2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第六章 第三节 基本不等式 Word版含解析

1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点 基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论 活用几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．[自测练习]1．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lgB.答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立．答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1解析：∵y ＝x ＋4x 中x 可取负值，∴其最小值不可能为4； 由于0<x <π，∴0<sin x ≤1， ∴y ＝sin x ＋4sin x>2sin x ·4sin x＝4，其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号， ∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立．答案：5考点一 利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab， 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．考点二 利用基本不等式求最值|(1)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 3C ．2 2D ．4(2)(2015·高考重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．[解析] (1)由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，2x ×23y ＝2x ＋3y ＝2，即x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ×(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ×x3y＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3yx ＝x3y ，x ＋3y ＝1，x >0，y >0，即最小值为4.故选D.(2)(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.[答案] (1)D (2)3 2条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.答案：D2．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.12解析：∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.答案：D考点三 基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )x ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4，沿AC 将△ABC 翻折，使点B 落到点B ′的位置，AB ′交DC 于点P .研究发现当△ADP 的面积最大时最节能，则最节能时△ADP 的面积为( )A ．22－2B ．3－2 2C ．2－ 2D ．2解析：设AB ＝x ，DP ＝y ，则BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因为x >2－x ，故1<x <2.因为△ADP ≌△CB ′P ，故P A ＝PC ＝x －y .由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，即y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1<x <2.记△ADP 的面积为S ，则S ＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时，S 取得最大值3－2 2.答案：B11.忽视等号成立条件致误【典例】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________．[解析] (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号) ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6.[答案] (1)3＋22 (2)1＋2 6[易误点评] (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2. (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.[防范措施] (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[跟踪练习] 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3. 答案：3A 组 考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b 2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(9－a )a ＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当4(9－a )a ＝a9－a 时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12. 答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1. 答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a ab＝ab ，且a >0，b >0， ∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p 解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝⎛⎭⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 答案： 2。

课时规范练A 组　基础对点练1．若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )xx 2＋3x ＋1A ．a ≥ B ．a >1515C ．a <D ．a ≤1515解析：因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(xx 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315当且仅当x ＝时等号成立，∴a ≥.1x 15答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <<　B ．a <<<bab a ＋b2ab a ＋b2C ．a <<b <D.<a <<bab a ＋b2ab a ＋b2解析：因为0<a <b ，所以a －＝(－)<0，故a <；b －＝>0，故b >ab a a b ab a ＋b2b －a2；由基本不等式知>，综上所述，a <<<b ，故选B.a ＋b2a ＋b2ab ab a ＋b2答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2 B ．3C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得＝＋＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·(＋)＝(4＋9＋＋3x ＋yxy 3y 1x 153y 1x 153yx )≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小12xy 15363yx 12xy 值为5.答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2 B.＋>ab 1a 1b 1abC.＋≥2D ．a 2＋b 2>2abb a ab 解析：因为ab >0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．ba ab b a ab b a ·a b 答案：C5．下列不等式一定成立的是( )A ． lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z)1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)D.>1(x ∈R)1x 2＋1解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋－x ＝2≥0，∴lg ≥lg x ，故不成立；对选项14(x －12)(x 2＋14)B ，当sinx <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．1x 2＋1答案：C6．若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( )1a 2b ab A. B ．22C ．2D ．42解析：法一：由已知得＋＝＝，且a >0，b >0，1a 2b b ＋2aab ab ∴ab ＝b ＋2a ≥2，∴ab ≥2.ab 2ab 2法二：由题设易知a >0，b >0，∴＝＋≥2，即ab ≥2，选C.ab 1a 2b 2ab 2答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )abA ．6＋2B ．7＋233C ．6＋4D ．7＋433解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且Error!ab 即a >0，b >0，所以＋＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(＋)＝7＋＋≥7＋2 4a 3b 4a 3b 4ba 3ab ＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.4b a ·3a b 34b a 3a b 答案：D8．(2018·宁夏银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥＝－(|x |＋)，设f (x )＝－(|x |＋)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋≥2(当且－1－|x |2|x |1|x |1|x |1|x |仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B.答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝有( )2xx 2＋1A ．最小值1 B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝≤＝1.当且仅当x ＝，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.2x ＋1x 22x ·1x 1x 答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2 B ．a 2＋b 2>2abab C.＋≥2D ．|＋|≥2a b b a a b ba 解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2不成立；ab 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立；对于C ，当a ，b 异号时，＋≥2不成立；ba ab 对于D ，因为，同号，所以|＋|＝||＋||≥2＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即b a ab b a ab ba ab |b a |·|a b ||＋|≥2恒成立．b a ab 答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f ()，q ＝f ()，r ＝(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确ab a ＋b212的是( )A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >pD ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴>，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f ()<f ()，即a ＋b2ab ab a ＋b2q >p ，∴r ＝(f (a )＋f (b ))＝(ln a ＋ln b )＝ln ＝f ()＝p ，∴p ＝r <q .故选B.1212ab ab 答案：B12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则＋的最小值为1a ＋11b ＋3__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴＋1a ＋11b ＋3＝[(a ＋1)＋(b ＋3)]18(1a ＋1＋1b ＋3)＝18(2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3)≥(2＋2)＝，1812当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴＋的最小值为.1a ＋11b ＋312答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.ax 解析：f (x )＝4x ＋≥2＝4，当且仅当4x ＝，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知ax 4x ·ax a ax a ＝4×32＝36.答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝()y ，则＋的最小值为________．121x 4y 解析：2x －3＝()y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以＋＝(＋)121x 4y 131x 4y (x ＋y )＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝3(当且仅当＝，即y ＝2x 时取等号)．13y x 4xy 13y x ·4x y y x 4x y 答案：3B 组　能力提升练1．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为( )1a 1b 1a －19b －1A ．16 B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足＋＝1，1a 1b ∴a ＋b ＝ab ，＝1－>0，＝1－>0，1a 1b 1b 1a ∴b >1，a >1，则＋≥21a －19b －19(a －1)(b －1)＝2＝69ab －(a ＋b )＋1，(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)∴＋的最小值为6，故选C.1a －19b －1答案：C2．若存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，即存在x 0>1，使不等式lnx 0－<0成立．a (x 0－1)x 0＋1令g (x )＝ln x －(x >1)，则g (1)＝0，a (x －1)x ＋1g ′(x )＝－＝.1x 2a(x ＋1)2x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥0(x >1)，从而g ′(x )≥0，得g (x )在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )>g (1)＝0，不合题意；当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－，(a －1)2－1x 2＝a －1＋，(a －1)2－1由x 2>1和x 1x 2＝1得0<x 1<1，易知当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，此时g (x )<g (1)＝0，即ln x －<0，满足存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x <a (x 0－2)成立．a (x －1)x ＋1综上，a 的取值范围是(2，＋∞)．答案：B3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为9，则λ的值为( )π33A ．8 B ．12C ．16D ．21解析：S △ABC ＝ab sin C ＝ab ≤·()2＝λ2＝9，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得123434a ＋b23163λ＝12.答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则＋的最小值为( )4x ＋21y ＋1A. B ．21315C.D ．394解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则＋＝4x ＋21y ＋114≥＝，当且仅当x ＝，(5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1)14[5＋24(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1]9423y ＝时，＋取最小值.134x ＋21y ＋194答案：C5.(－6≤a ≤3)的最大值为( )(3－a )(a ＋6)A ．9 B.92C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，≤(3－a )(a ＋6)＝，当且仅当a ＝－时等号成立．(3－a )＋(a ＋6)29232答案：B6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥2＝2(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴≤，∴2x ＋y ≤2x ·2y 2x ＋y 2x ＋y 12，x ＋y ≤－2，故选D.14答案：D7．若两个正实数x ，y 满足＋＝1，且不等式x ＋<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围1x 4y y4是( )A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x ＋<m 2－3m 有解，∴min <m2－3m ，∵x >0，y >0，且y4(x ＋y4)＋＝1，∴x ＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即1x 4y y4(x ＋y 4)(1x ＋4y )4x y y4x 4x y ·y 4x 4x y y 4x x ＝2，y ＝8时取等号，∴min ＝4，∴m2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值(x ＋y4)范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )xyz 2x 1y 2z A ．0 B ．1C.D ．394解析：＝＝≤＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时xyz xyx 2－3xy ＋4y 21xy ＋4y x －314－3z ＝2y 2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y 22y (1y －1)值为1.答案：B9．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则的最小值是( )Sn ＋8an A.B.9272C ．2＋D ．2－212212解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝，n (1＋n )2∴＝Sn ＋8an n (1＋n )2＋8n ＝12(n ＋16n＋1)≥12(2n ·16n＋1)＝，92当且仅当n ＝4时取等号．∴的最小值是，故选A.Sn ＋8an 92答案：A10．(2018·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则＋的最小值为( )2m 1n A ．2 B ．42C.D.5292解析：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m ＝n ＝时等2m 1n 2m ＋nm 2m ＋n 2n n m m n 12529223号成立．所以＋的最小值为，故选D.2m 1n 92答案：D11．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝(k 2≠0)，k 2x ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，(5x ＋20x )∵5x ＋≥2＝20，当且仅当5x ＝，20x 5x ×20x 20x 即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．答案：2　2012．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即(x ＋2y2)x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.答案：113．设a >0，b >0.若是3a 与32b 的等比中项，则＋的最小值为__________．32a 1b 解析：因是3a 与32b 的等比中项，3则有3a ×32b ＝()2，即3a ＋2b ＝3，3得a ＋2b ＝1，则＋＝(a ＋2b )2a 1b (2a ＋1b )＝4＋≥4＋2(4ba＋ab )4＝8，(当且仅当a ＝2b ＝12时取等)即＋的最小值为8.2a 1b 答案：814．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 解析：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，C (，)，D (，)．又＝λ，＝，则E (2－λ， λ)，F (＋，)，λ>0，32321232BE → BC → DF → 19λDC→ 12321219λ32所以·＝(2－λ)·(＋)＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，λ>0，当且仅当AE → AF → 121219λ34171829λ12171829λ·12λ2918＝λ，即λ＝时取等号，故·的最小值为.29λ1223AE → AF → 2918答案：2918。

课时规范练A 组 基础对点练1．用反证法证明命题 “设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案：A2．(2018·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( ) A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解析：因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.答案：A3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数．∴g (－x )＝－g (x )．答案：D4．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；…. 若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 016时，“企盼数”k 为( )A ．22 016＋2B ．22 016C ．22 016－2D ．22 016－4解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 016，lg(k ＋2)＝lg 22 016，故k ＝22 016－2. 答案：C5．(2018·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( )A ．(3,9)B ．(4,8)C ．(3,10)D ．(4,9)解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.答案：D6．对累乘运算∏有如下定义：∏k ＝1na k ＝a 1×a 2×…×a n ，则下列命题中的真命题是( )A.∏k ＝11 0072k 不能被10100整除B.∏k ＝12 015(4k －2)∏k ＝12 014(2k －1)＝22 015 C.∏k ＝11 008(2k －1)不能被5100整除D.∏k ＝11 008 (2k －1)∏k ＝11 0072k ＝∏k ＝12 015k解析：因为∏k ＝11 008 (2k －1)∏k ＝11 0072k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝∏k ＝12 015k ，故选D.答案：D7．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：各等式可化为：55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2，77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A. 答案：A8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.要证b 2－ac <3a ，只要证(－a －c )2－ac <3a 2，即证a 2－ac ＋a 2－c 2>0，即证a (a －c )＋(a ＋c )(a －c )>0，即证a (a －c )－b (a －c ) >0，即证(a －c )(a －b )>0.故求证“b 2－ac <3a ”索的因应是(a －c )(a －b )>0.故选C.答案：C9．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②① 解析：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数是“结论”．故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.答案：B10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2S a ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.答案：C11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A．2 017×22 015B．2 017×22 014C．2 016×22 015D．2 016×22 014解析：由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，……，第2 015行数的公差为22 014，第1行的第一个数为2×2－1，第2行的第一个数为3×20，第3行的第一个数为4×21，……第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，第2 016行只有一个数M，则M＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.故选B.答案：B12．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为__________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙． 答案：甲、丁、乙、丙13．观察下列等式：1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为_______________________________________________．解析：观察所给等式的左右可以归纳出第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n B 组 能力提升练1．观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，用你所发现的规律得出22 018的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：通过观察可知，末位数字的周期为4,2 018÷4＝504……2，故22 018的末位数字为4.故选B.答案：B2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C3．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛解析：由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.答案：B4．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为__________．131 61 6110 13 110115 1330 1330 115121 12 1315 12 121……解析：由已知归纳可得，第n 行的第一个数和最后一个数均为2(n ＋1)(n ＋2)，其他数等于上一行该数“肩膀”上两个数字的和．故A (15,2)＝A (14,1)＋A (14,2)＝A (14,1)＋A (13,1)＋A (13,2)＝A (14,1)＋A (13,1)＋A (12,1)＋A (12,2)＝…＝A (14,1)＋A (13,1)＋A (12,1)＋…＋A (2,1)＋A (2,2)＝215×16＋214×15＋213×14＋…＋23×4＋12×3＝1724. 答案：17245．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律可知第n 个等式为________．解析：观察题中各等式可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2. 答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝[n (n ＋1)2]2 6．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f (128)>________.解析：观察f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3可知，等式及不等式右边的数构成首项为32，公差为12的等差数列，故f (128)>32＋6×12＝92. 答案：927．“求方程(35)x ＋(45)x ＝1的解”有如下解题思路：设f (x )＝(35)x ＋(45)x ，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2.类比上述解题思路，方程x 6＋x 2＝(x ＋2)3＋(x ＋2)的解集为________．解析：令f (x )＝x 3＋x ，则f (x )是奇函数，且为增函数，由方程x 6＋x 2＝(x ＋2)3＋x ＋2得f (x 2)＝f (x ＋2)，故x 2＝x ＋2，解得x ＝－1,2，所以方程的解集为{－1,2}．答案：{－1,2}8．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； ……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________. 解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)．答案：1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 9．已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知a n b n ＝n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1. 解析：(1)因为3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，所以b n ＋1b n ＝3(n ＋1)n. 因此，b 2b 1＝3×21，b 3b 2＝3×32，b 4b 3＝3×43，…，b n b n －1＝3×n n －1， 上面式子累乘可得b n b 1＝3n －1×n ， 因为b 1＝3，所以b n ＝n ·3n .(2)证明：因为a n b n ＝n ＋12n ＋3，所以a n ＝n (n ＋1)2n ＋3·3n . 因为1a n ＝2n ＋3n (n ＋1)·13n ＝3(n ＋1)－n n (n ＋1)·13n ＝(3n －1n ＋1)13n ＝1n ·13n －1－1n ＋1·13n ，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝(1·130－12·131)＋(12·131－13·132)＋…＋(1n ·13n －1－1n ＋1·13n )＝1－1n ＋1·13n . 因为n ∈N *，所以0<1n ＋1·13n ≤16，所以56≤1－1n ＋1·13n <1，所以56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1. 10．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1，同理0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾，故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．。

第三节 基本不等式[考纲传真] (教师用书独具)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(对应学生用书第83页) [基础知识填充]1．基本不等式ab ≤a ＋b2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝B ．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2018·福州模拟)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C ．]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C ．]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.【导学号：79170198】25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](对应学生用书第83页)(1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)C (2)1 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.][规律方法](1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．[变式训练1](1)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x＞0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≥15B．a＞15C．a＜15D．a≤15(1)C(2)A[(1)当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2(x－2)×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C．(2)由x＞0，得xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥15，故选A．](1)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则2x＋1y的最小值为________．(2)(2018·郑州模拟)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．【导学号：79170199】(1)92(2)3[(1)∵正实数x，y满足2x＋y＝2，则2x＋1y＝12(2x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1y＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2yx＋2xy≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×2yx·2xy＝92，当且仅当x＝y＝23时取等号．∴2x＋1y的最小值为92.(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝3－x22x＝32x－12x，则2x＋y＝2x＋32x－12x＝3x2＋32x≥23x2·32x＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.][规律方法]条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．易错警示：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[变式训练2](1)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则8x＋2y的最小值为________．(2)(2018·淮北模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为() A．8 B．4C．2 D．0(1)18(2)A[(1)因为x＞0，y＞0，且x＋y＝1，所以8x＋2y＝⎝⎛⎭⎪⎫8x＋2y(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立， 所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)法一：(常数代换法)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8.法二：(不等式法)由x ＞0，y ＞0得x ＋2y ＝xy ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22即(x ＋2y )2－8(x ＋2y )≥0 解得x ＋2y ≥8或x ＋2y ≤0(舍去) 从而x ＋2y 的最小值为8.]50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【导学号：79170200】[解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100). 5分(2)y ＝130×18x＋2×130360x ≥26 10， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立.8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 【导学号：79170201】(1)1 900 (2)100 [(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”． ∴最大车流量F 为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时．]。

课时规范练 A 组基础对点练2丄爲丄4 w a 恒成立，则a 的取值范围是（x 十 3X + 11 a>_ 5答案：A（2018厦门一中检测）设0<a<b ，则下列不等式中正确的是（B . a< .ab 号<b_______ o I h h ______________ o o I h解析：因为 0<a<b ,所以 a — ab = a^. a - , b)<0,故 a< ab ; b ——= _^>0,故 b>—;a |b 「由基本不等式知一厂〉ab ，综上所述, 答案：B （2018山东名校调研）若正数x , y 满足3x + y = 5xy ,则4x + 3y 的最小值是（ ）C .值为5. 答案：D1c . a<5 1a<5解析：因为对任意 x>°，x +斜w a 恒成立， 所以对 x € (0,+^), a >x 1 2+ 3x + 1 max， x 1 1而对x €…)，E =可2当且仅当1 1 x =1时等号成立」a A 1.35'4.若 a , b € R ，且 ab>0 , 则下列不等式中，恒成立的是（A . a + b > 2 ,ab1若对任意x>0,2. 一 a + b a<b< ,ab^2~ C . a< 0B<b 号D.亦a 号<ba< ab<a +b <b ,故选 B.3.解析：由3x + y = 5xy ,得 3x +y= 3 + 丄=5,所以 xy y x3 1 1 3y4x +3y = (4x + 3y)石 + -)= -(4 + 9+{ +爭》5(4 + 9 + 2.36) = 5,当且仅当3^=十，即y = 2x 时,"=”成立，故4x + 3y 的最小答案:lg x 2+ 4 >lg x(x>0)1sinx + 五》2(X M k n k € Z)1 D.EX R)1+ 1 > 1 , • 0< 2^1 W 1，故不成立. 答案：C6.若实数a , b 满足2 = , ab ,则a b A. ,2 C . 2 2••• ab ab = b + 2a >2 2 ab ,「. ab >2 2. (2018 天津模拟)若 log 4(3a + 4b) = log 2 ab ,则6 + 2 3 6 + 4 3解析： 因为 log 4(3a + 4b) = log 2 ab ，所以 log 4(3a + 4b) = log 4(ab)，即 3a + 4b = ab ，且匚；：>0 即 a >0 , b >0，所以 4 + b = 1(a >°, b >°), a + b =(a + b)(a +b ) = 7+ 号 +¥》74b• = 7 + 4 3，当且仅当他=时取等号，故选D.a ba b解析:2 2D . a + b >2ab因为ab >o ,所以b >0,討所以b + a> b =2当且仅当a =b 时取等号.5. F 列不等式一定成立的是 （）C . x 2+ 1 >2|x|(x € R)解析：对选项A ，当x>0时，x 2 + 4— x = B ，当sin x<0时显然不成立；对选项x — 2 ,2> 0, • lg[x 2 +C , x 2 + 1 = |x|2 + 1> 2|x|, —定成立；对选项D ，: x 2lg X ,故不成立；对选项ab 的最小值为（ ）解析：法一：由已知得a +2=詈=,ab ，且 a>0 , b>0 ,a +b 的最小值是（）7+ 2 .3C . 7.，即 ab >2 ,2,选 C.法二：由题设易知 a>0 , b>0 ,+ 2答案：D& （2018宁夏银川一中检测）对一切实数x,不等式x2+ a|x|+ 1> 0恒成立，则实数a的取值范围是（）A . (— s,—2) C. [ —2,2]i：+2恒成立. 答案：D的是（）A. q = r<p [—2,+s ) [0 ,+s )解析：当x= 0时，不等式x2+ a|x|+1 > 0恒成立,—1 —|x|2此时涎R,当X M 0时，则有a>^1 1=—(|x|+xj),设f(x) =—(|x|+|刁)，则a> f(x)max,时取等号)，则f(x)max =—2，故a>—2•故选B.1由基本不等式得xi+ ->2（当且仅当|x|= 1x|答案：B9.当x>0时，函数2x 若/ 、f（x）=〒有（）A .最小值1B .最大值1 C.最小值2 D .最大值2答案：B1=1.当且仅当x = -, x>0即x= 1时取等号.所以f（x）有最大值1. x10. (2018南昌调研)已知a, b€ R,且ab^ 0,则下列结论恒成立的是A . a+ b> 2 ,abB . a2+ b2>2ab解析：对于A，当a, b为负数时，a + b> 2 . ab不成立; 当a = b时，a2+ b2>2ab不成立；对于对于当a, b异号时，+ a> 2不成立;对于因为, ：同号，所以£+馆|；|+館2弋谄匚2（当且仅当|a|=|b|时取等号），即11.设f(x) = In x,0<a<b，若p= f( ,ab), q= f( ? a + b 1),r =尹但)+ f(b)), 则下列关系式中正确P= r<q2解析：f(x)= w1 x+一xC. q = r>p D . p= r>qC . 6D . 1a +b —— — a + b解析：■/ 0<a<b ,•••—^> .ab ，又 f(x)= In x 在(0, + )上单调递增，故 f( . ab)<f( 2 )，即 1 1q>p ,「. r = 2(f(a) + f(b)) = ?(ln a + In b)= In ab = f( .ab)= p , • p = r<q.故选 B. 答案：B1 112. (2018河南百校联盟模拟)已知正实数 a , b 满足a + b = 4，则 牯 +的最小值为a13. ________________________________________________________________ 已知函数f(x)= 4x + X(x>0, a>0)在x = 3时取得最小值，则 a = _____________________________ . 解析：f(x) = 4x + -A 24x a = 4 a ，当且仅当4x =-，即a = 4x 2时取等号，则由题意知ax \xx=4 X 32= 36.答案：36A A A14. _____________________________________________________________________ (2018邯郸质检)已知x , y € (0,+^ ), 2x 「3= (-)y ,则；+ y 的最小值为 _______________________ . 解析：2x 「3= g)y = 2一y ,「. x -3 = — y ,「. x + y = 3•又 x , y € (0,+)，所以 + 4 =衆 + £)(x+ y) = 7(5 + y + 4x )A 7(5 + 2.,y4x ) = 3(当且仅当 y = 4x ，即 y = 2x 时取等号).3 xy 3 >/xy x y答案：3B 组能力提升练1 1 1 91•若正数a , b 满足：1 2+1= 1，则「+巴的最小值为()a b a — 1 b — 1 A . 16解析：•/ a + b = 4,• a + 1 + b + 3 = 8, 1 1二 + -------- a + 1 b + 3=8[(a + 1)+ (b + 3)]a +7 + b^2 b +3 , a + 1 =8 2+帚+后A 8(2 + 2) = 2，当且仅当a + 1= b + 3，即a = 3, b = 1时取等号, 1 b + 3的最小值为~.解析：•••正数a, b满足1 +丄=1,a b••• a + b =ab.1= 1 -”0, b= 1 -2>o,••• b>1,a>1,a- 1 b- 1》2当且仅当a= 3, b= 4时等号成立，芒的最小值为6，故选C.答案：C2.若存在x o>1，使不等式(x o + 1)ln x o< a(x o —1)成立,则实数a的取值范围是()A . (— s, 2)B . (2,C. (1 ,+s ) D . (4,解析：存在x o>1,使不等式(x o+ 1)ln x o< a(x o —1)成立,af Xo — 1、即存在x°>1 ,使不等式In x o —X o+ 1<o成立.令g(x) = In x—ax—T-(x>1)，贝U g(1) = o,I I2, 1 2a x + 2U—a x+ 1g (x)=x —x+ 1 2_ x x+ 1 2.当a w2 时，x2+ 2(1 —a)x+ 1 >o(x>1)，从而g' (x) > o,得g(x)在(1,1 s)上为增函数，故g(x)>g(1) = o,不合题意;当a>2时，令g' (x) = o,得X1= a —1 —a—1 2—1,X2= a —1 + 7 (a - 1 f -1,由X2>1 和X1X2= 1 得o<X1<1 ,易知当x€ (1, x2)时，g ' (x)<o , g(x)在(1, X2)上单调递减，此时g(x)<g(1) = o,a f x 1 \即In x—<o，满足存在x o>1，使不等式(x o+ 1)ln x<a(X o—2)成立.综上，a的取值范围是(2, + s).答案：B4 1解析：由题意知，x + 2>0, y + 1>0 , (x + 2) + (y + 1)= 4，则 +一 x + 2 y +1 4=丄5+ 4 y +1 + 击x + 2 y + 1 -y+1半=9,当且仅当x + 2 y + 1 42X =3，y =1时，x +2 +古取最小值4.答案：C5. 3 — a a + 6 (— 6< a w 3)的最大值为3 2 D. 2解析：因为一6W a w 3，所以3 — a > 0, a + 6> 0，则由基本不等式可知，3— a a +6w 1夕祗=2当且仅当a = —2时等号成立. 答案：B6.若2X + 2y = 1,则x + y 的取值范围是（ ）A . [0,2]B . [— 2,0]C . [ — 2,+^ )D . (—m,— 2]解析：•/ 2x + 2y > 2 ,2x 2y = 2 2x + y (当且仅当 2x = 2y 时等号成立)」〔2x + y w 2x + y w J , x + y w — 2，故选 D. 答案：DnA ,B ,C 所对的边分别为a , b , c ,且C = 3, a + b =入匸12.答案：B414.已知x , y 都是正数，且 x + y = 1,则x +2 +的最小值为（13 代亦Cl3. （2018保定调研）设厶ABC 的内角 若厶ABC 面积的最大值为 9 3，则入的值为（）B . 12C . 16D . 21解析：&ABC=2absin c=F ab w 于=话沧9.3,当且仅当a =b 时取“=”，解得7.若两个正实数x , y 满足+ 4 = 3，且不等式x +打2-3m 有解，则实数(-m,- 1) U (4 ,+^ )7 B.71C. 2 .2+ 2解析：a n = a 1 + (n — 1)d = n , S n =刖等“,3 8C . (-4,1) (-m, 0) U (3,+m ) 解析：•••不等式 X + y <m2-3m 有解, • 2 in <m — 3m ,v x>0 , y>0 , =況+ 4逬+4x + “ 炸+2=4,当且仅当4x 盘，即x = 2, y = 8时取等号, • |x+ 4 y min = 4, • m 2- 3m>4，即(m + 1)(m -4)>0，解得 m<- 1 或m>4，故实数m 的取值 范围是(-m,- 1)U (4 , + m ). 答案：B &设正实数x, y, z 满足x 2- 3xy + 4y 2- z = 0.则当弓取得最大值时,x +1-2的最大值为() 9 C.9 解析: xy xy — _, = ___________ : __ v z x - 3xy + 4y x 4y + — — 3y x 4-3 = 1, 当且仅当 x = 2y 时等号成立，此时z = 2y2,彳 2 y 2 一卜代当且仅当 1 + _-_=- _2+_ = y z y y 答案：By = 1时等号成立，故所求的最大值为 1. 9.设等差数列｛a n ｝的公差是d ，其前n 项和是a nm 的取值范围是(-1,4)A."=9 —2，当且仅当n = 4时取等号. Sn+ 8的最小值是9,故选A. a n 2 答案：A10. （2018河北五校联考）函数y = log a （x + 3）- 1（a>0,且a 丰1）的图象恒过定点 A ，若点A在 2 1直线mx + ny + 2= 0上，其中 m>0, n>0,则一+ 一的最小值为（）m n A . 2 2 B . 4 59C.一D.一 解析：由函数y = log a （x + 3）- 1（a >0,且a ^ 1）的解析式知，当 x =- 2时，y =— 1,所以点 A 的坐标为（一2,— 1），又点 A 在直线 mx + ny + 2= 0上，所以一2m — n + 2= 0，即2m + n 2 1 2m + n 2m + n n m 15^9 2…,=2，所以一+ -= + = 2 + — + — + ;》；+ 2 =，当且仅当m = n =：时等号成立.所mnm 2n mn 2 2 2 3 以m +n 的最小值为9,故选D. 答案：D11•某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比， 仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为 20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 ___________ 千米时，运费与仓储费之和最 小，最小为 ________ 万元.解析：设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为y 1万元，仓储费为 y 万元，则y 1= %代产0）, k 2y 2= 一（W 0）,x •••工厂和仓库之间的距离为 4千米时，运费为20万元，仓储费用为 5万元, ••• k 1 = 5, k 2= 20,「.运费与仓储费之和为 5x + 一0万元， •/ 5x +2 '5x X x 20,当且仅当5x X ’即x = 2时，运费与仓储费之和最小，为 20万元.答案：220a n12. （2018青岛模拟）已知实数 x , y 均大于零，且 x + 2y = 4,贝U Iog 2x + log 2y 的最大值为=2, y = 1时等号成立，所以Iog 2x + log 2y 的最大值为1.解析: 因为 log 2x + log 2y = log 22xy — 1< logx = 2y = 2,即 x2— 1 = 2— 1= 1,当且仅当答案：113. ________________________________________________________________ 设a>0, b>0•若羽是3a与32b的等比中项，贝V 2+ ：的最小值为 ___________________________ .” a b解析：因_3是3a与32b的等比中项，则有3a X 32b= ( 3)2,即3a+2b= 3,得a+ 2b = 1,则1+ b = (a + 2b) 2+ b=4 +晋+E》4 + 2 4=8当且仅当a = 2b =扌时取等，即2+ 1的最小值为8.a b答案：814. 在等腰梯形ABCD中，已知AB// DC, AB = 2, BC = 1，/ABC= 60。

课时规范练A 组 基础对点练1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max，而对x ∈(0，＋∞)，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a2>0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y x ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.1a ＋1b>1abC.b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 答案：C5．下列不等式一定成立的是( )A ． lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 答案：C6．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 法二：由题设易知a >0，b >0， ∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C.答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4ba＋3ab≥7＋24b a·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，故选D.答案：D8．(2018·宁夏银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2解析：f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1. 答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2>2ab C.a b ＋b a ≥2D ．|a b ＋b a|≥2解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立； 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立； 对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋a b≥2不成立； 对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|a b|≥2|b a |·|a b|＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋ab|≥2恒成立． 答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >p D ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b2)，即q >p ，∴r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12. 答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________. 解析：f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36. 答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，则1x ＋4y的最小值为________．解析：2x －3＝(12)y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x＋4y )(x ＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥13(5＋2 y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2x 时取等号)． 答案：3B 组 能力提升练1．若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b＝1－1a>0，∴b >1，a >1， 则1a －1＋9b －1≥29a －b －＝29ab －a ＋b ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立， ∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C. 答案：C2．若存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，即存在x 0>1，使不等式ln x 0－a x 0－x 0＋1<0成立．令g (x )＝ln x －a x －x ＋1(x >1)，则g (1)＝0，g ′(x )＝1x－2a x ＋2＝x 2＋－a x ＋1x x ＋2. 当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥0(x >1)，从而g ′(x )≥0，得g (x )在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )>g (1)＝0，不合题意； 当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－a －2－1， x 2＝a －1＋a －2－1，由x 2>1和x 1x 2＝1得0<x 1<1，易知当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减， 此时g (x )<g (1)＝0， 即ln x －a x －x ＋1<0，满足存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x <a (x 0－2)成立．综上，a 的取值范围是(2，＋∞)． 答案：B3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．21解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12. 答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B ．2 C.94D ．3解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫5＋y ＋x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2 y ＋x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23， y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 答案：C 5.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9B.92C ．3 D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 答案：B6．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，x ＋y ≤－2，故选D.答案：D7．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：B8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B9．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n 2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 答案：A10．(2018·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52D.92解析：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.答案：D11．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元． 答案：2 2012．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：113．设a >0，b >0.若3是3a 与32b的等比中项，则2a ＋1b的最小值为__________．解析：因3是3a 与32b的等比中项， 则有3a×32b＝(3)2，即3a ＋2b＝3，得a ＋2b ＝1，则2a ＋1b＝(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫4b a ＋a b ≥4＋2 4 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2b ＝12时取等， 即2a ＋1b的最小值为8.答案：814．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，C (32，32)，D (12，32)．又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E (2－12λ， 32λ)，F (12＋19λ，32)，λ>0，所以AE →·AF →＝(2－12λ)·(12＋19λ)＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ>0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918. 答案：2918。

第3讲 基本不等式,)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( )A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编 函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.由于x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．由于xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2021·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2021·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)由于a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2. 角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又由于点A 在直线x m ＋yn＝－1上，所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n＝10＋3m n ＋3n m≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围 3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号， 所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流淌成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)由于每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．由于9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 由于售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.,)——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)由于x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)由于x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避开多次使用基本不等式，若必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件全都．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3,)1．(2021·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．12D ．22B 由于a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 由于x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2021·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 由于正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 由于x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式， 得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又由于x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产预备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产预备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2021·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.由于x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．依据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，由于a b ＋ba ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12．(2021·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9D 由于AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值．(1)由于x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 由于2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)由于x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.14．(2021·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地争辩植物生长，方案利用学校空地建筑一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2)由于8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。

19版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标36合情推理与演绎推理Dπ是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析对于A项，小前提与结论互换，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项和D项，均为大前提错误，故选B．2．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( A )A．8 B．9C．10 D．11解析观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A．3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n∈Z} ，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确结论的个数为( C )A．1 B．2C．3 D．4解析因为2013＝402×5＋3，所以2013∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C．4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( D )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．5．已知a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：a1·a2＝log23·log34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝lg 3 lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；….若a1·a2·a3·…·a k(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak ＝2 018时，“企盼数”k为( C )A．22 017＋2 B．22 017C．22 018－2 D．22 017－4解析a1·a2·a3·…·a k＝lg k＋2lg 2＝2018，lg(k＋2)＝lg 22 018，故k＝22 018－2.6．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲，乙，丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( B )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误，故选B．二、填空题7．(2018·河南开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2<∫a＋1a x2d x<(a＋1)2.运用类比推理，若对∀n∈N*，1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<A<1n＋1 n＋1＋…＋12n－1恒成立，则实数A＝__ln 2__.解析令1n＋1<A1<1n，1n＋2<A2<1n＋1，…，12n<A n <12n －1，依据类比推理可得A 1＝∫n ＋1n1xd x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝⎠⎜⎜⎛n ＋1n ＋21xd x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝⎠⎜⎜⎛2n －12n 1xd x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝49…照此规律，第n 个等式为__n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2__.解析观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；……；第n个等式左边是2n－1个数相加，从n开始．等式的右边为左边2n－1个数的中间数的平方，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则__T4，T8T4，T12T8，T16T12__成等比数列．解析利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．三、解答题10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋131＋3＝331＋3＋131＋3＝33，同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x33＋3x＝33.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1＝2，公和为5.求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和S n.解析(1)由等和数列的定义，数列{a n}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n ＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋a n＝(a1＋a3＋…＋a n－1)＋(a2＋a4＋…＋a n)当n为奇数时，S n＝S n－1＋a n＝52(n－1)＋2＝52n －12. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何—个三次函数都有“拐点”；任何—个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017. 解析 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152 017＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫32 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 017＝2，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝2， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.。