天津中考数学专题训练

2024年天津市中考模拟数学试题一、单选题1．下列命题正确的是( )A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等D ．同弧或等弧所对的圆周角相等2．如图，函数2(1)y x c =--+的图象与轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣13．从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（ ） A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差4．如图，边长为a ，b 的长方形的周长为14，面积为10，则a 3b+ab 3的值为( )A ．35B ．70C ．140D ．2905．将抛物线265y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（ ）A ．()246y x =+-B ．()242y x =--C ．()242y x =-+D ．()213y x =-- 6．如图所示几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．一元二次方程4x 2﹣3x +14＝0根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 8．下列方程中，是关于x 的一元二次方程是( )A 3=B ．x 2+2x ＝x 2﹣1C ．ax 2+bx +c ＝0D ．3(x +1)2＝2(x +1)9．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF V V ①≌;OGE FGC V V ②∽；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④10．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ）A ．摸出黑球的可能性最小B ．不可能摸出白球C ．一定能摸出红球D ．摸出红球的可能性最大11．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ）A ．两个等边三角形B ．有一个角是100︒的两个等腰三角形C ．两个矩形D ．两个正方形12．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．4.4×108B ．4.40×108C ．4.4×109D ．4.4×1010二、填空题13．小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上的影长为2米．同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为米．14．ΔABC 绕着A 点旋转后得到AB C ''△，若130BAC '∠=o ，80BAC ∠=o ，则旋转角等于． 15．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是．16．如图，在反比例函数6y (x 0)x=-<的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为．17．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 上的一动点，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ．以CE 为直径作⊙O ，当点P 从点A 移动到点D 时，对应点O 也随之运动，则点O 运动的路程长度为．18．已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为．三、解答题19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．20．如图,直线y=12x+3分别交x轴、y轴于点A、C．点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16.（1）求证:△AOC∽△ABP；（2）求点P的坐标；（3）设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标.21．我区某校组织了一次“诗词大会”，张老师为了选拔本班学生参加，对本班全体学生诗词的掌握情况进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：（1）全班学生共有人；（2）扇形统计图中，B类占的百分比为%，C类占的百分比为%；（3）将上面的条形统计图补充完整；（4）小明被选中参加了比赛．比赛中有一道必答题是：从下表所示的九宫格中选取七个字组成一句诗，其答案为“便引诗情到碧霄”．小明回答该问题时，对第四个字是选“情”还是选“青”，第七个字是选“霄”还是选“宵”，都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小明回答正确的概率．22．阅读材料：各类方程的解法的形式：求解二元一次方程求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x a组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程3220x x x +-=，可以通过因式分解把它转化为()220x x x +-=，解方程0x =和220x x +-=，可得方程3220x x x +-=的解．利用上述材料给你的启示，解下列方程；（1）32430y y y -+=；（2x ．23．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12，四边形EFPQ 是矩形，点P 与点C 重合，点Q 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上（点E 与点A 、点B 均不重合）．（1）当AE ＝8时，求EF 的长；（2）设AE ＝x ，矩形EFPQ 的面积为y ．①求y 与x 的函数关系式；②当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，将矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线CB 匀速向右运动（当点P 到达点B 时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．24．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）结合图像，直接写出当23x -<<时，y 的取值范围．25．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？ 26．如图，某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m 2，求小路的宽．。

2023天津中考数学18题18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC 内接于圆，且顶点A ，B 均在格点上．（1）线段AB 的长为________；（2）若点D 在圆上，AB 与CD 相交于点P ．请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q ，使CPQ 为等边三角形，并简要说明点Q 的位置是如何找到的（不要求证明）________．【答案】（2）画图见解析；如图，取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接A I 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求【解析】【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；（2）取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点M ，连接MB ；连接DB 与网格线相交于点G ，连接GF 并延长与网格线相交于点H ，连接AH 并延长与圆相交于点I ，连接CI 并延长与MB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求，连接PQ ，,AD BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得()Rt Rt AAS AJF BLF ∆∆≌，根据全等三角形的性质可得()Rt Rt ASA IMF HNF ∆∆≌和()SAS AIF BHF ∆∆≌，根据同弧所对圆周角相等可得AD BK =，进而得到12∠=∠和60PCQ ∠=︒，再通过证明()ASA CAP CBQ ∆∆≌即可得到结论．【小问1详解】解：AB ==；．【小问2详解】解：如图，取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接A I 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，,AD BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵AJF BLF ∠=∠，AFJ BFL ∠=∠，AJ BL =，∴()Rt Rt AAS AJF BLF ∆∆≌，∴FJ FL =，AF BF =，∵MJ NL =，∴FJ MJ FL NL -=-，即FM FN =，∵IMF HNF ∠=∠，IFM HFN ∠=∠，∴()Rt Rt ASA IMF HNF ∆∆≌，∴FI FH =，∵AFI BFH ∠=∠，AF BF =，∴()SAS AIF BHF ∆∆≌，∴FAI FBH ∠=∠，∴AD BK =，∴12∠=∠，∵ABC D 是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，即1+60PCB ∠∠=︒，∴2+60PCB ∠∠=︒，即60PCQ ∠=︒，∵ET GS =，ETF GSF ∠=∠，EFT GFS ∠=∠，∴()Rt Rt AAS ETF GSF ∆∆≌，∴EF GF =，∵AF BF =，AFE BFG ∠=∠，∴()SAS AFE BFG ∆∆≌，∴EAF GBF ∠=∠，∴60GBF EAF CBA ∠=∠=∠=︒，∴18060CBQ CBA GBF ∠=︒-∠-∠=︒，∴CBQ CAB ∠=∠，∵CA CB =，∴()ASA CAP CBQ ∆∆≌，∴CQ CP =，∵60PCQ ∠=︒，∴PCQ △是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接A I 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．。

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题3（共5专题）源自天津历年真题整理21．如图中实线所示，函数y=|a（x﹣1）2﹣1|的图象经过原点，小明同学研究得出下面结论：①a=1；②若函数y随x的增大而减小，则x的取值范围一定是x＜0；③若方程|a（x﹣1）2﹣1|=k有两个实数解，则k的取值范围是k＞1；④若M（m1，n），N（m2，n），P（m3，n），Q（m4，n）（n＞0）是上述函数图象的四个不同点，且m1＜m2＜m3＜m4，则有m2+m3﹣m1=m4．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】①根据函数图像经过原点|a(x﹣1)2﹣1|=0，可得a=1；②由函数的图像可知：顶点坐标（1，1），与x轴的交点坐标（0，0），（2，0），当x<0或1<x<2时，函数y随x的增大而减小；③若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解，k>1或k=0；④由函数的图像可知，直线y=n(0<n<1)与函数y=|a(x﹣1)2﹣1|的图像有四个交点，由m1＜m2＜m3＜m4可知m1+m4=m2+m3，移项可得m4=m2+m3−m1.【详解】解：（1）∵函数y=|a(x﹣1)2﹣1|图像经过原点，∴|a(0﹣1)2﹣1|=0，解得：a=1，故①正确；（2）由函数图像可知顶点坐标（1，1），与x轴的交点坐标（0，0），（2，0），∵函数y随x的增大而减小，∴x<0或1<x<2，故②错误；（3）∵方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解，∴k>1或k=0，故③错误；（4）∵M（m1，n），N（m2，n），P（m3，n），Q（m4，n）（n＞0）是上述函数图象的四个不同点，∴直线y=n自变量取值范围为(0<n<1)∴m1与m4，m2与m3关于x=1对称，∴m1+m4=m2+m3，即m4=m2+m3−m1，故④正确;故答案为C.【点睛】本题考查函数图像与性质.关键利用数形结合的思想，将函数解析式与图像结合分析，利用一次函数与二次函数的相关知识解题.二、解答题22．已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B，与直线y=−x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M的坐标．(2)点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．(3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C,A′F，当△FA′C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．23．已知抛物线y=ax2+bx+5（a，b为常数，a≠0）与x轴交于点A(−5,0)，B(−1,0)顶点为D，且过点C(−4,m)．(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②连接BD ，当∠PCB =∠CBD 时，求点P 的坐标． 【答案】(1)y =x 2+6x +5，D (−3,−4)，C (−4,−3)(2)①278，②点P 的坐标为P (−32,−74)或(0,5)．【分析】（1）把点A (−5,0)，点B (−1,0)代入y =ax 2+bx +5，求出抛物线解析式，进一步可求出D (−3,−4)，C (−4,−3)；（2）①由题意可知点P 坐标为(t,t 2+6t +5)，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交直线BC 于点E ，求出直线BC 的解析式为y =x +1．利用点P 的坐标可知−4<t <−1，故点E 的坐标为(t,t +1)．进一步可求出S △PBC =−32(t +52)2+278，所以当t =−52时，△PBC 的面积的最大值为278；②分情况讨论：当点P 在直线BC 的上方，求出直线BD 的解析式为y =2x +2，和直线PC 的解析式为y =2x +5．即可求出点P 的坐标为(0,5)；当点P 在直线BC 的下方时，设直线PC 与BD 交于点M ，设M (m,2m +2)，求出m =−2．求出直线CM 的解析式为y =12x −1，进一步可求出P (−32,−74)．【详解】（1）解：把点A (−5,0)，点B (−1,0)代入y =ax 2+bx +5，可得：{a −b +5=025a −5b +5=0，解得{a =1b =6 ∴抛物线解析式为y =x 2+6x +5，y =x 2+6x +5=(x +3)2−4，∴顶点D (−3,−4)．把C (−4,m )代入在y =x 2+6x +5，得m =−3，∴点C (−4,−3)．（2）解：由题意可知点P 坐标为(t,t 2+6t +5)，①如图，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交直线BC 于点E ，设直线DB 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)，将B (−1,0)，点D (−3,−4)代入，得{−k 1+b 1=0−3k 1+b 1=−4 ，解得{k 1=2b 1=2． ∴直线BD 的解析式为y =2x +2．∵PC ∥BD ，∴设直线PC 的解析式为y =2x +n ．∵C (−4,−3)，∴−3=−8+n ．∴n =5．∴直线PC 的解析式为y =2x +5．∴x 2+6x +5=2x +5．解得x 1=0，x 2=−4（舍）．当x =0时，y =2x +5=5．∴点P 的坐标为(0,5)．如图②，当点P 在直线BC 的下方时，设直线PC 与BD 交于点M ，∵∠PCB=∠CBD，∴MB=MC．设M(m,2m+2)，∵MC=√(m+4)2+(2m+2+3)2，MB=√(m+1)2+(2m+2−0)2，∴(m+4)2+(2m+5)2=(m+1)2+(2m+2)2解得m=−2．∴点M的坐标为(−2,−2)．由点C(−4,−3)和点M(−2,−2)可得直线CM的解析式为y=12x−1，由x2+6x+5=12x−1，解得x1=−32，x2=−4（舍）．所以点P(−32,−74)．综上，点P的坐标为P(−32,−74)或(0,5)．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，会求两直线的交点坐标，掌握二次函数的图象及性质．24．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(−3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值．若没有，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3(2)存在，点Q 的坐标为(−1，2)(3)存在，S △PBC 最大值为278【分析】（1）根据题意可知，将点A 、B 的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得b 、c 的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边AC 的长是定值，要想△QAC 的周长最小，即是AQ +CQ 最小，所以此题的关键是确定点Q 的位置，找到点A 的对称点B ，求得直线BC 的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）设P(x ，−x 2−2x +3)(−3<x <0)，过点P 作PE ⊥x 轴交于点E ，连接BP 、CP 、BC ，根据S △PBC =S 四边形BPCO −S △BOC =S 四边形BPCO −12×3×3=S 四边形BPCO −92，将S △PBC 表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得S △PBC 的最大值．（1）解：将A(1，0)，B(−3，0)代入y =−x 2+bx +c 中，可得：{−1+b +c =0−9−3b +c =0， 解得：{b =−2c =3，∴抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3；（2）解：存在，理由如下：如图，∵A 、B 两点关于抛物线的对称轴x =−1对称，∴直线BC 与x =−1的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小，连接AC 、AQ ， ∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴C 的坐标为(0，3)，又∵B(−3，0)，∴直线BC 解析式为：y =x +3，∴Q 点坐标即为{x =−1y =x +3， 解得：{x =−1y =2， ∴Q(−1，2)；（3）解：存在，理由如下：如图，设P(x ，−x 2−2x +3)(−3<x <0)，过点P 作PE ⊥x 轴交于点E ，连接BP 、CP 、BC ， ∵S △PBC =S 四边形BPCO −S △BOC =S 四边形BPCO −12×3×3=S 四边形BPCO −92， 若S 四边形BPCO 有最大值，则S △PBC 就最大，∴S 四边形BPCO =S △BPE +S 直角梯形PEOC ，∵S △BPE =12BE ⋅PE =12(x +3)(−x 2−2x +3)，两点，与y轴交于点N，其顶点为D(2)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点H(n,t)为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，且H1A2取得最小值时，求n的值【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；D（1，4）(2)S △APC 最大=278；P （12，154） (3)2+√142【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b ，c 的值，从而得到抛物线的解析式， 在配成顶点式即可；（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ．将点A 和点C 的坐标代入可求得k 、b 的值，从而得到直线AC 的解析式；设点P 的坐标，进而表示出PQ ，进而得出S △APC =-32(m -12)2+278，即可得出结论；（3）用n 表示出H 1的坐标，从而表示出H 1A 2，利用二次函数的性质可求得其最大值时n 的值．【详解】（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：{−1−b+c=0−4+2b+c=3，解得：b ＝2，c ＝3．∴抛物线的解析式为y ＝-x 2+2x+3 ． ∴y ＝-x 2+2x+3=-(x -1)2+4 ∴抛物线的顶点坐标为，（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ．∵将点A 和点C 的坐标代入得{−k+b=02k+b=3，解得k ＝1，b ＝1．∴直线AC 的解析式为y ＝x+1．如图，设点P （m ，-m 2+2m+3） ， ∴Q （m ，m+1），∴PQ＝（-m2+2m+3）-（m+1）＝-m2+m+2＝-(m-12)2+94，∴S△APC=12PQ×|x C-x A|S△APC=12[-（m-12)2+94]×3=-32(m-12)2+278，∴当m=12时，S△APC最大=278，y＝-m2+2m+3=154，∴P（12，154）；（3）∵H1落在第二象限内，H关于y轴的对称点为H1∴点H(n,t)在第一象限，即n＞0，t＞0．y＝-x2+2x+3=-(x-1)2+4∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴0＜t≤4，∵H(n,t)在抛物线上，∴t＝-n2+2n+3，∴n2-2n＝3-t，∵A（-1，0），H1(-n,t)，∴H1A2＝（-n+1）2+（t）2＝n2-2n+1+t2＝t2-t+4＝(t-12)2+154；∴当t=12时，H1A2有最小值，即H1A2有最小值，∴12=-n2+2n+3，解得n=2-√142或n=2+√142，∵n＞0，∴n=2-√142不合题意，舍去，∴n的值为2+√142．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查的了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短、关于原点对称的点的坐标，难度较大，综合性较强．26．如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)和点B(-5,m)，与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，m的值和点C的坐标；(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当P A=PB时，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y=ax2+bx+4(a,b为常数，a≠0)经过点A(−4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C．点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，与y轴相交于点D．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，当∠ODB=2∠BCO时，求直线PB的解析式；(3)连接AC，与PB相交于点Q，当PQQB取得最大值时，求点P的坐标．【答案】(1)y=−x2−3x+4(2)y=−158x+158(3)点P的坐标为 (−2,6) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）由∠ODB =2∠BCO 以及三角形外角的性质可得∠CBD =∠BCO ，则BD =CD ，设OD =a ，则CD =4−a ，BD =4−a ，运用勾股定理可求得a =158，得出D(0,158)，再利用待定系数法即可求出答案；（3）过点P 作PE ⊥x 轴于E ，与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，利用待定系数法求出直线AC 表达式，再利用BM//PN ，可得ΔPNQ ∽ΔBMQ ，进而得出PQQB =PNBM =PN 5，设P(t ，−t 2−3t +4)(−4<t <0)，则N(t,t +4)，从而得到PQQB=−t 2−3t+4−(t+4)5=−(t+2)2+45，利用二次函数的性质即可求得答案．(1)根据题意，{a ⋅（−4）2+b ⋅（−4）+4=0，a +b +4=0， 解得{a =−1，b =−3． ∴ 抛物线的解析式为y =−x 2−3x +4． (2)如图．当x =0时，y =4，得C （0，4 ），有OC =4．∵∠ODB =2∠BCO ，∠ODB =∠BCO +∠DBC ， ∴ ∠BCD =∠CBD ． ∴ DC =DB ．设OD =m ，则CD =4−m ， ∴ BD =4−m ．在Rt △OBD 中，由勾股定理得BD 2=OD 2+OB 2， ∴ （4−m ）2=m 2+12． 解得m =158． ∴ D （0，158 ）．设直线PB 的解析式为y =kx +e （k ≠0）． ∴ {e =158，k +e =0， 解得{k =−158，e =158． ∴ 直线PB 的解析式为y =−158x +158．(3)如图，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，设直线AC 表达式为y =mx +n ， ∵A(−4,0)，C(0,4)， ∴{−4m +n =0n =4，解得：{m =1n =4，∴直线AC 表达式为y =x +4， ∴M 点的坐标为(1,5)， ∴BM =5， ∵BM//PN ， ∴ΔPNQ ∽ΔBMQ ，28．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）的顶点为P，与x轴相交于点A(−1,0)和点B．(1)若b=−2,c=−3，①求点P的坐标；②直线x=m（m是常数，1<m<3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【答案】(1)①(1,−4)；②点M的坐标为(2,−3)，点G的坐标为(2,−2)；(2)点E(57,0)和点F(0,−2021)；【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为(m,m2−2m−3)，则点G的坐标为(m,2m−6)，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据3b=2c，解析式经过A点，可得到解析式：y=ax2−2ax−3a，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点P′，作点N关于x轴的对称点N′，再把P′和N′的坐标表示出来，由题意可知，当PF+FE+EN取得最小值，此时PF+FE+EN=P′N′= 5，将字母代入可得：P′N′2=P′H2+HN′2=9+49a2=25，求出a的值，即可得到E、F 的坐标；（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0．又b=−2,c=−3，得a=1．∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴点P的坐标为(1,−4)．②当y=0时，由x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3．∴点B的坐标为(3，0)．设经过B，P两点的直线的解析式为y=kx+n，有{3k+n=0,k+n=−4.解得{k=2,n=−6.∴直线BP的解析式为y=2x−6．∵直线x=m（m是常数，1<m<3）与抛物线y=x2−2x−3相交于点M，与BP相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为(m,m2−2m−3)，点G的坐标为(m,2m−6)．∴MG=(2m−6)−(m2−2m−3)=−m2+4m−3=−(m−2)2+1．∴当m=2时，MG有最大值1．此时，点M的坐标为(2,−3)，点G的坐标为(2,−2)．（2）由（1）知a−b+c=0，又3b=2c，∴b=−2a,c=−3a．(a>0)∴抛物线的解析式为y=ax2−2ax−3a．∵y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，∴顶点P的坐标为(1,−4a)．∵直线x=2与抛物线y=ax2−2ax−3a相交于点N，∴点N的坐标为(2,−3a)．作点P关于y轴的对称点P′，作点N关于x轴的对称点N′，如图所示：得点P′的坐标为(−1,−4a)，点N′的坐标为(2,3a)．当满足条件的点E，F落在直线P′N′上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN=P′N′=5．延长P′P与直线x=2相交于点H，则P′H⊥N′H．在Rt△P′HN′中，P′H=3,HN′=3a−(−4a)=7a．∴P′N′2=P′H2+HN′2=9+49a2=25．解得a1=47,a2=−47（舍）．∴点P′的坐标为(−1,−167)，点N′的坐标为(2,127)．则直线P′N′的解析式为y=43x−2021．∴点E(57,0)和点F(0,−2021)．【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．29．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x=1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD=m,△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．30．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．(1)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；(2)如图②，折叠该纸片，使折痕PH所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点O的对应点为O′，设OH=t．△PHO′与△OAB重叠部分的面积为S．①若折叠后△PHO′与△OAB重叠部分的面积为四边形时，PO′与AB相交于点C，试用含有t 的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当23≤t≤53时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．。

.此文档可编辑打印，页脚下载后可删除！1．如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成角，斜坡CD 与水平地面BC 成的角，求旗杆AB 的高度． (注：，，结果精确到0.1)2.某市一中学九年级学生开展数学实践活动，测量该市电视塔AB 的高度.由于该塔还没有完成内外装修，其周围障碍物密集,于是在开阔地带的C 处测得电视塔顶点A 的仰角为45°，然后沿CB 向电视塔的方向前进90m 到达D 处，在D 处测得顶点A 的仰角为60°，如下图.求电视塔的高度〔精确到，414.12≈，732.13≈〕3.如图，塔CD 的高为36米，近处有一大楼AB ，测绘人员在楼底A 处测得塔顶D 处的仰角为60°，在楼顶B 处测得塔顶D 处的仰角为45°．其中A C 、两点分别位于B D 、两点正下方，且A C 、两点在同一水平线上，求大楼AB 的高度〔参考数据：3 1.732≈，结果精确到0.1米〕．4.如图：某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在地面上相距12米的A 、B 两处测得点D 和点C 的仰角为045和060，且A 、B 、E 三点在一条直线上，假设m BE 25=，求这块广告牌的高度。

〔取73.13≈，计算结果精确到1.0〕5.如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至A 点处测得P 在它的北偏东600的方向, 继续行驶20分钟后, 到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?6. 如图某幢大楼顶部有广告牌CD ．张老师目高MA 为，他站立在离大楼45米的A 处测得大楼顶端点D 的仰角为30；接着他向大楼前进14米站在点B 处，测得广告牌顶端点C 的仰角为45．(计算结果保存一位小数)(1)求这幢大楼的高DH ；(2)求这块广告牌CD 的高度．第（23）题45°60°.此文档可编辑打印，页脚下载后可删除！7.九年级〔3〕班在完成测量校内旗杆高度的数学活动后，小明填写了如下?数学活动报告?中的附件 〔运算表〕的一局部。

选择题下列哪个数集包含无限个元素？A. {x | x是小于5的正整数}B. {x | x是大于-1且小于1的整数}C. {x | x是2的倍数}（正确答案）D. {x | x是方程x2 - 4 = 0的解}已知三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=80°，则∠B的度数为：A. 80°B. 50°（正确答案）C. 60°D. 100°下列哪个表达式表示的是y是x的正比例函数？A. y = x2B. y = x + 1C. y = 2/xD. y = 3x（正确答案）已知圆的半径为r，其内接正方形的边长为：A. rB. √2r（正确答案）C. 2rD. 2√2r下列哪个不等式表示的是x的绝对值小于5？A. x < 5B. -x < 5C. |x| < 5（正确答案）D. x2 < 5已知一次函数y = kx + b，当x=2时，y=5；当x=-3时，y=-4，则k的值为：A. 1B. -1C. 2D. 3（正确答案）下列哪个图形是中心对称图形但不是轴对称图形？A. 正方形B. 等边三角形C. 平行四边形（正确答案）D. 圆已知一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则其体积为：A. 30B. 45C. 60（正确答案）D. 75下列哪个选项是二次函数y = ax2 + bx + c的顶点坐标公式？A. (-b/2a, c - b2/4a)（正确答案）B. (b/2a, c - b2/4a)C. (-b/a, c - b2/a)D. (b/a, c + b2/a)。

相似三角形50题、选择题：一1.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）＝ D.＝ B.＝＝ C.A.2.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）1：．1：．1：3 C．14 D2 BA．1：( )4.5cm，那么它们的相似比为3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，，则BE:EC=（）BDF4.如图，是平行四边形ABCD对角线上的点，BF:FD=1:3( )相似的是15.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形（阴影部分）与△ABCA． D C B．．．6.下列各组数中，成比例的是（）A.-7,-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，127.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A.4mB.6mC.8mD.12m8.下列四组图形中，一定相似的是( )A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形9.如图所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）对对 C.5 D.6对 A.3对 B.4）的长为（AB于点E，则DE 垂直平分，中，∠10.如图，在△ABCACB=90°，AC=8AB=10，DEAC交3．．A．6 B5 C．4 D的长等于（，则，已知：是位似图形，位似比为与△如图，△11.ABCDEF23AB=4DE ）A.6B.5C.9D.12.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B →C和A→D20（y与xy（单位：cm），则）→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s，四边形PBDQ的面积为( )）之间函数关系可以用图象表示为x≤8≤C. B.A.D.13.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )． CA．． B D．14.如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（）A.2B.3C.4D.5ACBD,xABCD15.如图,正方形的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的轴，y轴的////与正方形正方形正半轴上//////ABCD与正方形DCB,的中点是以ABCDACO为中心的位似图形已知AC=3A则正方形(1,2),的坐标为A若点,( )的相似比是 D. C. B. A.16.如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A.4对B.1对C.2对D.3对的重心，那么的值为（） AMN都是等边三角形，点M是△ABC17.如图，△ABC和△C.A.D. B.18.将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC，则的值为（）BCDF′交于点N 于点M，D. A. C. B.19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P 的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动．在整个运动过程中,阴影部分面积S+S ）的大小变化情况是（21．A.一直不变B.一直减小C.一直增大D.先减小后增大20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D 的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC.给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③2=AE?AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）点P是△ACQ的外心；④ACA.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④、填空题：二21.若△ABC与△ABC的相似比为2:3，△ABC与△ABC的相似比为2:3，那么△ABC与△ABC的相似比221212111212为22.如图，(1)若AE:AB=________,则△ABC∽△AEF；(2)若∠E=_______，则△ABC∽△AEF.□的值为________．于点Q. 则交相交于点，BDO，P是BC边中点，APBD23.如图，在中，对角线ABCDAC，则C中，已知A∽△B=6，若△ABCABBABC=5AB=3ABC24.在△中，已知，。

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．2.下列实数中，无理数是（）A.-3B.0C.D.3.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√334.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝35.如图，在三角形ABC中D，E分别是AB和AC上的点，且DE平行BC，AE 比EC=5/2,D E=10，则BC的长为（）。

A．16B．14C．12D．116.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝3二、填空题（共24分）7.小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是（）米8.两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是。

9.如图，正方形ABCD的面积为4，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH的面积为____.10.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是___.(单位:分)三、解答题（共20分）11.如图，已知抛物线y＝ax2+3x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于2A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点。

（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标。

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题5（共5专题）源自天津历年真题整理40．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点．(1)若抛物线经过点C；①求抛物线的解析式和顶点坐标；②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，AQ，△P AQ 与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标；(2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG 最小值为3√2时，求抛物线解析式．解得a =1∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3 ∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4 ∴顶点坐标为（1，﹣4）②如图①，连接CP ，过点P 作PD ⊥x 轴于E ，交BC 于点D ，过点C 作CF ⊥PD ∵PQ //AC ∴S △P AQ =S △PCQ ∴S =S 1+S 2=S △P AQ +S △PBQ∴S =S △PCQ +S △PBQ =S △CPB =S △CPD +S △BPD · 设直线BC 的解析式为y =kx +b{3k +b =0b =−3解得{k =1b =−3．∴直线BC 的解析式为y=x ﹣3.设P (m ，m 2−2m −3)，则D (m ，m −3)，(0<m <3) ∴PD =m −3−(m 2−2m −3)=−m 2+3mS =S △CPD +S △BPD =12PD ⋅DF +12PD ⋅BE =12PD ⋅(CF +BE)=12PD ⋅3=−32(m 2−3m)∴S =−32(m −32)2+278∵−32<0，0<m <3 ∴m =32时，S 最大 ∴P (32，−154)(2)如图②，把线段AB绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接EH交x轴于点G，∴AE=AB=4，∠EAB=45°.∵y＝ax2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)·∴y=a (x+1) (x﹣3)∴y＝ax2﹣2ax﹣3a令x=0，可得y=﹣3a∴H (0，﹣3a) .∵∠BOC=90°，OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠EAB= ∠OBC=45°.又∵AG=BQ∴ΔAEG≌ΔBAQ.∴EG=AQ∴AQ+HG=EG+HG≥HE.当点E，G，H共线时，AQ+HG值最小即HE=3√2过点E作EN⊥y轴，ET⊥x轴，在RtΔATE中，∠EAT=45°41．将一个直角三角形纸片ABC 放置在平面直角坐标系中，∠ACB =90°，点A (4， 0)，点C (0， 2)，点O (0，0)，点B 在x 轴负半轴，点E 在线段AO 上以每秒2个单位长度的速度从A 向点O 运动，过点E 作直线EF ⊥x 轴，交线段AC 于点F ，设运动时间为t 秒．将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在x 轴上点D 处，得到△DEF ．(1)如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标．(2)①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；≤t≤2时，求S的取值范围（直接写当出结果②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当12即可）．∵∠AOC=90°，∴tan∠CAO=OCOA =12，∵△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，∴△DEF≌△AEF，∴∠FDE=∠F AE，∵∠CDF=90°，∴∠FDE+∠CDO=90°，∵∠COD=90°，∴∠OCD+∠CDO=90°，∴∠FDE=∠OCD，∴∠FDE=∠OCD=∠F AE，∴tan∠OCD=tan∠F AE=12，在Rt△OCD中，tan∠OCD=ODOC =12，∴OD=12OC=1，∴D(1，0)．（2）①过点M作MN⊥x轴，如图所示：∵∠MNB=90°，∴∠MBN+∠BMN=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∴∠BMN=∠CAB，在RtΔBMN中，tan∠BMN=tan∠CAB=MNDN =12，∴MN =2BN ，在Rt ΔDMN 中，tan ∠MDN =tan ∠CAB =MN DN=12，∴DN =2MN =4BN ， ∴BD =DN ﹣BN =3BN ， ∵∠ACB =∠AOC =90°，∴∠BCO +∠ACO =∠ACO +∠CAB =90°， ∴∠BCO =∠CAB ， 在Rt ΔBOC 中，tan ∠BCO =OB OC=12，∴OB =12OC =1，∴AB =5，∴△DEF ≌ΔAEF ， ∴AE =DE =2t ， ∴BD =AD ﹣AB =4t ﹣5， ∴4t ﹣5=3BN ， ∴BN =4t−53，MN =2BN =8t−103，∴M (4t−83，8t−103)，要使重叠部分为四边形，则2AE ＞AB ， 即4t ＞5， 解得t ＞54，∵点E 在线段AO 上， ∴AE ≤AO ， 即2t ≤4， 解得：t ≤2，∴t 的取值范围是54＜t ≤2；②当12≤t ≤54时，重叠部分为三角形，此时重叠部分的面积为：S =S ΔAEF =12AE ×EF =12×2t ×t =t 2，42．已知抛物线L:y=ax2−4x+c(a≠0)经过点A(0,−5)，B(5,0)．(1)求抛物线L的解析式；(2)连接AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．且点N在点M的下方，点P是抛物线L1上一点，横坐标为−1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN=10，求m的值．【答案】(1)y=x2−4x−5(2)①点M的坐标是(2,−3)；②1.【分析】（1）由A、B坐标待定系数法求函数解析式即可；（2）求得点A、B所在直线的解析式，由对称轴横坐标代入直线解析式求得纵坐标即可；（3）根据坐标平移规律设抛物线L1的表达式是y=(x−2+m)2−9，PE交抛物线L1于另一点Q，由坐标特征求得点N、P的坐标表达式，由二次函数的对称性求得Q点坐标表达式，再由平移性质求得E点坐标表达式；根据PE+MN=10列方程求得m的值即可；(1)解：把点A(0,−5)，B(5,0)的坐标分别代入y=ax2−4x+c，得{c=−525a−20+c=0，解得{a=1c=−5，∴抛物线解析式为y=x2−4x−5；(2)解：①设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，把A(0,−5)，B(5,0)的坐标分别代入表达式得：{b=−55k+b=0，解得{k=1b=−5，∴AB所在直线的函数表达式为y=x−5；由（1）得，抛物线L：y=x2−4x−5=(x−2)2−9的对称轴是直线x=2，当x=2时，y=x−5=−3，∴点M的坐标是(2,−3)．②设抛物线L1的表达式是y=(x−2+m)2−9，如图1，虚线表示L，实线表示L1，∵MN∥y轴，∴点N的坐标是(2,m2−9)，∵点P的横坐标为−1，∴点P的坐标是(−1,m2−6m)，设PE交抛物线L1于另一点Q，∵抛物线L1的对称轴是直线x=2−m，PE∥x轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是(5−2m,m2−6m)，当抛物线L1过点M（2，-3）时，m=±√6，∵m＞0，∴m=√6，∴当点N在点M下方时，平移距离m<√6，PQ=5−2m−(−1)=6−2m，MN=−3−(m2−9)=6−m2，由平移性质得QE=m，∴PE=6−2m+m=6−m，∵PE+MN=10，∴6−m+6−m2=10，解得m1=−2（舍去），m2=1，∴m的值是1．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的平移，二次函数的图像特征等知识；根据题意作出二次函数的图像及平移后的图像是解题关键．x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，43．已知抛物线y=12与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，过点P作P M⊥x轴，垂足为M，PM与直线BC交于点D．若点P，D，M三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外）时，请找出符合条件的m值；(3)若抛物线对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，点Q是对称轴上一个动点，当以E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P，Q的坐标（直接写出结果即可）．当点P 的坐标为(52,−278)时，Q 点的坐标是(1,−158)或者(1,158)【分析】（1）结合A (−2,0)，B (4,0)利用待定系数法即可求解；（2）利用B 、C 两点的坐标先求出直线BC 的解析式，再用m 表示出点P 坐标，根据PM ⊥x 轴，PM 与直线BC 交于点D ，得到点M 的坐标为(m,0)和点D 的坐标为(m,m −4)再分D 为PM 的中点、当P 为DM 的中点和M 为PD 的中点三种情况讨论，利用中点坐标公式即可列出关于m 的方程，求解出m 的值，问题得解；（3）求出抛物线的对称轴，即可得到E 点坐标和Q 的横坐标，过F 点作FG ⊥AB 于G 点，在结合EF ⊥BC ，OC =OB=4，OE =1，利用等腰直角三角形的性质即可求出F 点坐标，根据条件设P 点坐标为(x P ,12x P 2−x P −4)，Q 点坐标为(1,a)，根据构成的四边形是平行四边形，利用两条对角线的交点也是各自的中点的性质，再结合中点坐标公式即可列出方程组求出P 、Q 的坐标，不过此处需要分EQ 为对角线、EP 为对角线和EF 为对角线三种情况讨论．(1)∵抛物线y =12x 2+bx +c （b ，c 为常数）经过A (−2,0)，B (4,0)， ∴{2−2b +c =0，8+4b +c =0.解得{b =−1，c =−4.∴抛物线的解析式为y =12x 2−x −4； (2)∵抛物线y =12x 2−x −4与y 轴交于C (0,−4)，∴设直线BC 的解析式为y =kx −4，∵直线BC 经过点B (4,0)，∴4k −4=0解得k =1，∴直线BC 的解析式为y =x −4，∵点P 是抛物线上的一个动点，且点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为(m,12m 2−m −4)，∵PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 与直线BC 交于点D ，∴点M 的坐标为(m,0)，点D 的坐标为(m,m −4)，①当D为PM的中点时，2（m−4）=12m2−m−4+0，∴m=2或m=4（舍）②当P为DM的中点时，2(12m2−m−4)=m−4+0，∴m=−1或m=4（舍）③当M为PD的中点时，12m2−m−4+m−4=0，∴m=−4或m=4（舍）即满足条件的m的值为2，－1，－4.(3)过F点作FG⊥AB于G点，如图，将抛物线的解析式配成顶点式，得：y=12(x−1)2−92，则抛物线的对称轴为x=1，∴E点的坐标为(1,0)，即有OE=1，根据（2）中求得的C点坐标，可知OC=4，又∵OB=4=OC，∴在Rt△OBC中，∠OBC=∠OCB=45°，又∵EF⊥BC，GF⊥OB，∴利用等腰直角三角形的性质可得EG=GF=GB，∵BE=OB-OE=4-1=3，∴EG=GF=GB=32，∴可得F点的坐标为(52,−32)，∵P点在抛物线上，Q点在抛物线对称轴x=1，∴设P点坐标为(x P,12x P2−x P−4)，Q点坐标为(1,a)，44．已知函数y={−12x2+12x+m(x<m)x2−mx+n(x≥m)，记该函数图象为G．(1)当m=2时，已知M(4,n)在该函数图象上，求n的值；(2)当0≤x≤2时，求函数G的最大值．(3)当m>0时，作直线x=12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ=45°时，求m的值．【答案】(1)10(2)21845．已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴交于A(−1,0)和点B(3,0)，交y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．当△DEF的面积取最大值时，求点E的坐标；(3)如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分MN时，求出点N的坐标．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)8132(3)(1−√2,2)或(1+√2,2)【分析】（1）利用交点式设二次函数式，再代入抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；（2）利用待定系数法求直线BC的解析式，设D(m,-m+3)，再表示出DE的长，根据题意求出△DEF 为等腰直角三角形，然后把△DEF 的面积用含m 的代数式表示出来，最后利用二次函数性质求其最大值即可；（3）连接ND ，根据对称的性质和△AOB 为等腰直角三角形推出△MDN 是等腰直角三角形，得出ND =MD ，设M (1,p )，然后分当M 在D 点上方时，当M 在D 点下方时两种情况分别表示出N 点坐标，将其代入抛物线解析式建立方程求解，即可解决问题．（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)交x 轴交于A(−1,0)和点B(3,0)，设y =a (x +1)(x −3)(a ≠0)，∵当x =0时，y =3，∴3=a (0+1)(0−3)，解得a =-1，∴y =−(x +1)(x −3)，即y =−x 2+2x +3．（2）解：设直线BC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0)，∵B (3,0)，C (0,3)，则{0=3k +b 3=b， 解得{k =−1b =3， ∴y =-x +3，设D (m ,-m +3)，∴E (m ,-m 2+2m +3)，∵DE = yE -yD =-m 2+2m +3-(-m +3)=-m 2+3m ，由（1）得，OB =OC =3，∴△BOC 为等腰直角三角形，∵DE ∥OC ，EF ∥OB ，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴S △DEF =12DE·EF =12DE 2=12(−m 2+3m )2 ，∵点E 在点D 的上方，∴0<m <3，∵DE =−m 2+3m =−(m −32)2+94 ，∴当m =32 时，DE 的最大值为94 ， ∴S △DEF 的最大值为12×(94)2=8132 ；（3）解：如图，l 与直线BC 相交与D ,连接ND ，∵BC 是MN 的对称轴，∴ND =MD ，由（2）知△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BDH =∠CBO =45°，∴∠CDM =∠BDH =45°，∴△MDN 是等腰直角三角形，∴抛物线的对称轴为x =3−12=1 ，设M (1,p )，D (1,-1+3)，即(1,2)，∵ND =MD =p -2，当M 点在D 点上方时，∴xN =1-(p -2)=-p +3，∴N (-p +3, 2)∵N 点在抛物线上，∴ 2=−(−p +3)2+2(−p +3)+3，解得p =2+√2或2−√2（舍去），∴N 点坐标(1−√2,2) ；当M 点在D 点下方时，同理得出△M′DN′为等腰直角三角形，∴M′D=N′D，设M′的坐标为(1,q)，∴M′D=2−q，∴xN’=(2-q)+1=3-q，∴N’(3-q, 2)，∵N’点在抛物线上，∴2=−(3−q)2+2(3−q)+3，解得q=2+√2（舍去）或2−√2，∴N′(1+√2,2)，综上，N点坐标为(1−√2,2)或(1+√2,2)．【点睛】本题考查了二次函数图象和几何知识的综合，待定系数法求函数解析式，求最大值，轴对称图形等，解决问题的关键是能综合运用所学的数学知识和利用几何知识解决函数问题．46．如图，二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0)．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点P′，当四边形POP′C为菱形时，求点P的坐标；(3)点P是抛物线上任意一点，过点P做PD⊥BC，垂足为点D．过点P作PQ∥x轴，与抛物线交于点Q．若PQ=√2PD，求点P的坐标．（2）先画出图形，再利用菱形的性质可得y P =y P ′=32,再列方程求解即可； （3）如图，过P 作PM∥y 轴交BC 于M,证明PM =PQ,设P(x,−x 2+2x +3),再分别表示PM,PQ, 最后建立方程求解即可．（1）解：∵ 二次函数y =ax 2+2x +c （a ≠0）的图象经过点C(0,3)，与x 轴点B(3,0)．∴{c =39a +6+c =0 ，解得：{a =−1c =3所以抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3.（2）解：如图，四边形POP ′C 为菱形，∴CO ⊥PP ′,CK =OK,PK =P ′K,∵C(0,3),∴OK =CK =32,∴y P =y P ′=32, ∴−x 2+2x +3=32, 解得：x =2±√102, ∵ 点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，∴x ＞0, 即x =2+√102,∴P(2+√102,32). （3）解：如图，过P 作PM∥y 轴交BC 于M, 则∠PMC =∠OCB,∵B(3,0),C(0,3),∴BC 的解析式为y =−x +3,∠OCB =45°,47．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），C两点，与y轴相交于点B，点M为线段AB上一点．(1)当b=−2时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若点N（－b－2，y N）是抛物线在第三象限内的点，有一点P（－5，0），当AP=AN时，求b的值；(3)在（1）的条件下，AM=2√2，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（1，-4）(2)4√2−5(3)（2，-3）或（-2，5）或（4，5）【分析】（1）根据点A（3，0），可得9+3b+c=0，再由b=−2，即可求解；（2）过点N作NQ⊥x轴于点Q，先求出点N（－b－2，-b-5），可得AQ=b+5，NQ=b+5，再由AP=AN，结合勾股定理，即可求解；（3）过点M作MD∥x轴于点D，可得到点M（1，-2），然后分三种情况讨论：若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，即可求解．(1)解∶∵抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），∴9+3b+c=0，∵b=−2，∴c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标为（1，-4）；(2)解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，∵抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），∴9+3b+c=0，∴c=-3b-9，∴抛物线解析式为y=x2+bx−3b−9，∵点N（－b－2，y N）是抛物线在第三象限内的点，∴y N=(−b−2)2+b(−b−2)−3b−9=−b−5，∴点N（－b－2，-b-5），∴AQ=b+5，NQ=b+5，∵点P（－5，0），AP=AN，∴AN=8，∴√(b+5)2+(b+5)2=8，解得：b=4√2−5或b=−4√2−5，∵点N（－b－2，y N）在第三象限，∴−b−2<0，即b>−2，∴b=4√2−5；(3)解：如图，过点M作MD∥x轴于点D，由（1）得抛物线的解析式为y=x2−2x−3，当x=0时，y=0，∴点B（0，3），∴OB=3，∵A（3，0），∴OA=3，∴AB=3√2，∵AM=2√2，∴BM=√2，∵MD∥x轴，∴△BDM∽△BOA，∴BDOB =DMOA=BMAB=√23√2，∴BD=1，DM=1，∴OD=2，∴点M（1，-2），设点E（0，m），若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE，则EF∥AM，∴点F（-2，-2+m），∴−2+m=4+4−3，解得：m=7，∴此时点F的坐标为（-2，5）；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF，则EF∥AM，∵点A（3，0），点E（0，m），点M（1，-2），∴点F（2，-2-m），∴−2−m=4−4−3，解得：m=1，∴此时点F的坐标为（2，-3）；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，设点P(x,y)，∴{3+12=x2−2 2=m+y2，解得：{x=4y=−m−2，∴−m−2=16−8−3，解得：m=-7，∴此时点P的坐标为（4，5），综上所述，点P的坐标为（2，-3）或（-2，5）或（4，5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．48．已知抛物线y=ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D．(1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；(2)当a>0时，点E（0，a），若DE=2DC，求a的值；(3)当a<-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，且取MN的中点记为P．当a为何值时，FP+DP的最小值为√17，并求此时点M ，N 的坐标． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（1，-2）(2)a =12(3)当a =−32，FP +DP 的最小值为√17，此时点M 的坐标为(−34,0)，点N 的坐标为(94,−1)【分析】（1）把a =1代入抛物线的解析式为y =x 2-2x +c ．根据抛物线经过点C （0，-1），求出c =-1，然后将抛物线解析式配方y =x 2-2x -1=(x -1)2-2即可；（2）根据题意，得抛物线的解析式为y =ax 2−2ax −1；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D 的坐标为(1，−a −1)；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，根据勾股定理和拓展一元一次方程的性质，得a =12，从而得到答案；（3）当a <-1时，根据点P 为 AN 的中点，可求P (m +32,−12)，作点D （1，-a -1）关于直线y =−12的对称点D ′(1,a)．当满足条件的点P 落在线段FD '上时，FP +DP 最小，根据FD ′2=17，即(1−2a )2+1=17．解方程求出点F 的坐标为(0,52)，点D′的坐标为(1,−32)．利用待定系数法求出直线FD′的解析式为y =−4x +52即可． （1）解：当a =1时，抛物线的解析式为y =x 2-2x +c ．∵抛物线经过点C （0，-1），∴c =-1．∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -1．∵y =x 2-2x -1=(x -1)2-2，∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）．（2）解：当a >0时，由抛物线y =ax 2-2ax +c 经过点C （0，-1），∴c =-1．∴抛物线的解析式为y =ax 2-2ax -1．可得抛物线的对称轴为x =1．当x =1时，y =-a -1．∴抛物线的顶点D的坐标为（1，-a-1）．过点D作DG⊥y轴于点G．在Rt△DEG中，DG=1，EG=a−(−a−1)=2a+1，∴ED2=DG2+EG2=(2a+1)2+1．在Rt△DCG中，DG=OG-OC=1，CG=−1−(−a−1)=a，∴DC2=DG2+CG2=1+a2．∵DE=2DC，即DE2=4DC2，∴(2a+1)2+1=4(1+a2)．解得a=12．（3）当a<-1时，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，∵点P为M、N的中点，∴点P(m+32,−12)，作点D（1，-a-1）关于直线y=−12的对称点D′(1,a)．当满足条件的点P落在线段FD'上时，FP+DP=FP+PD′最小，此时，FP+DP=FD′=√17．过点D′作D′H⊥y轴于点H．在Rt△FD′H中，D′H=1，FH=−a+1−a=1−2a，∴FD2=FH2+D′H2=(1−2a)2+1．又FD′2=17，即(1−2a)2+1=17．49．已知抛物线y =x 2+bx +c （b ，c 为常数，b <0）与x 轴交于点A (1,0)，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ．(1)当b =−2时，求抛物线的顶点坐标；(2)点P 是射线OC 上的一个动点①点D (−b,y 0)是抛物线上的点，当OP =3，AD =AP 时，求b 的值：②若点P在线段OC上，当b的值为−4时，求CP+2AP的最小值．【答案】(1)(1,0)(2)①−√5−1；②3+√3【分析】（1）把点A坐标代入解析式可求出c的值，然后把抛物线的解析化为顶点式即可求出顶点坐标．（2）①根据勾股定理求出AP2，根据点A在抛物线上求出b和c的关系式，然后用b来表示c，根据点D坐标和勾股定理求出AD2，然后根据AP=AD列出方程求解即可求出b的值．②在x轴负半轴上找一点M，使得∠OCM=30°，连接CM，过点P作PN⊥CM于N．根据垂线段最短可确定，当AN⊥CM时，CP+2AP取得最小值，根据抛物线解析式求出点C坐标，进而求出OC的长度，根据直角三角形的边角关系求出OM和CM的长度，最后根据三角形面积公式即可求解．(1)解：当b=-2时，抛物线的解析式为y=x2−2x+c．把A(1,0)代入抛物线解析式得0=12−2×1+c．解得c=1．所以抛物线的解析式为y=x2−2x+1=(x−1)2．所以抛物线的顶点为(1,0)．(2)解：①如下图所示．∵A(1,0)，∴OA=1．∵OP=3，∴AP2=OA2+OP2=10．把A(1,0)代入抛物线解析式得0=12+b×1+c．整理得c=−b−1．∴抛物线解析式为y=x2+bx−b−1．∵点D(−b,y0)是抛物线上的点，∴y0=(−b)2+b×(−b)−b−1=−b−1．∴D(−b,−b−1)．∴AD2=(−b−1)2+(−b−1)2=2(b+1)2．∵AD=AP，∴AD2=AP2．∴10=2(b+1)2．解得b1=√5−1（舍），b2=−√5−1．∴b的值为−√5−1．②如下图所示，在x轴负半轴上找一点M，使得∠OCM=30°，连接CM，过点P作PN⊥CM 于N．∵∠OCM=30°，PN⊥CM，CP．∴NP=12(CP+2AP)．∴NP+AP=12∴当NP+AP取得最小值时，CP+2AP取得最小值．∴当AP与NP共线时，即AN⊥CM时，NP+AP取得最小值为AN，即CP+2AP取得最小值．50．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，点D是第一象限的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点D作DE⊥AC于点E．①若DE=CE，求D点坐标；②过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点F，连接DC、DA，当△DEF的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点P，使S△PAC=S△ACD，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．的关系推出CD ∥OA ，求出点C 和D 的纵坐标都等于3，把y ＝3代入抛物线解析式y =−x 2+2x +3即可求出；②DF ⊥x 轴，得出DH ⊥OA ，证明△DEF 为等腰直角三角形，因为△DEF 的周长等于DE +EF +DF =(√2+1)DF ．有A(3,0)，C(0,3)，求出直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，设点D 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，F(m,−m +3)，则DF =−m 2+2m +3−(−m +3)，利用配方法研究最值．(1)解：把A(3,0)，B(−1,0)两点代入抛物线y =ax 2+bx +3则{9a +3b +3=0a −b +3=0， 解得{a =−1b =2． ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；(2)解：①连接CD ，当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∵OC ＝OA ＝3，∠AOC ＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠CAO ＝45°．∵DE ⊥AC ，DE ＝CE ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝45°，∴∠DCE ＝∠OAC ＝45°，即CD ∥OA ．∴点C 和D 的纵坐标都等于3．把y ＝3代入抛物线解析式y =−x 2+2x +3得，−x 2+2x +3=3，解得x 1=0（舍去），x 2=2，∴点D的坐标为（2，3）．②∵DF⊥x轴，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴DE=EF=√22DF则△DEF的周长等于DE+EF+DF=(√2+1)DF．∵A(3,0)，C(0,3)，∴直线AC的解析式为y＝－x＋3．设点D的坐标为(m,−m2+2m+3)，F(m,−m+3)，则DF=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=−(m−32)2+94．∴当m=32时，DF取得最大值，此时△DEF的周长取得最大值．点D的坐标为(32,154)．∵S△PAC=S△ACD，∴点P和D到直线AC的距离相等．容易得知点P和D重合时符合题意，此时P的坐标为(32,154)．作直线l和k都和直线AC平行，且到直线AC的距离都相等，则直线l的解析式为。

专题02 填空压轴之几何1．（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，60Ð=°，E为AB的中点，F为CE的中点，AFDAB与DE相交于点G，则GF的长等于 ．2．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD 的延长线上，且2DF=，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长CE=，1为 ．D的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中3．（2020•天津）如图，ABCDY的顶点C在等边BEF点，连接CG．若3==，则CG的长为 ．AD=，2AB CF4．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若5DE=，则GE的长为 ．5．（2018•天津）如图，在边长为4的等边ABC^于点F，D中，D，E分别为AB，BC的中点，EF AC G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．6．（2022•和平区一模）如图，已知A，P，B，C是Oe的半Ð=Ð=°，OAPC CPBe上的四个点，60径为1，则四边形APBC面积的最大值为 ．7．（2022•南开区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC，DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 ．8．（2022•红桥区一模）如图，以Rt ABCD的同侧作正方形ABED，设正方形D的斜边AB为一边，在ABC的中心为O，连接OC，若13AC=，则OC的长为 ．AB=，59．（2022•河西区模拟）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，点D ，E 分别是边CA ，CB 的中点，CAB Ð的平分线与DE 交于点F ，则CF 的长为 ．10．（2022•和平区二模）如图，已知90AED ACB Ð=Ð=°，3AC BC ==，1AE DE ==，点D 在AB 上，连接CE ，点M ，点N 分别为BD ，CE 的中点，则MN 的长为 ．11．（2022•西青区一模）如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 中点，连接AE ，过点C 作CF AE ^，交AE 的延长线于点F ，连接DF ，过点D 作DG DF ^交AF 于点G ．若2DF =．则正方形ABCD 的边长为 ．12．（2022•河北区一模）如图，点E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，连接AE ，BE ，BE 交对角线AC 于点F ，连接FD 交AE 于点G ，如果4DF =，那么AB 的长为 ．13．（2022•西青区二模）如图，在矩形ABCD中，CE平分BCDÐ，点M是AB边的中点，过点M作Ð，且MN=，则AE的长是 ．//MN CE交BC于点N，连接EM，若EM恰好平分AEC14．（2022•河东区一模）如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，F为边BC延长线上一点，且AE=，DG与EF交于点H，D的周长为8，1AE CFÐ=Ð，BEGBGE BFE=，点G为边BC上一点，且2连接CH，则CH的长为 ．Ð是锐角，AE BCAD=，AB B15．（2022•滨海新区一模）如图，在平行四边形ABCD中，2^于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若90Ð=°，则AE的长为 ．EFD16．（2022•天津一模）如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，G 为AE上的一点，且45Ð=°，则GF的长为 ．FGE17．（2022•东丽区一模）如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为6和2，点E，G分别在边BC，AB上，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 ．18．（2022•南开区二模）如图，Rt ABCAO=，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到==，1D中，3AB ACAE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为 ．19．（2022•红桥区二模）如图，在边长为7的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将ABED沿D，连接AC，与BF交于点G，则CG的长等于 ．BE翻折得到FBE20．（2022•和平区三模）如图，正方形ABCD和正方形BEFG，点F，B，C在同一直线上，连接DF，M是DF的中点，连接AM，若4BC=，AM=，则正方形BEFG的边长为 ．21．（2022•河西区一模）如图，边长为2的菱形ABCD 的顶点D 在等边EFA D 的边EA 上，点B 在FA 的延长线上，若D 为AE 的中点，连接FC ，则FC 的长为 ．22．（2022•河东区二模）如图，ABC D 与DEF D 均为等边三角形，点E ，F 在边BC 上，2BE CF EF ==，点D 在ABC D 内，且AG GD GE ===ABC D 的周长为 ．23．（2022•滨海新区二模）如图，正方形ABCD 的边长为E 是CD 边上一点，3DE CE =，连接BE 与AC 相交于点M ，过点M 作MN BE ^，交AD 于点N ，连接BN ，则点E 到BN 的距离为 ．24．（2022•河北区二模）如图，已知等边三角形ABC D ，点D ，E 分别在CA ，CB 的延长线上，且BE CD =，F 为BC 的中点，FG AB ^交DE 于点G ，4FG =，则CD = ．25．（2022•河西区二模）如图，在边长为4的等边ABC D 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，连接DE ，F为DE的中点，连接AF，则AF的长为 ．26．（2022•津南区一模）如图，在矩形ABCD中，10AD=，6AB=，E是BC边上一点，ED平分Ð，F为AE的中点，连接DF，则DF的长为 ．AEC27．（2022•天津二模）如图，在正方形ABCD中，点E，P分别是边AD，BC上的点，PE交AC于点F，PEA CEDÐ=Ð，DE，过点F作CE的垂线，分别交CE，CD于点H，G，则CG的值为 ．28．（2022•东丽区二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，90Ð=°，将Rt ABED绕A点逆时针方向AEBD，DF的延长线交BE于H点，若7旋转90°得到ADFBC=，则DH= ．BH=，1329．（2022•红桥区三模）如图，正方形纸片ABCD的边长为6，E是AD上一点．沿BE折叠该纸片，得点A的对应点为点F，延长EF交CD于点G，若G为CD的中点，则AE的长为 ．30．（2022•红桥区模拟）如图，在Rt ABCÐ=°，4BC=，点D，E分别在AC=，3D纸片中，90ACBD沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分AB，AC上，连结DE，将ADEÐ，则AD的长为 ．EFB。