1 ，max= 2
4. 渐近线 以X轴为渐进线
5. 曲线的变化规律
设X~ N ( , ) ,
2
X的分布函数是
1 F ( x) 2
x
(t ) 2 22Fra bibliotekedt , x
标准正态分布
0, 1 的正态分布称为标准正态分布.
若随机变量X的概率分布为： P(X=1)=p,0<p<1 P(X=0)=1-p=q 则称X服从参数为p的两点分布.
二项分布
例4 设射手每一次击中目标的概率为p，现连续 射击n次，求恰好击中次数X 的概率分布.
若随机变量X的概率分布为
Pn (k ) P( X k)C p (1 p)
k n k
3. F(x+0)=F(x)
例1：设随机变量X的分布函数为
a be x , x 0 F ( x) x0 0 ,
求常数a, b及概率 P( X 2)
2.2
离散型随机变量的概率分布
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，pk是X取 xk值的概率，称
0
1 8
1
a
2
2a
Pk
(1)求常数a ; (2) P( X 1), P(2 X 0), P( X 2)
例2 在五件产品中有两件次品，从中任取出两 件。用随机变量X表示其中的次品数，求X的分 布律和分布函数.
X
P
0
0.3
1
0.6
2
0.1
1.0 0.9
0 0.3 F ( x) 0.9 1.0
均匀分布
则称X 在区间[a, b]上服从均匀分布, 简记为X ~ U [ a, b].
例3：设随机变量X~U[1,6],求二次方程
x Xx 1 0
2
有实根的概率。
指数分布
若随机变量 X具有概率密度
则称X服从以 为参数的指数分布, 简记为 X ~ E( ) . 指数分布常用于可靠性统计研究 中，如电子元件的寿命.
,x 0 ,0 x 1 ,1 x 2 ,x 2
0.3 0
1 2
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P( X x)
0, p , 1 p1 p2 , F ( x) i pk , k 1
xk x
p
k
x x1 x1 x x2 x2 x x3 xi x xi 1 , i 1
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，其 余属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为 k nk CM C N M P( X k ) , (k 0,1, , l ) n CN
l min(n, M )
则称随机变量X服从参数为的超几何分布，记 作 X ~ H ( N , M , n)
e f ( x) 0
x
x0 x0
0
例4：某电子元件的使用寿命X是一个连续型随 机变量，其概率密度为
x 100 Ce , x 0 f ( x) 0, x0
(1) 确定常数C; (2)寿命超过100小时的概率； (3)已知该元件已正常使用200小时，求它至 少还能正常使用100小时的概率。
F(x2)-F(x1)
F(x2-0)-F(x1)
F(x2)-F(x1-0)
分布函数的性质
1. 若a b, 则F (a) F (b)
2. 0 F ( x) 1, ( x ),且 lim F ( x) F () 0,
x x
lim F ( x) F () 1
P( X xk ) pk , k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也 称概率分布. X Pk x1 p1 x2 p2
… …
xk pk
… …
分布列
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, k=1,2, …
（2）
例1
p 1
k k
X
2 1
a 3a
这种对应关系在数学上理解为定义了一种 实值函数. w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
随机变量的定义
设随机实验E的样本空间 ，若对每一个 样本点 ，都有唯一的实数 X ( )与之对应, 则称 X ( )为随机变量，简记为 X .
2. 箱子中有5个编号为1，2，3，4，5的球，从 中任取3个，以X表示取出的3个中的最大号码 求：X的分布列，X的分布函数并画图
2.3
概率密度
对于随机变量 X ,如果存在非负函数f(x) , 使得对任意的实数x,都有
F ( x) P( X x)
x
f (t )dt
则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函 数，简称为概率密度或分布密度。
对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先 是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.
(n 1) p或(n 1) p 1, k0 [(n 1) p], (n 1) p是整数 (n 1) p不是整数
泊松分布
若随机变量X的概率分布为
P ( X k ) e
———|——>
X x
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标， 那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
( , x ] 的概率.
已知X的分布函数为 F(x)，下列 各事件概率用F(x) 如何表示？ P(X<x)
P(X=x) P(X>x) P(x1<X<=x2) P(x1<X<x2) P(x1<=X<=x2) F(x-0) F(x)-F(x-0) 1-F(x)
k
k!
, k0,1,2,,
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松 分布，简记为 X ~ P( )
泊松定理 设随机变量Xn(n=1,2,..)服从二项分布 Xn~B(n,pn)，又设 npn 是一个常数，则有
n
lim P( X n k ) lim C p (1 pn )
离散型随机变量的分布函数特点 1. 它的图形是一条右连续的阶梯型曲线 2. 在随机变量的每一个可能取值点 x=xk(k=1,2,…),该图形都有一个跳跃，跳 跃值为pk
几种常见的离散型随机变量的分布
两点分布 (0-1分布)
例3：一批产品的废品率为5%，从中任意抽取 一个进行检验，用随机变量X描述废品出现的 情况，即写出X的分布。
f (x)
o
x
例1 :已知连续型随机变量X有概率密度
kx 1 0 x 2 f ( x) 其它 0
求系数k及分布函数F(x)，并计算P(0.5<X<3).
设a, b为有限数, 且a b.若随机变量X 的概率密度为 1 f ( x ) b a, 0, a xb else
例7：若一年中某类保险者里面每个人死亡的概 率为0.002,现有2000个这类人参加人寿保险。参 加者交纳24元保险金，而死亡时保险公司付给 其家属5000元赔偿费。计算“保险公司亏本” 和“保险公司盈利不少于10000元”的概率。
几何分布
在独立试验序列中, 若一次伯努利试验中 某事件A发生的概率为, 只要事件A不发生, 试 验就不断地重复下去，直到事件A发生，试验 才停止。设随机变量X为直到事件A发生为止 所需的试验次数X的概率分布为
第二章 随机变量及其分布
2.1
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量 来表示，由此就产生了随机变量的概念.
掷一颗骰子,面上出现的点数 七月份福州的最高温度 灯泡的使用寿命
在有些试验中，试验结果看来与数值无关， 但我们可以采用“数量化”的方法，使实 验结果与数值相对应。
抛硬币实验
射手射击击中目标.
若x是 f(x)的连续点，则随机变 量X取值为x的概率为f(x)吗？
5.P( X x) 0
P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b)
P( x X x x) f ( x)x
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
例9.一批产品共有N件，其中M件是废品。现 在从全部N件产品中抽取n件（n≤ N),求恰好取 到废品件数X的分布。
作业：
1. 某保险公司发现某类保险者一年中仅有0.001 的死亡概率，则在入保这类人中任意选取的 10000个人寿保险者在下一年中，不超过5个客 户死亡事件的概率是多少？(计算出来)
注意: (2)(3)引出的特点
指数分布的无记忆特性
若随机变量X，对任意的S>0,T>0满足 P(X>S+T| X>S) = P(X>T) 则称X的分布具有无记忆性. “永远年轻”！
例5： 某机场在任何长为t 的时间内飞机来到的 数目X服从参数为λt 的泊松分布，求跑道的 “等待时间”即相继两架飞机到来的时间间隔 T的概率分布。
nk
, k 0,1,, n
其中0<p<1,称X服从参数为n和p的二项分布， 记作 X~B(n,p)
例5：一随机数字序列要有多长才能使0至少出 现一次的概率不小于0.9?
0123597153861258702550865218930254991…
