2018届高三数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算夯基提能作业本理

平面向量的线性运算1．(2015·全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD→＝－13AB →＋43AC → B.AD→＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →. 答案 A2.(2015·全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎨⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 答案 123.(2014·全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO→＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________. 解析 由AO→＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案 90°平面向量基本定理及坐标运算4.(2012·大纲全国，6)△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD→＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b解析 解Rt △ABC 得AB ＝5，AD ＝45 5. 即AD→＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b ， 故选D. 答案 D5.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 －2平面向量的线性运算1.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解析 法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B. 法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎨⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎨⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.答案 B2.(2012·天津，7)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC→，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( ) A.12 B.1±22 C.1±102D.－3±222 解析 设AB→＝a ，AC →＝b ，则|a|＝|b|＝2，且a ，b＝π3，a ·b ＝2，BQ→＝AQ →－AB →＝(1－λ)b －a ，CP→＝AP →－AC →＝λa －b . BQ →·CP →＝[(1－λ)b －a ]·(λa －b ) ＝[λ(1－λ)＋1]a·b －λa 2－(1－λ)b 2 ＝(λ－λ2＋1)×2－4λ－4(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－32.即(2λ－1)2＝0，∴λ＝12. 答案 A3.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC→，则x ＝________；y ＝________.解析 MN→＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，又MN →＝xAB→＋yAC →.∴x ＝12，y ＝－16.答案 12 －16平面向量基本定理及坐标运算4.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO→＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. 答案 B5.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ→＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R解析 由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP→＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.答案 A6.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n∈R )，则m －n 的值为________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)， 即⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 答案 －37.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________. 解析 设D (x ，y )，由|CD→|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA→＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7. 答案 1＋78.(2013·北京，13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb 可得⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案 4。

第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知向量a,b不共线,c=k a+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向2.(2016武汉武昌调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于()A. B.2 C.3 D.43.如图,已知AB是圆O的直径,点C、D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b4.(2016日照模拟)在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形5.下列四个结论:①++=0;②+++=0;③-+-=0;④++-=0,其中正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.46.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状为.7.(2016内蒙古包头九中期中)如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.8.如图,在梯形ABCD中,=2,M,N分别是DC,AB的中点.若=e1,=e2,用e1,e2表示,,.9.设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若=3e1-k e2,且B,D,F三点共线,求k的值.B组提升题组10.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为()A.-B.-2C.2D.11.(2017甘肃兰州二中月考)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心12.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是.13.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是.14.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.15.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b 表示向量、.16.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(2)求证:B,E,F三点共线.答案全解全析A组基础题组1.D∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即k a+b=λ(a-b),∴∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.2.D+++=(+)+(+)=2+2=4.故选D.3.D连接CD,由点C、D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.4.A如图,由c+a+b=0知,c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,∴a-c=c-b=0,∴a=b=c,故△ABC是等边三角形.5.C①++=+=0,①正确;②+++=++=,②错;③-+-=++=+=0,③正确;④++-=+=0,④正确.故①③④正确.6.答案矩形解析如图,+=,-=,所以||=||.由对角线相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.7.答案解析设=x,∵=(+)=+x(-)]=(1+x)-x],且=λ+μ,∴1+x=2λ,-x=2μ,∴λ+μ=.8.解析==e1;=+=-+=+-=-=e2-e1;=++=--+=-=e1-e2.9.解析(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2,又与有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(1)知=e1-4e2,又因为B,D,F三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,所以3e1-k e2=λe1-4λe2,得解得k=12.B组提升题组10.B易知==,∴EF=EB,∴==(+)==+=-,∴m=,n=-,∴=-2.11.B由=+λ,知-=λ,即=λ,∴P在∠BAC的平分线上,故点P的轨迹一定通过△ABC的内心.12.答案解析因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式可知,==.13.答案解析由题意易得AD=1,CD=,所以=2,因为点E在线段CD上,所以设=λ(0≤λ≤1),当λ=0时,点E与点D重合,此时=,则μ=0;当0<λ≤1时,=+μ=+2μ=+,又因为=+,所以=1,即μ=λ,所以0<μ≤.综上,0≤μ≤.14.答案2解析连接AO,∵O是BC的中点,∴=(+).又∵=m,=n,∴=+.∵M、O、N三点共线,∴+=1.∴m+n=2.15.解析∵=-=-a,=-=-b,3+4+5=0,∴3+4(-a)+5(-b)=0,∴=a+b.设=t(t∈R),则=t a+t b.①又设=k(k∈R),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+.∴=a+k(b-a)=(1-k)a+k b.②由①②得解得t=.代入①得=a+b.∴=a+b,=a+b.16.解析(1)由已知可得=(+)=(a+b).==·(a+b)=(a+b),==b,=-=(a+b)-a=b-a,=-=b-a.(2)证明:由=b-a,=b-a,得=,又,有公共点B,故B,E,F三点共线.。

第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．5．1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________．-a|a |是一个与a ________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n-1A n →＝____________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)；a ＋0＝____________＝a .(2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a -b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠1．(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a -b 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝-|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D .设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝-13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →-43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →-13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →-AB →)＝-13AB→＋43AC →.故选A .(2015·湖北联考)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →-OB →B ．-OA →＋2OB →C.23OA →-13OB →D ．-13OA →＋23OB →解：由2AC →＋CB →＝0得2OC →-2OA →＋OB →-OC →＝0，故OC →＝2OA →-OB →.故选A .在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM→＝mAB →，AN →＝nAD →(mn ≠0)，若MN →∥BE →，则n m＝________.解：MN →＝AN →-AM →＝nAD →-mAB →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →-12AB →，因为MN →∥BE →，且向量AD →和AB →不共线，所以n 1＝-m -12，解得nm＝2.故填2.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP→|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →-OA →＝AD→⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1.故填1.类型一 向量的基本概念给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形； ④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．若AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B .【点拨】从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二 向量的线性运算在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →-AB →)＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →-AB →＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b.解法二：由于G 是△ABC 的中线BE 与CF 的交点，所以G 为△ABC 的重心．延长AG 交BC 于H ，由重心的性质知，AG →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .【点拨】(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．(1)设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝解：如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.故选B .(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD → C.BC →D.12BC → 解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A . 类型三 向量共线的充要条件及其应用已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →， 所以存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →-OB →＝m (OB →-OA →)，所以OC →＝-mOA →＋(1＋m )OB →.令λ＝-m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝-m ＋1＋m ＝1， 即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性．若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，则OC →＝λOA →＋(1-λ)OB →，所以OC →-OB →＝λ(OA →-OB →)，即BC →＝λBA →， 所以BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 综合(1)(2)可知，原命题成立．【点拨】证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝-5a ＋6b ，CD →＝7a -2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(-5a ＋6b )＋(7a -2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．故选A .(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .所以(k -λ)a ＝(λk -1)b .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k -λ＝λk -1＝0，所以k 2-1＝0.所以k ＝±1.故填±1.(3)如图，在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点．若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1解：由N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由B ，M ，C 三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.故选A .1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/ a ＝±b ；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝-b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C .2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a -b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝-1且c 与d 同向D ．k ＝-1且c 与d 反向解：因为c ∥d ，所以存在实数λ，使得c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a -b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝-λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝-1，λ＝-1. 此时c ＝-d .所以c 与d 反向．故选D .3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1-λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →-OA →＝λ(OB →-OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，所以点B 在线段AM 上．故选B .4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解：因为D 为BC 的中点，所以由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝-2OA →＝2AO →，即2OD →＝2AO →，所以AO →＝OD →.故选B .5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解：由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →-AB →)＝CB →＋23BC →＝-13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．故选A .6．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．-2B ．-12C ．2D.12解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →＝AE →-AB →＝12b -a ，由向量EF →与BE →共线可知存在非零实数λ，使得EF →＝λBE →，即m a ＋n b ＝12λb -λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝-λ，n ＝12λ， 消去λ得m n ＝-2.故选A .7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解：DE →＝BE →-BD →＝23BC →-12BA →＝23(AC →-AB →)＋12AB →＝-16AB→＋23AC →， 因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＝-16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.故填12.8．已知D 为△ABC 的BC 边上的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解：PA →＋BP →＋CP →＝0，则CA →＋BP →＝0，即CA →＝PB →，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，如图所示．因此AP →＝-2PD →，则λ＝-2. 故填-2.9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝-a ＋b ＋12a ＝b -12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝-14a ＋(-b )＋12a ＝14a -b .10．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a -b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线． 解：(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a -b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a -b ) ＝2a ＋8b ＋3a -3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. 所以AB →，BD →共线，又因为它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k -λ)a ＝(λk -1)b ， 因为a ，b 是不共线的两个非零向量，所以k -λ＝λk -1＝0，即k 2-1＝0，所以k ＝±1.11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解：因为A ，M ，D 三点共线， 所以OM →＝λ1OD →＋(1-λ1)OA → ＝12λ1b ＋(1-λ1)a ，① 因为C ，M ，B 三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1-λ2)OC →＝λ2b ＋1-λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1-λ1＝1-λ24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37. 故OM →＝17a ＋37b.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C选项错误；对于选项D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．故选D.。