导数及其应用123

导数及其应用导数是微积分学中的重要概念，它在数学和各个领域的应用中都起着关键作用。

本文将介绍导数的定义及其常见的应用领域。

一、导数的定义导数可以解释为函数在某一点处的瞬时变化率。

在数学上，我们用极限的概念来定义导数。

给定函数f(x)，如果极限\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]存在，我们就称该极限为函数f(x)在点x处的导数。

导数常用记号f'(x)表示。

二、导数的计算为了计算导数，我们可以利用一些基本的求导法则。

对于常见的函数类型，有以下几个常用的求导法则：1. 常数函数：对于常数c，它的导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是常数，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数：对于指数函数f(x)=a^x，其中a是常数且不等于1，它的导数为f'(x)=a^x ln(a)。

4. 对数函数：对于自然对数函数f(x)=ln(x)，它的导数为f'(x)=1/x。

5. 三角函数：对于三角函数f(x)=sin(x)，f'(x)=cos(x)；对于f(x)=cos(x)，f'(x)=-sin(x)。

三、导数的应用导数在各个领域都有广泛的应用，下面介绍其中几个重要的应用领域。

1. 最值问题导数可以用来确定函数的最大值和最小值。

当函数的导数为零或不存在时，这些点可能是函数的极值点。

通过求解导数为零的方程，我们可以求得函数的极值点，并通过二阶导数的符号判断这些极值点是极大值还是极小值。

2. 函数图像的特性通过导数可以研究函数的图像特性。

函数的导数可以告诉我们函数在哪些区间上是递增或递减的，以及函数的凹凸性质。

通过导数，我们可以画出函数的导数曲线，从而描绘出函数的整体走势。

3. 曲线的切线与法线在微积分中，导数还可以用来计算函数曲线上任意一点处的切线方程。

切线表示曲线在该点的瞬时变化情况。

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。

在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。

本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。

一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。

比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。

二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。

根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。

三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。

在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。

四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。

它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。

五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。

六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。

七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。

综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。

它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。

《导数及其应用》单元测试题姓名 得分一、选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个答案正确）1．函数()22)(x x f π=的导数是 （ ） A x x f π4)(=' B x x f 24)(π=' C x x f 28)(π=' D x x f π16)(='2．函数xx y 142+=单调递增区间是 （ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则 （ ）Ａ． 10<<b B ． 1<b C ．0>b D ． 21<b 5．设x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 的值等于 （ ）A.0B.8C.⎰20)(dx x f D.⎰20)(2dx x f 6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）8．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的 （ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件 10．函数()323922y x x x x =---<<有 （ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值11．设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(2)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ．(－2,0)∪(0, 2)C ．(－∞,－2)∪(2,+∞)D ．(－∞,－2)∪(0, 2)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 下列定积分值为1的是（ ） A ．10tdt ⎰ B 。

导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。

导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。

一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。

如果导数存在，则称f(x)在该点可导。

2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。

3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。

b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。

4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。

b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。

2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

⼈教版⾼中数学选修课后习题参考答案新课程标准数学选修2—2第⼀章课后习题解答第⼀章导数及其应⽤ 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度⼤约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度⼤约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近⽐在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学⽣，然后让学⽣根据导数的⼏何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然⽽10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--?--?≥-?-?. 所以，企业甲⽐企业⼄治理的效率⾼.说明：平均变化率的应⽤，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t+-==--，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t+-==+，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =??= J.4、设车轮转动的⾓度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时⾓速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ?+?-==?+??，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时⾓速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表⽰的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率⼤于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，⼏乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应⽤.6、第⼀个函数的图象是⼀条直线，其斜率是⼀个⼩于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所⽰；第⼆个函数的导数()f x '恒⼤于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x ⼩于零时，()f x '⼩于零，当x ⼤于零时，()f x '⼤于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满⾜上述条件的导函数图象中的⼀种.说明：本题意在让学⽣将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、⾼度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的⼤致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. ⾸先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的⼤致形状. 下⾯是⼀种参考答案.说明：这是⼀个综合性问题，包含了对导数内涵、导数⼏何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯⼀. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-；（6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π?+?-==+，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ?→'=+?=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨⽓的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=??.（2）(7)25.5A '=-，它表⽰氨⽓在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越⼩时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的⽅程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮⽔的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮⽔的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮⽔的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮⽔的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应⽤练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯⼀.其中2x x =是函数()y f x =的极⼤值点，4x x =是函数()y f x =的极⼩值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为211149()6()212121224f =?--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为54；当3x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为54-. （3）因为3()612f x x x=+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为10-；当2x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为2-；当1x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极⼩值，并且极⼩值为149()1224f =-. ⼜由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最⼤值是20、最⼩值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极⼤值，并且极⼤值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极⼩值，并且极⼩值为(3)54f =-；⼜由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最⼤值是54、最⼩值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极⼤值，并且极⼤值为(2)22f =.⼜由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最⼤值是22、最⼩值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-⽆极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最⼤值是2-、最⼩值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极⼤值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极⼩值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极⼤值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极⼩值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为211149()6()212121224f -=?---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为16；当2x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±.下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为22；当2x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为128-；当4x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极⼩值，并且极⼩值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最⼤值和最⼩值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极⼤值，并且极⼤值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极⼩值，并且极⼩值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最⼤值和最⼩值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1-上⽆极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最⼤值和最⼩值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最⼤值和最⼩值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；⼜11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象⼤致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有⼀个极⼤值和⼀个极⼩值，从图象上能⼤致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下⾯分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形：①当0a >，且230b ac ->时，设⽅程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设⽅程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4⽣活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正⽅形的边长分别为4x ，4l x -，两个正⽅形的⾯积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极⼩值点，也是最⼩值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2时，两个正⽅形的⾯积和最⼩.2、如图所⽰，由于在边长为a 的正⽅形铁⽚的四⾓截去四个边长为x 的⼩正⽅形，做成⼀个⽆盖⽅盒，所以⽆盖⽅盒的底⾯为正⽅形，且边长为2a x -，⾼为x .（1）⽆盖⽅盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，当6ax =时，⽆盖⽅盒的容积最⼤.3、如图，设圆柱的⾼为h ，底半径为R ，则表⾯积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极⼩值点，也是最⼩值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐⾼与底⾯直径相等时，所⽤材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极⼩值点，也是最⼩值点.这个结果说明，⽤n 个数据的平均值11ni i a n =∑表⽰这个物体的长度是合理的，这就是最⼩⼆乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的⾯积为28x π2m ，矩形的⾯积为28x a π-2m ，矩形的另⼀边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极⼩值点，也是最⼩值点.时，所⽤材料最省. 6、利润L 等于收⼊R 减去成本C ，⽽收⼊R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再⽤导数求最⼤利润.收⼊211(25)2588R q p q q q q =?=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，产量为84时，利润L 最⼤,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最⼤. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+?=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最⼤利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进⼀步熟悉求曲边梯形⾯积的⽅法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'?≈?=?=-+?=-?+?，1,2,,i n =L .于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=?≈?=?∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-?+?∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-?--?-?+L2231[12]2n n=-++++L31(1)(21)26n n n n ++=-?+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进⼀步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进⼀步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的⽅法和步骤. 练习（P48）2304x dx =?. 说明：进⼀步熟悉定积分的定义和⼏何意义.从⼏何上看，表⽰由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的⾯积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）1001111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-?=∑?；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-?=∑?；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-?=∑?. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的⽅法.2、距离的不⾜近似值为：18112171310140?+?+?+?+?=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167?+?+?+?+?=（m ）.3、证明：令()1f x =. ⽤分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个⼩区间，在每个⼩区间1[,]i i x x -上任取⼀点(1,2,,)i i n ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-?==-∑∑，从⽽11lim nbn i b adx b a n→∞=-==-∑，说明：进⼀步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的⼏何意义，0表⽰由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的⾯积，即四分之⼀单位圆的⾯积，因此4π=.5、（1）03114x dx -=-. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -?表⽰由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的⾯积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -?等于位于x 轴上⽅的曲边梯形⾯积减去位于x 轴下⽅的曲边梯形⾯积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -?等于位于x 轴上⽅的曲边梯形⾯积减去位于x 轴下⽅的曲边梯形⾯积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是⾮正的，在区间[0,2]上是⾮负的，如果直接利⽤定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项⼜有负项，⽽且⽆法抵挡⼀些项，求和会⾮常⿇烦. 利⽤性质3可以将定积分231x dx -?化为02331x dx x dx -+??，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利⽤定积分的定义，容易求出031x dx -?，230x dx ?，进⽽得到定积分231x dx -?的值. 由此可见，利⽤定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进⼀步体会定积分的⼏何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间⾛过的路程⼤约为145 m.说明：根据定积分的⼏何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正⽅形的个数来估计物体⾛过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i ==??=∑（m ）；不⾜近似值：81111879.819.8168.672242i i =-??==∑（m ）（3）49.81tdt ?；49.81d 78.48t t =?（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插⼊1n -个分点，将它分成n 个⼩区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l l x n n n-?=-=.把细棒在⼩段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m L ，则细棒的质量1ni i m m ==?∑.（2）近似代替当n 很⼤，即x ?很⼩时，在⼩区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很⼩，近似地等于⼀个常数，不妨认为它近似地等于任意⼀点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在⼩段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ?≈?=（1,2,i n =L ）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====?≈?=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =?..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）533-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-.。