≤ D. x R ∀∉,210x x ++>【结果】A3. 已知扇形地圆心角为3弧度,弧长为6cm ,则扇形地面积为（ ）2cm .A. 2B. 3C. 6D. 12【结果】C 4. 函数()21x f x x-=地大约图象是（ ）A. B.C. D.【结果】B.5. 设函数()()2sin 2012f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若对于任意地实数x ,()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立,则ω地最小值等于（ ）A. 118 B. 78 C. 58 D. 18【结果】C6. 已知()tan()f x x ϕ=+,则“函数()f x 地图象有关y 轴对称”是“()k k ϕπ=∈Z ”地（ ）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B 7. 已知函数223,0,()13,0,x x f x x x x x +⎧≤⎪=-⎨⎪-->⎩若函数()()g x f x m =-有两个不同地零点,则实数m 地取值范围为（ ）A. (2,)+∞B. 15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 13,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫-⎪⎝⎭【结果】D8. 已知函数()f x 为R 上地偶函数,且对任意()12,0,x x ∈+∞,均有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦成立,若a f =,21log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 地大小关系为（ ）A. b a c<< B. a b c << C. c b a << D. b c a <<【结果】A二､多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,少选得2分,多选得0分.9. 用二分法求函数()3222f x x x x =+--一个正零点地近似值（精确度为0.1）时,依次计算得到如下数据：()12f =-,()1.50.625f =,()1.250.984f ≈-,()1.3750.260f ≈-,有关下一步地表达错误地是（ ）A. 已经达到精确度地要求,可以取1.4作为近似值B. 已经达到精确度地要求,可以取1.375作为近似值的C. 没有达到精确度地要求,应该接着计算()1.4375f D. 没有达到精确度地要求,应该接着计算()1.3125f 【结果】ABD10. 对于函数()3cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,下面表达正确地是（ ）A. 最小正周期为π B. 其图象有关点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C. 对称轴方程为()212k x k ππ=+∈Z D. 单调增区间()52,2Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【结果】AC 11. 已知函数()()ln ln 2f x x x =+-,则下面四个命题中正确命题地个数是（ ）A. 在()0,1上单调递减B. ()1,2上单调递减C. ()y f x =地图象有关直线1x =对称D. ()y f x =地值域为[)0,∞+【结果】BC12. 定义在R 上地函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,当0x <时,()0f x >,则()f x 满足（ ）A. ()11f = B. ()y f x =是偶函数C. ()f x 在[],m n 上有最大值()f m D. ()10f x ->地解集为(),1-∞【结果】CD 三､填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 函数()()ln 3f x x =++地定义域是__________.【结果】(]3,2-##{}32x x -<≤14. 已知角θ地顶点为坐标原点,始边为x 轴地非负半轴,若()4,P y 是角θ终边上一点,且sin θ=则y =_______．【结果】8-##32-15. 已知1sin cos 5θθ+=,(0,)θπ∈,则tan θ=________.【结果】43-16. 函数()21x x f x aa =++（0a >,且1a ≠）在[]1,1-上地最大值为13,则实数a 地值为___________.【结果】3或13##13或3四､解答题：本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17. 已知2απ<<π,且sin α=．（1）求tan α地值。

湖北省部分重点中学高一上学期期末联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是（ ）A. (1,0)-B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D. ,1(1,)∞∞--⋃-+（）【答案】C 【解析】【分析】由解析式有意义列不等式求x 的取值范围即可. 【详解】因为1()ln 1f x x x =++有意义， 所以0,10x x >+≠，解不等式可得0x >， 所以函数1()ln 1f x x x =++的定义域是(0,)+∞， 故选：C.2. 已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限. 【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限， 所以tan 0,cos 0αα<<，由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上， 所以角α终边位置在第二象限， 故选：B.3. 设0.73a =，0.7log 0.8b =，3tan 4c π=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b<c<aD. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a 和b 与1和0 的关系，由正切函数性质分析c 与1和0 的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a =>=，即1a >，0.70.7log 0.8log 0.71b =<=，且0.70.7log 0.8log 00b =>=，即01b <<，由正切函数性质可知3tan 04c π=<，即0c <， 故c b a <<， 故选：A.4. 函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）A. ()01，B. ()12，C. ()23，D. ()34，【答案】B 【解析】【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案. 【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数， 当0x +→时，()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>，故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，， 故选：B5. 奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（） A. 72-B.32 C.72D.552【答案】A 【解析】【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=， ()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+， ()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.6. 函数()πcos 2x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=的部分图像大致是（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为()πcos sin 2x x x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭==,()()()sin sin x xf x f x x x--==-=--. 所以()f x 为奇函数,故AB 选项错;()0,,sin 0x x π∈>()0f x >,故D 选项错;故选:C .7. 已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是（） A. 5[,4)2 B. 5[,)2+∞ C. 511[,)22 D. 5[,4]2【答案】A 【解析】【分析】求出π3x ω+的范围，数形结合得到关于2ππ33ω+的范围，求出ω的取值范围. 【详解】2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππ2ππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 故[)2ππ2π,3π33ω+∈，解得：5[,4)2ω∈. 故选：A8. 已知函数f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤3x 2−8x +16,x >3，若方程()y f x m =-有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=（）． A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】B 【解析】【分析】作出f (x )图像，由图可知方程()y f x m =-的4个不同的零点为函数y ＝f (x )与函数y ＝m 图像的四个交点的横坐标，由图可知，1212x x x x =+且3x 48x +=.【详解】作函数()f x =()22log 1,13816,3x x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩的图像如图，()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，可得3x 48x +=，且()()2122log 1log 1x x -=-，即为()()2122log 1log 10x x -+-=， 即有()()12111x x --=，即为1212x x x x =+， 可得()343412118x x x x x x ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若0a b >>，则22a b >C. 若0a b <<，则22a ab b <<D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解. 【详解】对于A ：当0c ，22ac bc =，故A 错误；对于B ：0a b >>，∴22a b >，故B 正确；对于C ：当2a =-，1b时，则24a =，2ab =，21b =， 则22a ab b >>，故C 错误；对于D ：0a b <<，∴11a b>，故D 正确； 故选：BD.10. 下列说法正确的是（ ）A. 命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤.B. 2()lg f x x =与()2lg g x x =为同一函数C. 若幂函数()y f x =的图象过点，则(9)2f =D. 函数2x y =和2log y x =的图象关于直线y x =对称 【答案】AD 【解析】【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知A 正确；根据两个函数的定义域不同，可知B 不正确；利用待定系数法求出()f x 的解析式，再根据解析式求出(9)f ，可知C 不正确；根据函数2xy =与2log y x =互为反函数，可知D 正确.【详解】对于A ，命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤，故A 正确； 对于B ，2()lg f x x =与()2lg g x x =的定义域不同，所以不为同一函数，故B 不正确；对于C ，设()f x x α=，则(2)2a f ==12α=，所以12(9)93f ==，故C 不正确；对于D ，函数2xy =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD11. 已知函数()sin(3)f x x ϕ=+22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】【分析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，Z k ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确； 对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题12. 已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（ ）A. 函数1()6y f x x =-有3个零点 B. 关于x 的方程*1()0(N )2n f x n -=∈有24n +个不同的解C. 对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D. 当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-，当322x <≤时，()42f x x =-，当23x <≤时，则3122<≤x ，1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当34x <≤时，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当46x <≤时，则232<≤x，11()2822x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当68x <≤时，则342<≤x，1()1282x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，对于A ，由1()06f x x -=，得1()6f x x =，令16y x =，由图象可知16y x =与()y f x =的图象只有3个交点，所以函数1()6y f x x =-有3个零点，所以A 正确，对于B ，当1n =时，1()02f x -=，即1()2f x =，由图象可知12y =与()y f x =的图象只有3个交点，所以关于x 的方程1()02f x -=有3个不同的解，而当1n =时，246+=n ，所以B 错误，对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图可知函数()f x 的图象的每一个上顶点都在曲线32y x =上，所以3()2≤f x x恒成立，所以C 正确，对于D ，当1n =时，则[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，当2n =时，则[2,4]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1112222⨯⨯=，当3n =时，则[4,8]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1114242⨯⨯=， ……，当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为11111(22)222n n n --⨯-⨯=，所以D 正确， 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________． 【答案】12 【解析】 【分析】由于17633πππ-=-，进而结合诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：12.14. 已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示. 则函数()f x 的解析式为_________.【答案】()2sin(2)3f x x π=+【解析】【分析】根据最值可求A ，根据周期可求ω，代入特殊值可求ϕ. 【详解】由图可知，2A =，313341234T πππ=-=， ∴T π=，2T ππω==，∴2ω=，又0ω>，∴2ω=.∴()()()2sin 2,0f x x ϕϕπ=+≤<，当3x π=时，()222sin 02333f k k Z πππϕϕππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得3πϕ=.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+.15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.【解析】【分析】计算出等边ABC 的边长，计算出由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，则3a ππ=，解得3a =，所以，由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积为222113sin 323236424a a ππππ⨯-⨯=⨯-=-，所以该勒洛三角形的面积3934242S ππ⎛-=+⨯-= ⎝⎭.故答案为：92π-. 16. 函数())ln2f x x =是定义在R 上的奇函数，且关于x 的不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为________.【答案】[0,)+∞ 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性求解实数a ；再利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题，利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解即可. 【详解】函数()f x 的定义域为R ， 由函数()f x 为R 上的奇函数， 可得()()))()22ln2ln2ln 140f x f x x x ax x -+=+=+-=，即221414ax x a +-=⇒=， 则实数4a =； 所以())ln2f x x =，任取12,R x x ∈，设12x x <， 则()()))1212ln2ln2f x f x x x -=-=，2112142xx x +<，1<，则ln10<=，所以()()12f x f x <， 则函数()f x 为R 上增函数； 又函数()f x 为R 上的奇函数，所以不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，转化为()()()222sin cos cos f m m x f x f x -≥-=-，即22sin cos m m x x -≥-对x ∀∈R 恒成立， 所以2sin sin 210x m x m +--≤对x ∀∈R 恒成立，即()()222sin 42sin 3sin 132sin 42sin 2sin 2sin x x x m x x x x---+-≥==-+----，令2sin t x =-， 因1sin 1x -≤≤， 则12sin 3x ≤-≤， 即13t ≤≤，则332sin 4442sin x t x t-+-=+-≥-，当且仅当t =时取等号，由双勾函数的单调性知：t ⎡∈⎣，函数单调递减，t ⎤∈⎦，函数单调递增，当1t =时，340t t +-=，当3t =时，340t t+-=，所以342sin 402sin x x≤-+-≤-，所以0m ≥，故实数m 的取值范围为[)0,∞+. 故答案为：[)0,∞+.【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为03(,)5y ，且3(,2)2παπ∈. （1）求sin α的值；（2）求9cos()cos(23sin()tan()2ππααπααπ-+++⋅-）的值.【答案】（1）45-（2）14【解析】【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解； （2）由同角三角函数的关系即可求解. 【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为M 03(,)5y ∴35=cos α ∵3(,2)2παπ∈ ∴sin 0α<∴4sin 5α==-. 【小问2详解】原式cos sin cos sin 1tan cos tan sin tan ααααααααα--++===-⋅ 又∵sin tan s 43co ααα==- ∴原式4113443-==-18. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ． 【解析】【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得2720084848224048528m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x=，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．19. 设函数()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）π，37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）最大值为1；最小值为2- 【解析】【分析】（1）代入正弦函数的周期公式与单调递减区间即可求解； （2）根据正弦函数单调区间与定义域即可求出最大值和最小值. 【小问1详解】由题知，()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令3222,Z 242k x k k πππππ+≤-≤+∈，得37,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】 因为384x ππ≤≤， 所以50244x ππ≤-≤， 所以当242x ππ-=即38x π=时，()f x 有最大值，最大值为1；当5244x ππ-=即34x π=时，()f x 有最小值，最小值为20. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度v （米/秒）之间满足关系：5102033vq v =⨯≤≤（），其中q 表示燕子耗氧量的单位数． （1）当该燕子的耗氧量为720个单位时，它的飞行速度大约是多少？（2）若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：lg20.3≈，lg30.48≈）【答案】（1）31（米/秒） （2）8（米/秒） 【解析】【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将5v表示为对数，然后求出v 即可． （2）记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ，则可得21523v v -=，然后化为对数运算即可． 【小问1详解】当720q =时，5720102v=⨯，即5272v=，所以22222lg 3log 72log 8log 932log 33 6.25lg 2v ==+=+=+≈， 所以31v ≈，即它的飞行速度大约是31（米/秒）． 【小问2详解】记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ， 则213q q =，即21551023102v v ⨯=⨯⨯， 所以21523v v -=，212log 35v v -=， 所以212lg35log 358lg2v v ⎛⎫-==⨯≈⎪⎝⎭， 所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）． 21. 已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； (2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值． 【答案】(1) (,2][2,)-∞-+∞；(2) 2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --； (3)1,2a b ==； 【解析】【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b ≤-，则413b b-≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1) 1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥； (2) 1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，， 当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，； (3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2ax =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增， [)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-， 则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．【点睛】本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中． 22. 设函数()212x x af x =+-(a 为实数). （1）当0a =时，求方程1|()|2f x =的实数解； （2）当1a =-时，（ⅰ）存在[1,2]t ∈使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，求k 的范围；（ⅱ）设函数()2,g x x b =+若对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，求实数b 的取值范围.【答案】（1）=1x -或23log 2x = （2）（ⅰ）(3,)+∞；（ⅱ）3[,1]2-- 【解析】【分析】（1）将0a =代入()f x 中，直接求方程1|()|2f x =的实数根即可； （2）将1a =-代入()f x 中，根据指数函数的性质判断()f x 的单调性. （ⅰ）根据条件，可得()2min2k t t>+，求出()2min2t t +，即可得到k 的取值范围；（ⅱ）求出()f x 和()g x 的值域，根据条件得到11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，再求出实数b 的取值范围. 【小问1详解】当0a =时，()21x f x =-， 则1|()|2f x =⇔1212x -=-或1212x -=⇔=1x -或23log 2x =.【小问2详解】 当1a =-时，1()212x xf x =--. 因2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，12x y =在(,)-∞+∞上单调递减， 所以1()212x xf x =--在R 上单调递增. （ⅰ）因为存在[1,2]t ∈，使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，所以22(2)(2)f t t f t k ->-，所以2222t t t k ->-，所以只需()2min2k t t>+，又当[1,2]t ∈时，()2min23t t+=，所以3k >，即k 的取值范围为(3,)+∞.（ⅱ）当[0,1]x ∈时，()2g x x b =+的值域为[,2]b b +； 当[0,1]x ∈时，1()212x x f x =--的值域为1[1,]2-. 因为对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，所以11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，所以1122b b ≤-⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得312b -≤≤-，所以实数b 的取值范围为3[,1]2--. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。