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第九章 不等式与不等式组一、知识结构图 二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。
4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。
用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x >a 或x ＜a 的形式。
不等式与不等式组复习讲义第1课时不等式概念、性质与解集一、知识要点：1、不等式和一元一次不等式的含义。
①如：－3﹥－5，b＋1≤3，2x﹤y，－1﹤x≤3，x≠1等，含有不等号的式子可称作不等式；而：②如：y－3﹥－5，b＋1≤2b－3，2x＋1﹤4等，是不等式并只含有1个未知数，同时未知数的次数是1，则可称为一元一次不等式。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a ﹤b ﹤0得，a 、b 同为负数并且︱a ︱﹥︱b ︱。
如取a =－2，b =－1代入式子中。
三、练习：1、下列式子：①－3﹤0，②4x ＋3y ﹥0，③x=3，④12+-y x ，⑤x ≠5，⑥x －3﹤y ＋2，其中是不等式的有（ ）。
A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 2、有理数a 、b 在数轴上位置如图所示，用不等式表示：①a ＋b ____0，②a b ____0，③︱a ︱____︱b ︱。
3、若a ﹥b ，则下列式子一定成立的是（ ）。
A 、a ＋3﹥b ＋5，B 、a －9﹥b －9，C 、－10a ﹥－10b ，D 、a 2c ﹥b 2c 4、下列结论：①若a ﹤b ，则a 2c ﹤b 2c ；②若a c ﹥b c ，则a ﹥b ；③若a ﹥b 且若c =d ， 则a c ﹥b d ；④若a 2c ﹤b 2c ，则a ﹤b 。
正确的有（ ）。
A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 5、若0﹤a ﹤1，则下列四个不等式中正确的是（ ）。
（1）2x －5﹥5x －11 （2）3x －2（1－2x ）≥1（3）4x－7﹥3x－1 （4）2（x－6）﹤3－x7、已知m﹤0，n﹥0，m＋n﹥0，用“﹥”号连接：m，n，－m，－n，m－n，n－m。
第2课时解一元一次不等式一、知识要点：1、解一元一次不等式的依据是不等式的三个性质。
二、应用举例：【例1】（07枣庄试题）不等式2x－7≤5的正整数解有（）。
A、7个B、6个C、5个D、4个A、x≤1B、x≥1C、x≤－1D、x≥－1分析：非正数也就是：0和负数，即3)1(2x--≤0。
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-@>% ))%>@-一不等式1.不等式及其解集(1)不等式:用 > 或 <表示大小关系的式子,叫作不等式.如:x <3,-1>-2等.关键提醒①用 ʂ 表示不等关系的式子也是不等式,例如a +3ʂa -3.②有些不等式中不含未知数,如2<4;有些不等式中含有未知数,如58x >60.③方程与不等式的区别:方程表示的是相等关系,不等式表示的是不等关系.(2)不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫作不等式的解,例如156是不等式13x >50的解,而105和150不是不等式13x >50的解.(3)不等式的解集:使不等式成立的未知数的取值范围,叫作不等式的解的集合,简称解集.如-3<x <2,用数轴表示为如图91所示.图91关键提醒用数轴表示不等式的解集时,应记住规律:大于向右画,小于向左画,有等号(ȡ或ɤ)画实心圆点,无等号(>或<)画空心圆圈.不等式与不等式组(4)一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫作一元一次不等式.如3x+5<6.关键提醒类比一元一次方程的定义来理解一元一次不等式,把一元一次方程中的等号改为不等号就得到一元一次不等式,也就是说一元一次方程和一元一次不等式的区别就是一个是等式,而另一个是不等式.2.不等式的性质(1)不等式的性质1:不等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变.即如果a>b,那么aʃc>bʃc.(2)不等式的性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即如果a>b,c>0,那么a c>b c或a c>b c.(3)不等式的性质3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即如果a>b,c<0,那么a c<b c或a c<b c.例9.1下列不等式变形正确的是().A.由a>b,得a c>b cB.由a>b,得-2a<-2bC.由a>b,得-a>-bD.由a>b,得a-2<b-2解析选项A中当c<0时,式子不成立,此选项错误;选项B中,在不等式两边同乘以-2,不等号的方向改变,此选项正确;选项C中在不等式两边同乘以(或除以)-1,不等号的方向改变,此选项错误;选项D中在不等式两边同时减去一个数,不等号方向不改变,此选项错误.答案B二一元一次不等式的解法1.解一元一次不等式的步骤解一元一次不等式,要根据不等式的基本性质,将不等式逐步化为x<a(或x>a)的形式.一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.关键提醒类比法:解一元一次方程是根据等式的性质,将方程化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则是根据不等式的性质将不等式化为x>a或x<a的形式.2.一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集见表91.表91不等式a>0a=0a<0a x>b x>b a b<0时为全体实数bȡ0时无解x<b aa x<b x<b a bɤ0时无解b>0时为全体实数x>b a例9.2解不等式2(x-2)ɤ6-3x,并写出它的正整数解.解析根据解不等式解法求出解集,然后再结合解集取正整数解.解去括号,得2x-4ɤ6-3x.移项,得2x+3xɤ6+4.合并同类项,得5xɤ10.不等式两边同除以5,得xɤ2.它的正整数解为1,2.三实际问题与一元一次不等式利用一元一次不等式解决实际问题与列一元一次方程解实际问题基本相仿,都是:审㊁设㊁列㊁解㊁答.,不同之..一元一次不等式组解集的确定方法及规律见表92.表923.一元一次不等式组的解法分别求出不等式组中每个不等式的解集.利用数轴找出解集的公共部分.写出不等式组的解集.例9.3解不等式组5+2xȡ3,x+13>x2, {并写出不等式组的整数解.解析此题是一般的解不等式组.先分别解出两个不等式,然后找公共部分,进而确定整数解.解5+2xȡ3 ①x+13>x2②{解不等式①得xȡ-1,解不等式②得x<2.所以,不等式组的解集是-1ɤx<2.不等式组的整数解是-1,0,1.。
《不等式与不等式组》复习教案第一篇：《不等式与不等式组》复习教案《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：1、用最简的不等式表示，例如x>a，x≤a等；2、是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程2.不等式的性质：基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：ab如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或>)．cc 基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：ab如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或<)．cc要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.教师寄语：没有付出，那来收获没有努力，何来成绩心态不改变，成绩怎会变坚持才会成功要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起。
学习必备 欢迎下载第八讲 不等式与不等式组一、知识网络结构图二、考点精析考点一 :不等式基本性质运用1．由 x<y, 得 ax ≥ ay 的条件是（） .A ． a ≥0B. a ≤ 0 C. a>0 D. a<02. 不等式 (2a － 1)x<2(2a －1) 的解集是 x>2,则 a 的取值范围是（）A ． a<01 C. a< －1 1B. a<D. a>－2223. 若 a>b,则下列不等式中，不成立的是（）A ． a － 3＞b － 3B.－3a>－ 3ba bC.D. － a<－ b334. 下列各不等式中，错误的是（ ） .A ．若 a+b>b+c, 则 a>cB. 若 a>b,则 a － c>b －cC. 若 ab>bc,则 a>cD. 若 a>b,则 2c+a>2c+b．若 a < b <0 ，则下列答案中，正确的是（ ）5Ａ、 a < b Ｂ B 、 a > bＣ、 a 2 < b 2D 、 3a > 2b6. 按要求填空：（ 1）∵ 2a>3a,∴ a 是_____数；（ 2）∵a a,∴ a 是 _____数；32（ 3）∵ ax<a 且 x>1, ∴a 是 _____数 . 7.如果关于 x 的不等式 (a+1)x>a+1 的解集为x<1, 求 a 的取值范围。
注：解这类题型的不等式，关键看不等号的方向是否发生变化，若发生变化，则说明未知数的系数是负数（ <0），若未发生变化，则说明未知数的系数是正数（ >0）考点二 :整数解相关1.若不等式 3x a 0 有 6 个正整数解，求 a 的取值范围2. 若不等式 3xa 0有 6 个正整数解，求 a 的取值范围x 7 3x 2 3. 不等式1的负整数解有 __________ 个.224. 不等式 3x －4≥ 4+2(x －2) 的最小整数解是 ________.5. 不等式 17－3x>2 的正整数解的个数有 __________ 个.6. （1） 5x 3的解集为 ______,其中正整数的解为 ____________.（ 2） x 13 的解集为 ______,其中负整数的解为 ____________.1 7. 当 x_____ 时， x － 4 的值大于x ＋4 的值 .28. 关于 x 的方程 3（ x+2 ）=k+2 的解是正数，则 k 的取值范围是 _______.9. y 2 的值不大于y当 y 为何值时，3的值？231 10. 如果代数式 4x+2 的值不小于 3x+2,求 x 的取值范围，并求出满足这一条件的最大负整数和最小正整数 .11.3x10 0,）.不等式组x4 8 的整数解的个数是（2xA ． 9 B.8 C. 7 D. 61．12. 不等式组2 x 0, 的正整数解是（） . 3 x 0A ．0，1B.2， 3 C. 1，3D. 1，2x213.,） .不等式组3 的最小整数解为（x 4 8 2xA ．－1B. 0C. 1D. 42(x 6) 3 x,14. 求不等式组2x 1 5x 1 132的整数解 .2(x 2) 3x 3,15. 解不等式组x x 1 并写出不等式组的整数解 .3 4 ,考点三 :绝对值非负性1.若2x 1 2x 1，求 x 的取值范围2.若2x 1 1 2x ，求x的取值范围3．若2x 1 2x 1，求x的取值范围4.若x x 0，求x的取值范围（）A ．x≤ 0 B. x<0 C. x>0D. x≥05.若 a a 则有（）(A) a ≥ 0 (B) a ≤ 0 (C) a －≥1 (D) － 1≤ a≤0考点四 :解集的表示1.下列各项表示的是不等式的解集，其中错误的是().0 1 2 01 0 1 -1 0A x 2B x>1C x 0≠D x ≠12.已知关于x 的不等式x>a,如图表示在数轴上，则 a 的值为（）.-101 2A ． 1 B. 2 9题图D.－ 2 C. －13.写出下列数轴上表示的解集：（1）（2）012-201（ 3）-2 0 34、已知，关于 x 的不等式 2x a3的解集如图所示，则a 的值等于（）-11A 、 0B 、 1C 、 -1D 、25.已知点 M （－ 35－P,3＋ P ）是第三象限的点，则 P 的取值范围是 。
6. 若点 M 2m 1,3 m 关于 y 轴的对称点 M′在第二象限，则 m 的取值范围是＿＿＿＿。
考点五 :待定字母的确定1.若不等式组x8 4 x 1,） .xm的解集是 x>3,则 m 的取值范围是（A ． m ≥ 3 B. m ≤ 3 C. m=3 D. m<32. 若｜ 2x － 1|=2x － 1, |3x － 5|=5－ 3x, 则 x 的取值范围是 ______________.3.已知方程组2x y5m 6,m 的取值范围 .x2 y17 的解 x ， y 都是正数，求2x ky 4, k 的取值范围 .4.已知方程组2 y有正整数解，求 x 0x y m 1x > y ，求 m 的最小整数值5.关于 x, y 的方程组y 3m的解满足 x 16.关于 x 的方程 5x 12 4a 的解都是负数，则 a 的取值范围（ ）Ａ、 a >3Ｂ、 a < 3Ｃ、 a <3Ｄ、 a >-37.不等式组a 1x a2x a 2 ，则 a 的取值范围是（3 x5的解集是 3）Ａ、 a 1 Ｂ、 a 3Ｃ、 a 1 或 a3 Ｄ、 1 a 38.若不等式组1 x 2x k有解，则 k 的取值范围是（）Ａ、 k 2 Ｂ、 k 2 Ｃ、 k 1 Ｄ、 1 k 2学习必备欢迎下载x 29.已知关于 x 的不等式组 x1 无解，则 a 的取值范围是（）xaA 、 a 1B 、 a 2C 、 1 a 2D 、 a1 或 a 210.不等式x > a10的解集为 x <3，则 a11. 如果关于 x 的不等式 (a-1)x<a+5 和 2x<4 的解集相同，则 a 的值是12. 若不等式组 2x a 1的解集是－１ < x <１，则 (a 1)(b1) 的值为x 2b 313. 若不等式组 xa的解集为 x >3，则 a 的取值范围是 x 314.x a 1若不等式组x 2a 无解，则 a 的取值范围是115. 当 a时， (a2) x 12 的解为 x216. 当 ax 2a 的解集是 _____________0 时，不等式组4ax17. x m n3 x 5 ，求不等式 mxn 0 的解集。
若不等式组x m的解是n3 3x 5x 118.已知， x 满足 x 11 ，化简 x2 x 5419.若不等式 5( x 2) 86( x 1) 7 的最小整数解是方程2x ax 3 的解，求 4a14 的值。
a20.已知不等式 4x + 4 ＜ 2 x - 2 a 的解也是 1 - 2 x ＜ 1 的解，求 a 的取值范围。
3 3 6 2本课小结：1.一元一次不等式（组）的求解；2. 一元一次不等式（组）解集的应用，如求待定字母的取值范围；课后练习一．填空题：1．若 x < y ，则 x 2y 2 ；（填 “<、 >或=”号）2．若a b 3．不等式 2x ≥ x2 的解集是 _________； 3，则 3a _____ b ；（填 “<、 >或=”号）94．当 y _______时，代数式3 2 y的值至少为 1； 5．不等式 612x 0 的解集是 ______；46．不等式 7 x 1的正整数解为：； 7．若一次函数 y 2 x 6 ，当 x ___ __时， y0 ；8． x 的 3与 12 的差不小于 6，用不等式表示为 __________________ ；59．不等式组2x 3 03x2 的整数解是 ______________；10．若关于 x 的方程组3x 2 y p 14x 3y p的解满足 x > y ，则 P 的取值范围是 _________ ；1二．选择题：11．若 a > b ,则下列不等式中正确的是（）（ A ）a b（ B ）5a5b （C ）a 8b 8 （D ）a b4412．在数轴上表示不等式x ≥ 2 的解集，正确的是（ ）（ A ） （ B ） （ C ）（D ）13．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（）（ A ）x ≥ 1（ B ）x 1 （C ） 3 x1（D ） x314．不等式 2(x 2) ≤ x 2 的非负整数解的个数为（ A ）1（B ）2（ C ）3（D ）415．下列不等式求解的结果，正确的是（ A ）不等式组（ C ）不等式组x 3x 5x 5 x 7的解集是 x 3（ B ）不等式组无解 （ D ）不等式组x5x 4 x 10 x 3的解集是的解集是x 53 x 10x 1 0 16．把不等式组1 的解集表示在数轴上，正确的是图中的（）x17．如图⑴所示，天平右盘中的每个破码的质量都是为图 1－ 1― 1⑵中的1g，则物体 A 的质量m (g)的取值范围．在数轴上：可表示（）18．已知关于x的不等式(1 a)x 3 的解集为x3，则 a 的取值范围是（）1 a（ A ） a 0 （ B） a 1（C） a 0 （D ） a 1 三．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：21．2x 5 3x 4 22．10 4( x 3) 2( x 1)3x 2 5x 6 x 3( x 2) 41 2x23．2x 2 24． 13 x x325．x为何值时 ,代数式x3x 1的值是非负数？2 526、已知：关于x m 2x 1m 的取值范围．x 的方程3m 的解是非正数，求227．我市移动通讯公司开设了两种通讯业务， A 类是固定用户：先缴元；B 类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话 1 分钟会话费50 元基础费，然后每通话 1 分钟再付话费0.4 0.6 元（这里均指市内通话）；若果一个月内通话时间为x 分钟，分别设 A 类和 B 类两种通讯方式的费用为y1y2：（ 1）写出y1、y2与x 之间的函数关系式；（ 2）一个月内通话多少分钟，用户选择 A 类合算？还是 B 类合算？（ 3）若某人预计使用话费150 元，他应选择哪种方式合算？28．有一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分了 3 个，那么还剩59 个；如果每一个猴子分5 个，就都能分得桃子，但剩下一个猴子分得的桃子不够 5 个，你能求出有几只猴子，几个桃子吗？。
