2017-2018学年福建省三明市第一中学高二数学上期中考试(理)试题(附答案)

2017-2018学年第一学期三明市三地三校联考协作卷高二数学（文科）（满分150分，完卷时间120分钟）学校班级姓名座号一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则﹁p为( )A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n>1000C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n<10004．椭圆的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为( )．A.x2144＋y225＝1 B.x2144＋y2169＝1 C.x2169＋y225＝1 D.x2169＋y2144＝15．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝( )A.116 B.14 C.18 D.126. 已知双曲线C：2222x ya b＝1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )A．a B．b C.ab D.a2＋b27．已知f (x )＝x α，若()1f '-＝－4，则α等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5D ．－58. 与直线4x －y ＋3＝0平行的抛物线y ＝2x 2的切线方程是( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．4x －y －2＝0D ．4x －y ＋2＝09．函数f (x )＝ln xx 的单调递减区间是( )．A ．[0,1]B ．[1，＋∞)C ．[0，e]D ． [e ，＋∞)10. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定11．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(0，－1)C ．(0,1)D ．(1,0)12．已知函数f (x )＝13x 3＋x ，则不等式f (2－x 2)＋f (2x ＋1)>0的解集是( )A ．(－∞，－2－1)∪(2－1，＋∞)B ．(－1,3)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．－2－1，2－1)二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“若x ＝5，则x 2－8x ＋15＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有 个。

高二理科数学月考二考前训练卷班级__________座号__________姓名__________一、选择题（每小题5分,共60分）1。

已知集合{1,2,3,4,5,6}A =，{3,4,5,6,7,8}B =,在集合A B 中任取一个元素，则该元素是集合A B 中得元素得概率为（ ） A.16 B.37C 。

58 D.12 2.已知,a b R ∈，则“ln ln a b >”是“11()()33a b<”的（ ）A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知抛物线C ：2y x =与直线l :1y kx =+，“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的( ) A 。

充分不必要条件B 。

必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.以双曲线221412x y -=-的焦点为顶点，顶点为焦点得椭圆方程为（ ） A 。

2211612x y += B.2211216x y += C.221164x y += D.221416x y += 5.以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.3[0,][,)44πππ B.[0,)π C.3[,]44ππD 。

3[0,](,]424πππ 6。

已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ）A 。

2x y =±B 。

2y x =±C 。

4x y =± D.4y x =± 7。

对于空间任意一点O 和不共线得三点A 、B 、C ，由如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ） A 。

四点O 、A 、B 、C 必共面B.四点P 、A 、B 、C 必共面C.四点O 、P 、B 、C 必共面D.五点O 、P 、A 、B 、C 必共面8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点,P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是（ ）A.{}2π B 。

三明一中2019届高二数学周测（五）班级__________ 姓名__________ 座号__________一、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )．A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122． 一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为 ( )．A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝13．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0，1)4．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝05.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰有8个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为直角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，22 C.⎝⎛⎭⎫2，1 D.⎣⎡⎭⎫2，1 二、填空题 6．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于 . 7．已知椭圆的长轴长等于20，离心率等于35，则它的标准方程为 .8．经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则弦长||AB = .三、解答题9. 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点， 已知椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积．10．如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP 与AQ的斜率之和为2.。

三明一中2017-2018学年度上学期高二学段考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“x R ∀∈，cos 1x ≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，cos 1x > B ．x R ∃∈，cos 1x > C ．x R ∀∉，cos 1x >D ．x R ∃∈，cos 1x ≤2.利用秦九昭算法求多项式54()6531f x x x x =++++…在2x =时的值时，下列说法正确的是（ ） A ．先求321⨯+ B ．625⨯+ C ．先求562⨯D ．直接求解54(2)6252321f =⨯+⨯++⨯+…3.与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是（ ） A ．若a M ∉，则b M ∉ B ．若b M ∉，则a M ∈ C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉4.已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||2PA PB +=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．线段D ．射线5.设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.椭圆22236x y +=的焦距是（ ）A ．2B ．C ．D ．7.已知一组数据m ，4，2，5，3的平均数为n ，且m ，n 是方程2430x x -+=的两根，则这两组数据的方差为（ ）A ．10BC ．2 D8.古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A ．336B ．510C ．1326D ．36039.在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于2S的概率是（ ） A ．14B ．34C ．12D ．2310.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）A ．224412125x y -= B ．224412125x y += C ．224412521x y -= D ．224412521x y += 11.已知椭圆的两焦点分别为1F ，2F ，一短轴的端点为P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．2B ．12C ．2D 112.已知两点(3,0)M -，(3,0)N ，给出下列曲线：①50x y -+=；②2240x y +-=；③2y x =；④22(6)(4)1x y -+-=；⑤221916y x -=，在所给的曲线上存在点P 满足||||10MP NP +=的曲线方程有（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①③⑤D ．①④⑤第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是 ．14.已知(4,2)是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则l 的方程是 ． 15.某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为 ． 16.有下列四种说法：①x R ∀∈，2230x x -+>均成立；②若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“若0a b >>，则110b a>>”的逆否命题是真命题；④“1a =”是“直线0x y +=与直线0x ay -=互相垂直”的充分条件． 其中正确的命题有 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知p ：26160x x --≤，q ：22m x m -≤≤+（0m >）．（1）若5m =，p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18.某举重运动队为了解队员的体重分布情况，从50名队员中抽取10名作调查．抽取时现将全体队员随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，每组抽一名，且各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽取出来的编号；（2）分别统计被抽取的10名队员的体重（单位：公斤），获得如图所示的体重数据的茎叶图，根据茎叶图求该样本的平均数和中位数；（3）在题（2）的茎叶图中，从题中不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，求体重为81公斤的队员被抽到的概率．19.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量在[220,240)，[240,260)，[260,280)的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？20.已知椭圆C 的两焦点为1(F ，2F ，P 为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若已知直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆C 有公共点？ （3）若1290F PF ∠=︒，求12PF F ∆的面积． 21.设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（1）若a 从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[]0,3上任取的一个数，b 是从区间[]0,2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．三明一中2017-2018学年度上学期高二学段考试文科数学试卷答案一、选择题1-5:BBDCA 6-10:ACBCD 11、12：AC 二、填空题 13. 3 14.280x y +-= 15.2516.1,3,4 三、解答题17.解：解不等式26160x x --≤，得28x -≤≤．（1）∵5m =，∴命题q ：37x -≤≤， 又命题p 、q 中一真一假， ①若p 真q 假，则28,37,x x x -≤≤⎧⎨<->⎩或解得78x <≤；②若p 假q 真，则28,37,x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或解得32x -≤<-．综上，实数x 的取值范围是[3,2)(7,8]-- ．（2）令{}{}||28P x p x x ==-≤≤，{}{}||22,0Q x q x m x m m ==-≤≤+>， ∵p 是q 的充分条件， ∴p Q ⊆，∴22,28,m m -≤-⎧⎨+≥⎩解得4,6,m m ≥⎧⎨≥⎩∴6m ≥，即实数m 的取值范围是[6,)+∞．18.解：（1）依题意若第5组抽出的号码为22，则所有被抽出的队员编号为： 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47（2）由茎叶图数据可求得该样本的平均数为：817073767879626567597110+++++++++=（公斤），中位数为707371.52+=（公斤）． （3）设“体重为81公斤的队员被抽到”为事件A ，若从体重不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，所有可能的情况如下：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)共10种，且每种被抽到的可能性相同，又体重为81公斤的队员被抽到的情况有：(73,81)，(76,81)，(78,81)，(79,81)共4种，所以由古典概型的概率公式有42()105P A ==． 答：体重为81公斤的队员被抽到的概率为25． 19.解：（1）由直方图的性质，可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=，的0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075． （2）月平均用电量的众数是2202402302+=． 因为(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<， 所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=，得224a =， 所以月平均用电量的中位数是224．（3）月平均用电量为[]220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.00752010015⨯⨯=户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0.0052010010⨯⨯=户， 抽取比例1012515105==++，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户． 20.解：（1）∵椭圆的焦点是1(F和2F ，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，∴设所求的椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∴依题意有c =3a =，∴222237b a c =-==，∴所求的椭圆方程为22197x y +=． （2）由221,97,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2216189630x mx m ++-=， 由22(18)416(963)0m m ∆=-⨯-≥得216m ≤，则44m -≤≤， ∴当[]4,4m ∈-时，直线与椭圆C 有公共点．（3）∵点P 是椭圆22197x y +=上一点， ∴由椭圆定义有12||||26PF PF a +==，① 又12F PF ∆中，1290F PF ∠=︒，∴由勾股定理有2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||8PF PF +=，②①2-②，得12||||14PF PF =，∴12121||||72F PF S PF PF ∆=⋅=． 21.解：若方程2220x ax b ++=有实根，则22(2)40a b ∆=-≥，即22a b ≥．（1）设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件A ，∵a 从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，∴记(,)a b 为所取两数的一个组合，则所有可能的取法有：(0,0)，(0,1)，(0,2），(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共12种且每种均等可能被抽到，其中满足条件22a b ≥的有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共9种，∴93()124P A ==． 答：方程2220x ax b ++=有实根的概率为34． （2）设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件B ，∵a 从区间[]0,3上任取的一个数，b 是从区间[]0,2上任取的一个数， ∴记(,)a b 为所取两数的一个组合，则03a ≤≤，02b ≤≤， ∴点(,)a b 所在的区域为如图所示的矩形， 又条件22a b ≥可化为a b ≥，即0a b -≥，∴满足条件0a b -≥的点(,)a b 所在的区域为如图所示的阴影部分区域∴1(13)222()63OABD OABCS P B S ⨯+⨯===梯形矩形．答：方程2220x ax b ++=有实根的概率是23． 22.解：（1）由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b =，又b ==24a =，23b =，故椭圆的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-，由221,43(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=， 由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->，得214k <， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+，①∴222212121212(4)(4)4()16y y k x x k x x k x x k =--=-++，∵22222121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+-⋅+=-+++ ，又∵2104k ≤<，28787873434k -≤<-+，则13[4,)4OA OB ⋅∈- ， ∴OA OB ⋅ 的取值范围是13[4,)4-．（3）证明：∵B ，E 两点关于x 轴对称，∴设22(,)E x y -， 直线AE 的方程121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得112112()y x x x x y y -=-+，又11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，∴12121224()8x x x x x x x -+=+-，将①代入上式并整理得1x =， ∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．。

=-福建省三明市第一中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文（ 参考公式： s2 = 1 [(x- x)2 + ( x- x)2 + + ( x- x)2 ]n 1 2 n（总分 150 分，时间：120 分钟）一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求）1．下列赋值语句正确的是（ ）A ． x + 3 = y - 2B ． m = m + 1C ． m - n = 2D ． 5 = x2．命题“ ∀x ∈ R ， x2 ≠ x ”的否定是( )A ． ∀x ∉ R ， x2 ≠ xC ． ∃x ∉ R ， x2 ≠ xB ． ∀x ∈ R ， x2 = xD ． ∃x ∈ R ， x2 = x3．抛物线 y1 x2 的准线方程是( ) 8A ． x = 132C ． y = 132B ． y = 2D ． y = -24．设 x ∈ R ，则“ x > 1 ”是“ x3 > 1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为，那么表中 t 的值为(2 ) A ．3B ．3．15C ．3．5D ．4．5x 2 y 26．椭圆 +16 m= 1 的焦距为 27 ，则 m 的值为（ ）A ． 9B ． 23C ． 9 或 23D ．16 -7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框 内应填入的条件是（ ）7或16 + 7A ．i > 10B ．i < 10C ．i > 20D ． i < 208．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事 件是（ ）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个红球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个红球D ．至少有一个黑球与都是红球9．已知对 k ∈ R ，直线 2kx - y + 1 = 0 与椭圆 x9y2+ = 1恒有公共点，则实数 m 的取值范围（ ）mA ． (1, 9]B ． [1, +∞)C ． [1, 9) (9, +∞)D ． (9, +∞)10．某人 5 次上班途中所花的时间(min)分别为 x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为 10，方差为 2， 则|x －y|的值为( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4x 2 y 211．双曲线 -a 2b 22 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y =4 x ，则双曲线的离心率为（ ）3A ． 5B ． 4C ． 5D ． 33 34 212．过抛物线 x 2 = 8 y 上的动点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 M ，又点 A(4,1) ，则 | PA | + | PM | 的最小值 为（ ）A ． 17 - 4B ． 17 - 2C ． 17 + 2D ． 17 + 4第 II 卷（非选择题，共 90 分）二．填空题（共 4 小题 ，每小题 5 分，共 20 分，请．把．答．案．写．在．答．题．卡．上．）：13．如图所示，在边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中2随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为 ．314．由辗转相除法可以得到 390，455，546 三个数的最大公约数是 ．15．一个总体中的 100 个个体的编号分别为 0,1,2,3，…，99，依次将其分成 10 个小段，段号分别为0,1,2，…，9．现要用系统抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 0 段随机抽取的号码为 l ， 那么依次错位地取出后面各段的号码，即第 k 段中所抽取的号码的个位数为 l ＋k 或 l ＋k －10(l ＋k≥10)，则 当 l ＝6 时，所抽取的第 10 个号码是 ．16．已知两点 M (-3,0), N (3,0) ，给出下列曲线：① x - y + 5 = 0 ；② 2x + y - 24 = 0 ；③ y 2 = 2x ；④ (x - 6) 2 + ( y - 4) 2 = 1；⑤ y - x= 1 ，在所给的曲线上存在点P 满足| MP | + | NP |= 10 的曲线方9 16程有．（填写相应序号）三．解答题（本大题共6 小题，共70 分，其中17 题为10 分，其余为12 分):17．（本小题10 分）设命题p ：实数x 满足x2 - 4ax + 3a2 < 0（a > 0 ），命题q ：实数x 满足 2 < x ≤ 3 ，（1）若 a = 1 ，且p ∧ q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．18．（本小题12 分）已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．19．（本小题12 分）某校从高二年段学生中随机抽取60 名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分为六段：[40, 50)，[50, 60)，…．，[90,100]后得到如下图所示的频率分布直方图。

【全国百强校】福建省三明市第一中学2020-2021学年高二下学期综合练习6数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数15i 5i z +==-( ) A ．1i -+ B ．i C ．1i -- D ．i - 2．函数()x f x e =在0x =处的切线方程为( )A ．1y x =+B ．21y x =+C ．1y x =-D ．21y x =- 3．某随机变量ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>,若在(0,2)内取值的概率为0.6则ξ在(0,1)内取值的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.3 4．函数()219ln 2f x x x =-，在区间[]1,1m m -+上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2m ≤B ．4m ≥C ．12m <≤D ．03m <≤ 5．6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．3160xB ．2120xC ．480xD ．620x 6．若复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则a 的取值范围是A ．1a ≠-或2a ≠B ．且C ．1a ≠-D ． 7．用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数,比2340小的四位数共有( ) A ．20个 B ．32个 C ．36个 D ．40个 8．己知随机变量ξ的分布列为1(),1,2,33P k k ξ===,则(23)D ξ+等于( ) A ．23 B ．43 C ．2 D ．839．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特( Benoit.Mandelbrot )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是( )A ．55个B ．89个C ．144个D ．233个10．已知m =-n =3a ≥,则,m n 的大小关系为( )A ．m n >B ．m n =C ．m n <D ．大小不确定 11．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t -=++20182018a x ++,则 1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．25612．设函数()f x 是(,0)-∞上的可导函数其导函数为()f x ',且有2()()0f x xf x '+>,则不等式2(2016)(2016)x f x ++9(3)0f -->的解集为( )A ．(,2013)-∞-B ．(2016,0)-C ．(,2019)-∞-D ．(2019,0)-二、填空题 13．曲线()2(0)f x x x =>在点()(),a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值为_____________.14．某六个人选座位已知座位分两排各有3个，其中甲、乙两人的关系较为亲密,要求在同排且相邻，则不同的安排方法的种数为_____________.15．圆的某些性质可以类比到椭圆和双曲线中已知命题“直线l 与圆222x y t +=交于,A B 两点AB 的中点为M 若直线AB 和OM (O 为坐标原点)的斜率均存在,则1AB OM k k =-”,类比到椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中有命题“直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点AB 的中点为M 若直线AB 和OM (O 为坐标原点)的斜率均存在，则AB OM k k =_____________.16．若()f x '为定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()3f x y '=的图象如下图所示,则()y f x =的单调递增区间是_____________.三、解答题17．已知函数()1n()f x x m x =+-(m 为常数)在0x =处取得极值.(Ⅰ)求实数m 的取值； (Ⅱ)求当1[,)2x ∈-+∞时，函数2()()g x f x x =-的最大值. 18．校运动会高二理三个班级的3名同学报名参加铅球、跳高、三级跳远3个运动项目，每名同学都可以从3个运动项目中随机选择一个,且每个人的选择相互独立.(1)求3名同学恰好选择了2个不同运动项目的概率；(Ⅱ)设选择跳高的人数为ξ试求ξ的分布列及数学期望.19．随着IT 业的迅速发展计算机也在迅速更新换代,平板电脑因使用和移动便捷以及时尚新潮性，而备受人们尤其是大学生的青睐,为了解大学生购买平板电脑进行学习的学习情况,某大学内进行了一次匿名调查,共收到1500份有效问卷.调查结果显示700名女学生中有300人,800名男生中有400人拥有平板电脑.(Ⅰ)完成下列列联表：(Ⅱ)分析是否有99%的把握认为购买平板电脑与性别有关?附:独立性检验临界值表:(参考公式:22(-)()()()()n ad bc x a b c d a c b d =++++,其中n a b c d =+++)20．某公司为确定下一年度投人某种产品的宣传费,需了解年宣传费x 对年销售额(单位:万元)的影响,对近6年的年宣传费i x 和年销售额()1,2,,6i y i =数据进行了研究,发现宣传费i x 和年销售额i y 具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.(I)根据表中数据建立y 关于x 的回归方程；(Ⅱ)利用(I)中的回归方程预测该公司如果对该产品的宜传费支出为10万元时销售额是n 万元,该公司计划从10名中层管理人员中挑选3人担任总裁助理,10名中层管理人员中有2名是技术部骨干,记所挑选3人中技术部骨干人数为ξ且随机变量40n ηξ=+,求η的概率分布列与数学期望.附:回归直线的倾斜率截距的最小二乘估计公式分别为: ()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑,ˆˆa y bx =- 21．已知函数()1n f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程;（2）若关于x 的不等式()21322f x x ax -≤+在()0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围.22．选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,过点(2,1)P的直线2:1x l y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 相交于,M N 两点.(I)试写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;(Ⅱ)求||||PM PN ⋅的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()22222f x x a x a=-++-．（Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x <；（Ⅱ）若对于任意非零实数a 以及任意实数x ，不等式()2f x b x a >--恒成立，求实数b 的取值范围．参考答案1．B【解析】分析：，复数的除法运算公式，化简整理，得出z ， 详解：()()15515i 526i i i z i +-+===-，故选B 点睛：复数的除法运算公式()()22c di ac bd ad bc i z a bi a b ++-+==++。

2017-2018学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．|a|＜|b|D．2a＞2b2．（5分）设M（0，5），N（0，﹣5），△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P 的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，公差d=2，S k+1﹣S k=13，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，a6=8，则a3a4a5=（）A．±64 B．64 C．32 D．165．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；q：函数的最小值为4．则p ∧¬q为真C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则sinA=sinB”的逆命题为假命题．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5 B．3 C．2 D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（）A．9 B．12 C．18 D．249．（5分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）已知数列{a n}满足a1=25，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=4，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．36二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=|P B|，则点P的轨迹所围的面积等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+1+a n=（n+1）cos，S n是数列{a n}的前n项和，若S2017+m=1012，且a1m＞0，则的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p或q为真，p且q为假，求k的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S11=66．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求证：b1+b2+…+b n＜1．19．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BD为AC边上的中线，BE为∠ABC的平分线，cosA=，BD=，求△BDE的面积．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．21．（12分）已知动圆C过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当tan α•tan β=1时，求证直线AB恒过一定点M，并求M坐标．22．（12分）已知O为坐标原点，点E，F的坐标分别为，点P，N满足，过点N且垂直于PF的直线交线段PE于点M，设点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与C相交于A，B两点，原点O到直线l的距离为1．求△AOB面积的取值范围．2017-2018学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．|a|＜|b|D．2a＞2b【解答】解：∵a＞b＞0，∴2a＞2b，故选：D．2．（5分）设M（0，5），N（0，﹣5），△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P 的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）【解答】解：根据题意，M（0，5），N（0，﹣5），则|MN|=10，若△MNP的周长为36，则|PM|+|PN|=26，则顶点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其中2a=|PM|+|PN|=26，则a=13，c=5，则b==12，则椭圆的方程为：+=1，即顶点P的轨迹方程是：+=1，故选：B．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，公差d=2，S k+1﹣S k=13，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．8=S k+1﹣S k=13，【解答】解：由题意可得a k+1=a1+kd，代入数据可得13=1+2k，∴a k+1解得k=6故选：B．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，a6=8，则a3a4a5=（）A．±64 B．64 C．32 D．16【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，a6=8，∴由等比数列的性质，知，∵a2，a4，a6同号，∴a4=4，∴a3a4a5=．故选：B．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；q：函数的最小值为4．则p ∧¬q为真C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则sinA=sinB”的逆命题为假命题．【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，△=4a2+4＞0，∴方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，p是真命题；x＞0时x+≥4，x＜0时x+≤﹣4，∴函数的最小值为4错误，q是真命题；∴p∧¬q为真命题，B正确；对于C，命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，∴C错误；对于D，命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则sinA=sinB”的逆命题是“A、B为一个三角形的两内角，若sinA=sinB，则A=B”，它是真命题．在△ABC中，A=B⇔a=b⇔sinA=sinB，∴D错误．故选：B．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．故选：A．7．（5分）已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5 B．3 C．2 D．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，即|AM|min=．故选：D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（）A．9 B．12 C．18 D．24【解答】解：∵a＞0，b＞0，不等式+≥恒成立，∴．∵=6+=12，当且仅当a=3b时取等号．∴m的最大值为12．故选：B．9．（5分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=25，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a1=25，a n+1﹣a n=2n，即a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2+25=25+n （n﹣1），则=+（n﹣1）=+n﹣1，分析可得：当n=5时，有最小值，且最小值为9；故选：D．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=4，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．准线方程为x=﹣1，设不妨设A在第一象限，设A（x1，y1）、B（x2，y2），∵|AF|=4∴x1+1=4，解得x1=3，∴y1=2，∴直线AB的斜率为=∴直线AB的方程为y=（x﹣1），由，整理可得3x2﹣10x+3=0，解得x1=3，x2=当x2=时，y2=，因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=×1×2+×1×=．故选：C．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．36【解答】解：∵1+=，∴1+====，可得cosA=，A∈（0，π），∴．∴=2=，∴b+c=（sinB+sinC）=（sinB+sin）=6sin，B+∈，∴b+c≤6，当且仅当B==C时取等号．故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=|P B|，则点P的轨迹所围的面积等于8π．【解答】解：设P（x，y），则|AP|=，|PB|=，由|PA|=|P B|，得=，两边平方得：（x﹣3）2+y2=8．∴点P的轨迹是以（3，0）为圆心，以为半径的圆，围成的图形的面积为．故答案为：8π．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1﹣1．=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）【解答】解：由题意知a n+1∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n﹣1=2n+1，∴a n=2n+1﹣1．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+1+a n=（n+1）cos，S n是数列{a n}的前n项和，若S2017+m=1012，且a1m＞0，则的最小值为1．+a n=（n+1）cos，【解答】解：数列{a n}满足a n+1可得a2+a3=3cosπ=﹣3，a4+a5=5cos2π=5，a6+a7=7cos3π=﹣7，…，a2016+a2017=2017cos1008π=2017，则S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017）=﹣3+5﹣7+9﹣…+2017=1008，又S2017+m=1012，所以a1+m=4，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，则+m=（a1+m）（+m）=（2++）≥（2+2）=1．当且仅当a1=m=2时，取得最小值1．故答案为：1．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p或q为真，p且q为假，求k的取值范围．【解答】解：当p为真时，k＞4﹣k＞0，即2＜k＜4；当q为真时，（k﹣1）（k﹣3）＜0，即1＜k＜3；若p或q为真，p且q为假，则p和q有且只有一个为真命题，则（1）若p为真q为假，则，即3≤k＜4；（2）q为真p为假，则，即1＜k≤2；∴综上所述，若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围是1＜k≤2或3≤k ＜4．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S11=66．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求证：b1+b2+…+b n＜1．【解答】解：（Ⅰ）因为S11=11a6，所以a6=6，设公差为d，则a6﹣a2=4d，所以d=1，所以a n=a2+（n﹣2）d=n．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知．所以=所以b1+b2+…+b n＜1．19．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BD为AC边上的中线，BE为∠ABC的平分线，cosA=，BD=，求△BDE的面积．【解答】解：（Ⅰ）2bcosC﹣c=2a，由正弦定理得：2sinBcosC﹣sinC=2sinA，∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，即2sinBcosC﹣sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），得﹣sinC=2cosBsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理得：=c2+﹣2c•cosA，∴，①由已知得sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．在△ABC中，由正弦定理，∴c=b，，②，由①②解得b=14，c=6，a=10．=bcsinA=15．∴S△ABC又BE为∠ABC的平分线，，AE+EC=14，则，AD=7，ED=，=，∴．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣2，﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．21．（12分）已知动圆C过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当tan α•tan β=1时，求证直线AB恒过一定点M，并求M坐标．【解答】（Ⅰ）解：设动圆圆心M（x，y），依题意，点M的轨迹是以（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，故其方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2且x1x2≠0，则x1=，x2=，∴直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+b，则将y=kx+b与y2=4x联立消去x，得ky2﹣4y+4b=0，由根与系数关系得y1+y2=，y1y2=，∵tan α•tan β=1，∴，则x1x2﹣y1y2=0，∴，解得y1y2=16，又y1y2=，∴b=4k，因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k，∴直线AB恒过定点M（﹣4，0）．22．（12分）已知O为坐标原点，点E，F的坐标分别为，点P，N满足，过点N且垂直于PF的直线交线段PE于点M，设点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与C相交于A，B两点，原点O到直线l的距离为1．求△AOB 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），∴N为PF的中点，则MN为PM的中垂线，∴|PM|=|MF|，∴|PE|=|PM|+|ME|=|MF|+|ME|=4＞|EF|=2，∴M在以E，F为焦点的椭圆上，2a=4，a=2，，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹为．…（4分）（Ⅱ）法一：依题意知直线l的斜率不为0，故设l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．由原点O到直线l的距离为1，得，…（5分）将x=ty+m代入中，得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0，△=16（t2﹣m2+4）＞0，，…（7分）|AB|==又∵m2=1+t2代入上式得：，…（9分）所以△AOB的面积=，令，则S△AOB=，当且仅当时等号成立且满足△＞0，此时（S）max=1，所△AOB以S∈（0，1]．…（12分）△AOB法二：当直线l的斜率不存在时，依题意得l：x=1或x=﹣1，则x2=1，代入椭圆方程得：，此时，，…（5分）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，（k≠0），A（x 1，y1），B（x2，y2）．由原点O到直线l的距离为1，得，…（6分）将y=ky+b代入中，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣4=0，△=16（4k2﹣b2+1）＞0，，…（8分）|AB|==，又∵b2=1+k2代入上式得：|AB|=，…（10分）所以△AOB的面积=，=，令，则S△AOB当且仅当时等号成立且满足△＞0，此时（S）max=1，△AOB∈（0，1]．…（12分）所以S△AOB。

福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生A．1030人B．97人C．950人D．970人2.把11化为二进制数为( ).A．1 011(2)B．11 011(2)C．10 110(2)D．0 110(2)3.已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4B．5C．6D．74.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7B．6C．5D．46.某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A．B．C．D．7.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A．B．C．D．8.在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（）A．B．C．D．9.今天为星期四，则今天后的第天是（）A．星期二B．星期三C．星期四D．星期五10.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )A. B. C. D.11.有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（）A.0.59B.0.54C.0.8D.0.15二、填空题1.的展开式中，x4的系数是________.(用数字作答)2.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________3.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，则[70，80)段有名学生。

一、单选题1．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．)(12nn a n =-)(112n n a n +=-)(12nn n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，， 11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为， 1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 2．在等比数列中，，则 {}n a 24681,4a a a a +=+=2a =A ．2 B ．4C ．D ．1213【答案】D【分析】设等比数列{an }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为，解得. ()42468241,4a a a a a a q +=+=+=22q =因为，所以.选D. ()224211a a a q +=+=213a =【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） ()1,0A (4,B -A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为 AB k ==设直线的倾斜角为，则 AB θtan θ=又， 0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为． AB 120︒故选：C4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） ()1,0A -()3,4B -A ． B ． ()()22128x y ++-=()()22128x y -++=C ． D ．()()221232x y ++-=()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，，的中点为， ()1,0A -()3,4B -()1,2-又圆的半径为12r AB ===故圆的方程为． ()()22128x y -++=故选：B ．5．某直线l 过点，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） (3,4)B -A ．B ．C ．或D ．或43-12-4312-43-12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为，代入点，则，解得，y kx =(3,4)B -43k =-43k =-当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得，12x y m m +=(3,4)B -3412m m-+=52m =所以所求直线的方程为，即，1552x y+=250x y +-=综上，该直线的斜率是或．43-12-故选：D6．直线的一个方向向量为（ ） 230x y +-=A ． B ．C ．D ．()2,1()1,2()2,1-()1,2-【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量. 【详解】直线的一个法向量为，230x y +-=()2,1设直线一个方向向量为，则有， (),a b 20a b +=故只有D 满足条件. 故选：D.7．对于任意的实数，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） k 1y kx k =-+P P A ． B ．C ．D ．()1,1--()1,1-()1,1-()1,1【答案】D【分析】令参数的系数等于，即可得的值，即为定点的坐标. k 0,x y P 【详解】由可得， 1y kx k =-+()11y k x -=-令可得，此时， 10x -=1x =1y =所以直线恒过定点， 1y kx k =-+()1,1P 故选：D.8．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ） P 22(1)2x y -+=P 3y x =+A B ．1C D ．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半P 3y x =+径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径到直线的距离22(1)2x y -+=(1,0)r =(2,0)30x y -+=为到直线的最短距离为圆心到直线d P 3y x =+的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． P 20l x y -+=:=故选：C ．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） 210x y +-=A ． B ． 210x y -+=210x y -+=C ． D ．2410x y -+=4210x y -+=【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项. 【详解】直线的斜率为，210x y +-=2-直线、直线的斜率为，不符合题意. 210x y -+=4210x y -+=2直线、直线的斜率为，符合题意. 210x y -+=2410x y -+=12故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．直线必过定点 ()2R y ax a a =-∈()2,0B ．直线在轴上的截距为1 13y x +=yC ．直线的倾斜角为10x +=120 D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】AD【分析】A 将方程化为点斜式即可知所过定点；B 令求截距；C 由方程确定斜率，根据斜率与0x =倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D 计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.【详解】A ：由直线方程有，故必过，正确； ()2y a x =-()2,0B ：令得，故在轴上的截距为－1，错误；0x =1y =-yC ：由直线方程知：斜率为，错误； 150︒D ：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入210x y ++=230x y -+=12,2-1212-⨯=-()2,3-方程，故正确. 2(2)310⨯-++=故选：AD11．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2【答案】BD【分析】对进行分类讨论，结合截距相等求得，进而求得直线的斜率. a a l 【详解】时，，不符合题意. 0a =:2l y =时，直线过， 0a ≠l ()20,2,,0a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭依题意，22aa a++=解得或.2a =-1a =当时，，直线的斜率为. 2a =-:2l y x =2当时，，直线的斜率为.1a =:3l y x =-+1-故选：BD12．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（ ） {}n a n n S 120S >130S <A ．， B ．与均为的最大值 C ． D ．10a >0d <5S 6S n S 670a a +>70a <【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质，，可得 ，()()11267121212=22++=a a a a S 670a a +>可得 ，，再根据等差数列的单调性判断。

2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．命题“x R ∀∈， cos 1x ≤”的否定是（ ） A. x R ∀∈， cos 1x > B. x R ∃∈， cos 1x > C. x R ∀∉， cos 1x > D. x R ∃∈， cos 1x ≤ 【答案】B【解析】命题“x R ∀∈， cos 1x ≤”的否定是x R ∃∈， cos 1x >,故选B.点睛: (1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.2．利用秦九昭算法求多项式()546531f x x x x =++⋯++在2x =时的值时，下列说法正确的是（ ）A. 先求321⨯+B. 625⨯+C. 先求562⨯ D. 直接求解()5426252321f =⨯+⨯+⋯+⨯+【答案】B【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成以下形式: ()546531f x x x x =++⋯++=()()65...31x x x ++++,则012,625v v ==⨯+,故选B.3．与命题“若，则”等价的命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：由题意得，互为逆否的两个命题为等价命题，所以命题命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以是等价命题，故选D ．【考点】四种命题．4．已知两定点()1,0A -， ()1,0B ，动点P 满足2PA PB +=，则动点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 线段D. 射线 【答案】C【解析】动点P 满足2AB PA PB +==,则动点P 的轨迹是()011x x =-≤≤,即线段AB,故选C.5．设，，均为直线，其中，在平面内，则“”是“且”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，均为直线,在平面内，所以，时，且；反之，且，不一定有，因为，不一定是相交直线，故选A.【考点】1.立体几何的垂直关系;2.充要条件的概念. 6．椭圆22236x y +=的焦距是（ ）A. 2B. 2C.D. 2【答案】A【解析】椭圆的标准方程为22132x y +=,222321c a b =-=-=,则焦距2c=2,故选A. 7．已知一组数据m ， 4， 2， 5， 3的平均数为n ，且m ， n 是方程2430x x -+=的两根，则这组数据的方差为（ ）A. 10B.C. 2D. 【答案】C【解析】方程()()243x 3x 10x x -+=--=的两根为x=3或x=1,又这组数据的其它值都大于1,故m=1,n=3,则()()()()()2222221134323533325S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦,故选C. 8．古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A. 336B. 510C. 1326D. 3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.【考点】1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9．在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于2S的概率是（ ） A.14 B. 34 C. 12 D. 23【答案】C【解析】设事件A={ PBC ∆的面积大于2S},基本事件是线段AB 的长度,如图所示,因为PBC ∆的面积大于2S ,则有12P E A D >, //PE AD ,则由三角形的相似得12BP AB >, ∴事件A 的几何度量为线段AP 的长度,故PBC ∆的面积大于2S的概率是12,故选C.点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．10．设圆()22125x y ++=的圆心为C ， ()1,0A 是圆内一定点， Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）A.224412125x y -= B. 224412125x y += C. 224412521x y -= D. 224412521x y += 【答案】D【解析】圆心()1,0C -,半径为5,设点(),M x y ,AQ 的垂直平分线交CQ 于,M MA MQ ∴=,又5MQ MC AC +=>,由椭圆的定义可得点M 是以A,C 为焦点的椭圆,且25,1,a c b ==∴=故椭圆方程为224412521x y +=,故选D. 点睛: 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)；(4)参数法．11．已知椭圆的两焦点分别为，，一短轴的端点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：解：设点P 在x 轴上方，坐标为()，∵为等腰直角三角形,∴|PF 2|=|F 1F 2|，,故选D.【考点】椭圆的简单性质点评:本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a ，b ，c 和e 的关系12．已知两点()3,0M -， ()3,0N ，给出下列曲线：①50x y -+=；②2240x y +-=；③2y x =；④()()22641x y -+-=；⑤221916y x -=，在所给的曲线上存在点P 满足10MP NP +=的曲线方程有（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①④⑤ 【答案】C【解析】两点()3,0M -， ()3,0N ，点P 满足106MN MP NP +=>=,则点P的轨迹为以M,N 为焦点的椭圆, 210,26a c ==,22216b a c ∴=-=,即椭圆方程为2212516x y +=;又曲线①③⑤与该椭圆相交,曲线④与椭圆无交点,故选C.二、填空题13．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．【答案】3【解析】根据伪代码所示的顺序,程序中各变量的值如下: 循环前:n=5,s=0;第一次循环:s=5,n=4; 第二次循环:s=9,n=3;输出此时的n 值为3,故填3.14．已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是__________．【答案】【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k ，则直线l 的方程为 y-2=k （x-4），即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k 2）x 2+（16k-32 k 2）x+64 k 2-64k-20=0，∴，解得 k=-，故直线l 的方程为 x+2y-8=0【考点】直线与圆锥曲线的关系15．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________． 【答案】25【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82205=,故填25. 16．有下列四种说法：①x R ∀∈， 2230x x -+>均成立；②若p q ∧是假命题，则p ， q 都是假命题；③命题“若0a b >>，则110b a>>”的逆否命题是真命题；④“ 1a =”是“直线0x y +=与直线0x ay -=互相垂直”的充分条件．其中正确的命题有__________． 【答案】1,3,4【解析】对于①, 223x x -+ ()2120x =-+>恒成立,命题正确; 对于②, 若p q ∧是假命题，则p ， q 中至少有一个是假命题,命题错误; 对于③, 若0a b >>，则110b a>>正确,则它的逆否命题也正确; 对于④,当1a =时, 直线0x y +=与直线0x y -=互相垂直,命题正确; 故填①③④.三、解答题17．已知p ： 26160x x --≤， q ： 22m x m -≤≤+（0m >）．（1）若5m =， p q ∧为假， p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[)(]3,27,8--⋃；（2）[)6,+∞．【解析】试题分析:(1)先解二次不等式得出命题p 中x 的取值范围,将m=5代入,得到命题q 中x 的范围, p q ∧为假， p q ∨为真，即命题p 、q 中一真一假，分类讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况,求出x 的取值范围;(2) p 是q 的充分条件即命题p 中x 的取值范围构成的集合P 是命题q 中x 的取值范围构成的集合Q 的子集,根据集合间的关系列出不等式,求出m 的取值范围. 试题解析:解不等式26160x x --≤，得28x -≤≤．（1）∵5m =，∴命题q ： 37x -≤≤， 又命题p 、q 中一真一假， ①若p 真q 假，则28,{37,x x x -≤≤-或解得78x <≤；②若p 假q 真，则28,{ 37,x x x --≤≤或解得32x -≤<-．综上，实数x 的取值范围是[)(]3,27,8--⋃．（2）令{}{}||28P x p x x ==-≤≤， {}{}|22,0Q x q x m x m m ==-≤≤+， ∵p 是q 的充分条件， ∴p Q ⊆，∴22,{28,m m -≤-+≥解得4,{6,m m ≥≥∴6m ≥，即实数m 的取值范围是[)6,+∞．18．某举重运动队为了解队员的体重分布情况，从50名队员中抽取10名作调查．抽取时现将全体队员随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，每组抽一名，且各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽取出来的编号； （2）分别统计被抽取的10名队员的体重（单位：公斤），获得如图所示的体重数据的茎叶图，根据茎叶图求该样本的平均数和中位数；（3）在题（2）的茎叶图中，从题中不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，求体重为81公斤的队员被抽到的概率． 【答案】（1）2,7,12,17,22,27,32,37,42,47；（2）平均数为71，中位数为71.5；（3）25． 【解析】试题分析:(1) 各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样,且第5组抽出的号码为22，可得抽出的10名职工号码;(2) 被抽取的10名队员的体重求和再除以10可得平均数,再由定义计算中位数;(3)写出从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的队员的取法,进而可得体重为81公斤的队员的取法,根据古典概型计算公式计算即可.试题解析:（1）依题意若第5组抽出的号码为22，则所有被抽出的队员编号为： 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47（2）由茎叶图数据可求得该样本的平均数为：817073767879626567597110+++++++++=（公斤），中位数为707371.52+=（公斤）． （3）设“体重为81公斤的队员被抽到”为事件A ，若从体重不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，所有可能的情况如下：()73,76， ()73,78， ()73,79， ()73,81， ()76,78， ()76,79， ()76,81， ()78,79， ()78,81， ()79,81共10种，且每种被抽到的可能性相同，又体重为81公斤的队员被抽到的情况有： ()73,81， ()76,81， ()78,81， ()79,81共4种，所以由古典概型的概率公式有()42105P A ==． 答：体重为81公斤的队员被抽到的概率为25．点睛:本题考查茎叶图与古典概型. 古典概型中基本事件数的探求方法:(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180， [)180,200，[)200,220， [)220,240， [)240,260， [)260,280， []280,300分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量在[)220,240， [)240,260， [)260,280的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）224；（3）5．【解析】试题分析:(1)由频率和为1,计算图中x 的值;(2)根据频率分布直方图观察,最高矩形的中点横坐标即为众数,令矩形面积和为0.5,所取得的横坐标为中位数;(3)分别计算出月平均用电量在[)220,240， [)240,260， [)260,280的三组用户的数量,根据分层抽样的定义计算出抽取比例,得出月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取的户数. 试题解析: （1）由直方图的性质，可得()0.0020.00950.0110x ++++++⨯=， 0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075． （2）月平均用电量的众数是2202402302+=． 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<， 所以月平均用电量的中位数在[)220,240内， 设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =，所以月平均用电量的中位数是224．（3）月平均用电量为[]220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户， 月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户， 抽取比例1012515105==++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户． 20．已知椭圆C的两焦点为()1F ，)2F ， P 为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若已知直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆C 有公共点？ （3）若1290F PF ∠=︒，求12PF F ∆的面积．【答案】（1）22197x y +=；（2）[]4,4m ∈-；（3）7． 【解析】试题分析:(1)由焦点坐标得到c,由椭圆的定义求出a,进而求出b 的值,即可得出椭圆的方程;(2)联立直线与椭圆方程,消去y, 直线与椭圆C 有公共点即所得一元二次方程有解,计算0∆≥得出m 的范围;(3) 12F PF ∆中， 1290FPF ∠=︒，由勾股定理有2221212||||PF PF F F +=,结合椭圆的定义126PF PF +=代入化简可得1214PF PF =,根据三角形的面积公式求解即可.试题解析:（1）∵椭圆的焦点是()1F和)2F ，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，∴设所求的椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∴依题意有c =3a =，∴222237b a c =-==，∴所求的椭圆方程为22197x y +=． （2）由221,{ 97,x y y x m +==+得2216189630x mx m ++-=， 由()()22184169630m m ∆=-⨯-≥得216m ≤，则44m -≤≤，∴当[]4,4m ∈-时，直线与椭圆C 有公共点．（3）∵点P 是椭圆22197x y +=上一点， ∴由椭圆定义有1226PF PF a +==，① 又12F PF ∆中， 1290FPF ∠=︒， ∴由勾股定理有2221212||||PF PF F F +=，即2212||8PF PF +=，②①2 -②，得1214PF PF =， ∴1212172F PF S PF PF ∆=⋅=． 21．设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（1）若a 从0， 1， 2， 3四个数中任取的一个数， b 是从0， 1， 2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[]0,3上任取的一个数， b 是从区间[]0,2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 【答案】（1）34；（2）23． 【解析】试题分析:(1)所有基本事件为从0， 1， 2， 3四个数中任取的一个数， b 是从0， 1， 2三个数中任取的一个数;所求事件为方程有实根0∆≥，即22a b ≥,分别列举出(),a b 的组合,根据古典概型计算概率;(2)所有基本事件为a 从区间[]0,3上任取的一个数， b 是从区间[]0,2上任取的一个数，所求事件为方程有实根, 即22a b ≥,分别列出不等式画出区域,根据几何概型求出概率. 试题解析:若方程2220x ax b ++=有实根，则()22240a b ∆=-≥，即22a b ≥．（1）设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件A ，∵a 从0,1,2,3四个数中任取的一个数， b 是从0,1,2三个数中任取的一个数， ∴记(),a b 为所取两数的一个组合，则所有可能的取法有： ()0,0， ()0,1， (0,2），()1,0， ()1,1， ()1,2， ()2,0， ()2,1， ()2,2， ()3,0， ()3,1， ()3,2共12种且每种均等可能被抽到，其中满足条件22a b ≥的有()0,0， ()1,0， ()1,1， ()2,0，()2,1， ()2,2， ()3,0， ()3,1， ()3,2共9种，∴()93124P A ==．答：方程2220x ax b ++=有实根的概率为34． （2）设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件B ，∵a 从区间[]0,3上任取的一个数， b 是从区间[]0,2上任取的一个数，∴记(),a b 为所取两数的一个组合，则03a ≤≤， 02b ≤≤，∴点(),a b 所在的区域为如图所示的矩形，又条件22a b ≥可化为a b ≥，即0a b -≥，∴满足条件0a b -≥的点(),a b 所在的区域为如图所示的阴影部分区域 ∴()()11322263OABDOABC S P B S ⨯+⨯===梯形矩形． 答：方程2220x ax b ++=有实根的概率是23． 22．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点且不垂直于x 轴直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析【解析】试题分析：（1）由题意知，即，又，所以，进而求出椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得：，由，得：，设，则，，进而得，又，代入韦达定理，可得，又，即可求出的取值范围；（3）由于两点关于轴对称，得，由两点式得直线AE的方程为，令得：，又，，再将，，代入可得直线AE与x轴交于定点．试题解析：（1）由题意知，∴，即，又，∴，故椭圆的方程为．（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得：，由，得：，设，则，，①∴∴∵，∴，∴，∴的取值范围是．（3）证明：∵两点关于x轴对称，∴，直线AE的方程为，令得：，又，，∴，由将①代入得：，∴直线与轴交于定点．【考点】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．。