南通中学高三数学寒假自主复习检测试卷(07)参考答案

2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U =R ，集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|0≤x ≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. (−3,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (2,3)2.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. 63π B. 2 63π C. 4 63π D. 8 63π3.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A. x 2=±3yB. y 2=±6xC. x 2=±12yD. x 2=±6y4.方程log 3x =log 6x ⋅log 9x 的实数解有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.已知直线x−4y +9=0与椭圆x 216+y 2b 2=1(0<b <4)相交于A ，B 两点，椭圆的两个焦点是F 1，F 2，线段AB 的中点为C(−1,2)，则△CF 1F 2的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2 3D. 4 36.已知圆C 的方程为x 2+(y−2)2=a ，则“a >2”是“函数y =|x|的图象与圆C 有四个公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线C 右支上一点，直线F 1M 交双曲线C 的左支于N 点.若|F 1N|=2，|F 2M|=3，|MN|=4，且△MF 1F 2的外接圆交双曲线C 的一条渐近线于点P(x 0,y 0)，则|y 0|的值为( )A. 3B. 3 22C. 3 52D. 38.F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF 1⊥BF 1，∠ABF 1=30°，则椭圆的离心率为( )A. 6− 22 B. 6− 32 C. 6− 2 D. 6− 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

海安市2024届高三第二学期期初学业质量监测数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ）A ．极差B ．众数C ．平均数D ．中位数2．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．723．设a ∈R ．若函数()(1)xf x a =−为指数函数，且(2)(3)f f >，则a 的取值范围是（ ） A ．12a << B ．23a << C ．2a < D ．2a <且1a ≠4．若a ，b 为两条异面直线，,αβ为两个平面，,,a b l αβαβ⊂⊂=，则（ ） A ．l 至少与a ，b 中的一条平行 B ．l 至少与a ，b 中的一条相交C ．l 至多与a ，b 中的一条相交D ．l 必与a ，b 中的一条相交，与另一条平行5．设各项均不相等的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15399,42a a S ==，则公比q =（ ） A ．2− B ．1− C ．12− D ．126．记ABC △的内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则“2a b >”是“sin sin 2A B >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 的左支上，1260PF F ∠=°，12PF F △的周长为6a ，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD 18．已知正五边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，2tan a R r θ+=，则θ=（ ）A ．9°B ．18°C ．27°D ．36°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知集合 |ln 0A x x， |2x B x ，则A B2． 已知函数2log 0()sin 0x x f x x x ，，，≤，则π(())6f f3． 若3i iz z ，复数z 与z 在复平面内对应的点分别为A ，B ，则AB4． 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为 5． 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A B ，分别为双曲线2222:1(00)y x C a b a b，的左、右顶点，从C 上一点P （异于A B ，）向实轴引垂线，垂足为Q ，则2PQAQ QB为常数．若C 的 离心率为2，则该常数为 6． 在平行四边形ABCD 中，42AB AD ，，1324AM AD AN AB ，，9CM CN，则DM DNA ．(1) ，B ．(01)，C ．1(2 ，D ．1(02，AB ．1C ．1D ．2A ．2B．C ．3D ．4A ．0.25升B ．0.5升C ．1升D ．1.5升ABC ．13D ．3A ．1B ．1C ．158D ．32023届江苏省南通市高三考前练习卷数学试题7． 正四棱柱1111ABCD A B C D 中，2AB ，13AA ，M 是11A D 的中点，点N 在棱1CC 上，12CN NC ，则平面AMN 与侧面11BB C C 的交线长为8．已知()ln()f x x ，若211(ln )()(tan 332a fb fc f ，， ，则二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9． 某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm ），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是 A ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4 B ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36 C ．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170 D ．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为6110．已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p 的焦点(20)F ，AB ，其中点A 在第一象限，则A ．AOF BOFB ．90AOBC ．163AB D ．3AF FBABC DA ．a b cB ．b a cC ．c a bD ．b c a12．在边长为2的菱形ABCD 中，π3BAD ，将菱形ABCD 沿对角线BD 折成空间四边形A'BCD ，使得π2A BC ．设E ，F 分别为棱BC ，A'D 的中点，则A ．EFB ．直线A'C 与EFC ．直线A C 与EF 的距离为12D ．四面体A'BCD 的外接球的表面积为4π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。

江苏省南通中学（南区）高三数学寒假作业120221高三数学寒假作业12022.1.17一．填空题1.已知：A某,y某y0，B某,y某y2，则AB_________.2．设复数z满足(zi)(1i)1i，（i是虚数单位），则复数z的模z.3．已知U某,y某y6,某0,y0,A某,y某4,y0,某2y02，则a100=．5若向区域U上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为4．已知数列{an}对于任意p.qN某有ap+aq=ap+q，若a1=5．函数yco某3in某in(某23)的最小正周期T.26.已知函数f(某)3某某5的零点某0a,b，且ba1，a，bN，则ab.7．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为．8．已知函数f(某)ln某2某f(1)(某0)，其中f(某)是f(某)的导函数，则在点P(1,f(1))处的切线方程为9.已知关于某的一元二次不等式a 某2某b0的解集21a2b27为{某|某}，则（其中ab）的最小值aab为.10.已知正四棱锥SABCD中，SA1，则该棱锥体积的最大值为.T←0I←2WhileI500T←T+II←I+2EndWhliePrintT第7题图11.ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OAABAC0，|OA||AB|，则CACB．二．解答题14．设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcoCa（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b1，求ABC的周长l的取值范围.1c.2第1页16．如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABEAEEBBC2,F为CE上的点，且BF平面ACE，BDACG.（ⅠⅡⅢ）求证：AE平面BCE；（2）求证：AE//平面BFD；（3）求四面体BCDF的体积17.已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装某千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（某）万元，ADCGFBE某210.8(0某10)30且R(某)1081000(某10)3某2某（Ⅰ）写出年利润W（万元）关于年产量某（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）第2页高三数学寒假作业1（参考答案）2022.1.17一．填空题1.1,12．23．8．某y109.610二．解答题15设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcoCa24．．405．6.37．62250943113271c.2（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b1，求ABC的周长l的取值范围.解：（Ⅰ）方法一：在ABC中，有inAin(BC)inBcoCcoBinC由正弦定理得：abcoCccoB又bcoCaccoB1c,211c，即0coB，又B为ABC的内角，B23211方法二：由bcoCac,得inBcoCinAinAinBcoCcoBinC2211即：inCcoBinC,inC0,coBB322binA2binC2inA,cinC（Ⅱ）由正弦定理得：ainBinB3322labc1(inAinC)1inAin(AB)12in(A6)33152B,A0,,A,inA(),16236663于是l12in(A6)2,3故ABC的周长l的取值范围2,316．(本题满分14分)如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABEAEEBBC2,F为CE上的点，且BF平面ACE，BDACG.（Ⅰ）求证：AE平面BCE；D（Ⅱ）求证：AE//平面BFD；（Ⅲ）求四面体BCDF的体积G证明：（Ⅰ）∵AD平面ABE,AD//BC，∴BC平面ABE,∴AEBC.F又∵BF平面ACE,∴BFAE，A∵BCBFB,∴AE平面BCE学|科|网]（Ⅱ）连结GF，∵BF平面ACE,∴BFCE∵BEBC,∴F为EC的中点；∵矩形ABCD中，G为AC中点，E∴GF//AE.∵AE面BFD，GF面BFD，∴AE//平面BFD.CB第3页（Ⅲ）VFBCD1111112VEBCDVEBADVDABE222222232317(本题满分14分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装某千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(某)8某210.(0某10)（某）万元，且R30108某10003某2(某10)（Ⅰ）写出年利润W（万元）关于年产量某（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）解：（Ⅰ）当0某10时,W某R(某)(102.7某)8.1某某33010当某10时,W某R(某)(102.7某)9810003某2.7某某38.1某10(0某10)W309810003某2.7某(某10)（Ⅱ）①当0某10时,由W8.1某2100,得某9又当某(0,9)时,W0,当某(9,)时,W0当某9时,W91ma某8.130931038.6②当某>10时W9810003某2.7某98(10003某2.7某)98210003某2.7某38当且仅当10003某2.7某时,即某1009时,W38由①②知，当某=9千件时，W取最大值38.6万元.第4页。

江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={0 , 1 , 2 , 3}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=()A. {0 , 1 , 2}B. {1 , 2}C. {0 , 1}D. {1}2.命题“∀x>0 , x2―x+1>0”的否定为( )A. ∀x>0 , x2―x+1≤0B. ∀x≤0 , x2―x+1≤0C. ∃x>0 , x2―x+1≤0D. ∃x≤0 , x2―x+1≤03.已知函数f(x)={x2+1 , x>0cos x , x≤0，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域为[―1 ,+∞)4.若a>b，则( )A. ln a>ln bB. 0.3a>0.3bC. a3―b3>0D. |a|―|b|>05.已知函数f(x)=1，则y=f(x)的图象大致为( )ln(x+1)―xA. B. C. D.6.如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y=lo g2x，y=x12，y=(22)x的图象上，且矩形的边分2别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为( )A. (12, 14)B. (13, 14)C. (12, 13)D. (13, 13)=( )7.已知a>0，b>0，log9a=log12b=log16(a+b)，则abA.2―12B.3―12C. 12D.5―128.已知a =5，b =15(ln 4―ln 3)，c =16(ln 5―ln 4)，则( )A. a <c <bB. c <b <aC. b <a <cD. a <b <c二、多选题：本题共3小题，共15分。

江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}0,1C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32 已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ） A. 25B. 16C. 9D. 53. 若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 95. 从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ）.的是A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 8990918892则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC 和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===．的（1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 通项公式；（2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，离心率为2．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值．21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 22. 已知函数()ln a f x x x=-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x的零点，1m n a ==+．①证明：0m x n ＜＜； ②探究0x 与2m n+的大小关系．的答案解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A.{}2,1-- B.{}0,1 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,3【答案】C 【答案解析】【详细分析】根据题意，由集合的交集运算即可得到结果. 【答案详解】因为{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，所以A B = {}0,1,2.故选：C2.已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ）A.25 B.16C.9D.5【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据给定条件，求出,z z ，再利用复数乘法运算计算即得.答案详解】由8,6i z z z z +=-=，得43i,43i z z =+=-，所以()()43i 43i 25z z ⋅=+-=.故选：A3.若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【答案解析】【详细分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【答案详解】由题意8a b λμ⇔= ∥，则“8λμ=”是“a b ∥”的充要条件. 故选：C ．【4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 9【答案】B 【答案解析】【详细分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可. 【答案详解】设等比数列公比为q ，24623a a a =+，即2422223q q a a a =+，所以24123q q =+，所以213q =，由25247325113a a q q q a a q --===--，故选：B ．5. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个详细分析判断即可. 【答案详解】如图，11D BAC -每个面都是等边三角形，A 不选；11A DD C -每个面都是直角三角形，B 不选；1D ABC -三个面直角三角形，一个面等边三角形，C 不选，选D ．故选：D.的6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【答案解析】【详细分析】将直线与抛物线联立方程组，Δ0=求出p ，得点M 坐标得解.【答案详解】设抛物线C 的焦点为F ，联立212y x x py=-⎧⎨=⎩，消y 可得2220x px p -+=，因为直线与抛物线相切，则2480p p ∆=-=，0p > ，2p ∴=，()2,1M ∴，1122M pMF y ∴=+=+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ） A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<【答案】C 【答案解析】【详细分析】方法一：设()()2f xg x x =利用导数得到函数单调性，从而求解； 方法二：设()1,f x =特例法得解.答案详解】方法一：∵()()2xf x f x '<，∴()()()'2320f x xf x f x x x ⎛⎫-⎝⎭'=< ⎪, 设()()2f xg x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递减， 所以()()()2e 4g g g >>，()()()22e 44e 16f f f ∴>>， 即()()()224e 216e e 4f f f >>，故C 正确．【方法二：设()1,f x =又22e 164e <<，C 正确． 故选：C8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由已知作图如图所示，设AEF α∠=，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.【答案详解】如图所示，10,20EF FG ==， 令AEF α∠=，则10sin ,2AF AFE παα=∠=-，则BFGa ?，20cos ,20sin ,2BF BG BGF πααα==∠=-，则,10cos CGH CG αα∠==∴周长()()22210sin 20cos 220sin 10cos AB BC αααα=+=+++π60sin 60cos 4ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭故选：D ．【点评】关键点评：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲8791908993乙 89 90 91 88 92则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 【答案】BC 【答案解析】【详细分析】由中位数、极差的概念即可判断AC ，由平均数、方程计算公式即可验算BD. 【答案详解】甲的极差93876-=，乙的极差92884-=，A 错． 甲的平均数8791908993905++++=，乙的平均数8990918892905++++=，B 对．甲的中位数90，乙的中位数90，C 对．2==，D 错.故选：BC ．10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()f x 是周期为4的函数，然后结合条件即可求解. 【答案详解】由()f x 为奇函数，即函数()f x 的图象关于()0,0对称， 又()()11f x f x +=-，则()f x 的图象关于1x =对称， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-， 则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴为周期函数且周期为4T =，B 对．所以()()311f f =-=，A 对． 而(4)()()f x f x f x -=-=-，C 错．由上可知()()200f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()()123410100f f f f f +++=--+++=，则181()(1)(2)1k f k f f ==+=-∑，D 对．故选：ABD ．11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A 、B ，设(),M x y ，若MQ =，推出恒成立，即可判断C 、D.【答案详解】圆22230x y x ++-=即()2214x y ++=，圆心()1,0C -，半径2r =，又()0,1P ，所以CP =，因为点M 在圆22230x y x ++-=上，所以2MP ⎡∈+⎣，所以存在点M ，使得1MP =，故A 对．因为()2211284++=>，所以点Q 在圆外，又2CP r =<=，点P 在圆内，所以当QM 与圆C 相切时，MQP ∠取最大值， 此时π4MQP ∠=，所以π4MQP ∠≤，故B 对．对于D ，设(),M x y ，若MQ =222MQ MP ⇔=2222(1)(2)2(1)x y x y ⎡⎤⇔-+-=+-⎣⎦22230x y x ⇔++-=，又点M 在圆22230x y x ++-=上，MQ ∴=一定成立，故D 对，C 错.故选：ABD ．12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】对于A ，2301ππ3V R d d =-，3102π3V R V =-化简即可验算；对于B ，3202π3V R V =-化简即可验算；对于C ，21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将2R d =代入即可判断；对于D ，求()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-的最小值即可. 【答案详解】2301ππ3V R d d =-（同底等高），()()3233232121πππππ23()23333V R R d d R R d d R d R d =-+=-+=-+，A 对．()()()323221ππππ223339V R R d d R d R d R d =+-≠+-+，B 错． ()221323232π121()2321πππ23133R R R d R d V d d V R R R R d d d d ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，2Rd=，121551612127V V ⨯∴==+-，C 对． 对于D ，,33R R d d ≤∴≥时，()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-， ()()()()223223232121231,0231231x x x x f x f x x x x x --+==>+-+-'， ()f x 在[)3,+∞ ，()()7320f x f ≥=，D 对． 故选：ACD.【点评】关键点评：判断D 选项的关键是首先得到21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】23-##23- 【答案解析】【详细分析】根据定义域代入计算可得答案.【答案详解】21log 32112log 211333f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：23-. 14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．【答案】 ①. 8 ②. 16 【答案解析】【详细分析】由二项展开式结合分配律可得第一空答案，由赋值法可得第二空答案. 【答案详解】4432(2)8243216x x x x x +=++++，2x 的系数为232248a =-=， 令0x =，0116a -⨯=，即016a =-；1x =，0123450a a a a a a =+++++，1234516a a a a a ∴++++=.故答案为：8；16.15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案解析】【详细分析】由题意得π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ，结合题意可得ω，然后代入求值即可.【答案详解】π2sin 4i x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭()πsin ,1,242i x i ω⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭， 所以，π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ， ()ππ22π,,2sin 23334f x x ωω⎛⎫∴⨯=∴==+ ⎪⎝⎭，所以ππππ2sin 2sin 81243f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．【答案】3【答案解析】【详细分析】根据椭圆定义用a 表示1122||||||||PF QF PF QF 、、、，再利用余弦定理可解. 【答案详解】设1||PF m =，则1||4QF m =，又222||5||,PF QF =由椭圆定义，()()22524,a m a m -=-得3am =， 所以1122452,,,,3333a a a a PF QF PF QF ==== 又因为12//PF QF ，所以1221cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，2222221254164499990,1524223333a a c a a c a a a a +-+-∴+=⋅⋅⋅⋅所以3c e a ==．故答案为：3. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见答案解析（2）7【答案解析】【详细分析】（1）由等腰三角形三线合一得OC AB ⊥，由线面垂直的性质得PO OC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，然后利用向量夹角公式即得. 【小问1答案详解】C 为底面圆周上一点，CA CB ∴⊥，又2,AC AB BC ==∴= ，又O 为AB 中点，OC AB ∴⊥， 又PO ⊥ 底面ABC ，OC ⊂底面ABC ，PO OC ∴⊥，又,AB PO O ⋂=,AB PO ⊂底面PAB ， OC ∴⊥平面PAB ．【小问2答案详解】PO ⊥ 底面ABC ，,OC OB ⊂底面ABC ，所以,PO OC PO OB ⊥⊥， 又因为OC AB ⊥，所以以O 为原点，,,OC OB OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为2,PC AB AC ===，(()(),0,1,0,1,0,0PO P B C ==∴ ，(()0,1,,1,1,0PB BC ∴==-，设平面PBC 的一个法向量()1,,n x y z =，由11ꞏ0ꞏ0n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，00y x y ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩，取1z =，所以)1n = ，而平面APB 的一个法向量()21,0,0n =，设二面角A PB C --平面角为θ，显然θ为锐角，1212cos 7n n n n θ⋅∴=== ．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===． （1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ． 【答案】（1）3π4（2）2AD = 【答案解析】详细分析】（1）由两角和正切得tan 1A =-，进一步得3π,sin 4A C B ===，结合正弦定理即可求解.（2）由222BD AD CD =+结合余弦定理即可求解.【【小问1答案详解】()17tan tan 20tan tan 131tan tan 120B CA B C B C +=-+=-=-=---， 且(),,0,πA B C ∈，3π,sin 4A C B ∴=== 在ABC中，6sin sin 3c b c C B =⇒=⨯=． 【小问2答案详解】 设,6AD x CD x =∴=-，222282(6)2BD x x x ⎛⎫∴=+-⋅⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 2162802x x x ⇒-+=⇒=或，1406x << ，2x ∴=，即2AD =．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ． 【答案】（1）21n a n =- （2）{}8,11A =． 【答案解析】【详细分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得； （2）由（1）得，122721k a n n =++-，根据k a 为正奇数，得到1221n -为正整数即可解出. 【小问1答案详解】n a成等差数列，()2141n n n a S a ∴+==+①， ()21141n n S a ++=+②，222211111422,220n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++-⇒=-+-∴---=②①，()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以12n n a a +-=，且()211141,1a a a =+∴=， 所以{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，()12121n a n n ∴=+-=-．【小问2答案详解】 由（1）得，()()()2132125(21)821121227212121n n k n n n n n a a a n a n n n ++++-+-+====++---k a 为正奇数，又21n -为正奇数，∴1221n -为正整数． 所以211,3n -=，2n ∴=或1n =，当1n =时，212111;2k k n -===，时，21158k k -==，，{}8,11A ∴=．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值． 【答案】（1）32k =-（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线MN 的方程，联立方程组，由韦达定理可解；（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得12k k ，再结合（1）中结论即可得证. 【小问1答案详解】由题意知2222212a a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，双曲线：2214x y -=．易知直线MN 的斜率不为零，所以设直线MN 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，22444x my x y =+⎧∴⎨-=⎩，得()2248120m y my -++=， 则()()()222Δ8441216120m m m =--⨯=+>，则121222812,44m y y y y m m +=-=--， ()()()12121223212121212222224y y y y y y k k x x my my m y y m y y ∴=⋅==--+++++ 2222123412842444m m m m m m -==--+⋅+--，23,22k k =∴=-． 【小问2答案详解】因为2121111222111111422444x y y y k k x x x x -=⋅===+---，()2131223131442k k k k k k k ∴+=+=-=-为定值．.21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 【答案】（1）50343（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）欲求随机变量X 的分布列，需先求随机变量X 可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X 的期望. 【小问1答案详解】一位顾客中奖的概率为21335338C C C 2C 7⋅+=， ∴仅有最后一位顾客中奖的概率55250777343P =⨯⨯=． 【小问2答案详解】X 的所有可能取值为0,1,2,,n ，()()()()15252520,1,2,,777777n n P X P X P X P X n -⎛⎫⎛⎫======⨯==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ X 的分布列如下：X12Ln()2125551237777n E X n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 令()221555512317777n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①， ()()221555555221777777n n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②， ①-②2125555177777n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51175757217n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭- ()492497,4742n S E X ∴<∴<⨯=． 22. 已知函数()ln a f x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x 的零点，1m n a ==+． ①证明：0m x n ＜＜；②探究0x 与2m n +的大小关系． 【答案】（1）答案见答案解析（2）①证明见答案解析；②02m n x +<． 【答案解析】【详细分析】（1）求导讨论0a ≥和<0a 两种情况，根据导数的正负得到单调区间. （2）①证明：由()f x 在()0,∞+上单调递增，0m x n <<⇔()()0f m f n <<，()f m f ==，()()ln 11a f n a a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性进而求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，证得结果；②()1ln 22m n a f h a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭利用导数证明函数()h a 在()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=，即证得()002m n f f x +⎛⎫>= ⎪⎝⎭，由()f x 的单调性即可证得结果.【小问1答案详解】()221a x a f x x x x='+=+． 当0a ≥时，()()0f x f x '>，单调递增；当0a <时，令()0f x x a =⇒=-' ()f x 在()0,a -上单调递减；(),a ∞-+上单调递增．【小问2答案详解】①证明：()f x 在()0,∞+上单调递增， 要证：0m x n <<⇔证()()0f m f n << 而()f m f ==令()g a =， ()1021g a a ==='<+，()g a ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g a g <=． ()0,f m ∴<()()()1ln 1ln 1111a f n a a a a =+-=++-++， 令()()1ln 111p a a a =++-+，则()()()22110111a p a a a a =-=>+++'()p a ∴在()0,∞+上单调递增，()()00p a p >=． ()0f n ∴>()()00f m f n m x n ∴<<⇒<<．②()1ln 22m n a f h a +++⎛⎫== ⎪⎝⎭()h a ='====0=> ()h a ∴()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=()0022m n m n f f x x ++⎛⎫∴>⇒< ⎪⎝⎭． 【点评】思路点评：本题利用函数的单调性将问题0m x n <<转化为()()0fm f n<<，()f m f ==，()()ln 11a f na a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性通过求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，得出()()0f m f n <<.在。

2023-2024学年江苏省南通市高三下学期阶段检测数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}3,4,23,A a B a =-=，若A B ⋂≠∅，则=a （）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】根据交集结果得到3a =，4a =或23a a =-，检验后得到答案.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以3a =，4a =或23a a =-，当3a =时，233a -=，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当23a a =-时，3a =，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当4a =时，235a -=，满足集合元素互异性，满足要求.故选：B2．若复数z 是210x x ++=的根，则z =（）A B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.【详解】∵210x x ++=，∴由求根公式得：1122x --==，即：12z -=，∴当12z =-时，||1z ==，当1322z =--时，||1z =.综述.||1z =故选：B.3．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A ．70e B ．70C ．35e D ．35【正确答案】C【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心()x z ，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.【详解】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C4．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列{}n a ，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（）A ．第3层的塔数为3B ．第4层与第5层的塔数相等C ．第6层的塔数为9D ．等差数列{}n a 的公差为2【正确答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，分1d =，3d ≥和2d =三种情况讨论，结合等差数列的前n 项和公式分析得d 的值，从而得12层的塔数，判断每个选项即可得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，若1d =，则这10层的塔数之和为109101552⨯⨯+=，则最多有55101075++=座塔，不符合题意；若3d ≥，则这10层的塔数之和不少于101⨯10931082⨯+⨯>，不符合题意；所以2d =，这10层的塔数之和为10910121002⨯⨯+⨯=，塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依题意剩下2层的塔数为3与5，所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A ，B ，D 正确，C 错误．故选：C.5．若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++ ，则()139923a a a +++- 被8整除的余数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】B【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和=1x -，两个式子相减，得到()135992a a a a ++++ 的值，将()1359923a a a a ++++- 构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得1000121003a a a a ++++= ，取=1x -得0121001a a a a -+-+= ，两式相减得100135992()31a a a a +++=- ，即()100135992334a a a a ++++-=- ，因为()50100503494814-=-=+-0501495010505050505088884r r C C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅+- 0501495015050505088883r r C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅- 05014950150505050888885,Nr r C C C C r -=⋅+⋅++⋅++⋅-+∈ 因为0501495015050505088888r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅- 能被8整除，所以05014950150505050888885r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-+ 被8整除的余数为5，即()1359923a a a a ++++- 被8整除的余数为5，故选：B.6．如图，正方形ABCD 的边长为2,P 是正方形ABCD 的内切圆上任意一点，(),AP AB AD λμλμ=+∈R，则下列结论错误的是（）A ．AP AB ⋅的最大值为4B ．λμ-的最大值为22C ．AP BD ⋅的最大值为2D ．λμ+的最大值为212+【正确答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求向量,,,AP AB AD BD的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断AC ，由向量相等求,λμ，结合三角函数性质求λμ+，λμ-的最值.【详解】以A 为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则()2,0B ，()0,2D ，内切圆的方程为()()22111x y -+-=，可设()1cos ,1sin P θθ++，则()()1cos ,1sin ,2,0AP AB θθ=++=，()2,2BD =- ，所以22cos 4AP AB θ⋅=+≤，当0θ=，即P 为BC 的中点时取等号，所以AP AB ⋅的最大值为4，A 正确；因为22cos 22sin 2sin 2cos 224AP BD πθθθθθ⎛⎫⋅=--++=-=- ⎪⎝⎭ ，所以2224AP BD πθ⎛⎫⋅=-≤ ⎪⎝⎭ ，当3π4θ=，即221,122P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时等号成立，所以AP BD ⋅的最大值为22C 错误，由AP AB AD λμ=+，可得()()()()1cos ,1sin 2,00,22,2θθλμλμ++=+=，得()11cos 2λθ=+，()11sin 2μθ=+，2πcos 24λμθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，2π1sin 24λμθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=-，即1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，所以所以λμ-的最大值为2，B 正确，当π4θ=，即122P ⎛++ ⎝⎭时，所以所以λμ+的最大值为1+D 正确，故选：C.7．对于两个函数()11e 2t h t t -⎛⎫=> ⎪⎝⎭与()()1ln 2122g t t t ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为21,t t ，则12t t -的最小值为（）A ．-1B ．1ln3-C ．ln2-D ．12ln2-【正确答案】C【分析】设()()21h t g t m ==，则()()2212111e 11ln e ln 222m m t t m m ---=+-+=--，构造函数()211e ln 22x f x x -=--，应用导数求函数单调性求出最小值即可.【详解】设()()21h t g t m ==，则21ln t m =+，()211e 12m t -=+，由12t >，得12e m ->，则()()2212111e 11ln e ln 222m m t t m m ---=+-+=--，12e m ->，设函数()211e ln 22x f x x -=--，12e x ->，则()211e 2xf x x-=-'，因为函数211e 2,x y x y -==-在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上都是增函数，所以()f x '在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，又()20f '=，所以当12e x -<2<时，()0f x '<，()f x 单调递减,当2x >时，()0f x ¢>,()f x 单调递增，故()()min 2ln2f x f ==-，即12t t -的最小值为ln 2-.故选：C.关键点点睛：设()()21h t g t m ==，则21ln t m =+，()211e 12m t -=+，求得()()2212111e 11ln e ln 222m m t t m m ---=+-+=--是解决本题得关键.8．人教A 版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数1y x x=+的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数12y x x=+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是（）AB C ．10-D 【正确答案】D【分析】首先确定12y x x=+的两条渐近线分别为2,0y x x ==，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线:l y kx =且2k >，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.【详解】由12y x x=+的两条渐近线分别为2,0y x x ==，所以该函数对应的双曲线焦点在2,0y x x ==夹角（锐角）的角平分线l 上，设:l y kx =且2k >，若,αβ分别是y kx =，2y x =的倾斜角，故tan ,tan 2k αβ==，故αβ-为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由π1tan()tan()2tan αβαα-=-=，即tan tan 21tan()1tan tan 12k k k αβαβαβ---===++，整理得2410k k --=，可得2k =，所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C 一条渐近线斜率为2b a ==，故e =.故选：D关键点点睛：求出12y x x=+的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键.二、多选题9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A ．该平台女性主播占比的估计值为0.4B ．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C ．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D ．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6【正确答案】AC【分析】A 选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B 选项，在A 选项基础上，求出相应的概率；C 选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D 选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.【详解】A 选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为30010%30⨯=，青年人人数为30060%180⨯=，中年人人数为()300110%60%90⨯--=，由图2可以看出青年人中女性人数为1804072⨯%=，中年人中女性人数为9030%27⨯=，其他人群中，女性人数为3070%21⨯=，故该平台女性主播占比的估计值为7227210.4300++=，A 正确；B 选项，中年人中男性人数为9070%63⨯=，故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为630.21300=，B 错误；C 选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为6:3:1，故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取3206631⨯=++名，C 正确；D 选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件A ，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件B ，则()180n A =，()72n AB =，()()()720.4180n AB P B A n A ===，D 错误.故选：AC10．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥P ABCD -，如果AC BD ⊥于点O ，OA OC OD ==，PC BD ⊥，下列说法正确的是（）A ．ACD 是等腰直角三角形B ．平面PAC ⊥平面ABCDC ．PO ⊥平面ABCD D ．P 到AB ，BC ，CD ，DA 距离均相等【正确答案】AB【分析】依题意可得45ODC ODA ∠=∠=︒且AD DC =，即可判断A ，由AC BD ⊥，PC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面PAC ，即可判断B ，过点P 作PH AC ⊥于点H ，由面面垂直的性质得到PH ⊥平面ABCD ，再利用反例说明C 、D.【详解】因为AC BD ⊥且OA OC OD ==，所以ODC 与ODA V 均为等腰直角三角形，且ODC ODA ≌，所以45ODC ODA ∠=∠=︒，且AD DC =，则90ADC ∠=︒，所以ACD 是等腰直角三角形，故A 正确；因为AC BD ⊥，PC BD ⊥，AC PC C = ，,AC PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，故B 正确；过点P 作PH AC ⊥于点H ，因为平面PAC ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面PAC ，所以PH ⊥平面ABCD ，若AP PC ≠，则H 不为O 点，此时PO ⊥平面ABCD 不成立，故C 错误；设H 点到AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，若P 到AB ，BC ，CD ，DA 距离均相等，则222222221234d PH d PH d PH d PH +=+=+=+，则1234d d d d ===，故点H 为DAB ∠与DCB ∠的角平分线的交点，当AD AB ≠时H 不在DAB ∠的平分线上，故D 错误.故选：AB11．数列{}n a 满足112a =，()*1120N n n n n a a a a n ++--=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*2N 31n n b S n ∈-=，则下列正确的是（）A ．{}12023n a ∈B ．数列1n n b a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和123322n n C n n +=+-+C ．数列{}1n n a a +的前n 项和14n T <D ．1110121210193322b b b a a a ⨯+++=+ 【正确答案】BCD【分析】求得数列{}n a 的通项公式判断选项A ；求得数列1n n b a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项判断选项B ；求得数列{}1n n a a +的前n 项和，进而判断选项C ；求得数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A 进而判断选项D.【详解】由1120n n n n a a a a ++--=，有1112n n a a +-=，又112a =所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列，则12nn a =，则12n a n=，则{}12023n a ∉，A 错误；由213n n b S -=，可得111221=33b S b -=，解之得13b =又2n ≥时，11213n n b S ---=，则123n n n b b b --=，整理得13n n b b -=则数列{}n b 是首项为3公比为3的等比数列，则()3n n b n *=∈N ，则数列1n n b a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()2234323n n C n =-+-++- ()()122(22)3(13)3324233321322n n nn n n n n ++-=++-+++=-=+-+- ，B 正确；11111()4(1)41n n a a n n n n +==-++，则数列{}1n n a a +的前n 项和11111111111(1(1)4223341414n T n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<++，C 正确；设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A ，则2234323n n A n =⨯+⨯++⋅ ，2313234323n n A n +=⨯+⨯++⋅ ，两式相减得()23122323232323n n n A n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 整理得()1213322n n n A +-=+，则当10n =时，1110193322A ⨯=+，D 正确.故选：BCD.12．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点00(,)M x y ，且M 为AB 的中点．（）A ．当01y =时，AB 的斜率为2B ．当02y =时，8AB =C ．当=5r 时，符合条件的直线l 有两条D ．当3r =时，符合条件的直线l 有四条【正确答案】ABD【分析】由点差法得02y k =，由此判断AB 正确；当AB 的斜率k 不存在时判断是否符合要求，当AB 的斜率k 存在时,由直线与圆切于M 得M 必在直线3x =上，根据给定的r 求出M 位置，根据M 是否在抛物线内部判断CD 是否正确.【详解】如图,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,M x y ,则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,两式相减得,()()()1212124y y y y x x +-=-.当AB 的斜率k 存在时,12x x ≠，则有12121222y y y y x x +-⋅=-,又1202y y y +=,所以02y k =.当01y =时，2k =，故A 正确；由CM AB ⊥,得00015y k x -⋅=--,即005y k x =-,因此0025,3x x =-=,即M 必在直线3x =上.当02y =时，1k =，点()3,2M ，直线AB 的方程为1y x =-，恰好过抛物线焦点()1,0，故1202228AB x x x =++=+=，故B 正确；将3x =代入24y x =,得212y =,由M 在抛物线内部得2012y <，因为点M 在圆上,所以()222005x y r -+=,当=5r 时，()225532y -+=，解得2021y =，与2012y <矛盾，此时AB 的斜率为k 的直线不存在，当AB 的斜率k 不存在时,符合条件的直线只有一条，故C 错误；当3r =时，()22953y -+=，解得205y =，符合2012y <，此时AB 的斜率为k 的直线有两条.当AB 的斜率k 不存在时,符合条件的直线也有两条，故D 正确；故选：ABD关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.当斜率存在时，先确定点M 一定在直线3x =上，再用点M 一定在抛物线内部判断给定的r 是否符合要求.三、填空题13．定义在R 上的非常数函数()f x 满足：()()f x f x -=，且()()20f x f x -+=.请写出符合条件的一个函数的解析式()f x =______.【正确答案】πcos2y x =（答案不唯一）【分析】根据已知()()f x f x -=，且()()20f x f x -+=得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.【详解】因为()()20f x f x -+=.得出对称中心()10，，且()()f x f x -=得出对称轴为y 轴，且周期为4的函数都可以.故πcos2y x =14．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）．【正确答案】210【详解】对于6个台阶上每一个只站一人，有36120A =种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有123690C A =种，所以不同的站法种数是12090210+=种．故210．四、双空题15．若函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性，且2π9x =为()f x 的一个零点，则()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递__________（填增或减），函数()lg y f x x =-的零点个数为__________．【正确答案】增9【分析】根据函数()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性，限定周期的范围，得出ω的范围，再由函数的零点得出关于ω的等式，结合这两个条件求出ω的值，再数形结合得出结果.【详解】因为()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性，所以ππ1862T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即2ππ9ω≤，902ω<≤．又因为2π2ππsin 0993f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2πππ93k k ω+=∈Z ，即()9322k k ω=-∈Z ，只有1k =，3ω=符合要求，此时()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,618x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ3,362x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．因为()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值为1，而lg101=，73π10π2<<，作出函数()y f x =与lg y x =的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数()lg y f x x =-的零点个数为9．故增；9.五、填空题16．若曲线||y x a =-上恰有四个不同的点(1,2,3,4)i A i =到直线14x =-及点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离都相等，则实数a 的一个值可以是______．【正确答案】15-（填写区间1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭内的任一实数均可）【分析】先求到直线14x =-和点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离相等的点的轨迹方程，再由其与曲线||y x a =-有四个交点求出a 的范围，由此可得结论.【详解】到直线14x =-及点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离都相等的点的轨迹为以14x =-为准线以1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点的抛物线，设其方程为22y px =，则12p =，所以2y x =．由||y x a =-，得()y x a x a =-≥或()y a x x a =-≥．由已知曲线2y x =与曲线||y x a =-有四个交点，因为()y x a x a =-≥与()y a x x a =-≥关于x 轴对称，抛物线2y x =关于x 轴对称，所以曲线2y x =与射线()y x a x a =-≥有两个位于x 轴上方的交点，由2,,y x a y x =-⎧⎨=⎩得20y y a --=，所以20y y a --=有两个正根，所以140a ∆=+>，且0a ->故满足题意的实数a 的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭．故15-（填写区间1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭内的任一实数均可）六、解答题17．在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1,2,3,4，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为,x y ，记x y ξ=-.(1)求()1P ξ=；(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.【正确答案】(1)38(2)分布列见解析，()54ξ=E 【详解】（1）随机试验从盒子中有放回地先后摸出两个小球的样本空间为：()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,()()()()}4,1,4,2,4,3,4,4，共16个样本点，其中事件1ξ=包含下列样本点：()()()()()(){}1,2,2,1,2,3,3,2,3,4,4,3，共6个样本点，所以()631168P ξ===；（2）ξ的所有取值为0,1,2,3.()()()()416341210,1,2,3164168164168P P P P ξξξξ============.则随机变量ξ的分布列为ξ0123P14381418ξ的数学期望()13115012348484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.18．在ABC中，三内角为A B C ､､.若)()(),sin ,cos ,1,1a A A b B c ===-.(1)若1a c ⋅=，求角A 的大小；(2)若a b，求当A B -取最大时，A 的值.【正确答案】(1)π6A =；(2)π3A =.【分析】(1)根据向量的数量积的坐标运算,再利用辅助角公式即可求解；(2)根据向量平行的坐标运算，再利用正切的和差公式以及基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为πsin 2cos 16a c A A A ⎛⎫⋅=-=+= ⎪⎝⎭ ，则π1cos 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为()0,πA ∈，则ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ63A +=，则π6A=；（2）因为a bsin cos A B A B =⋅，则tan 3tan A B =.由于A B ､为三角形内角，则A B ､只能均为锐角，即tan0tan 0A ,B >>.()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan A B BA B A B BB B--===≤+⋅++，当且仅当13tan tan B B=时，6B π=取“=”号.又ππ,22A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则A B -的最大值为π6，此时π3A =.所以，当A B -的最大时，π3A =.19．如图，在长方形1111ABCD A B C D -中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点，且AE EBλ=.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角1D EC D --的大小为4π，求λ的值.【正确答案】（1）证明见解析；（21-.【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，得()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0D A B ()()()110,2,0,1,0,1,1,2,1C A B ,()10,0,1D ，可得()1121,,1,1,0,11D E A D λλ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭，求两个向量的数得积，由向量垂直的充要条件可知两向量垂直；（2）由题意求得平面DEC 的法向量为()10,0,1n = ，可求得平面1D CE 的法向量为2n的一个解为22,1,21λλ⎛⎫-⎪+⎝⎭，然后利用面面角的向量求法即得.【详解】（1）以D 为原点,DA 为x 轴DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨设11,2AD AA AB ===,则()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0D A B ，()()()110,2,0,1,0,1,1,2,1C A B ,()10,0,1D ，2,1,,01AE E EB λλλ⎛⎫=∴ ⎪+⎝⎭ ，于是()1121,,1,1,0,11D E A D λλ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭ ，()1121,,11,0,101D E A D λλ⎛⎫∴⋅=-⋅--= ⎪+⎝⎭，故11D E A D ⊥；（2）1D D ⊥ 平面ABCD ，∴平面DEC 的法向量为()10,0,1n =，又()121,2,0,0,2,11CE CD λλ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭.设平面1D CE 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则221220,201n CE x y n CD y z λλ⎛⎫⋅=+-=⋅=-+= ⎪+⎝⎭，所以向量2n 的一个解为22,1,21λλ⎛⎫-⎪+⎝⎭.因为二面角1D EC D --的大小为π4，则1212n n n n ⋅=解得1λ=.又因E 是棱AB 上的一点，所以0λ>，故所求的λ1.易错点晴：求二面角大小的常用方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．本题难度中等.20．设数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且对任意的r ，*t ∈N ，都有2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.数列{}n b 满足，13b =，()1*2,n n b b S n n -=≥∈N (1)求证：数列{}3log n b 为等比数列；(2)求121nk n k kb T b -==-∑.【正确答案】(1)证明见解析(2)1211231---n 【分析】（1）先用赋值法，得到2n S n =，根据题意可得21n n b b -=，可证明{}3log n b 为等比数列.（2）由题意2112211=13131k k k k b b -------，可用裂项相消法求n T .【详解】（1）令1t =，r n =，则2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得21n S n S =，即2n S n =.依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==，于是()2*33131log log 2log 2,n n n b b b n n --==≥∈N ，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）得113log 122n n n b --=⨯=，所以()12*3n n b n -=∈N .于是()()()22121222222221231131113131313131k k k k k k k k k b b --------+-===-----+-.所以21112222111112313131k k n nnk n k k k k b T b ----==⎛⎫==-=- ⎪----⎝⎭∑∑.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()()122,0,2,0A A -.过点()1,0D 的直线交椭圆于,M N 两点，直线1A M 与2NA 的交点为G.(1)当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点12,P P 使得1PMN △和2P MN 的面积为S ，求S 的取值范围；(2)求证：点G 在一条定直线上.【正确答案】(1)4455S +<<(2)证明见解析【分析】（1）由条件先求椭圆方程，再联立方程组求弦MN 的长，求与直线MN 的切线方程，由条件确定面积的范围；（2）联立直线1A M 与椭圆方程求点M 的坐标，联立直线2A N 与椭圆方程求点N 的坐标，根据,,M D N 三点共线证明213k k =，再求点G 的坐标，由此完成证明.【详解】（1）由题设可知2a =.因为e =c a =c =又因为222431b a c =-=-=，所以1b =.椭圆的方程为2214x y +=，直线MN 的方程为1y x =-.设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，可得2580x x -=，解得1280,5x x ==.将1280,5x x ==，代入直线MN 的方程，解得1231,5y y =-=.所以MN =设与直线MN 平行的直线m 方程为y x λ=+.联立方程组2214x y y x λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得2258440x x λλ++-=，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足()226420440λλ∆=--=，解得λ=.当直线m 为y x =时，直线l 与m之间的距离为1d =当直线m 为y x =l 与m之间的距离为2d ==设点C 到MN 的距离为d ，要使CMN 的面积为S 的点C 恰有两个，则需满足12dd d <<d <<因为12S d MN=⋅=，所以4455S <<.（2）设直线1A M 的方程为()12y k x =+，直线2A N 的方程为()22y k x =-.联立方程组()221142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222211114161640k x k x k +++-=，所以2121164214Mk x k --=+，所以21212814M k x k -=+，代入()12y k x =+可得1214,14M k y k =+解得点M 的坐标为2112211284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.同理，可解得点N 的坐标为2222222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.由,,M D N 三点共线，有122212221222124414142882111414k k k k k k k k -++=----++化简得()()21123410k k k k -+=.由题设可知1k 与2k 同号，所以213k k =.联立方程组()()1222y k x y k x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解得交点G 的坐标为()1212212124,k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.将213k k =代入点G 的横坐标，得()()1211211122343G k k k k x k k k k ++===--.所以，点G 恒在定直线4x =上.关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．设a 是实数，函数()()212ln f x ax a x x =++-.(1)当2a =时，过原点O 作曲线()y f x =的切线，求切点的横坐标；(2)设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()00g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“巧点”，当14a =-时试问函数()y f x =是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)横坐标为1(2)存在，横坐标为2【分析】（1）设切点为(),M m n ，求得()243f m m m+'=-，由斜率公式求得斜率，列出方程求得2ln 10m m +-=，结合函数()2ln 1x x x ϕ=+-为单调递增函数，且()10ϕ=，即可求解.（2）求得()f x 在()00P x y 处的切线方程()2004000013232ln 244y x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎝⎭，令()()2000000132132ln 2444h x x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎝⎭，设()()()F x f x h x =-，求得()()00142F x x x x x x ⎛⎫=--- ⎝'⎪⎭，得出函数()F x 的单调性，求得函数()y f x =在()0,2和()2,+∞上不存在“巧点”，再由02x =时，()0F x '≤，进而得到点()()22f ,为“巧点”.【详解】（1）解：当2a =时，设切点为(),M m n ，由函数()2232ln ,0f x x x x x =+->，可得()243f x x x+'=-，则()243f m m m+'=-，即切线的斜率243k m m =+-，又由直线OM 的斜率为2232ln m m m k m+-=，所以22232ln 43m m m m m m+-+-=，即2ln 10m m +-=，令()2ln 1x x x ϕ=+-，可得()120x x xϕ'=+>，()x ϕ为单调递增函数，且()10ϕ=，所以函数2ln 1y m m =+-在()0,∞+上递增，且1m =是一根，所以是唯一根，所以过原点O 作曲线()y f x =的切线，切点横坐标为1.（2）解：当14a =-时，可得()2132ln 44f x x x x =-+-，可得()13224f x x x '=-+-，则()00013224f x x x '=-+-且()20000132ln 44f x x x x =-+-，所以函数()y f x =在其图象上一点()00P x y 处的切线方程为：()2000000132132ln 2444y x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭，令()()2000000132132ln 2444h x x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭，设()()()F x f x h x =-，则()00F x =，且()()()001321322424F x f x h x x x x x ⎛⎫=-=-+---+- ⎝''⎭'()()00001221422x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当002x <<时，004x x >，()F x 在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而有()()00F x F x >=，所以()00F x x x >-；当02x >时，004x x <，()F x 在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而有()()00F x F x <=，所以()00F x x x >-，因此函数()y f x =在()0,2和()2,+∞上不存在“巧点”，当02x =时，()2(2)02x F x x-'=-≤，所以函数()F x 在()0,∞+上单调递减，所以当2x >时，()()20F x F <=且()02F x x <-，当02x <<时，()()20F x F >=且()02F x x <-，所以点()()22f ,为“巧点”，其横坐标为2.方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

2023-2024学年（上）高三10月份质量监测数学参考答案与评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 设集合(12)A ，，(2)B a a ，，若(10)A B ，，则a A ．1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B2． 已知复数20231i1iz，则z A ．i B ．iC ．1D【答案】C3． 在ABC △中，“A B ”是“sin sin A B ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C4． 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为 A ．ln ||()2cos x f x xB ．ln ||()2sin x f x xC ．()cos ln ||f x x xD ．()sin ln ||f x x x 【答案】D5． 记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，则太阳的质量 2324R M GT （单位：kg ）.由32lg 28.7R GT ，lg 20.3 ，lg 0.5 得太阳的质量约为A ．29210 kgB ．30210 kgC ．29310 kgD ．30310 kg【答案】B6．已知3sin cos 65，则cos 23A ．725B ．725C ．2425D ．2425【答案】B7． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在 0 ，单调递减，则 A ． ()f f x 在 0 ，单调递减 B ． ()f g x 在 0 ，单调递减C ． ()g g x 在 0 ，单调递减D ． ()g f x 在 0 ，单调递减【答案】DA ．-16B ．-12C ．-9D ．-6【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南通中学高三数学寒假自主复习检测试卷（03）参考答案一、填空题：1．(1,)+∞ 2．1- 3．21 4．π 5．20 6．12 7．1 8．1- 9．7310．511．π 12．923⨯ 13．5 14．{}[4,20]0⋃ 二、解答题：15．【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos a c b ac B +-=，由题意22212a cb ac +-=， 1cos 4B ∴=，又在ABC ∆中A B C π++=22sincos 2sin cos 222A CB B B π+-+=+， 2cos cos 22B B =+2cos 12cos 22B B =+-，又1cos 4B =，21sin cos 224A CB +∴+=-； （Ⅱ）∵2b =，∴由ac b c a 21222=-+可知ac c a 21422=-+，即4221-≥ac ac ，∴38≤ac ， ∵41cos =B ，∴415sin =B ，∴3154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC ，∴ABC ∆面积的最大值为315. 16．【解析】（Ⅰ）取PB 中点G ,连接AG 、FG ，又F 分别为PC 的中点.GF ∴是PBC ∆的中位线，即GF ∥BC 、12GF BC =，又四边形ABCD 底面是平行四边形，E 分别为AB 的中点，所以AE ∥BC 、12AE BC =，所以GF ∥AE ，GF AE =，即四边形AEFG 是平行四边形，所以AG EF //，又⊂AG 平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ；（Ⅱ）在平面PAB 中，过P 作AB PH ⊥，垂足为H ， 平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ⋂平面ABCD AB =,PH ⊂平面PAB ，AB PH ⊥，所以PH ⊥平面ABCD ，所以PH 为三棱锥P ABD -的高， 因为在等边PAB ∆中，1PA PB AB ===，所以PH =，121sin 602ABD S ︒∆=⨯⨯⨯=4123233131=⨯⨯=⋅=∴∆-PH S V ABD ABD P .17．【解析】（Ⅰ）因为40FG =，100AG =，所以由GC GC AG FG AB +=,即10040GC GC x+=，解得 400040GC x =-，同理由GD GD AG EG AB +=，即10090GD GD x +=，解得900090GC x =-，所以2941000()5000,[140,180]90401303600xy GD GC x x x x x =-=⨯-=⨯∈---+， 因为222360050000(1303600)x y x x -'=⨯<-+，所以y 在[140,180]上单调递减，故当140x =cm 时，y 取得最大值为140cm ； 另法: 可得5000,[140,180]3600130y x x x=∈+-，因为3600130x x +-在[140,180]上单调递增， 所以y 在[140,180]上单调递减，故当140x =cm 时，y 取得最大值为140cm （Ⅱ）由100GC GC h x +=得100h GC x h =-，由10050GD GD h x +=+得100(50)50h GD x h +=--，所以由题意知 1GC AG AG GD <=≤，即100100(50)10050h h x h x h +<≤---对[140,180]x ∈恒成立，从而2502x h x h ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ 对[140,180]x ∈恒成立，解得14070218050402h h ⎧<=⎪⎪⎨⎪≥-=⎪⎩，故h 的取值范围是[40,70)(注：第(2)题中h 的范围与AG 的长度无关，即去掉题中100AG cm =的条件也可求解)18．【解析】（Ⅰ）椭圆方程为.（Ⅱ）设直线AC 的方程为，直线BD 的方程分别为，两式联立，消去得1221211221122()4()2()Q x y x y y y x x y x y y y ++-=-++. （*），2211154y x +=，∴222221212254y y x y y +=……①， 2222154y x +=，∴222221221154y y x y y +=……②，由②-①得2222222112124()x y x y y y -=-，即 211221121212()()4()()x y x y x y x y y y y y +-=+-……③，又P 、C 、D 三点共线，则121244y y x x =--，2112124()x y x y y y -=-……④，④代入③得211212x y x y y y +=+……⑤ ，把④、⑤代入（*）整理得212162162Q y y x y y -==-（定值）.法二：韦达定理设直线l ：(4)y k x =-，代人椭圆方程得2222(54)3264200k x k x k +++-=1221211221122()4()2()Q x y x y y y x x y x y y y ++-=-++=21121221124()2[24()]4()2[()8]k x x k x x x x k x x k x x -+-+-++-，由韦达定理易得12121224()()8x x x x x x -+=+-，故1Q x =；法三：设直线:AC 1(2)y k x =+，代人椭圆方程得2222111(54)1616200k x k x k +++-=得212110845C k x k -=+ 设直线:BD 2(2),y k x =-代人椭圆方程得2222222(54)1616200k x k x k +-+-=得222210845D k x k -+=+ 由,,C D P 三点共线得PC PD k k =得1222121010125415k k k k -=++得1212(3)(45)0k k k k ++=， 得1230k k +=，此时1Q x =；或12450k k +=，此时交点在椭圆上，舍19．【解析】（Ⅰ）因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b 为常数），由212n n n b b b k ++=+ 得[][]2(1)()(2)d n b dn b d n b k ++=++++得2k d =为常数，所以各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列”；（Ⅱ）存在常数22a b k abλ+-=，使12++=+n n n a a a λ（或从必要条件入手2212213113222a k a a a a a b ka a a a a abλλ-+++-+=⇒===） 证明：因为212n n n a a a k ++=+，所以211n n n a a a k -+=+，2n ≥，所以221211n n n n n n a a a a a a ++-+-=- 即221112n n n n n n a a a a a a +-+++=+，由于0n a ≠，此等式两边同除以1n n a a +得nn n n n n a a a a a a 1112+-+++=+， 所以2111312n n n n n na a a a a a a a a +-+++++===，即当*n N ∈都有12312+++=+n n n a a a a a a ， 因为1a a =，2a b =，212n n n a a a k ++=+，所以a k b a -=23，所以2132b ka a a a a b-++= 22a b k ab +-=，所以对任意*n N ∈都有21n n n a a a λ+++=，此时abk b a -+=22λ；（Ⅲ）00)(313112221313122=+⇒=+⇒++=+=a a a a a a a a a k a a a ，0022311112=+⇒=+==+=+++-++n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，∴{}21n a -、{}2n a 均为公比为1-的等比数列，1212(1),(1),n n na n ab n --⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，0,4,43(),42,41n n k a n k S k a b n k b n k *=⎧⎪=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪=-⎩N 434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+. 20．【解析】（Ⅰ）()x f x e a '=+．（1）当0a ≥，增区间为(,)-∞+∞；（2）当0a <，增区间为(ln(),)a -+∞，减区间为(,ln())a -∞-；（Ⅱ）函数()ln ()F x x x f x =-的定义域为(0,)+∞，由()0F x =得1ln x e a x x-=+．设1()ln (0)x e h x x x x -=+>，则2(1)(1)()x e x h x x --'=，函数()h x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，故()(1)1h x h e ≤=-，a ∴的最大值为1e -；（Ⅲ）由（Ⅰ）得当1a =-时，()f x 在(0,)+∞递增，则(0)0f =，故对0x ∀>，()0f x >，则1xe x -> 故对0,()ln(1)ln 0x x g x e x ∀>=-->．分析可知：要证0x ∀>，()g x x <，只需证0x ∀>，ln(1)ln xe x x --<，即证0x ∀>，ln(1)ln x e x x --<，即证0x ∀>，10x x xe e -+>．构造函数()1xxH x xe e =-+，则()0xH x x e '=>，故函数()H x 在(0,)+∞递增，()(0)0H x H ∴>=，故0x ∀>，()g x x <．当0a ≥，由（I ）可知()f x 在(0,)+∞递增，则(())()f g x f x <在(0,)+∞恒成立； 当0a <，由（I ）可知()f x 在(ln(),)a -+∞递增，在(,ln())a -∞-递减． ⅰ）当10a -≤<，()f x 在(0,)+∞递增，符合题意；ⅱ）当1,a <-由（I ）可知()f x 在(ln(),)a -+∞递增，在(,ln())a -∞-递减，当0ln()x a <<-时， 由0()ln()g x x a <<<-得(())()f g x f x >，不合题意． 综合得1a ≥-．。