2011年江苏十三大市各模考填空题压轴题的解答

江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第5部分:三角函数 一、填空题：3．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ； 3．π【解析】由题知()12sin cos 1sin 2f x x x x=-=-周期T π=.4. (江苏省苏州市2011年1月高三调研) 函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ= ▲ .4. 4π【解析】()2738,T =-=2,384A ππω===，()3sin4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()13sin 04f πϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，.4πϕ= 8. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)已知11tan ,tan 73αβ==，且(),0,αβπ∈， 则2αβ+= ▲ .8. 4π【解析】()11173tan ,.11236173παβαβ++==<+<-⨯1tan .336πββ=<< ()1123tan 21,2,2.1134123ππαβαβαβ++==+<+=-⨯8. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b +=，则角A 的大小为 . 8．3π【解析】由tan 21tan A b B c +=，得sin()2sin cos sin sin A B C A B B +=，即1cos 2A =，故3A π= 13. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 . 135．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)已知α为锐角，cos α=，则tan()4απ+=▲ ．5．3-【解析】由cos 5α=，α为锐角，可得sin 5α=，则tan 2α=，所以1tan tan()341tan πααα++==--9．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin A C ，30B =，2b =，则△ABC 的面积是 ▲ ．9．sin A C =，得a =，由余弦定理得2242cos a c ac B =+-，解得2c =，故a =1sin 2S ac B ==9. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)已知π3cos()45θ-=，π(,π)2θ∈，则cos θ=▲ ．9．【解析】运用整体思想将π()4θ-看成一个角，则所求角θ可以看作两个角的和π()44πθθ=-+。

2011年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_________．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_________．7．（5分）已知，则的值为_________．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ 长的最小值是_________．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=_________．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为_________．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为_________．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________．13．（5分）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．2011年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={﹣1，2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B 解答：解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}点评：本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．解答：解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R 的错解．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是1．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i，化简后移项可得复数z，然后求出它的实部．解答：解：因为i（z+1）=﹣3+2i，所以i•i（z+1）=﹣3i+2i•i，所以z+1=3i+2，z=1+3i它的实部为：1；故答案为：1点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为3．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案为：3点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．解答：解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：．点评：本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= 3.2．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．解答：解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，∴收到信件数的平均数是=7，∴该组数据的方差是，故答案为：3.2点评：本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．7．（5分）已知，则的值为．考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数．专题：计算题；方程思想．分析：先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．解答：解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为点评：本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ 长的最小值是4．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题．分析：由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．解答：解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，故答案为：4点评：本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；数形结合．分析：根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，0），（，﹣）点，我们易结合A＞0，w＞0求出满足条件的A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将x=0代入即可得到f（0）的值．解答：解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）点故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、ω、φ的值，是解答本题的关键．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．解答：解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：计算题．分析：对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答：解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评：本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．解答：解：设切点坐标为（m，e m）∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）令x=0，解得y=（1﹣m）e m过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）令x=0，解得y=e m+me﹣m∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0∴当m=1时t取最大值故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．13．（5分）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是[，2+]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．解答：解：依题意可知集合A表示一系列圆内点的集合，集合B表示出一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由可得m≤0或m≥当m≤0时，有||＞﹣m且||＞﹣m；则有﹣m＞﹣m，﹣m＞﹣m，又由m≤0，则2＞2m+1，可得A∩B=∅，当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线的距离来判断．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．解答：解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．解答：证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．解答：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．点评：考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，S n+1+S n=2（S n+S1）都成立，变形后，利用S n+1﹣S n=a n+1，及a1=1化简，得到当n大于等于﹣12时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）当n大于k时，根据题意可得S n+k+S n﹣k=2（S n+S k），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②﹣①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=a n﹣a n﹣1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=a n﹣a n﹣1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=a n﹣a n﹣1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=a n﹣a n﹣1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．解答：解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1），即（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=2S1，又a1=1，则a n+1﹣a n=2a1=2，又a2=2，所以数列{a n}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，故当n≥2时，a n=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，所以a5=8；（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，且n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）①，且S n+1+k+S n+1﹣k=2（S n+1+S k）②，②﹣①得：（S n+1+k﹣S n+k）+（S n+1﹣k﹣S n﹣k）=2（S n+1﹣S n），即a n+1+k+a n+1﹣k=2a n+1，可化为：a n+1+k﹣a n+1=a n+1﹣a n+1﹣k所以n≥8时，a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，从而当n≥8时，2a n=a n﹣3+a n+3=a n﹣6+a n+6，（*）且a n﹣2+a n+2=a n﹣6+a n+6，所以当n≥8时，2a n=a n﹣2+a n+2，即a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，于是得到当n≥9时，a n﹣3，a n﹣1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n﹣3+a n+3=a n﹣1+a n+1，由（*）式可知：2a n=a n﹣1+a n+1，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，当n≥9时，设d=a n﹣a n﹣1，则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2a n+6=a n+a n+12，得到2a n+7=a n+1+a n+13，两式相减得：2（a n+7﹣a n+6）=a n+1﹣a n+（a n+13﹣a n+12），则a n+1﹣a n=2d﹣d=d，因此，a n﹣a n﹣1=d对任意n≥2都成立，又由S n+k+S n﹣k﹣2S n=2S k，可化为：（S n+k﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣k）=2S k，当k=3时，（S n+3﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，因为a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，则数列{a n}为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．考点：椭圆的参数方程．专题：数形结合；转化思想．分析：A、如图，利用EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．B、设向量=，由A2=，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和y 的值，从而求得向量．C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程．D、原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的解集，再把解集取并集．解答：解：A、如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2为定值．B、A2==，设向量=，由A2=可得=，∴，解得x=﹣1，y=2，∴向量=．C、椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），直线（t为参数）即x﹣2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为y﹣0=（x﹣4），即x﹣2 y﹣4=0．D、原不等式可化为，或，解得≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集为{x|﹣2＜x＜}．点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．（2）利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A（1，0，0），A1（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t）；所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=﹣t，x1=2t所以=（2t，﹣t，1），设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=﹣2所以=（﹣2，1，1），（1）因为θ=90°，所以解得t=从而M（0，1，），所以AM=（2）因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．考点：数列递推式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与A n中元素个数有关，直接写出A n的表达式即可．（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，讨论f n（k）≥1的情形，推出f n（k）=n﹣3k，根据k的范围，说明n﹣1是3的倍数和余数，然后求出B n．解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以A n=n﹣3；（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，只要讨论f n（k）≥1的情形，由1≤b=a﹣3k≤n﹣3k，知f n（k）=n﹣3k且，设n﹣1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以B n===mn﹣=将m=代入上式，化简得B n=所以B n=点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．。

江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形1.选择题1.（苏州3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。

若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于A．34B．43C．35D．45【答案】B。

【考点】三角形中位线定理, 勾股定理逆定理, 锐角三角函数定义。

【分析】连接BD,在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点，且EF＝2，∴BD＝4。

在△BDC中，∵BD=4， BC＝5，CD＝3，∴222BC BD CD=+。

∴△BDC是直角三角形。

∴4 tan C CD3==。

2. (无锡3分) 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是A．①与②相似 B．①与③相似C．①与④相似 D．②与④相似【答案】B。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似的判定定理，直接得出结果：选项A和C，所给的两个三角形无角相等，无对应边的比相等，不相似；选项D，所给的两个三角形只有一组对角相等，无对应边的比相等，不相似；选项B，①与③对顶角相等，OA：OC=OB：OD，两三角形相似。

故选B。

2. （常州、镇江2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D。

若AC=5，BC=2，则Sin∠ACD的值为A．35B．552C．25D．32【答案】A。

【考点】直角三角形的性质, 锐角三角函数，勾股定理。

4321OABDC【分析】∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC=5，BC=2，∴根据勾股定理，得AB ＝22AC BC +()22523=+=。

又∵由直角三角形两锐角互余的性质，得∠ACD＝90°－∠A＝∠B，∴Sin∠ACD ＝Sin ∠B＝AC 5AB 3=。

2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（13）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．集合A ＝{ x |1＜x ≤3，x ∈R }，B ＝{ x |－1≤x ≤2，x ∈R }，则A B ＝ ． 2．已知||a ＝3，||b ＝2．若⋅a b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为 ． 3．设x ，y 为实数，且1i x -＋12i y -＝513i-，则x ＋y ＝ ． 4．椭圆2x ＋2my ＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ．5．若θ∈42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是 ．6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ＜6，x ＞0，y ＞0}，A ＝{(x ，y )|x ＜4，y ＞0，x －2y ＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ．7．已知a ，b 为异面直线，直线c ∥a ，则直线c 与b 的位置关系是 ． 8．一个算法的流程图如右图所示 则输出S 的值为 ．9．将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ．10．某同学在借助题设给出的数据求方程lg x ＝2－x 的近似数(精确到0.1)时，设()f x ＝lg x ＋x －2，得出(1)f ＜0，且(2)f ＞0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 ．11．设OM ＝112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，ON ＝(0，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP OM ⋅≤1，0≤OP ON ⋅≤1，则z ＝y －x 的最小值是 ．12．设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m －3m，则m 的取值范围是 ． 13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．14．方程2x －1＝0的解可视为函数y ＝x 的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标．若4x ＋ax －9＝0的各个实根1x ，2x ，…，k x (k ≤4)所对应的点9()i ix x ，(i ＝1，2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数()f x ＝sin()A x ωϕ+，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(2)3M π-，． （1）求()f x 的解析式；（2）当x ∈[]122ππ，时，求()f x 的值域．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为P A 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面P AB ．17．（本小题满分14分）有一气球以v (m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30︒方向T 处，其仰角为60︒(如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影)．求风向和风速(风速用v 表示)．18．（本小题满分16分）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋2(2)y +＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．20．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立． （1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ；（2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ．参考答案1．[－1，3] 2．120︒ 3．4 4．145．6．297．相交或异面 8．45 9．8 10．1.75 11．－1 12．(-∞，1)(0-，3) 13．11 14．(-∞，24)(24-，)+∞15．（1）由最低点为M (23π，－2)得A ＝2．由x 轴上相邻两个交点之间的距离为2π得2T＝2π，即T ＝π，ω＝2T π＝2ππ＝2．由点M (23π，－2)在图象上得22sin(2)3πϕ⨯+＝－2，即4sin()3πϕ+＝－1．故43πϕ+＝2k π－2π，k ∈Z ．所以ϕ＝k π－116π．又0＜ϕ＜2π，所以ϕ＝6π，故()f x ＝2sin(2)6x π+．（2）因为x ∈[]122ππ，，所以(2)6x π+∈7[]36ππ，． 当26x π+＝2π，即x ＝6π时，()f x 取得最大值2；当26x π+＝76π，即x ＝2π时，()f x 取得最小值－1．故()f x 的值域为[－1，2]． 16．（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ， 所以EF ∥DC ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED ∥CF ． 又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ， 故DE ∥平面PBC ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD ． 又因为AB ⊥AD ，PD AD ＝D ，AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ED ⊂平面P AD ，故ED ⊥AB ．又PD ＝AD ，E 为P A 的中点，故ED ⊥P A ； P A AB ＝A ，P A ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以ED ⊥平面P AB ．17．10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒的S 点处，即∠SPQ ＝4π，所以PQ ＝QS ＝600v (m)．又10分钟后测得气球在P 的东偏北30︒方向，其仰角为60︒的T 点处，即∠RPQ ＝6π，∠TPR ＝3π，RT ＝2QS ＝1200v (m)，于是PR ＝tan3RT π＝(m)．在△PQR 中由余弦定理，得QR(m)． 因为2PR＝2)＝2(600)v＋2)＝2PQ ＋2QR ．所以∠PQR ＝2π，即风向为正南风．因为气球从S 点到T 点经历10分钟，即600s ，所以风速为||600QR(m/s)．18．（1）设圆心C (a ，b )，则2220222 1.2a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00.a b =⎧⎨=⎩，则圆C 的方程为2x ＋2y ＝2r ，将点P 的坐标代入，得2r ＝2，故圆C 的方程为2x ＋2y ＝2．（2）设Q (x ，y )，则2x ＋2y ＝2，且PQ MQ ⋅＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝2x ＋2y ＋x ＋y －4＝x ＋y －2，所以PQ MQ ⋅的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．（3）由题意，知直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设 P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)．由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，，得22(1)k x +＋2k (1－k )x ＋2(1)k -－2＝0． 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得A x ＝22211k k k --+，同理B x ＝22211k k k +-+．所以AB k ＝B A B Ay y x x --＝(1)(1)B A B A k x k x x x -----＝2()B A B A k k x x x x -+-＝1＝OP k ． 所以直线OP 和AB 一定平行．19．（1）因为n ＝1时，1a ＋1S ＝1a ＋1a ＝2，所以1a ＝1． 因为n S ＝2－n a ，即n a ＋n S ＝2，所以1n a +＋1n S +＝2．两式相减：1n a +－n a ＋1n S +－n S ＝0，即1n a +－n a ＋1n a +＝0，故有12n a +＝n a ． 因为n a ≠0，所以1n n a a +＝12( n ∈*N )． 所以数列{}n a 是首项1a ＝1，公比为12的等比数列，n a ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ∈*N )．（2）因为1n b +＝n b ＋n a ( n ＝1，2，3，…)，所以1n b +－n b ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭．从而有21b b -＝1，32b b -＝12，43b b -＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1n n b b --＝212n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ＝2，3，…)．将这n －1个等式相加，得n b －1b ＝1＋12＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋212n -⎛⎫⎪⎝⎭＝1112112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭．又因为1b ＝1，所以n b ＝3－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ＝1，2，3，…)．（3）因为n c ＝n (3－n b )＝1122n n -⎛⎫⎪⎝⎭，所以n T ＝022111111223(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ①12n T ＝123111111223(1)22222n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ② ①－②，得12n T ＝021111122222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦－122n n ⎛⎫⎪⎝⎭．故n T ＝1124112n⎛⎫- ⎪⎝⎭-－142n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－82n －142nn ⎛⎫⎪⎝⎭＝8－1(84)2n n +( n ＝1，2，3，…)．20．（1）若()f x ＝ax ＋b ∈M ，则存在非零常数k ，对任意x ∈D 均有()f kx ＝akx ＋b ＝2k ＋()f x ，即a (k －1)x ＝2k恒成立，得100k k -=⎧⎨=⎩，，无解，所以()f x ∉M ．（2）2log ()kx ＝2k ＋2log x ，则2log k ＝2k，k ＝4，k ＝2时等式恒成立，所以()f x ＝2log x ∈M ．（3）因为y ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 有交点，由图象知，y ＝log a x 与y ＝2x必有交点． 设log a k ＝2k ，则()f kx ＝log ()a kx ＝log a k ＋log a x ＝2k＋()f x ，所以()f x ∈M ．。

2011年江苏卷压轴题探究教学及其反思■问题（江苏2011，20）设M为部分正整数组成的集合，数列｛ａn｝的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn+k＋Sn-k=2（Sn+Sk）都成立．（1）设M=｛1｝，a2=2，求a5的值．（2）设M=｛3，4｝，求数列｛ａn｝的通项公式．作为压轴题，着重考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查学生分析探究及逻辑思维能力，但标准答案解法较抽象，学生表述困难．解题思路教师都难想到，更何况是学生．由于第1问较简单，从略，本人选取了符合学生认知规律的解法对第2问进行了探究式教学，过程如下，与同仁交流．■探究教师：第2问，M=｛3，4｝，k值可能为多少？又能得到怎样的关系式？学生1：k=3或k=4，能得到Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4）（n≥5）②教师：①中，怎样做才能得到各项之间的关系？（学生沉默一会）学生2：根据①再写一个等量关系，将它们作差，但不知行不行．该生接着说，Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3）（n≥3）①′①′－①得，Sn+4－Sn+3+Sn-2－Sn-3=2Sn+1－2Sn，即2an+1=an-2+an+4（n≥4）（*）．②中，类似可得到2an+1=an-3+an+5（n≥5）（**）．（**）－（*）得，an+5－an+4=an-2－an-3=…=a3－a2=d（n≥5），故｛ａn｝成等差数列．学生3：｛ａn｝不成等差数列，因为它们不是相邻三项之间的关系．教师：对，怎样才能找到相邻三项之间的关系？（提示一下）由（*）知｛ａn｝每隔两项成等差数列，即an-6，an-3，an，an+3，an+6（n≥8）成等差数列；由（**）知｛ａn｝每隔三项成等差数列，即an-6，an-2，an+2，an+6（n≥8）成等差数列．学生4：由（*）（**）得2an=an+3+an-3=an-6＋an+6=an-2+an+2．学生5：｛ａn｝每隔一项成等差数列，即an-3，an-1，an+1，an+3，成等差数列，则an-1+an+1=an-3+an+3=2an（n≥8）．故｛ａn｝成等差数列．学生6：｛ａn｝不一定成等差数列，因为n≥8，所以从第9项起成等差数列．教师：设从第9项起公差为d，再探究前8项是否成等差数列，公差是否相同．（沉默一段时间）学生7：（急切地站起来），我将（*）（**）两式分别用几个值代入，得到2a5=a2+a8，2a6=a3+a9，2a7=a4+a10，2a8=a5+a11，2a6=a2+a10，2a7=a3+a11，2a8=a4+a12，2a9=a5+a13.最下面一行两个等式作差得a9－a8=d，同理得a8－a7=a7－a6=a6－a5=d，再将第二组相邻两行两个等式作差，得a5－a4=a4－a3=a3－a2=d，即an+1－an=d（n≥2）．（全班学生鼓掌）教师：如何确定第一、二项之间的关系？学生8：由起始关系式①得a5+a6+a7=a2+a3+a4+2S3，所以2S3=9d，即4a2－7d+2=0③．由②得a6+a7+a8+a9=a2+a3+a4+a5+2S4，所以2S4=16d，即3a2－5d+1=0④．由③④解得a2=3，d=2，所以an=2n－1．教师：解题的关键在何处？是如何处理的？学生9：在等量关系式①②中消去常数S3，S4，从一个等量关系式中构造出一个等式（用n+1代n），再将它们作差．■拓展教师：M=｛3，4｝，换成M=｛2，3｝，｛4，5｝，｛4，6｝，通项公式an仍可以求出吗？（学生沉默一会）学生10：M=｛2，3｝，方法和刚才一样，得an+1－an=d（n≥2）且2S3=9d，2S2=4d，则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立．学生11：M=｛4，5｝，an+1－an=d（n≥2）且2S4=16d，2S5=25d，则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立．M=｛4，6｝，不能得出an+1－an=d，故不成等差数列．学生12：一般地，M=｛m，m+1｝（m∈N*），得an+1－an=d且2Sm=m2d，2Sm+1=（m+1）2d，从而an=2n－1，其余形式不行．本探究过程自然、合理，合乎学生的思考习惯，对培养学生逻辑思维能力、推理能力大有裨益．■溯源本高考题是在《教学大纲》《考试说明》的要求下，重点考查了等差数列这一C级知识点，假设｛ａn｝成等差数列，则Sn=An2+Bn，然后构造了Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）这个条件，即A（n+k）2+B（n+k）+A（n－k）2+B（n－k）=2（An2+Bn+Ak2+Bk）对n∈N*恒成立，则2Ak2=2k2，2Bk=0（k≠0），所以A=1，B=0.从而Sn=n2，an=2n－1.最后用k=3，k=4两个条件确定这个数列，该数列就成了等差数列．由于函数的表达式与数列通项既有联系又有区别，故反过来推导出等差数列就困难得多．■反思1.注重教师素养提升随着课改的深入，教师不仅要重视教学结果，而且越来越要关注教学过程，教师除了将主要精力放在学生身上，也越来越注重自身发展，努力提升自己的教育教学素养．对于习题讲解，首先教者要“沉”下去，亲自做一做，想一想，找到符合学生认知规律的最优解法，不能“人云亦云”，决不能“拿来主义”，课堂上生搬硬抄标准答案．2.鼓励学生自主探究建构式理论告诉我们，只有把知识的“根”扎在学生自己的经验里，才能实现真正意义上的建构．学生利用自己的经验去感受、理解知识的产生与发展过程，通过课堂教学活动养成自主探究的习惯，学生能讲的让学生讲，学生能做的让学生做，学生的解题方略与“标准答案”有差距，加以肯定，尽可能激发学生的灵感火花，对一些独到的解法应及时鼓励和表扬．3.培养良好心理素质对于这道高考题，考后很多学生非常懊恼，无论如何也不至于只得了这么一点分（省平均分为2.8分）．这与时间紧，此题难有关系，但主要的还是应试的心理素质不高，瞬时乱了方寸，针对这种情况，平时做作业、测试中，要求学生做到审题细，演算准，表达清，向他们灌输这样的理念：未弄清题意切勿下笔，要审清问题涉及哪些知识，用什么方法去突破，表达要完整清晰，过程要简洁明了．教师要培养学生的良好心理素质，解决学生题目怕新、运算怕繁的心理问题，使学生的认知水平和思维能力呈螺旋式上升．希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。

江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题1：实数一、选择题1.（苏州3分）12()2⨯-的结果是A ．－4B ．－1C ．14-D ．32【答案】B 。

【考点】有理数乘法。

【分析】利用有理数运算法则，直接得出结果：1212⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选B 。

2.（苏州3分）已知地球上海洋面积约为316 000 000km 2，316 000 000这个数用科学记数法可表示为A ．3.61×106B ．3.61×107C ．3.61×108D ．3.61×109 【答案】C 。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为1010n a a <⨯≤，其中1，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值。

在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。

∵ 316 000 000=3.61×108 ，故选C 。

3.（苏州3分）若m ·23＝26，则m 等于A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D 。

【考点】指数运算法则。

【分析】利用指数运算法则，直接得出结果，6363322228m -=÷===，故选D 。

4. (无锡3分) ︳－3︳的值等于 A ．3 8．－3 C ．±3 D ．3 【答案】A 。

【考点】绝对值。

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点－错误！未找到引用源。

到原点的距离是3，所以－错误！未找到引用源。

的绝对值是3，故选A 。

5.（常州、镇江2分）在下列实数中，无理数是 A ．2 B ．0 C ．5 D ．31【答案】C 。

【考点】无理数。

【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义, 直接得出结果。

6.（南京2分）9的值等于A ．3B ．－3C ．±3D ．3【答案】A 。

江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题解答题1.（苏州10分）已知二次函数()()2680y a x x a =-+>的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．(1)如图①，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上， 求实数a 的值；(2)如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边EF 的右侧．小 林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、 PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P 是 边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四 边形）？请说明理由．【答案】解：（1）由()268y a x x =-+， 令0y =，解得，122,4x x == 。

令0x =，解得，8y a =。

∴点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0），（4，0），（0，8a ）。

∴该抛物线的对称轴为3x =。

如图①，设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为点M ，则由OA=2得AM=1。

由题意，得O'A=OA=2，∴O'A=2AM，∴∠O'AM=600。

∴∠OAC=∠CAO'=600。

∴OC=OA =8a =a = （2）若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，结论仍然成立。

①如图②，若点P 是边EF 上的任意一点（不与点E 重合），连接PM ，∵点E （4，4）、F （4，3）与点B （4，0）在一直线上，点C 在y 轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB 。

（第4题图）20011江苏押题试卷江苏省南通中学高级教师、教研组长杨建楠老师命制第Ⅰ卷部分（满分：160分 时间：120分钟）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设1z i =-（i 是虚数单位），则22z z+=______▲_______．答案：1i - 2．若0x ∆→时(22)(2)1f x f x+∆-→∆，则(2)f '= ．答案：因为(22)(2)122f x f x +∆-→∆，所以(2)f '=12．3．若集合0,1,2A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|cos ,}B y y x x A ==∈，则A B = _______．答案：{1,cos1,0}B =，所以A B = {0,1} 4．如图所示的是一个算法的流程图，当输入的x 的值为2009时，输出y 的值为 ▲ ． 解析：当x>0时，循环体中将一直x 减去2，退出循环时，1x =-，所以13y =． 5．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是7的概率 为 ▲ ． 解析：抛掷2次，点数有36种基本情况，其中点数之和是7的有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3)，共6种情形，所以概率为61366=． 6. 若不等式|2|6ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为_____________．答案：|2|6a -+=且|22|6a +=，所以a =—4．7．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm ，体积为31000πcm 3，则制作该容器需要铁皮面积为 2cm （衔接1.414，π取3.14，结果保留整数）．答案：211000ππ1033r ⋅=，所以10r =，所以2π10π10100(1π=444S =⋅+⋅⋅．8．双曲线221x y n-=的两个焦点为12F F 、，P 在双曲线上，且满足12PF PF +=C△12PF F 的面积为 ．答案：12||PFPF -=12PF PF +=22121244,2PF PF n PF PF +=+⋅=， 22212121212cos 02PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以12π2F PF ∠=，所以12112S PF PF =⋅=． 9. 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在坡度为15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 米．答案：设旗杆高度为x 米，则x =所以151)2x =10．已知数列{}n a 共有6项，若其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条件的数列共有 个．答案：列举法（树形图）即可得到结论6011．已知()(1)(2)(3)f x x x x =---，则'()0f x =在区间（1，3）内的解的个数为 ． 答案：()(1)(2)(3)f x x x x =---的3个零点为1，2，3，所以，在(1,2),(2,3)之间各有一个极值点，所以'()0f x =在区间（1，3）内的解的个数为2个． 12．若()f n 为()2*1n n N +∈的各数位上的数字之和，如：2141197+=，1＋9＋7＝17，则()1417f =，记()()1f n f n =，()()()21f n f f n =， ，()()()()*1k k f n f f n k N +=∈，则()20108f ＝ ．答案：123(8)11,(8)4,(8)8f f f ===，所以3(8)(8)n n f f +=，所以20103(8)(8)8f f ==． 13．如图，△ABC 中，4AB =，AC =8，60BAC ∠= ，延长CB 到D ，使BA BD =，当E 点在线段AB 上移动时，若AE AC AD λμ=+，当λ取最大值时，λμ-的值是 ．答案：当λ取最大值时，AE AB =，,A B A C C B A B A D D B =+=+，所以(1AB AC =+ ，旗杆E所以λμ==2λμ-=．14．设函数()f x (0)a <的定义域为D ，值域为A ，若所有点(,)s t (,)s D t A ∈∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ．答案：定义域的长度为12x x -=可得a =4-．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题14分）已知向量()()()cos ,1,,cos a x x b f x x ωωω==，其中ω＞0，且，又函数()f x 的图像两相邻对称轴之间的距离为32π (1)求的值ω；(2) 求函数在区间上的最大值与最小值及相应的值．解：(1) //a b，()cos (cos )f x x x x ωωω∴=1cos 22x ω+=1πsin(2)26x ω=++． …………………………………………… 4分由题意，函数()f x 的最小正周期为3π，又ω＞0，2π3π=2ω∴13ω∴=． …………6分 (2) 由(1)知12()sin(236f x x π=++， 5,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦ ，2511,,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ∴当25,366x ππ+=即x =π时，()f x 取得最大值1, …………………………… 12分当29,366x ππ+=即2x =π时，()f x 取得最小值1.2- ……………………14分16．（本小题满分14分）如图，空间四边形BEDF 在平面α的射影是一个边长为 2a 、∠A =60°的菱形ABCD ，其中A 、C 分别为E 、F 在平面α的射影，且 AE =3a ，CF =a ． （1）求证：EF BD ⊥；（2）求证：平面 EBD ⊥平面FBD ． 证明：（1）因为FC ⊥面ABCD ，CB CD = 所以FB FD =，……………………2分 又因为O 为BD 的中点，所以FO BD ⊥， 同理EO BD ⊥，……………………4分又EO FO O = ，所以BD ⊥面EFO ，………………………………………5分 所以EF BD ⊥；…………………………………………………………………6分 （2）因为FC ⊥面ABCD ，EA ⊥面ABCD ，所以//FC EA ，所以,,,E A C F 四点共面， ………………………………………………………8分在菱形ABCD 中，边长为 2a 、∠A =60°，所以AO CO =，则tan tan COF AOE ∠=∠=， 所以，在平面EACF 内，30,60COF AOE ∠=∠= ，则EO FO ⊥， …………………………………………………………………10分 由（1）可知，EO BD ⊥ 又BD FO O = ，所以EO ⊥面BDF ，……………………………………………………………12分 因为EO ⊂面BDE ，所以平面 EBD ⊥平面FBD ．……………………………14分 17（本小题15分）已知圆O 的方程为），，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切． （1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴交与P,Q 两点，M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点'P ，直线QM 交直线2l 于点'Q ．求证：以''Q P 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解：（1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：221x y +=相切，设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， 则圆心(0,0)O 到直线1l 的距离为1d ==，解得42±=k ， ……………4分∴直线1l 的方程为3)y x =-，即3)y x =-． …………………………7分 （2）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -．又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1++=x s ty 解方程组3,(1)1x ty x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩,得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q …………………9分 ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+-+--s ty s t y x x ，又122=+t s ，∴整理得2262(61)0s x y x y t-+-++=， 13分若圆C '经过定点，只需令0y =，从而有2610x x -+=，解得3x =±，∴圆C '总经过定点坐标为(3±．……………………………………………15分18．（本小题满分15分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t +1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2010年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ 解：(1) 设比例系数为k )0(≠k ．由题知，有13+=-t kx ．……………………………2分 又．时，10==x t21013=+=-∴k k，．……………………………………………………………4分 )0(123≥+-=∴t t x t x 的关系是与．…………………………………………5分 (2) 依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为)323(x +万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(xtx x 2%150323+⋅+)元/件．……………………8分 于是，t x xtx x x y -+-+⋅+⋅=)323()2%150323(，进一步化简，得 )0(2132299≥-+-=t t t y ．……………………………………………………………11分因此，工厂2010年的年利润)0(2132299≥-+-=t t t y 万元．(3) 由(2)知，)0(2132299≥-+-=t t t y )713221(4221132250)21132(50时，等号成立，即当=+=+=+⋅+-≤+++-=t t t t t t t …13分所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…………………………………………………………………………………………15分 19.（本题满分16分）已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足2345a a ⋅=，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设由n n S b n c =+（0c ≠）构成的新数列为{}n b ，求证：当且仅当12c =-时，数列{}n b 是等差数列；（3）对于（2）中的等差数列{}n b ，设8(7)n n n c a b =+⋅（*n ∈N ），数列{}n c 的前n 项和为n T ，现有数列{}()f n ，()22nn n b f n T a =--（*n ∈N ）， 求证：存在整数M ，使()f n M ≤对一切*n ∈N 都成立，并求出M 的最小值． 解：（1）∵等差数列{}n a 中，公差0d >， ∴23232323144545544391414n a a a a a d a n a a a a a ⋅=⋅==⎧⎧⎧⇒⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎨=+=+=⎩⎩⎩………………………………4分 （2）()()143212n n n S n n +-==-，nn S b n c =+()21n n n c -=+，………………………………6分由2132b b b =+得12115213c c c =++++，化简得220,0c c c +=≠，∴12c =-………………8分 反之，令12c =-，即得2n b n =，显然数列{}n b 为等差数列，∴ 当且仅当12c =-时，数列{}n b 为等差数列. ………………………………………10分（3） ()()8111711n n n c a b n n n n ===-+⋅++∴11111122311n nT n n n =-+-++-=++ ()245151112451451451n n n b n n f n T a n n n n n n =-=-=+-+=+--+-+-+…………………12分9(1),2f =-而2n ≥时()()()()5151201(1)()0412451414521f n f n n n n n n n n n -+-=+--=-<-+-+--++ ∴(){}f n 在2n ≥时为单调递减数列，此时max ()(2)2f n f ==…………………………14分 ∴存在不小于2的整数，使()2f n ≤对一切*n ∈N 都成立， min 2M =．………………16分 20.（本题满分16分） 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2） 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3） 证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx e ex>-成立． 解：⑴ '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． …………………………2分① 102t t e<<+<，t 无解； …………………………3分 ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-；…………………………4分 ③12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； …………………………5分所以min110()1ln t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，． …………………………6分 ⑵ 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32l n a x x x≤++，设3()2l n(0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)'()x x h x x+-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递减，所以min ()(1)4h x h ==，因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=； …………………………10分⑶ 问题等价于证明2ln ((0,))xx x x x e e>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x xm x e-=，易得max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．…………………………16分第Ⅱ卷部分（满分：40分 时间：30分钟）一、选做题（从中任选两题作答，每小题10分）21．A （4-1几何证明） 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD ，BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅． （1）求证：∠P=∠EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP ．证明：（1）∵2DE EF EC =⋅， ∴DE CE EF ED =::． ∴DEF ∽CED ．∴∠DEF=∠C ，又∵CD ∥AP ，∴∠C=∠P ．∴∠P=∠EDF ．………………………4分 （2）∵∠P=∠EDF ，∠DEF=∠PEA ，∴DEF ∽PEA ∆， ∴DE ︰PE=EF ︰EA ． ∴EF·EP=DE·EA ．又因为弦AD ，BC 相交于点E ， ∴DE·EA=CE·EB ． ∴CE·EB=EF·EP ．………………………10分 B （4-2矩阵变换）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成（-1，-1）与（0，-2）． （1）求二阶矩阵M ；（2）设直线L 在变换M 作用下得到了直线m ：x -y =4，求直线L 的方程．解：（1）设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1,1,a b c d -=-⎧⎨-=-⎩且20,2 2.a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩解之得1,2,3,4,a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∴M =1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………5分 （2）∵1223434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且直线m ：4x y ''-=， ∴(2)(34)4x y x y +-+=，即20x y ++=为所求直线L 的方程．…………………10分 C （4-4极坐标与参数方程）已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，圆M 的参数方程2cos ,22sin ,x y θθ=⎧⎨=-+⎩（其中θ为参数）．（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．解：（1）极点为直角坐标原点O，sin()s )4πρθρθθ+=+=∴sin cos 1ρθρθ+=，可化为直角坐标方程：x+y-1=0. ………………………5分（2）将圆的参数方程化为普通方程：22(2)4x y ++=，圆心为C （0，-2）， ∴点C到直线的距离为d ==， ∴．……………………………………10分 21 D （4-5不等式选讲） （本小题为选做题．．．，满分10分） 已知(0,)2x π∈，求函数2sin y x =+的最小值以及取最小值时所对应的x 值解：由(0,)2x π∈知：2sin y x =+21111sin x =+54≥=1=2sin x 即1sin 2x =时取等号， ∴当6x π=时min 54y =。

江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆一、选择题1.（南京2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y x =的图象被⊙P 的弦AB 的长为23，则a 的值是A ．23B ．222+C ．23D ．23+ 【答案】B 。

【考点】一次函数的应用，弦径定理, 勾股定理，对顶角的性质，三角形内角和定理。

【分析】连接PA,PB ,过点P 作PE ⊥AB 于E, 作PF ⊥X 轴于F ，交AB 于G ，分别求出PD 、DC ，相加即可：∵在Rt △PAE 中，由弦径定理可得AE ＝12AB ＝3，PA ＝2， ∴由勾股定理可得PE ＝1。

又由y x =可得，∠OGF ＝∠GOF ＝450，FG ＝OF ＝2。

又∵PE ⊥AB ，PF ⊥OF ，∴在Rt △EPG 中，∠EPG ＝∠OGF ＝450，∴由勾股定理可得PG ＝2∴a ＝FG ＋PG ＝2＋2。

故选B 。

2.（南通3分）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于A ．8B ．4C ．10D ．5【答案】D 。

【考点】弦径定理，勾股定理。

【分析】根据圆的直径垂直平分弦的弦径定理，知△OAM 是直角三角形，在Rt △OAM 中运用勾股定理有，222222OA OM AM 345OA 5=+=+=⇒=。

故选D 。

3.（扬州3分）已知相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是A ．2B ．3C ．6D ．11【答案】C 。

【考点】两圆的位置与圆心距的关系。

【分析】根据两圆的位置与圆心距的关系知，相交两圆的圆心距在两圆的半径的差跟和之间，从而所求圆心距在3和11 之间，因此得出结果。

故选C 。

4.（盐城3分）若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2＝8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】B 。