九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。

最新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程21.2.2 解一元二次方程--根的判别式测试题（含答案）一、填空题1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=________．2．a是有理数，b是________时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有________实数根．5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为__________．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则m为________．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是28．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac 是一个完全平方数，则方程必有________．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____________．10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是__________．11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____________．12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c 的关系式为___________．13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为_______．14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是______．15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿______解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0________实根．二、选择题那么α= []．18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为[ ]．19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为[ ]．A．2个；B．1个；C．0个；D．不确定．20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为[ ]．则该方程[ ]．A．无实数根；B．有相等的两实数根；C．有不等的两实数根；D．不能确定有无实数根．22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是[ ]．A．2；B．0；C．1；D．3．23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是[ ]．A．1；B．2；C．-1；D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是[ ]．A．4；B．-7；C．4或-7；D．所有实数．[ ]．A．两个相等的有理根；B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根；D．两个不等的无理根．26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是[ ]．A．-1；B．0；C．1；D．2．27．若方程k（x2-2x＋1）-2x2＋x＝0有实数根，则[ ]．28．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则[ ]．29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为[ ]．A．4；B．1；C．-2；D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是[ ]．A．1；B．2；C．3；D．4．三、简答题有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+（a2＋b2－c2）x ＋b2=0无解．33．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有实数根．34．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．35．一元二次方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．36．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．37．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．38．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．39．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．40．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0 的根对于a的任何值均是有理数？42．k为何值时，方程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．43．已知方程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证（1）此方程必有实根；（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．44．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c 是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．有相等的实数根，求证r1＝r2或r1+r2＝d．46．求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a．47．已知方程x2＋2x＋1＋m=0没有实数根．求证方程x2＋（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．48．已知a，b，c是三角形的三边．求证方程a2x2＋（a2+c2-b2）x＋c2=0无实数根．49．若方程b（x2-4）+4（b-a）x-c（-4+x2）=0的两个根不相等，且a，b，c为△ABC的三边，求证：△ABC不是等边三角形．50．k为何值时，方程4kx+k=x2+4k2+2：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）无实数根？51．设实数x满足方程（x-2）2+（kx+2）2=4，求k的最大值．53．如果方程（3k-4）x2+6（k＋2）x＋3k+4=0没有实数根，那么方程kx2-2（k-1）x＋（k＋4）=0有实数根吗？为什么？54．m是什么实数值时，方程2x2＋（n＋1）x-（3n2-4n+m）=0有有理根？参考答案：1．22．13．有两个不相等的4．6，-46．167．4，18．两个有理数根9．m=011．m，n为不等于零的任意实数12．b2-c2+a2=013．任意实数14．k≤115．无实数16．也有相等的17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D27．C 28．B 29．B 30．C已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，即化简得4m（a2-c2+b2）=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．34．2≤b≤6．35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4k的最大整数值为2．40．-4．41．b=1．42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解出b=c．45．提示：Δ=（-2r1）2-4（r22+r1d-r2d）=0，即4r21-4r22-4r1d+4r2d=0，（r21-r22）-d （r1-r2）=0，（r1-r2）（r1+r2-d）=0，所以r1=r2或r1+r2=d．46．提示：原方程化为x2-（2a+b）x+（a2+ab-1）=0，Δ=[-（2a+b）]2-4（a2+ab-1）=4a2+4ab+b2-4a2-4ab+4=b2+4，即Δ＞0．代47．提示：因为方程x2+2x+1+m=0无实根，所以Δ=4-4（1+m）=4-4-4m＜0，推知m＞0．而方程x2+（m-2）x-（x+3）=0的Δ=（m-2）2+4（m+3）＞0．48．提示：Δ=（a2+c2-b2）2-4a2c2=（a2+c2-b2+2ac）（a2+c2-b2-2ac）=[（a+c）2-b2]×[（a-c）2-b2]=（a+c+b）×（a+c-b）×（a-c+b）×（a-c-b）．因为a，b，c是三角形的三边，所以a+b+c＞0，a+c-b＞0，a-c+b＞0，a-c-b＜0，推知Δ＜0．49．提示：原方程化为：（b-c）x2+4（b-a）x-4（b-c）=0，Δ=16（b-a）2+16（b-c）2＞0．所以（b-a）与（b-c）不全为0，a，b，c不全相等，因此△ABC不是等边三角形．50．（1）k＞2；（2）k=2；（3）k＜2．51．k的最大值为0，x+（k+4）=0的Δ＞0，故而方程有实数根．54．m=1．。

人教版九年级数学上册第21 章21.2.2.1 一元二次方程的根的判别式 同步练习题一、选择题1．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为(A)A ．4B ．2C ．0D ．－42．一元二次方程4x 2－2x －1＝0的根的情况为(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．下列一元二次方程没有实数根的是(B)A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝04．若方程x 2＋kx ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值是(C)A ．－2B ．2C ．±2 D.125．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为(A)A ．k ＞－14B ．k ＞4C ．k ＜－1D ．k ＜4 6．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则a 的值可以是(D)A ．2B ．1C ．0.5D ．0.257．若关于x 的方程kx 2－x －34＝0有实数根，则实数k 的取值范围是(C) A ．k ＝0 B ．k ≥－13且k ≠0 C ．k ≥－13 D ．k ＞－138．已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断9．若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(D)A ．k ≥0B ．k ≤0C ．k ＜0且k ≠－1D ．k ≤0且k ≠－110．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(B)二、填空题11．关于x 的方程x 2＋2x －(m －2)＝0的根的判别式Δ＝4m －4，若方程有两个不相等的实数根，则m>1；若方程有两个相等的实数根，则m ＝1；若方程没有实数根，则m<1．12．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是0． 13．关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是m>14． 14．若关于x 的方程x 2－6x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是8．15．若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是k ≤4且k ≠0．三、解答题16．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)9x 2＋6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝6，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根．(2)16x 2＋8x ＝－3；解：化为一般形式为16x 2＋8x ＋3＝0.∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，∴Δ＝b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．(3)3(x 2－1)－5x ＝0.解：化为一般形式为3x 2－5x －3＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．17．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值．解：因为原方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即(－2)2－4k ·(－1)>0，解得k>－1.所以k 的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．解：不正确．错误原因：∵当k ＝0时，原方程不是一元二次方程，∴k ≠0.∴k 的最小整数值为1.18．已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12.将a ＝12代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0.∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0.∴2a －2b ＝0.∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0.∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形．20.已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12.代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．。

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版教材P17习题21.2第13题)无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0，Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0，所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．一判断一元二次方程根的情况方程x2＋7＝8x的根的情况为(A)A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．方程没有实数根对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C)A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A)A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．无法确定已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4.∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．【解析】 (1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论；(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；再根据三角形的周长公式进行计算．解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，∴方程恒有两个不相等的实数根；(2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，∴原方程为x2－4x＋3＝0，解这个方程得x1＝1，x2＝3，∴方程的另一个根为x＝3.①当1，3为直角边长时，斜边长为＝，∴直角三角形的周长为1＋3＋＝4＋.②当3为斜边长时，另一条直角边长为＝2，∴直角三角形的周长为1＋3＋2＝4＋2.二确定一元二次方程中字母系数的值关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是(D)A．0B．8C．4±D．0或8【解析】依题意得Δ＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，∴m1＝0，m2＝8.已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－3__．【解析】∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即(－2)2－4×(－k)＝12＋4k＝0，解得k＝－3.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．【解析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b2－4a＝0，可得出a、b 之间的关系式，然后将化简后，将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值．解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0.∴＝ab2a2－4a＋4＋b2－4＝＝＝＝4.三确定一元二次方程中字母系数的取值范围若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(A)A．k<1B．k>1C．k＝1D．k≥0x2＋2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是(B)A．m≤－1B．m≤1C．m≤4 D．m≤12若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是__1__.【解析】根据题意得：Δ＝16－12k≥0，且k≠0，解得k≤，则k的非负整数值为1.已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根，求k的取值范围．解：依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，整理，得－8k＋4≥0，解得k≤.四确实一元二次方程中字母系数的取值范围已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(C)A．k>且k≠2B．k≥且k≠2C．k>且k≠2 D．k≥且k≠2【解析】∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴(2k＋1)2－4(k－2)2＞0，∴(2k＋1－2k＋4)(2k＋1＋2k－4)＞0，∴5(4k－3)＞0，k＞，故k＞且k≠2.关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实数根，则k的取值范围是__k≥－且k≠0__．如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．解：∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，∴m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)＜0，∴m＞4.对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，当m＝5时，方程有一个实数根；当m≠5时，Δ＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝4(3m＋1)．∵m＞4，∴3m＋1＞13，∴Δ＝4(3m＋1)＞0，方程有两个不相等的实数根，∴当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝，即x＝4±，∴x1＝4＋，x2＝4－.②∵x是一元二次方程x2－8x＋9＝0的根，∴x2－8x＝－9.∴2x2－＝2x2－32x－7－9＋11＝2x2－16x＋＝2(x2－8x)＋＝2×(－9)＋72＝－.。

前言：
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根的判别式的六种常见应用
名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．
2．【2015·泰州】已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．【2015· 咸宁】已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
利用根的判别式求代数式的值
4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1
的值．
（2m－1）2＋2m
利用根的判别式解与函数综合问题
5．【2016·黔南州】y＝k－1x＋1是关于x的一次函数，则关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为( )
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根。

人教九上数学同步课时训练第21章21．2.2第1课时一元二次方程的根的判别式基础题知识点1 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况1．(滨州中考)一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A)A．4 B．2 C．0 D．－42．(铜仁中考)一元二次方程4x2－2x－1＝0的根的情况为(B)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．下列一元二次方程没有实数根的是(B)A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝04．(教材P17习题T4变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根．(2)16x2＋8x＝－3；解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．(3)3(x2－1)－5x＝0.解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．知识点2 利用根的判别式确定字母的取值或范围5．关于x的方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝4m－4，若方程有两个不相等的实数根，则m>1；若方程有两个相等的实数根，则m＝1；若方程没有实数根，则m<1．6．若方程x 2＋kx ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值是(C )A ．－2B ．2C ．±2 D.127．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为(A )A ．k ＞－14B ．k ＞4C ．k ＜－1D ．k ＜48．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则a 的值可以是(D )A ．2B ．1C ．0.5D ．0.25易错点1 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为09．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值．解：因为原方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即(－2)2－4k ·(－1)>0，解得k>－1.所以k 的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．解：不正确．错误原因：∵当k ＝0时，原方程不是一元二次方程，∴k ≠0.∴k 的最小整数值为1.易错点2 未对方程进行分类讨论导致漏解10．(营口中考)若关于x 的方程kx 2－x －34＝0有实数根，则实数k 的取值范围是(C ) A ．k ＝0 B ．k ≥－13且k ≠0 C ．k ≥－13 D ．k ＞－13中档题11．(咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．(菏泽中考)若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(D )A ．k ≥0B ．k ≤0C ．k ＜0且k ≠－1D ．k ≤0且k ≠－113．【数形结合思想】若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(B )14．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是0．15．【易错】若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是k ≤4且k ≠0．16．已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12. 将a ＝12代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．综合题17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.∴a＋c－2b＋a－c＝0.∴2a－2b＝0.∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.∴4b2－4a2＋4c2＝0.∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形．。

21.2.6根的判别式学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜02．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．33．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜14．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥6．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根7．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根8．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或19．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根C．无实数根 D．不能确定10．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥311．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3 D．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤2B．k≤0C．k＜2 D．k＜013．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=014．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4D．k＜415．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2二．填空题（共5小题）16．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为．17．若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是（只写一个）．18．关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是．19．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=（一个即可）．20．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．三．解答题（共3小题）21．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．2．解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．3．解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：D．4．解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．5．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选：A．6．解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．故选：A．7．解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．8．解：原方程可变形为x2+（a+1）x=0．∵该方程有两个相等的实数根，∴△=（a+1）2﹣4×1×0=0，解得：a=﹣1．故选：A．9．解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．10．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．11．解：∵a=2，b=﹣k，c=3，∴△=b2﹣4ac=k2﹣4×2×3=k2﹣24，∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，∴k2﹣24=0，解得k=±2，故选：A．12．解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2．故选：C．13．解：A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0，方程有两个相等实数根；B、x2=xx2﹣x=0△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0两个不相等实数根；C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，方程无实根；D、（x﹣1）2+1=0（x﹣1）2=﹣1，则方程无实根；故选：B．14．解：根据题意得△=42﹣4k≥0，解得k≤4．故选：C．15．解：A、△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；B、△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；C、△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D、△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即：22﹣4（﹣m）=0，解得：m=﹣1，故选答案为﹣1．17．解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2．故答案可以为：6．18．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣k）=16+4k≥0，解得：k≥﹣4．故答案为：k≥﹣4．19．解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，∴△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，∴负整数a=﹣1或﹣2．故答案为﹣2．20．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，则m的最大整数解是m=4．故答案为：m=4．三．解答题（共3小题）21．解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．22．（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23．（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．。

专题训练(一) 一元二次方程根的判别式1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x ＋1＝0，Δ＝b 2－4ac ＝______，方程有______________实数根； (2)x 2＋x ＋5＝0，Δ＝b 2－4ac ＝______，方程______________实数根； (3)x 2＋2x ＋12＝0，Δ＝b 2－4ac ＝______，方程有______________实数根．2．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋2x ＋2＝0C ．(x －1)2＋1＝0D ．(x －1)(x ＋2)＝03．一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定4．下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是( )A ．2x 2－6x ＋1＝0B ．3x 2－x －5＝0C ．x 2＋x ＝0D ．x 2－6x ＋9＝05．已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0.求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根．6．定义新运算：对于任意实数m ，n 都有m ☆n ＝m 2n ＋n ，等式右边是通常的加法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a 的值小于0，请判断关于x 的一元二次方程：2x 2－bx ＋a ＝0的根的情况．7．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －(m －2)＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ＜1C ．m≥1D ．m≤18．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是( )图1－ZT －19．若关于x 的方程x 2＋x －k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( )A ．k ＞－14B ．k≥－14C ．k<－14D ．k>－14且k≠010．已知关于x 的一元二次方程12mx 2＋mx ＋m －1＝0有两个相等的实数根．(1)求m 的值； (2)解原方程．11．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．12．已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．13．已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知0是此方程的一个根，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简，再求值)．14．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)证明：除0外，不论m为何值，方程总有实数根；(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？参考答案1．(1)1 两个不相等的 (2)－19 没有 (3)0 两个相等的2．D [分析] A 选项，Δ＝b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，方程没有实数根，所以A 选项不合题意；B 选项，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×2＝－4＜0，方程没有实数根，所以B 选项不合题意；C 选项，(x －1)2≥0，则(x －1)2＋1＞0，方程没有实数根，所以C 选项不合题意；D 选项，方程(x －1)(x ＋2)＝0整理得x 2＋x －2＝0，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1×(－2)＝9＞0，方程有两个不相等的实数根．所以D 选项符合题意．故选D.3．B [分析] Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×4＝0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选B. 4．D5．证明：Δ＝b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4×4(k －12)＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8 ＝4k 2－12k ＋9 ＝(2k －3)2.∵(2k －3)2≥0，即Δ＝b 2－4ac≥0， ∴无论k 取何值，这个方程总有实数根． 6．解：∵2☆a 的值小于0， ∴22a ＋a ＝5a ＜0，解得a ＜0. 在方程2x 2－bx ＋a ＝0中， ∵Δ＝(－b)2－8a≥－8a ＞0，∴方程2x 2－bx ＋a ＝0有两个不相等的实数根． 7．C8．B [分析] ∵关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4(kb ＋1)＞0，解得kb ＜0.A 项，k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 项不符合题意；B 项，k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 项符合题意；C 项，k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 项不符合题意；D 项，k<0，b ＝0，即kb ＝0，故D 项不符合题意． 故选B.9．A [分析] ∵关于x 的方程x 2＋x －k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1·(－k)＝1＋4k ＞0，解得k ＞－14.10．解：(1)∵关于x 的一元二次方程12mx 2＋mx ＋m －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m 2－4·12m·(m －1)＝0，且m≠0，解得m ＝2.(2)由(1)知m ＝2，则原方程为x 2＋2x ＋1＝0， 即(x ＋1)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－1.11．解：(1)根据题意，得Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4k≥0， 解得k≤94.(2)由(1)知k 的最大整数值为2，则原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. ∵关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根， ∴当x ＝1时，m －1＋1＋m －3＝0， 解得m ＝32；当x ＝2时，4(m －1)＋2＋m －3＝0， 解得m ＝1.又∵m －1≠0，∴m 的值为32.12．解：(1)根据题意，将x ＝1代入方程x 2＋mx ＋m －2＝0， 得1＋m ＋m －2＝0，解得m ＝12.(2)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝m 2－4(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4＞0， ∴不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．13．解：(1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝[－(2m ＋1)]2－4m(m ＋1)＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根．(2)(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5. ∵0是方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0的一个根， ∴把x ＝0代入方程中得到m(m ＋1)＝0. ∴原式＝3m(m ＋1)＋5＝5.14．解：(1)证明：Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2. ∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0， ∴除0外，不论m 为何值，方程总有实数根． (2)解方程，得x ＝m ＋2±（m －2）2m ，∴x 1＝2m，x 2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m ＝1或m ＝2(不合题意，舍去)． ∴m ＝1.。

第十二章复习 一元二次方程的解法及根的判别式测试(B 卷)一、填空题〔每题3分，共24分〕1．假设方程〔m －1〕x ｜m ｜+1－2x=3是关于x 的一元二次方程，那么m=__________．2．对于方程〔m －1〕x 2+〔m+1〕x+3m+2=0，当m__________时，为一元一次方程；当m____时为一元二次方程．3．一元二次方程ax 2+bx+c=0至少有一个根为零的条件是____________．4．假设关于x 的方程x 2－mx+41=0与x 2－〔m+1〕x+m=0均有一样的实数根，那么m 的值为________． 5．如果m 为任意实数，那么一元二次方程x 2－mx+21m 2+m+32=0的解的情况是____________．6．k ＜1时，关于x 的方程2〔k+1〕x 2+4kx+2k －1=0的根的情况是__________．7．假设x=a 〔a ≠2〕是关于x 的一元二次方程〔k －1〕x 2+2kx+k+3=0的一个实数根，那么k 的取值范围是_________________________．8．假设关于x 的方程〔m －1〕x 2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，那么Δ=_____________________，那么m 的取值范围是____________________________________．二、选择题〔每题3分，共24分〕9．方程〔m+2〕x ｜m ｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么A ．m ≠±2B ．m=2C ．m=－2D ．m=±210．关于x 的方程41x 2－〔m －3〕x+m 2=0有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 A ．2 B ．1 C ．0D ．－1 11．k 为实数，那么关于x 的方程x 2+2〔k+1〕x+k －1=0的根的情况是 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．不能确定12．关于x 的方程〔2m －1〕x 2－8x+4=0有两个实数根，那么非负整数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0、1、213．对任意实数m ，关于x 的方程〔m 2+1〕x 2－2mx+m 2+4=0一定A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定14．关于x 的方程〔b+c 〕x 2+2〔a －c 〕x －43〔a －c 〕=0有两个相等的实数根，那么以a 、b 、c 为三边长的三角形是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．不能确定15．假设关于x 的方程x 2－〔42+k 〕x+k=0有两个不相等的实数根，那么化简k+2+442+-k k 的值为A ．4B ．2kC ．－4D ．－2k 16．假设关于x 的一元二次方程kx 2－2x+1=0有实数根，那么k 的取值范围是 A ．k ＜1 B ．k ≤1 C ．k ＜1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠0三、解答题〔共52分〕17．解关于x 的方程2x 2+〔3m －n 〕x －2m 2+3mn －n 2=0．〔6分〕18．假设两个关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0有一个公共根，求a 的值．〔6分〕19．试证明：关于x 的方程〔a 2－8a+20〕x 2+2ax+1=0，不管a 取何值，该方程都是一元二次方程．〔6分〕20．k 取何值时，方程kx 2－〔2k+1〕x+k=0，〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕无实数根．〔7分〕21．方程x 2－〔k+1〕x+41k=0能否有相等的实数根．假设有请求出来．〔7分〕22．一元二次方程〔ab －2b 〕x 2+2〔b －a 〕x+2a －ab=0有两个相等的实数根，求ba 11 的值．〔10分〕23．：a 、b 、c 是三角形三条边的长，求证：方程b 2x 2+〔b 2+c 2－a 2〕x+c 2=0没有实数根．〔10分〕参考答案一、1．－1 2．1 ≠1 3．c=0 4．15．－332－2≤m ≤332－2时有解； m ＞332－2或m ＜－332－2时无解． 6．有两个不相等的实数根 7．k ≤1.5且k ≠1 8．Δ=12－8m ，m ＜23且m ≠1 二、9．B 10．B 11．A 12．D 13．C 14．B 15．A 16．D 三、17．解：Δ=〔5m －3n 〕2≥0，∴x=4)32(8)3(3222n mn m n m m n -+---±-=4)35(32n m m n -±-∴x 1=2nm -，x 2=n －2m 18．解：设两个方程的公共根为x 0，那么有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++②①010020020ax x a x x ，由①－②得〔1－a 〕x 0+a －1=0，∴〔1－a 〕〔x 0－1〕=0 由题知，x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0是两个不同的方程． ∴a ≠1，a －1≠0，∴x 0－1=0，x 0=1， 把x 0=1代入①得a=－219．证明：a 2－8a+20=a 2－8a+16+4=〔a －4〕2+4 ∵〔a －4〕2≥0，∴〔a －4〕2+4＞0 ∴无论a 取何值，a 2－8a+20≠0，即无论a 取何值时，原方程一定是一元二次方程． 20．解：由得k ≠0，于是a=k ，b=－〔2k+1〕，c=k ， ∴Δ=b 2－4ac=［－〔2k+1〕］2－4×k ×k=4k+1 〔1〕假设方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0即4k+1＞0，∴k ＞－41， ∴当k ＞－41且k ≠0时， 方程有两个不相等的实数根； 〔2〕假设方程有两个相等的实数根， ∴Δ=0即4k+1=0，∴k=－41≠0， ∴当k=－41时，方程有两个相等的实数根； 〔3〕假设方程没有实数根，∴Δ＜0即4k+1＜0，∴k ＜－41≠0． ∴当k ＜－41时，方程无实数根． 21．解：∵a=1，b=－〔k+1〕，c=41k∴Δ=b 2－4ac=［－〔k+1〕］2－4×1×41k=k 2+k+1，当Δ=0时，即k 2+k+1=0．而此时，方程k 2+k+1=0的判别式Δk =12－4×1=－3＜0，说明方程k 2+k+1=0无实数根，即对任何实数k ，Δ≠0．故原方程无相等的实数根．22．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴Δ=0即4〔b －a 〕2－4〔ab －2b 〕〔2a －ab 〕=0 ∴b 2－2ab+a 2－〔2a 2b －a 2b 2－4ab+2ab 2〕=0 〔a 2+2ab+b 2〕－〔2a 2b+2ab 2〕+a 2b 2=0 〔a+b 〕2－2ab 〔a+b 〕+a 2b 2=0 ∴〔a+b －ab 〕2=0∴a+b －ab=0∵a ≠0且b ≠0，ab ≠0，上式中两边都除以ab 得a 1+b1=1，故a 1+b1的值是1．23．证明：∵a 、b 、c 是三角形三条边的长， ∴a ＞0、b ＞0、c ＞0且a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b ∵b 2≠0∴方程b 2x 2+〔b 2+c 2－a 2〕x+c 2=0是一元二次方程∵Δ=〔b 2+c 2－a 2〕2－4b 2c 2=〔b 2+c 2－a 2+2bc 〕〔b 2+c 2－a 2－2bc 〕=［〔b+c 〕2－a 2］·［〔b －c 〕2－a 2］ =〔b+c+a 〕〔b+c －a 〕〔b －c+a 〕〔b －c －a 〕=〔a+b+c 〕［〔b+c 〕－a ］·［〔a+b 〕－c ］·［b －〔a+c 〕］ ∵a+b+c ＞0，b+c －a ＞0，a+b －c ＞0，b －〔a －c 〕＜0 ∴〔a+b+c 〕［〔b+c 〕－a ］·［〔a+b 〕－c ］·［b －〔a+c 〕］＜0 即Δ＜0，∴原方程没有实数根．。