根的判别式

一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。

当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。

判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。

正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。

举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。

对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。

对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。

对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。

解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。

对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。

在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。

当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。

例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。

根的判别式根的判别式是指用某种方法来判断一个多项式是否有实根或者复根，以及有几个实根或者复根。

在初中或高中数学中，我们通常会学到求解一元二次方程的根的公式，即$ax^2+bx+c=0$的根为$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

其中，判别式$\\Delta=b^2-4ac$可以用来判断方程的根的情况：1.当$\\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；2.当$\\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；3.当$\\Delta<0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

在高中数学中，我们还会学到求解一元三次方程和一元四次方程的根的公式。

不过，这些公式较为复杂，不适合用判别式来判断方程的根。

除了一元多次方程外，根的判别式还可用于判断代数方程组的解的情况。

即，给定一个代数方程组，我们可以使用根的判别式来判断其解的情况。

例如，对于二元一次方程组：$$\\begin{cases}ax+by=c\\\\dx+ey=f\\end{cases}$$可以联立方程得：$$\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}x=\\begin{vmatrix} c & b \\\\ f & e \\end{vmatrix},\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e\\end{vmatrix}y=\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix} $$其中，$\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}=ae-bd$称为方程组的系数行列式，$\\begin{vmatrix} c & b \\\\ f & e \\end{vmatrix}$和$\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix}$分别称为方程组的常数行列式。

公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。

解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。

一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。

对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。

判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。

2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。

根的判别式又称判别式法。

它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。

对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。

当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。

2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。

公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。

在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。

根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。

判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。

由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。

运用根的判别式解题根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。

根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。

下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。

实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。

首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。

然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a) 进行计算。

带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。

首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。

然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。

利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。

根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。