不等式复习讲义

§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1.基本不等式：a ＋b2≥ab (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立.(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值.2.利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab 与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x 4.(×)2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于()A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4答案C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时，取等号，即当f (x )取得最小值时x ＝3，即a ＝3.3．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为()A.14B.18C.116D ．1答案A解析因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立，故x (1－x )的最大值为14.4．(2023·重庆模拟)已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4解析由x ＋y ＝1得1x ＋1y ＝x ＋y )＝2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，即1x ＋1y的最小值为4.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是()A ．b >a ＋b2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案C解析∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点E ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0)答案C解析根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD＝ab a ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ，所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b (a >0，b >0)．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练1(1)已知p ：a >b >0，q ：a 2＋b 22>，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>，∴由p 可推出q ；当a <0，b <0时，q 也成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(多选)已知a ，b ∈R ，则下列不等式成立的是()A.a ＋b 2≥abB.a ＋b 2≤a 2＋b 22C.2ab a ＋b ≤a ＋b 2D ．ab ≤a 2＋b 22答案BD解析A 选项，由选项可知a 与b 同号，当a >0且b >0时，由基本不等式可知a ＋b2≥ab 恒成立，当a <0且b <0时，a ＋b2<0，ab >0，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项，当a ＋b >0时，a ＋b2>0，则＝a 2＋b 2＋2ab －2a 2－2b 24＝－(a －b )24≤0恒成立，即a ＋b2≤a 2＋b 22恒成立，当a ＋b ≤0时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项，当a ＋b >0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≤a ＋b2恒成立，当a ＋b <0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≥a ＋b2，故C 选项错误；D 选项，由重要不等式可知，a ，b ∈R ，ab ≤a 2＋b 22恒成立，故D 选项正确．题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A ．x －1x B ．2x ＋2－xC ．x 2＋1x 2D.x 2＋2＋1x 2＋2答案BC解析选项A 中，当x <0时，函数y ＝x －1x单调递增，无最小值，不符合题意；选项B 中，2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，满足题意；选项C 中，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x ＝±1时，等号成立，满足题意；选项D 中，x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．(2)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．答案3解析由已知，得12＝4x ＋3y ≥24x ·3y ，即12≥24x ·3y ，解得xy ≤3(当且仅当4x ＝3y 时取等号)．命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a ，b 为正数，4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2的最大值为()A.7B.3C ．22D ．2答案D解析因为4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2＝12×2a ×1＋b 2＝124a 2(1＋b 2)≤12×4a 2＋1＋b 22＝2，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝3时，等号成立．(2)已知x >1，则x 2＋3x －1的最小值为()A ．6B ．8C ．10D ．12答案A解析因为x >1，所以x －1>0，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝x －1＋2＋4x －1≥2＋2(x －1)·4x －1＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f (x )＝x ＋kx，k ＞0，x ∈[a ，b ]，[a ，b ]⊆(0，＋∞)．(1)当k ∈[a ，b ]时，f (x )＝x ＋kx ≥2k ，f (x )min ＝f (k )＝k ＋k k ＝2k ；(2)当k ＜a 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝a ＋ka ；(3)当k ＞b 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递减，f (x )min ＝f (b )＝b ＋kb.因此，只有当k ∈[a ，b ]时，才能使用基本不等式求最值，而当k ∉[a ，b ]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2的最小值是______．答案32解析由f (x )＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋3x 2＋2－2，令x 2＋2＝t (t ≥2)，则有f (t )＝t ＋3t－2，由对勾函数的性质知，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，f (t )min ＝32，即当x ＝0时，f (x )min ＝32.命题点3代换法例4(1)已知正数a ，b 满足8b ＋4a ＝1，则8a ＋b 的最小值为()A ．54B ．56C ．72D ．81答案C解析8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．延伸探究已知正数a ，b 满足8a ＋4b ＝ab ，则8a ＋b 的最小值为________．答案72解析∵8a ＋4b ＝ab ，a >0，b >0，∴8b ＋4a＝1，∴8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．(2)已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝3恒成立，则1a ＋1＋2b 的最小值为()A.32B.94C ．2D ．3答案B解析由a ＋2b ＝3得(a ＋1)＋2b ＝4，于是1a ＋1＋2b ＝·(a ＋1)＋2b 4＝141＋4＋2(a ＋1)b ＋2ba ＋1≥145＋22(a ＋1)b ×2ba ＋1＝94，当且仅当2(a ＋1)b＝2b a ＋1，且a >0，b >0，即a ＝13，b ＝43时，等号成立．所以1a ＋1＋2b的最小值为94.命题点4消元法例5已知正数a ，b 满足a 2－2ab ＋4＝0，则b －a4的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案B解析∵a >0，b >0，a 2－2ab ＋4＝0，则b ＝a 2＋2a ，∴b －a 4＝a 2＋2a －a 4＝a 4＋2a ≥2a 4·2a＝2，当且仅当a 4＝2a ，即a ＝22时，等号成立，此时b ＝322.命题点5构造不等式法例6若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为()A ．9B ．6C ．3D ．12答案A解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又ab ＝a ＋b ＋3，所以ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，整理可得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)．所以ab ≥3，所以ab ≥9.所以当a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A ．y ＝sin x xB ．y ＝2－x －4x (x ＜0)C ．y ＝x 2＋6x 2＋5D ．y ＝4x ＋4－x答案AD解析对于A ，因为0＜x ≤π2，所以0＜sin x ≤1，则y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时取等号，符合题意；对于B ，因为x ＜0，所以－x ＞0，－x ＝4，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时等号成立，所以y ＝2－x －4x ≥2＋4＝6，即y ＝2－x －4x (x ＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C ，y ＝x 2＋6x 2＋5＝x 2＋5＋1x 2＋5，设t ＝x 2＋5，则t ≥5，则y ≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D ，y ＝4x ＋4－x ＝4x ＋14x≥24x ·14x ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，故y ＝4x ＋4－x 的最小值为2，符合题意．(2)(多选)已知正实数a ，b 满足ab ＋a ＋b ＝8，下列说法正确的是()A ．ab 的最大值为2B ．a ＋b 的最小值为4C ．a ＋2b 的最小值为62－3D.1a (b ＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A ，因为ab ＋a ＋b ＝8≥ab ＋2ab ，即(ab )2＋2ab －8≤0，解得－4≤ab ≤2，又因为a >0，b >0，所以0<ab ≤2，则ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故A 错误；对于B ，ab ＋a ＋b ＝8≤(a ＋b )24＋(a ＋b )，即(a ＋b )2＋4(a ＋b )－32≥0，解得a ＋b ≤－8(舍)或a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故B 正确；对于C ，由题意可得b (a ＋1)＝8－a ，所以b ＝8－aa ＋1>0，解得0<a <8，所以a ＋2b ＝a ＋2×8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D，1a(b＋1)＋1b＝181a(b＋1)＋1b[a(b＋1)＋b]＝182＋ba(b＋1)＋a(b＋1)b≥18×(2＋2)＝12，当且仅当ba(b＋1)＝a(b＋1)b，即b＝4，a＝45时取等号，故D正确．课时精练一、单项选择题1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是() A．9B．18C．93D．27答案B解析因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.2．已知a>0，b>0，且1a＋1b＝1，则4a＋9b的最小值是() A．23B．26C．22D．25答案D解析由题意得a>0，b>0，1a＋1b＝1，故4a＋9ba＋9b)＝9ba＋4ab＋13≥29ba·4ab＋13＝25，当且仅当9ba＝4ab，即a＝52，b＝53时取等号，故4a＋9b的最小值是25.3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是() A．2B．3C．4D．5答案D解析对原条件式转化得3x＋1y＝5，则3x＋4yx＋4y)＋4＋12yx＋＋5，当且仅当12yx＝3xy且x＋3y＝5xy，即x ＝1，y ＝12时取等号．故3x ＋4y 的最小值为5.4．“∀x ∈(1,4]，不等式x 2－mx ＋m >0恒成立”的充分不必要条件是()A ．m >4B ．m <163C ．m <4D ．m <2答案D解析已知∀x ∈(1,4]，由不等式x 2－mx ＋m >0恒成立，得x 2x －1>m 恒成立，因为x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，所以m <4，所以m <2是m <4的充分不必要条件．5．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为()A.19B.112C.116D.120答案C解析因为x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则3x ＋y xy＝3y ＋1xx ＋3y )＝3x y ＋3yx ＋10≥23x y ·3yx＋10＝16，当且仅当3x y ＝3yx ，即x ＝y ＝14时，等号成立，所以0<xy 3x ＋y ≤116，即xy 3x ＋y的最大值为116.6．已知x >y >0且4x ＋3y ＝1，则12x －y ＋2x ＋2y的最小值为()A ．10B ．9C ．8D ．7答案B解析由x >y >0得2x －y >0，x ＋2y >0，令a ＝2x －y ，b ＝x ＋2y ，则a ＋2b ＝4x ＋3y ，由4x ＋3y ＝1得a ＋2b ＝1，故12x －y ＋2x ＋2y＝a ＋2b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当2b a ＝2ab，且a ＋2b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号，也即2x －y ＝13，x ＋2y ＝13，即x ＝15，y ＝115时，等号成立，故12x －y ＋2x ＋2y的最小值为9.二、多项选择题7．已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，则()A ．x (x ＋2y )的最大值为4B ．log 2x ＋log 2y 的最大值为0C ．2x ＋2y 的最小值为4D.1x ＋2y 的最小值为32＋2答案BCD解析由x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，可得0<x <2,0<y <2，x (x ＋2y )＝(x ＋y －y )(x ＋y ＋y )＝(x ＋y )2－y 2＝4－y 2，由0<y 2<4可得0<4－y 2<4，所以x (x ＋2y )无最大值，故A 错误；由x ＋y ＝2≥2xy ，得0<xy ≤1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ≤log 21＝0，故B 正确；由基本不等式可得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故C 正确；1x ＋2y ＝x ＋y )＋y x ＋＋＝32＋2，当且仅当x ＝22－2，y ＝4－22时取等号，故D 正确．8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析因为ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为＋34y 2＝1，设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ，所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin θ∈23，2，所以D 错误．三、填空题9．若x <2，则x ＋9x －2的最大值为________．答案－4解析x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2，由于x <2，所以2－x >0，故2－x ＋92－x ≥6，当且仅当2－x ＝92－x，即x ＝－1时，等号成立，所以x －2＋9x －2＝－－x －6，故x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2≤－4，所以x ＋9x －2的最大值为－4.10．函数f (x )＝3x －32x 2－x ＋1在(1，＋∞)上的最大值为________．答案37解析因为f (x )＝3x －32x 2－x ＋1x ∈(1，＋∞)，令x －1＝t ，则t >0，则f (t )＝3t 2(t ＋1)2－(t ＋1)＋1＝3t2t 2＋3t ＋2＝32t ＋3＋2t ≤322t ·2t＋3＝37，当且仅当2t ＝2t ，t ＝1，即x ＝2时，等号成立．故f (x )在(1，＋∞)上的最大值为37.11．已知a >1，b >2，a ＋b ＝5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．答案92解析因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，又a ＋b ＝5，所以(a －1)＋(b －2)＝2，即12[(a －1)＋(b －2)]＝1，所以1a －1＋4b －2＝12[(a －1)＋(b －2)]·＝121＋b －2a －1＋4(a －1)b －2＋4≥125＋2b －2a －1·4(a －1)b －2＝12×(5＋4)＝92，当且仅当b－2a－1＝4(a－1)b－2，即a＝53，b＝103时取等号，所以1a－1＋4b－2的最小值为92.12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．答案4解析因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤(a＋5b)＋(2a＋b)22＝94(a＋2b)2，所以a＋2b≥4＋5b＝2a＋b，a＋5b)(2a＋b)＝36，即a＝83，b＝23时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4.四、解答题13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(2)2x＋y的最小值．解(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，令xy＝t(t>0)，则t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30－x2＋x >0,0<x<30,2x＋y＝2x＋30－x2＋x＝2(x＋2)＋322＋x－5≥22(x＋2)·322＋x－5＝11，当且仅当2(x＋2)＝322＋x，即x＝2时取等号，所以2x＋y的最小值为11.14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )x 元(a >5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a 的取值范围．解(1)设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左右两面墙的长度均为x 米(2≤x ≤6)，则屋子前面新建墙体长为12x米，则y ＝×2x ＋4007200＝7200≥900×2x ·16x＋7200＝14400，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．(2)由题意可知，7200>900a (1＋x )x对任意的x ∈[2,6]恒成立，即(x ＋4)2x >a (1＋x )x ，所以(x ＋4)2x ＋1>a ，即a <(x ＋4)2x ＋1min ，(x ＋4)2x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1＋6≥2(x ＋1)·9x ＋1＋6＝12，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，则(x ＋4)2x ＋1的最小值为12，即0<a <12，又a >5，所以a 的取值范围是(5,12)．15．已知x ，y 为正实数，则y x ＋16x2x ＋y 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．8答案C解析由题得y x ＋16x 2x ＋y ＝y x ＋162＋yx，设yx＝t (t >0)，则f (t )＝t ＋162＋t ＝t ＋2＋162＋t－2≥2(t ＋2)·162＋t－2＝8－2＝6，当且仅当t ＋2＝162＋t，即t ＝2，即y ＝2x 时取等号．所以y x ＋16x 2x ＋y的最小值为6.16．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．答案4解析∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴a (a －b )＞0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，(a －b )＝1a (a －b )，＝1ab，即a ＝2，b ＝22时，等号成立．∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.。

1 第三章《不等式》复习讲义班级_________________ 姓名_________________ 学号_____【主要概念和知识点】一、不等式组的解【助记口诀】大大（取）_______，小小（取）_______，大小小大取___________，大大小小___________。

二、不等式性质（初中）【不等式的性质1】不等式两边都__________（或__________）同一个数（或______），不等号的方向不变。

即a b >⇒________________________。

【不等式的性质2】不等式两边都__________（或__________）同一个__________，不等号的方向不变。

即a b >，c ______0⇒___________________________。

【不等式的性质3】不等式两边都__________（或__________）同一个__________，不等号的方向__________。

即a b >，c ______0⇒___________________________。

解不等式时，除了可以利用上述的性质外，还可以利用___________法则等。

三、不等式性质（高中）【性质1】（对称性）a b >⇔____________。

【性质2】（传递性）a b >，b c >⇒____________；a b <，b c <⇒____________。

【性质3】（可加性）a b >⇔________________________；（________法则）a b c a +>⇔>__________。

测试范围：高一数学必修5（新人教·A 版）第三章 不等关系与不等式 2【性质4】（可乘性）a b >，c ______0⇒_____________；a b >，c ______0⇒_____________。

高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

第1讲 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4。

会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

知 识 梳 理1。

两个实数比较大小的方法（1）作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法错误!2。

不等式的性质（1）对称性：a ＞b ⇔b ＜a ;（2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；（3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4）可乘性：a ＞b ,c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0,c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；（5）可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n （n ∈N ，n ≥1）；（6)可开方：a ＞b ＞0⇒错误!＞错误!(n ∈N ,n ≥2).3。

三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根ax 2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集错误!错误!Rax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集{x｜x1＜x＜x2｝∅∅诊断自测1。

判断正误（在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示（1）a＞b⇔ac2＞bc2。

（)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2),则必有a＞0.（)（3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )(4）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()解析（1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之,c＝0时，a＞b ac2＞bc2。

例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号． 答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析 作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。

不等式复习讲义（一）一．目的要求：1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法；2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；3．掌握含绝对值的不等式的性质；4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。

学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质.二．知识要点：2．绝对值不等式的性质： ||||||||a b a b a b -≤±≤+；1212||||||||n n a a a a a a +++≤+++．三．证明不等式的常用方法：比较法，综合法，分析法，换元法，反证法等.四．运用基本不等式求最值的注意点：①常用的不等式：a b +≥2()2a b ab +≤，222a b ab +≥． ②注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等.五．常见不等式及其基本解法：1．一元二次不等式：（1）利用其与一元二次方程，二次函数的关系；（2）含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：①∆的符号不确定，讨论∆的大小；②通过因式分解（或求根公式）得出两根，但根的大小不明确，则讨论根的大小.（3）一元二次不等式的应用：①已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；②恒成立问题：通常可结合二次函数图象来考虑.2.分式不等式：移项，通分，再转化为不等式组或序轴标根；3.含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号.4.高次不等式：序轴标根法；5.指数、对数不等式：利用指数函数、对数函数的单调性进行等价转化.六．例题分析：例1．已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--． 证明：∵0c d <<，∴0c d ->->，又0a b >>，∴0a c b d ->->，∴110a c b d <<--，又0e <，∴e e a c b d>--． 例2．已知,,,a b c d 都是实数，求证：22222()()()ac bd a b c d +≤++，并指出""=何时成立.比较法或综合法，""=成立的条件是ad bc =．例3．已知0a >，111b a ->>． 证明：∵111b a ->，∴111b a >+，又0a >，∴11b>，∴01b <<，>1>， 只要证(1)(1)1a b +->，即0a b ab -->，只要证a b ab ->，∵0ab >，∴只要证1a b ab ->，即111b a->， ∵111b a ->>． 例4.在ABC ∆中，,,a b c 为三条边的长，S 表示ABC ∆的面积，求证：222a b c ++≥，并说明“=”成立的条件.证明：由余弦定理，有2222cos c a b ab C =+-，又1sin 2S ab C =，∴22222222cos sin a b c a b a b ab C C ++-=+++--222()2(cos )a b ab C C =+-+44sin()4[1sin()]66ab ab C ab C ππ≥-+=-+， ∵sin()16C π+≤， ∴4[1sin()]06ab C π-+≥，∴222a b c ++≥， 当且仅当sin()16a b C π=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即3a b C π=⎧⎪⎨=⎪⎩，也就是ABC ∆是等边三角形时，“=”成立.七．课后作业：1．已知0x a <<，则下列不等式一定成立的是 （ ） 22()A x ax a << 22()B x a ax << 22()C x ax a >> 22()D x a ax >>2.下列命题中成立的是 （ ） ()2x y A y x+≥，当且仅当,x y R *∈时成立； 1()||2B a a+≥，当且仅当0a ≠时成立； ()tan cot 2C θθ+≥，当且仅当(0,)2πθ∈时成立；()log log 2a b D b a +≥，当且仅当,(1,)a b ∈+∞时成立。

第五讲 不等式(组)及应用一、课标下复习指南 1．不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式． 2．不等式的解和不等式的解集(1)不等式的解：与方程类似，使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴表示． 3．解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式． 4．不等式的基本性质性质1 不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 不等式的其他性质： (1)若a ＞b ，则b ＜a ；(2)若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ； (3)若a ≥b ，b ≥a ，则a ＝b ； (4)若a 2≤0，则a ＝0． 5．一元一次不等式类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．它的一般形式为ax ＋b ＞0(a ≠0)或ax ＋b ＜0(a ≠0)． 6．一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法，但要特别注意不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变．7．一元一次不等式组及其解集类似于方程组，把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组成一个一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集． 8．一元一次不等式组的解法解 一元一次不等式组的基本步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集． 9．一元一次不等式(组)的应用列一元一次不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤类似，即(1)审题，设出未知数；(2)列不等式(组)；(3)解不等式(组)；(4)结合不等式(组)的解集与未知数的限制条件确定符合题意的解或解集，并写出答案．10．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)当函数值y ＝0时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值y ＞0或y ＜0时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x 的取值范围． 二、例题分析例1 解不等式21687xx x +≤+-，并在数轴上表示它的解集．解 去分母，得6x －(7x ＋8)≤6＋3x ． 去括号，得6x －7x －8≤6＋3x ． 移项，得6x －7x －3x ≤6＋8． 合并同类项，得－4x ≤14系数化1，得27-≥x ．不等式的解集在数轴上表示为：图5－1说明 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，只要特别注意在系数化1这一步时，两边同乘(除)以的数是正数还是负数，若是正数，不等号的方向不改变；若是负数，不等号的方向要改变．在数轴上表示不等式的解集的时候，一要定边界点，二是定方向，注意分清空心图和实心点的区别．例2 x 取何值时，代数式645+x 的值不小于代数式3.187x--的值?并求出x 的最小值． 解 由题意，得⋅--≥+3187645x x 解 得⋅-≥41x∴当41-≥x 时，代数式645+x 的值不小于代数式3187x --的值，x 的最小值为⋅-41说明 要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“至少”、“至多”等描述不等关系的语言所对应的不等号分别是什么．例3 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集，并求它的整数解．解 ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-②①.432,33)1(2x x x x由①得x ≥1．由②得x ＜5．不等式组的解集在数轴上表示如下：图5－2原不等式组的解集为1≤x ＜5．所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．说明 不等式(组)的特殊解，在某个范围内是有限的，要求这些特殊解，首先要确定不等式(组)的解集，再根据要求写出相应的答案．例4 关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解，求a的取值范围．解 3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解为⋅-=372a x 3)43(414-=+x a x a 的解为.316a x -= 由题意得.316372a a ->-解得187>a ．即a 的取值范围是187>a ． 说明 本题是方程与不等式的结合．例5 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+0,1234a x xx 的解集为x ＜2，求a 的取值范围． 解 两个不等式的解集分别为x ＜2，x ＜－a ．∵不等式的解集为x ＜2，∴－a ≥2， ∴a 的取值范围是a ≤－2．说明 先分别求出两个不等式的解集，再根据解集求出a 的取值范围，此处易遗漏－a ＝2，导致结果不完整，应特别注意．例6 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A 型车的前提下，至少还需调用B 型车多少辆?解 设还需要B 型车x 辆．依题意得20×5＋15x ≥300．解得3113≥x ．由于x 是车的数量，应为整数，所以至少需要14台B 型车．例7 为改善办学条件，东海中学计划购买部分A 品牌电脑和B 品牌课桌．第一次，用9万元购买了A 品牌电脑10台和B 品牌课桌200张；第二次，用9万元购买了A 品牌电脑12台和B 品牌课桌120张．(1)每台A 品牌电脑与每张B 品牌课桌的价格各是多少元?(2)第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买A 品牌电脑35台以上(含35台)，按九折销售，一次购买B 品牌课桌600张以上(含600张)，按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案?解 (1)设每台A 品牌电脑m 元，每张B 品牌课桌n 元，则有⎩⎨⎧=+=+.9000012012,9000020010n m n m 解得⎩⎨⎧==.150,6000n m(2)有两种方案．设购电脑x 台，课桌y 张．则有 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+.600,35,2700001205400y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.675600,323635y xx ＝35时，y ＝675；x ＝36时，y ＝630． 方案①：购电脑35台，课桌675张； 方案②：购电脑36台，课桌630张． 三、课标下新题展示例8 如图5－3，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．图5－3解 设n 为正整数，由题意得⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101．∴满足条件的最小正整数x 是21．例9 某工厂用如图5－4(a)所示的长方形和正方形纸板，做成如图5－4(b)所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．图5－4(a) 图5－4(b)(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x 个．①根据题意完成以下表格：竖式纸盒(个)横式纸盒(个)x 所用正方形纸板张数(张) 2(100－x )所用长方形纸板张数(张)4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板n 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜n ＜306．则n 的值是______．(写出一个即可)解 (1)①根据题意完成表格如下：竖式纸盒(个)横式纸盒(个) x 100－x 所用正方形纸板张数(张) x 2(100－x ) 所用长方形纸板张数(张)4x3(100－x )⎩⎨⎧≤-+≤-+.340)100(34,162)100(2x x x x ② 解得38≤x ≤40． 又∵x 是整数，∴x ＝38，39，40．答：有三种方案：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；或生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；或生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．(2)293或298或303．例10 用长度相等的100根火柴摆放一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．解 设三角形三边分别为x ，y ，3x ．依题意得⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=++③②①.3,3,1003x y x x y x x y x 由①、②得207100≤≤x 由①、③得⋅<350x因为x 为正整数，故x＝15或16．所以满足条件的三角形各边所用火柴杆的根数为15，40，45或16，36，48． 四、课标考试达标题 (一)选择题1．若a ＞b ，且c 为有理数，则( )． A ．ac ＞bc B ．ac ＜bc C ．ac 2＞bc 2 D ．ac 2≥bc 22．如图5－5，a ，b ，c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．若同类水果质量相等，则下列关系正确的是( )．图5－5A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b 3．不等式x ＜3的解集在数轴上表示为( )．4．函数11-=x y 中，自变量x 的取值范围在数轴上可表示为( )．5．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<+x x x x 23821,148的解集在数轴上表示正确的是( )．6．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>≤<k x x ,21有解，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜2B ．k ≥2C ．k ＜1D ．1≤k ＜27．若(x －2)2＋|2x －3y －a |＝0，y 是正数，则a 的取值范围是( )． A ．a ＜2 B ．a ＜3 C ．a ＜4 D ．a ＜5 (二)填空题8．若不等式组⎩⎨⎧>-<-32,12b x a x 的解集是－1＜x ＜1，则(a ＋1)(b ＋1)的值是______．9．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图5－6所示，则关于x 的不等式k 2x ＞k 1x ＋b 的解集为______．图5－610．k 满足______时，方程组⎩⎨⎧=-=+4,2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1．11．6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市______元． (三)解答题 12．求不等式8)1(3411-≥--x x 的非负整数解．13．解不等式组⎩⎨⎧≥+->+,33)1(2,03x x x 并判断23=x 是否是该不等式组的解．14．若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．15．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别 电视机 洗衣机 进价(元/台) 1800 1500 售价(元/台)20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元． (1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案? (不考虑除进价之外的其他费用)(2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出最多利润．(利润＝售价－进价)16．2008年北京奥运会的比赛已经圆满闭幕．当时某球迷打算用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．(下表为当时北京奥运会官方票务网站公布的几种球类决赛的门票价格)(1)若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张?(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张?比赛项目票价(元/场)男篮1000足球800乒乓球500参考答案第五讲 不等式(组)及应用1．D ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．C ． 6．A ． 7．C ． 8．－2． 9．x ＜－1． 10．－1＜k ＜3． 11．8元．12．513≤x ，x ＝0，1，2． 13．－3＜x ≤1，23=x 是该不等式组的解．14．解不等式得x ＜21，x ＞2－3a ，又∵只有4个整数解，∴16≤2－3a ＜17，解得3145-≤<-a ． 15．解：(1)设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机(100－x )台，根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥.161800)100(15001800),100(21x x x x 解不等式组，得⋅≤≤31393133x 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．(2)设商店销售完毕后获利为y 元，根据题意，得y ＝(2000－1800)x ＋(1600－1500)(100－x )＝100x ＋10000．∵100＞0，∴ 当x 最大时，y 的值最大．即 当x ＝39时，商店获利最多，为13900元．16．解：(1)设预订男篮门票x 张，则乒乓球门票(10－x )张．由题意得 1000x ＋500(10－x )＝8000 解得x ＝6． ∴10－x ＝4．答：可订男篮门票6张，乒乓球门票4张．(2)设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(10－2a )张．由题意得⎩⎨⎧≤-≤-++.1000)210(500,8000)210(5008001000a a a a a 解得⋅≤≤433212a 由a 为正整数，可得a ＝3．答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．。

第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。