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函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
教学计划高：《函数的基本性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握函数单调性、奇偶性的定义及判断方法;能够运用函数图像理解并阐述这些性质;能够识别并解决与函数基本性质相关的简单问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、比较等数学活动，引导学生发现函数的基本性质;通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生团队协作和问题解决的能力;通过练习和实践，提高学生应用函数性质解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度;通过探索函数性质的过程，让学生体会数学中的对称美、和谐美，增强对数学美的感受力。
二、教学重点和难点教学重点：函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法;函数图像在理解函数性质中的应用。
教学难点：理解函数单调性、奇偶性的本质，能够灵活运用这些性质解决问题;通过函数图像准确判断函数的性质。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）情境导入：通过生活中的实例(如气温变化、股票价格波动等)引出函数的概念，让学生感受到函数在生活中的广泛应用。
提出问题：设问“这些函数有哪些共同的特点或性质?”引导学生思考并引出函数的基本性质——单调性和奇偶性。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法，并能够通过函数图像理解这些性质。
2. 讲授新知（约15分钟）定义讲解：详细讲解函数单调性(增函数、减函数)和奇偶性(奇函数、偶函数)的定义，结合实例帮助学生理解。
性质阐述：阐述函数单调性和奇偶性的基本性质，如单调函数的图像特征、奇偶函数的图像对称性等。
示例分析：通过具体函数示例(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，分析它们的单调性和奇偶性，加深学生的理解。
3. 观察探究（约10分钟）图像观察：利用多媒体展示不同函数的图像，引导学生观察图像的特点，尝试从图像中判断函数的单调性和奇偶性。
小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究函数性质的图像表示方法。
高中数学《函数的基本性质》教案1 新人教A 版必修1⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质；函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义．利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的最大（小）值．⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律：①f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．③f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．．，如图⑵①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有．．f(x 1)<f(x 2)二、函数的单调性定义及判断步骤⑴单调区间：函数)(x f 在区间D 上是增函数或减函数，我们就称函数)(x f 在这个区间D 具有（严格的）单调性，区间D 是这个函数的单调区间。
教学准备1. 教学目标l.知识与技能（1）通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系；（2）掌握集合中元素的三要素：确定性。
互异性。
无序性；（3）掌握常用数集及其专用记号；会用列举法或描述法表示集合。
2.过程与方法（1）通过生活中的实例，让学生理解、感知事物的共性，启发、引导学生归纳出集合的含义。
（2）快速阅读教材，让学生归纳整理本节所学知识。
3.情感、态度与价值观本节课是高中的入门课，也是比较抽象的一节课，通过不同的图片展示，使学生感受集合其实就存在于我们的生活，化抽象为具体，进而培养学生抽象概括的能力，增强学习的积极性。
2. 教学重点/难点重点：集合的含义与表示方法。
难点：集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性。
3. 教学用具课件4. 标签教学过程（一）自学指导：1.教师首先提出问题：通过PPT图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引导学生举出一些集合的例子。
通过举例说明和互相交流。
做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价。
2.教师帮助学生修改所总结的定义，并指出：这就是我们这一堂课所要学习的内容。
3.用6分钟时间预习教材P2~P5,完成下列内容：（二）师生互动：1.利用多媒体向学生展示三张图片，找出图片的共性；2.回归教材，利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：（1）1~20以内所有的质数；（2）我国在1991~2003年这13年内所发射的所有人造卫星；（3）某汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程的所有实数根；（8）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体。
教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么？3.每个小组选出--位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义。
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
高一数学必修1《函数的基本性质》教案教学目标：1. 理解函数以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和零点。
3. 实现函数的简单变换，例如平移、伸缩和反转等。
4. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学重点：1. 理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，实现函数的简单变换。
3. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学难点：1. 如何理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 如何应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学方法：一、讲授法。
二、探究法。
三、案例分析法。
教学过程：一. 引入新知识(5分钟)：教师简单介绍函数的概念和历史背景，引导学生关注函数在实际生活中的应用，引出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
二. 讲解函数的概念(10分钟)：1. 函数的定义：任何能够使$x$值唯一对应一个$y$值的规律都称为函数，可以表示为$y=f(x)$。
$x$为自变量，$y$为因变量，函数$f(x)$表示$y$与$x$之间的关系。
2. 函数的图像：函数可以通过绘制它们的图像进行可视化。
函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线。
3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等多种方式表示。
例如$f(x)=x^2$就是一种表示方式。
三. 掌握函数的基本性质(30分钟)：1. 单调性：单调递增和单调递减；2. 奇偶性：奇函数、偶函数和常函数；3. 周期性：周期函数和非周期函数；4. 零点：零点定义以及求零点的方法。
四. 实现函数的简单变换(10分钟)：1. 平移变换：表示为$f(x-a)$或$f(x)+b$，注意$a$和$b$的正负性；2. 伸缩变换：表示为$f(kx)$或$f(x)/k$，注意$k$的正负性；3. 反转变换：表示为$f(-x)$或$f(-y)$，注意反转后的坐标轴位置变化。
五. 应用函数的基本性质(10分钟)：1. 求函数的最值。
函数的基本性质教案教案标题：函数的基本性质教案教案目标：1. 理解函数的定义及其基本性质；2. 掌握函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质；3. 能够运用函数的基本性质解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、白板、彩色笔等；2. 学生准备：教材、笔记本、作业本等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问或展示一道函数图像，引发学生对函数的认识和兴趣；2. 教师简要介绍函数的定义，并与学生一起回顾函数的概念和基本符号。
二、讲解函数的基本性质（20分钟）1. 函数的图像：a. 通过示意图展示不同函数图像的特点，如线性函数、二次函数、指数函数等；b. 引导学生观察函数图像的特点，并总结出函数图像的一般规律。
2. 函数的定义域和值域：a. 解释函数的定义域和值域的概念；b. 通过具体函数的例子，引导学生确定函数的定义域和值域。
3. 函数的单调性：a. 定义函数的单调性，并介绍增函数和减函数的概念；b. 通过函数图像和函数表达式，引导学生判断函数的单调性。
4. 函数的奇偶性：a. 解释函数的奇偶性的概念；b. 通过函数图像和函数表达式，引导学生判断函数的奇偶性。
5. 函数的周期性：a. 介绍周期函数的概念；b. 通过具体函数的例子，引导学生判断函数的周期性。
三、练习与巩固（15分钟）1. 学生个人完成练习题，巩固函数的基本性质的判断方法；2. 学生互相交流答案并讨论，教师及时纠正错误。
四、拓展与应用（10分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用函数的基本性质进行分析和解答；2. 学生个人或小组完成拓展应用题，提高对函数基本性质的应用能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师与学生一起总结函数的基本性质，并强调其在数学和实际问题中的重要性；2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和建议。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解函数的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
高中数学教案函数的基本性质教案概述：本节课主要介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、奇偶性和周期性等。
通过讲解理论知识和引入实际问题，培养学生对函数性质的理解和运用能力。
教学目标：1.理解函数的定义域和值域的概念；2.掌握函数的奇偶性和周期性的判断方法；3.能够应用函数的基本性质解决实际问题。
教学重点：1.强化函数的定义域和值域的概念；2.提高判断函数的奇偶性和周期性的能力；3.发展解决实际问题的能力。
教学难点：1.理解函数值域的概念；2.掌握函数奇偶性和周期性的判断方法。
教学准备：1.教师准备：教案、课件、黑板、粉笔；2.学生准备：课本、作业本。
教学流程：Step 1：导入与复习（10分钟）1.引导学生回顾上节课的内容，复习函数的定义及其表示方法。
2.引入问题：小明前一天起床时间和当天感冒的程度存在一定的关系，试以小明前一天起床时间为自变量，当天感冒程度为因变量，确定函数的定义域和值域。
Step 2：探究函数的定义域和值域（25分钟）1.讲解函数的定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，记作D(f)。
2.举例说明定义域的确定方法：让学生尝试确定其他函数的定义域。
3.讲解函数的值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域，记作R(f)。
4.通过实际问题引导学生确定函数的值域，如小明的感冒程度等级。
Step 3：探究函数的奇偶性（25分钟）1.讲解函数的奇偶性：若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
2.给出函数图像，让学生判断其奇偶性。
3.通过实际问题引导学生思考函数的奇偶性，如一个物体下落的高度与时间的关系。
Step 4：探究函数的周期性（25分钟）1.讲解函数的周期性：若存在一个正数T，对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则函数为周期函数。
2.给出函数图像，让学生判断其周期性。
3.通过实际问题引导学生思考函数的周期性，如一辆车的速度与时间的关系。
§4函数的基本性质函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.I．函数的定义设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然C B.II．函数的性质（1）奇偶性设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.（2）函数的增减性设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1, x2∈D′，并且x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间. III．函数的周期性对于函数f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f (x )的最小值正周期.例题讲解1．已知f (x )＝8＋2x －x 2，如果g (x )＝f(2－x 2)，那么g (x )( )A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2．设f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋3)＝－f (x )，当0≤x ≤23时，f (x )＝x ，则f (2003)＝( )A.－1B.0C.1D.20033．定义在实数集上的函数f (x )，对一切实数x 都有f (x ＋1)＝f (2－x )成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150B.2303C.152D.23054．实数x ，y 满足x 2＝2xsin (xy )－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.5．已知x ＝9919 是方程x 4＋b x 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________.6．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，f (x )＝0有实数根，且f (x )＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.7．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (－1≤x ≤1)，若|f (x )|的最大值为M ，求证：M≥21.8．⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1x 4x 2-=++++++9．设f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求41[f ⑷＋f (0)]的值.10．设f (x )＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f (x )|≥21课后练习1. 已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝( )A.3B.－3C.5D.－52. 已知(3x ＋y)2001＋x 2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.3. 解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝04. 若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.5. 函数y ＝8x 4x 5x 4x 22+-+++的最小值是______________.6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a 1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.7. f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时. 求证：存在实数x ，y ，使得8. 设a ，b ，c ∈R ，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax＋b|≤4.9．已知函数f(x)＝x3－x＋c定义在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2.⑴求证：|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|；⑵求证：|f(x1)－f(x2)|＜1.课后练习答案1.解：∵f⑴＝a＋bsin51＋1＝5设f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k∴f(－1)＝k＝2－5＝－3选B2.解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0。
函数的基本性质（一）基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的．例题：1.已知f（x）＝8＋2x－x2，如果g（x）＝f（2－x2），那么g（x）（）A．在区间（－2，0）上单调递增B．在（0，2）上单调递增C．在（－1，0）上单调递增D．在（0，1）上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些．选C．2.设f（x）是R上的奇函数，且f（x＋3）＝－f（x），当0≤x≤32时，f（x）＝x，则f（2003）＝（）A．－1 B．0 C．1 D．2003解：f（x＋6）＝f（x＋3＋3）＝－f（x＋3）＝f（x）∴ f（x）的周期为6f（2003）＝f（6×335－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－1选A3.定义在实数集上的函数f（x），对一切实数x都有f（x＋1）＝f（2－x）成立，若f（x）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（）A．150 B．3032C．152 D．3052提示：由已知，函数f（x）的图象有对称轴x＝3 2于是这101个根的分布也关于该对称轴对称．即有一个根就是32，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝32对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于32×100＝150所有101个根的和为32×101＝3032．选B4.实数x，y满足x2＝2x sin（xy）－1，则x1998＋6sin5y＝______________．解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法（快速）求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法（x－sin（xy））2＋cos2（xy）＝0∴ x＝sin（xy）且 cos（xy）＝0∴ x＝sin（xy）＝±1∴ sin y＝1 x sin（xy）＝1原式＝75.已知x x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________．解：（逆向思考：什么样的方程有这样的根？）由已知变形得x －9919=∴ x 2－219x ＋19＝99即 x 2－80＝219x再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2即 x 4－236x 2＋6400＝0∴ b ＝－236，c ＝6400b ＋c ＝61646. 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0），f （x ）＝0有实数根，且f （x ）＝1在（0，1）内有两个实数根，求证：a ＞4．证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac ≥0 ①f （1）＝a ＋b ＋c ＞1 ②f （0）＝c ＞1 ③0＜－2b a ＜1 ④ b 2≥4acb ＞1－a －cc ＞1b ＜0（∵ a ＞0）于是－b所以a ＋c －1＞－b2＞11>1＞2∴ a ＞4证法二：设f （x ）的两个根为x 1，x 2，则f （x ）＝a （x －x 1）（x －x 2）f （1）＝a （1－x 1）（1－x 2）＞1f （0）＝ax 1x 2＞1由基本不等式x 1（1－x 1）x 2（1－x 2）≤[41（x 1＋（1－x 1）＋x 2＋（1－x 2））]4＝（41）2 ∴ 216a ≥a 2x 1（1－x 1）x 2（1－x 2）＞1∴ a 2＞16∴ a ＞47. 已知f （x ）＝x 2＋ax ＋b （－1≤x ≤1），若|f （x ）|的最大值为M ，求证：M ≥12． 解：M ＝|f （x ）|max ＝max{|f ⑴|，|f （－1）|，|f （－2a ）|} ⑴若|－2a |≥1 （对称轴不在定义域内部） 则M ＝max{|f （1）|，|f （－1）|}而f （1）＝1＋a ＋bf （－1）＝1－a ＋b|f （1）|＋|f （－1）|≥|f （1）＋f （－1）|＝2|a |≥4则|f （1）|和|f （－1）|中至少有一个不小于2∴ M ≥2＞12（2）|－2a |＜1 M ＝max{|f （1）|，|f （－1）|，|f （－2a ）|} ＝max{|1＋a ＋b |，|1－a ＋b |，|－24a ＋b |} ＝max{|1＋a ＋b |，|1－a ＋b |，|－24a ＋b |，|－24a ＋b |} ≥14（|1＋a ＋b |＋|1－a ＋b |＋|－24a ＋b |＋|－24a ＋b |） ≥14 [（1＋a ＋b ）＋（1－a ＋b ）－（－24a ＋b ）－（－24a ＋b ）] ＝21(2)42a + ≥12综上所述，原命题正确．8. ⑴解方程:（x ＋8）2001＋x 2001＋2x ＋8＝02(1)2x -= ⑴解：原方程化为（x ＋8）2001＋（x ＋8）＋x 2001＋x ＝0即（x ＋8）2001＋（x ＋8）＝（－x ）2001＋（－x ）构造函数f （x ）＝x 2001＋x原方程等价于f （x ＋8）＝f （－x ）而由函数的单调性可知f （x ）是R 上的单调递增函数于是有x ＋8＝－xx ＝－4为原方程的解（2）两边取以2为底的对数得22222222222log (1)log (2log (121log (22log (1(1)()log (x x x x x x x x x f x x x=--++=-++=+++=+即即构造函数于是f （2x ）＝f （x 2＋1）易证：f （x ）世纪函数，且是R 上的增函数，所以：2x ＝x 2＋1解得：x ＝19. 设f （x ）＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3， 求14[f （4）＋f （0）]的值． 解：由已知，方程f （x ）＝x 已知有三个解，设第四个解为m ，记 F （x ）＝f （x ）－x ＝（x －1）（x －2）（x －3）（x －m ）∴ f （x ）＝（x －1）（x －2）（x －3）（x －m ）＋xf （4）＝6（4－m ）＋4f （0）＝6m ∴14[f （4）＋f （0）]＝7 10. 设f （x ）＝x 4－4x 3＋132x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f （x ）|≥12 证明：配方得：f （x ）＝x 2（x －2）2＋52（x －1）2－12＝x 2（x －2）2＋52（x －1）2－1＋12＝（x 2－2x ）2＋52（x －1）2－1＋12＝[（x －1）2－1]2＋52（x －1）2－1＋12＝（x －1）4－2（x －1）2＋1＋52（x －1）2－1＋12＝（x －1）4＋12（x －1）2＋12≥12练习：1.已知f（x）＝ax5＋b sin5x＋1，且f（1）＝5，则f（－1）＝（）A．3 B．－3 C．5 D．－5解：∵ f（1）＝a＋b sin51＋1＝5设f（－1）＝－a＋b sin5（－1）＋1＝k相加：f（1）＋f（－1）＝2＝5＋k∴ f（－1）＝k＝2－5＝－3选B2.已知（3x＋y）2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值．解：构造函数f（x）＝x2001＋x，则f（3x＋y）＋f（x）＝0逐一到f（x）的奇函数且为R上的增函数，所以3x＋y＝－x4x＋y＝03.解方程：ln＋x）＋ln2x）＋3x＝0解：构造函数f（x）＝ln＋x）＋x则由已知得：f（x）＋f（2x）＝0不难知，f（x）为奇函数，且在R上是增函数（证明略）所以f（x）＝－f（2x）＝f（－2x）由函数的单调性，得x＝－2x所以原方程的解为x＝04.若函数y＝lo g3（x2＋ax－a）的值域为R，则实数a的取值范围是______________．解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g（x）＝x2＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数所以函数y＝g（x）的图象应该与x轴相交即∆≥0 ∴ a2＋4a≥0a≤－4或a≥0解法二：将原函数变形为x2＋ax－a－3y＝0∆＝a2＋4a＋4·3y≥0对一切y∈R恒成立则必须a2＋4a≥0成立∴ a≤－4或a≥05.函数y______________．提示：利用两点间距离公式处理y表示动点P（x，0）到两定点A（－2，－1）和B（2，2）的距离之和当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|＝56.已知f（x）＝ax2＋bx＋c，f（x）＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞1a，若0＜t＜x1，试比较f（t）与x1的大小．解法一：设F（x）＝f（x）－x＝ax2＋（b－1）x＋c，＝a（x－x1）（x－x2）∴ f （x ）＝a （x －x 1）（x －x 2）＋x作差：f （t ）－x 1＝a （t －x 1）（t －x 2）＋t －x 1＝（t －x 1）[a （t －x 2）＋1]＝a （t －x 1）（t －x 2＋1a ） 又t －x 2＋1a＜t －（x 2－x 1）－x 1＝t －x 1＜0 ∴ f （t ）－x 1＞0∴ f （t ）＞x 1解法二：同解法一得f （x ）＝a （x －x 1）（x －x 2）＋x令g （x ）＝a （x －x 2）∵ a ＞0，g （x ）是增函数，且t ＜x 1⇒ g （t ）＜g （x 1）＝a （x 1－x 2）＜－1另一方面：f （t ）＝g （t ）（t －x 1）＋t ∴ 1()f t t t x --＝a （t －x 2）＝g （t ）＜－1 ∴ f （t ）－t ＞x 1－t∴ f （t ）＞x 17. f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，当0≤x ≤1，0≤y ≤1时．求证：存在实数x ，y ，使得|xy －f （x ）－g （y ）|≥14证明：（正面下手不容易，可用反证法） 若对任意的实数x ，y ，都有|xy －f （x ）－g （y ）|＜14 记|S （x ，y ）|＝|xy －f （x ）－g （y ）|则|S （0，0）|＜14，|S （0，1）|＜14，|S （1，0）|＜14，|S （1，1）|＜14而S （0，0）＝－f （0）－g （0）S （0，1）＝－f （0）－g （1）S （1，0）＝－f （1）－g （0）S （1，1）＝1－f （1）－g （1）∴ |S （0，0）|＋|S （0，1）|＋|S （1，0）|＋|S （1，1）|≥|S （0，0）－S （0，1）－S （1，0）＋S （1，1）|＝1矛盾！故原命题得证！8. 设a ，b ，c ∈R ，|x |≤1，f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f （x ）|≤1，求证：|2ax ＋b |≤4．解：f （1）＝a ＋b ＋cf （－1）＝a －b ＋cf （0）＝c∴ a ＝12[f （1）＋f （－1）－2f （0）]b＝12[f（1）－f（－1）]c＝f（0）|2ax＋b|＝|[f（1）＋f（－1）－2f（0）]x＋12[f（1）－f（－1）]|＝|（x＋12）f（1）＋（x－12）f（－1）－2xf（0）|≤|x＋12||f（1）|＋|x－12||f（－1）|＋2|x||f（0）|≤|x＋12|＋|x－12|＋2|x|接下来按x分别在区间[－1，－12]，（－12，0），[0，12），[12，1]讨论即可9.已知函数f（x）＝x3－x＋c定义在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2．⑴求证：|f（x1）－f（x2）|＜2|x1－x2|；⑵求证：|f（x1）－f（x2）|＜1．证明：⑴|f（x1）－f（x2）|＝|x13－x1＋x23－x2|＝|x1－x2||x12＋x1x2＋x22－1|需证明|x12＋x1x2＋x22－1|＜2 ………………①x12＋x1x2＋x22＝（x1＋222223)24x x≥0∴ －1＜x12＋x1x2＋x22－1＜1＋1＋1－1＝2 ∴ ①式成立于是原不等式成立⑵不妨设x2＞x1由⑴ |f（x1）－f（x2）|＜2|x1－x2|①若x2－x1∈（0，12]则立即有|f（x1）－f（x2）|＜1成立．②若1＞x2－x1＞12，则－1＜－（x2－x1）＜－12∴ 0＜1－（x2－x1）＜12（右边变为正数）下面我们证明|f（x1）－f（x2）|＜2（1－x2＋x1）注意到：f（0）＝f（1）＝f（－1）＝c|f（x1）－f（x2）|＝|f（x1）－f（1）＋f（0）－f（x2）|≤|f（x1）－f（1）|＋|f（0）－f（x2）|＜2（1－x2）＋2（x2－0）（由（1））＝2（1－x2＋x1）＜1综合⑴⑵，原命题得证．10.已知f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1）⑴若|a|≤1，求证：|f（x）|≤5 4⑵若f（x）max＝178，求a的值．解：分析：首先设法去掉字母a，于是将a集中⑴若a＝0，则f（x）＝x，当x∈[－1，1]时，|f（x）|≤1＜54成立若a≠0，f（x）＝a（x2－1）＋x∴ |f（x）|＝|a（x2－1）＋x|≤|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| （∵ |a|≤1）≤1－|x2|＋|x|＝54－（|x|－12）2≤5 4⑵a＝0时，f（x）＝x≤1≠17 8∴ a≠0∵ f（x）max＝max{f⑴，f（－1），f（－12a）}又f（±1）＝±1≠17 8∴ f（x）max＝f（－12a）＝178a（－12a）2＋（－12a）－a＝178a＝－2或a＝－1 8但此时要求顶点在区间[－1，1]内，应舍去－18．答案为－2．。
