概念教学必须体现概念的形成过程_平面向量的概念_的教学与反思_章建跃

围绕“概念的核心”展开课堂教学——“正弦函数图像”的教学与反思章建跃田颖人民教育出版社 100081 河北石家庄二中 050011一、引言河北省于2009年秋季开始使用“人教A版”教材。

使用过程中，老师们碰到了许多问题，这与先行进入实验的地区遇到的问题没有本质不同，主要有：（1）对“模块化”的课程结构体系不适应；（2）内容多，课时不够；（3）螺旋上升导致教学要求难把握；（4）对传统内容新的处理方式不适应；（5）对信息技术要求提高，使用频率大大增加，有些教师的信息技术技能无法适应这种要求；（6）教材的呈现方式发生较大变化，特别是问题引导学习、加强探究式学习等对教师的教学方式有较大挑战；（7）统计、概率内容增加较多，但大多数教师的统计概率知识储备不足；（8）初高中衔接、各模块之间的衔接都存在问题，学生不仅在高中数学学习的必备知识上有缺口（如根式化简、三元一次方程组、简单二元二次方程组等都没学过），而且在运算、推理的基本技能上也存在较大问题，高中老师的普遍感受是“今不如昔”；（9）加大了数学与生活、现代科技及其它学科的联系，加强了数学应用，但许多老师比较习惯于“从数学到数学”；（10）还有一个挥之不去的问题，就是高考的选拔性与高中教育基础性存在的永恒矛盾。

产生这些问题的原因，有的来自于课改的推进方式，在教师普遍没有必要准备时就大面积推广新教材，必然会出现许多难以预料的问题，有些本来可以避免的问题也大量出现了；有的来自于课程设计，例如模块化的课程结构确实不够光滑，存在整体结构逻辑性差、知识不连贯性、螺旋设置不合理等问题；有的来自于教材，例如教材对个别概念的处理不精细、不明确，致使师生产生模糊理解，有时甚至是误解；有的来自于“习惯冲突”，例如，与大纲比较，课标设置的数学内容拓宽了广度，但相应地降低了教学要求，而教师长期习惯于“讲深讲透”，因此很不适应；又如，教师比较习惯于直线式的教材结构，常常是一杆子扎到底，一步到位，对课标的“螺旋上升”理念也不适应；又如，对传统内容的一些与时俱进的新处理方式不适应；也有来自于教师自身的原因，课改对教师的专业素养提出了较高要求。

• 2．概念课的主旋律是让学生参与概念本质 特征的概括活动 • 特别注意让学生举例子。 • 教师认为容易的，学生并不一定容易。
• 3．概念教学要使学生自然地、水到渠成地 实现“概念的形成” • 概念教学的自然和水到渠成应包括两方面： 一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理 逻辑的自然，主要是思维过程的自然．
• 重要的不是向量的形式化定义及几个相关 概念，而是获得数学研究对象、认识数学 新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点 刻画和研究现实事物的方法和途径，这是 一个带有“本源”性质的过程，即要使学 生从中体会到认识一个数学概念的“基本 套路”：
• 从具体背景中抽象出共同本质特征——定 义——定性表示——定量表示：刻画大小 就需要“单位元”、 “0元”，刻画方向 就要定义平行、共线、相反等特殊关系． • 什么叫“相等”（这很重要，但往往不被 注意），这是分类的需要，数学是研究一 类对象的。
概念教学必须体现概念的形成
——兼谈“章起始课”的教学（以 平面向量起始课为例）
一、当前概念教学的问题
• 不重视章节起始课的教学，没有把本章节 要解决的主要问题、基本过程和主要思想 方法等纳入教学任务中； • 概念教学走过场，常常采用“一个定义， 几项注意”的方式，在概念的背景引入上 着墨不够，没有给学生提供充分的概括本 质特征的机会，认为让学生多做几道题目 更实惠． • 有些老师不知如何教概念．
对向量集合的认识
• 问题：你认为在所有向量组成的集合中， 哪些向量较特殊？ • 追问：大家为什么认为它们最特殊？你们 是怎么想的？——唤醒实数的学习经验， 渗透类比实数研究向量概念的思想。 • 可以让学生类比1的作用，说说“单位向量” 的作用。
• 2．相等向量、平行向量、共线向量、相反 向量概念的形成 • 问题：观察正六边形ABCDEF．给图中的 一些线段加上箭头表示向量，并说说你所 标注的向量之间的关系．（举例） • 追问：你是怎样研究的？比如，你画了哪 几个向量？你认为它们有怎样的关系？

章建跃简介章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。

现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。

人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。

主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。

社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。

一、闻思修得智慧本期我们集中刊登了关于高中数学课标教材必修模块的一组实验经验交流文章。

薛红霞、张曜光、李学军、李昌官、吴明华都是一线教研员，其他都是一线教师，他们是本次课改的亲历亲为者，可说是尝遍课改的酸甜苦辣，因而对课改是最有发言权的，因此这组文章可以算得上是“闻思修”而得的智慧成果。

众所周知，本次课改是为了适应我国社会发展新需要，以提高教育质量为核心，全面推进素质教育，切实减轻学生负担，努力提高青少年思想道德、科学文化和健康素质，着力培养青少年的社会责任感、创新精神和实践能力，因此其大方向是完全正确的。

但是，由于种种原因，课改实施过程中存在许多不尽如人意的地方。

一段时间以来，急功近利倾向甚至把课改引入歧途，严重损害了课改的声誉。

对此，有各种不同的态度。

怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟风者有之。

而大多数老师则是理性思考、谨慎行动，薛红霞等老师的文章就是例证。

教育改革不以人的意志为转移。

客观地说，当前我国数学教学确实存在许多需要改进的地方，其中特别突出的是数学教学缺少亲和力，问题意识淡薄，重结果轻过程，讲逻辑不讲思想，重题型、技巧轻通性通法引导。

因此，需要广大数学教育工作者“闻思修”以获得走向课改成功的智慧，使改革的成果惠及学生，达到学得轻松、愉快而成效显著。

由于思维惯性所致，人们面对新事物的第一反应是排斥。

然而明智的做法是静心听闻，而且要善听、会听，听到“无声之声”。

所谓兼听则明，这样才能了解改革的真实意图，才能“闻所成慧”。

对高三总复习抓好概念教学的感悟作者：段根平来源：《中学课程资源》2014年第06期摘要：本文主要讨论了学生在完成高一高二的概念学习的基础上，进行高三总复习时，应如何进行高效的基本概念复习。

关键词：高三总复习概念教学感悟李邦河院士说过：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”章建跃博士在浙江绍兴做讲座时也大力倡导在核心概念的教学上要做到“不惜时，不惜力”，应把教育关注的重点落在对数学的内容、方法和意义的了解和理解上，这样才能真正做到“教书育人”。

而在实际的一线教学中，许多教师并不重视概念教学，一提到概念教学就觉得没意思、没用、难教。

教师既不在概念的讲解上下功夫，也不让学生经历概念的概括生成过程，仅以解题教学代替概念教学。

这必然加重了学生的负担，学生的数学思维没有得到锻炼，还会导致学生在数学学习中产生各种问题。

学生“一听即懂，听过即忘”，也会影响学生学习数学的兴趣。

在高三总复习中，所有的概念在高一高二已经学完，那么在高三备考总复习中教师应如何做才能高效地完成对基本概念的复习呢？面对求知若渴的学生，作者无数次问自己：如何才能找到一条有效途径，让学生最大限度地吸收教师所讲的知识？一段时间以来，作者不断地探索原因，并苦苦地寻找各种可以帮助学生既能复习好核心概念又能达到学以致用的目的的方法。

作者从中感悟到以下几点与大家共勉。

一、对核心概念要适当进行深化面对已掌握一定数学概念的高三学生，教师在高三总复习时的任务是深化概念教学，使学生在原有的思维基础上再向前发展。

案例1：（2013年广州市二模文13，理13）数列{an}的项是由1或2构成的，且首项为1，在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即数列{an}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…记数列{an}的前n项和为Sn，则S20= ；S2013= .分析：本题的第二空整体得分率非常低，难倒了不少学生。

本题的实质就是考查学生对数列概念的把握。

动 ），这时""在""方向上的投影有没有发生改变？ 生(部分投影没有发生改变. --" -" 师: 是的，投影没有改变，因 此 " C的数量积就是
--" 模 的 平 方 .（这 里 笔 者 想 让 学 生 从 动 态 上 更 加 深 刻 地
认识到数量积的几何意义，因此特意着重强调D
师 :好 ，老师刚才是把C点 往 下 拖 ，如 果 现 在 把 C点 往右拖(沿" C延 长线方向），你们再来试试看该如何求？ (出示问题2 )
考试 研究
备考指南
2016年 12月
让学生积极有序有效互动
— “平 面 向 量 数 量 积 复 习 课 ”教 学 实 录 与 感 悟
! 浙江省温州市第二高级中学林荣 ! 新疆阿克苏拜城县教育局教研室唐胜忠
本 复 习 课 是 一 节 交 流 研 讨 公 开 课 ，是 在 高 一 学 生 刚 学了平面向量这一章节知识后所做的归纳总结.本节课 定位于平面向量数量积的运算，通过 前 期 的 学 习 ，学生 已经对平面向量的知识有了较为全面的认识和了解，对 几何问题代数化有初步的认识.此时若能根据学生的知 识基础和能力基础设计适当的复习课引导学生在教材 的基础上作进一步的探究学习，对训练学生的思维与探 究能力将有很大的帮助.本着“学 生 参 与 ，积 极 互 动 ”的 教 学 理 念 ，笔 者 采 用 了 以 “问 题 变 式 引 导 、师生对话交 流 ”为 主 线 的 教 学 模 式 ，通 过 组 织 师 生 互 动 ，较好 地 完 成 了 教 学 任 务 .现 将 本 节 课 向 大 家 汇 报 ，并 谈 谈 笔 者 的 感 悟 与 反 思 ，与大家 交 流 .
参考文献：

章建跃：数学课堂教学设计研究章建跃博士简介章建跃，数学课程与教学论硕士，发展与教育心理学博士。

现任人民教育出版社中学数学室主任。

人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。

全国高师数学教育研究会秘书长，中国教育学会中学数学教学专业委员会常务理事、学术委员会副主任，中国心理学会教育心理学专业委员会学术委员，《数学通报》编委，人教版《普通高中课程标准实验教科书8226;数学》副主编。

曾经担任中学数学教师十年，有丰富的中学数学教学经验。

在北京师范大学工作十年，担任中学数学教学概论、小学数学教育学、数学教育心理学等课程的教学工作。

出版的著作有《中学生数学学科自我监控能力》《数学学习论与学习指导》《数学教学心理学》《数学教育心理学》等；在全国核心杂志上发表论文50多篇，其中，《略论启发式数学教学的基本要求》《启发式数学教学的几个关键》《关于课堂教学中设置问题情景的几个问题》《数学课堂教学要适应学生的发展水平》《创造力研究与数学教育》《建构主义及其对数学教育的启示》《建立在主体活动理论上的课堂教学观》《关于数学课程标准研制中的几个问题》《数学课堂教学中的基础与创新》《三次国际数学教育改革运动及其启示》《数学教育改革中几个问题的思考》等，均引起较大的社会反响。

作为课题负责人，目前正进行全国教育科学规划“十五”国家重点课题“新基础教育课程教材开发的研究与实验”中的分课题“新中学数学课程教材开发的研究与实验”的研究工作。

新课程实施中的数学课堂教学设计一、科学教育观与教学设计科学教育观的内涵科学教育观是进行教学设计的根本指导思想；对教师的专业化水平提出了高要求；对教学质量的内涵要有与时俱进的认识。

对于课堂教学，只有经过精心设计的教学对学生的发展才会产生优质、高效的促进作用，这就是我们经常讲的课堂教学的高质量。

二、教学为什么要设计教学设计就是为达到教学目标，教师对自己的教学行为所进行的系统规划。

主要解决（1）教什么，（2）怎样教这两个问题。

一、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把 握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体— 对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更 多的典型、精彩的例子；从孤立到系统—对概 念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体 化的认识；等。 • 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是 重点 。
例1 几个数学概念的解读
• 如何理解诱导公式？ • 推导等差数列前n项求和公式的思想方法 是什么？ • 如何理解两个变量的线性相关问题？
例2 如何理解“乘法公式”
• 代数——以符号(不定元)代表数； • 代数学的根源在于代数运算； • 代数运算有一系列普遍成立的运算律： 交换律、结合律、分配律、指数法则； • 代数学的基本思想：有效、有系统地运 用运算律去解答各种各样的代数问题。
二、高立意与低起点
• 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠 气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥 漫着“功利”，缺少思想、精神的追求， 严重影响数学育人。 • 数学的“育人”功能如何体现？——挖 掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学 中将知识教学与价值观影响融为一体。 • 关键：提高思想性。
例3不等式基本性质“立意”比较
例11 两个平面平行的判定问题
• 指导思想：类比两条直线平行的判定， 提出两个平面平行的判定的猜想，再给 出证明。 • 问题1 回顾已经得到的两个平面平行的 判定定理，你能说说得到这些判定定理 的思想方法吗？——定义法（原始，不 容易说清楚），化归为线面平行（用已 知想未知，与平面三公理联系等）。
三、怎样才是抓“基础”
• 我国“双基”的优势正在丧失； • 现象：（1）数学教学=题型教学=刺激— 反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少 概念的概括过程，以训练代替概念教 学——应用可以促进理解，但没有理解 的应用是盲目的；（3）过分关注“题 型”——与“题型”对应的技巧是雕虫 小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的 不一定会，没讲没练的一定不会”；等。

章建跃简介章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。

现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。

人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。

主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。

社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。

“创造性使用教材”≠“脱离教材”章建跃本期刊登的文章中，有多篇文章不约而同地谈到要重视教材的问题。

薛红霞以函数概念的教学为例，阐述了理解教材编写意图对于实现教学目标、提高课堂教学质量的重要意义；连春兴和王霞阐述了以“学案”引导学生阅读教材、开展探究性学习的做法；而对最容易脱离课本的高考复习，韦华荣也提出要以课本为依据、充分重视课本例习题的观点。

这些观点值得重视。

不过，在最近的大量课堂观察中（其中包括全国优质课评比活动中的课），我发现脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。

调研表明，出现脱离课本进行教学的原因主要有三个方面：第一，许多教师认为教材内容“简单”，不足以应付高考；第二，误解本次课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“创造性地使用教材”的真正意图；第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材。

对上述问题，我有如下几点思考：首先，一定要正确理解“不是教教材，而是用教材教”的内涵，我认为这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡大家“脱离教材”进行教学（当然，某些“课改专家”确实提出过“教材仅仅是课程资源的一种”“教师是课程资源的开发主体”等，但实践证明，这些观点过于理想化了）。

其次，“教材太简单，不足以应付高考”的观点是偏颇的。

诚然，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。

第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。

2014 年第 12 期
福建中学数学
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参考文献 [1]章建跃，陶维林．概念教学必须体现概念的形成过程．数学通报，2010 （1）：25-29
[2]成建．高中数学教学中关于对话教学的初探．数学学习与研究，2011 （7）：17 [3]唐锐光．从一个案例管窥数学对话教学——二项式定理起始课教学案 例分析．中国数学教学，2012（10）：15-16
向量的模 模
相反向量
相等向量
单位向量
零向量
向量的概念 表示法 共线向量 向量相等
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结合 “ 对话 ” 教学的理念，进行了如上教学过程设 计．因此笔者有以下几点体会： 2.1 精心设问，驱动师生“对话”的开展，完整展 现数学知识的发生发展 平面向量概念的产生有着丰富的知识背景，再 由于数学概念的高度抽象性，对任何一个貌似简单 的概念，学生往往都要费很大周折才能理解，甚至 于无法理解而只能死记硬背．而现代教学理念认为， 学习的最好途径是让学生自己去发现，苏霍姆林斯 基也说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的 需求，这就是希望感到自己是一个发现者，研究者， 探索者．”在向量概念的教学中，笔者依据学情，针 对每一个概念设计一个个问题串，提出一系列的问 题，学生寻找例子，启发学生认识其中的矛盾，引 导学生积极思考， 驱动师生“对话”， 让学生在问题的 引领下展开自主学习，让学生在潜移默化中获得知 识，更学会如何学习． 2.2 恰时恰当地插入生生“对话”， 形成生动活泼 的课堂氛围 笔者在讲授向量的表示时，不直接告知向量的 表示法，而是通过让学生上台在黑板上画，通过自 己先动手尝试向量的表示，在探究、交流讨论中相 互指正、相互完善，从而掌握正确的表示方法．通 过这种互帮互学的形式，不仅活跃了课堂气氛，关 键还尽可能让全部的学生能够通过生生“对话”， 亲历 概念的形成．这样生成的概念才深刻．通过生生“对 话”，不仅落实了双基，更重要的是学生自主探索， 合作交流，相互启发，相互点拨，使学生的思维得 到碰撞， 心智得到开启， 在相互的“对话”中学会了倾 听，学会了表达，学会了与同伴交流，这是任何说 教都不能比拟的． 因此，我们的课堂教学需要提供让学生“想说、 肯说、能说”的对话机制，使学习群体在思想、情感 与认识上得以充分直接的交流，合作与共享，真正 体现出学习的本原要义． 2.3 重视指导学生对教材的使用， 实现学生和文 本的亲密“对话” 在整个概念教学中，适时地指导学生三用教 材．第一次是在课堂刚开始，引导学生观察章头 图．以往我们常忽视指导学生如何使用教材，这样 的处理，是唤起了师生共同对文本的重视．实际上 短短的章引言中，说明了向量的研究对象及研究方

平面向量的概念教案教学反思这是平面向量的概念教案教学反思，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平面向量的概念教案教学反思第1篇“空间向量与立体几何”一章是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，本节是概念教学，概念的展开采用了从平面向量过渡到空间向量的过程，突出了类比思想。

进而在了解空间向量概念的基础上，运用空间向量表示直线的方向和平面位置关系的问题，体会向量在研究几何图形中的作用。

下面有几点体会：1. 课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移用到了三次不在同一个平面内的位移从而进入课题，可引导学生举出更多的实例，墙壁支架上物体所受的力等。

让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，体会数学来源于实际，提高学生学习兴趣及善于观察的能力。

2. 讲授基本概念时，注重类比归纳的方法，从平面向量入手，类比得到空间向量的基本概念，无论是从向量的定义、向量的表示、向量的长度，还是特殊向量（单位向量、相等向量等）、向量与直线等都从平面向量类比到空间向量。

这里通过微课的播放让学生进行回顾，过于单调，而微课的呈现也起到了一定的作用。

3.自主学习的时候学生的积极性不是特别高，因为提前给小组布置了相应的任务，有个别小组没有过多关注其他问题，下次不提前告知任务。

4.课堂探究时学生的表现很好，但是对于学生的回答，总结点评不是特别到位。

5.空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比、猜想、归纳、推广的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

平面向量的概念教案教学反思第2篇向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。

通过向量的学习，要求学生学会用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题与其他一些实际问题，运用数学思想、方法和知识，发展运算能力和解决实际问题的能力。

概念教学必须关注概念的生成过程———“平方根”一课中两种教学设计的对比与反思张莹莹（江苏省南京市29中教育集团致远校区，210000）数学概念是进行推理、判断、证明的依据，是建立定理、法则、公式的基础．数学概念教学要关注概念的生成过程，并引导学生自然地构建数学概念．在实际教学中，教师往往习惯于关注概念的强化运用，忽视概念的生成过程，将概念灌输给学生，而学生只是依葫芦画瓢地套用，似懂非懂．笔者在此结合“平方根”的课堂教学实践，谈一谈对概念生成教学的一些体会与思考．一、两种教学设计对比1.教学设计一填空：（1）32=，（－3）2=，（）2=9；（2）（12）2=，（－12）2=，（）2=1 4；（3）02=，（）2=0．师：请你再列举出与以上类似的式子．生：22=4，（－2）2=4，（ʃ2）2=4．师：在等式x2=a中，已知a=－3，你能求x吗？已知a=5，你能求x吗？一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根．也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根．例如，因为22=4，（－2）2=4，所以ʃ2叫做4的平方根；因为102=100，（－10）2=100，所以ʃ10叫做100的平方根；因为132=169，（－13）2=169，所以ʃ13叫做169的平方根．你能再举几个类同的例子吗？你得到什么结论？生1：因为52=25，（－5）2=25，所以ʃ5是25的平方根．生2：一个数的平方根有2个，它们互为相反数．师：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．我们把正数a的正的平方根，记作“槡a”；负的平方根记作“槡－a”；合起来记作“槡ʃa”，读作“a的平方根”，也可以读作“正负根号a”．例如，2的平方根记作“ʃ槡2”．师：请同学们写出3的平方根、4的平方根、10的平方根．生3：3的平方根是ʃ槡3．生4：4的平方根是槡4=ʃ2．生5：10的平方根是ʃ槡10．师：生4写的等式的等号左边是一个数，而等号右边却是两个数，显然一个数与两个数之间是不能画等号的．所以正确写法应该是“ʃ槡4=ʃ2”．师：任意一个数都有平方根吗？9的平方根是什么？5的平方根是什么？0的平方根是什么？0的平方根有几个？－4、－8、－36有平方根吗？为什么？生6：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；0只有1个平方根，它是0本身；负数·82·初中数学教与学2013年没有平方根．以下练习（略）．教学设计二问题情境：师：有一个面积为100m2的正方形场地，问这个正方形场地的边长为多少？生1：边长是10m．师：请画出一个面积为50m2的正方形场地，这个正方形场地的边长为多少？（学生思考．）师：这个问题就是需要找到一个数的平方，使它等于50，这个数是多少呢？建构活动：师：我们给这个数起个名字，叫平方根．一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根．也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根．例如，（ʃ3）2=9，+3和－3都是9的平方根．师：什么数是5的平方根呢？（学生开始议论．）生2：5没有平方根．生3：5有平方根，因为5是一个正数，肯定有一个数的平方是等于5的．生4：这个数是什么呢？该如何表示呢？师：同学们的议论非常好，想法都有一定道理．其实，我们的困惑在很久以前，数学家们也同样有过，为了方便表示这个数，数学家们使用了“槡”这个符号．而通过我们前面的举例，你们认为一个正数有几个平方根？生5：2个．师：它们是什么关系？生6：互为相反数．师：于是人们就用“槡+a”来表示一个正数a的正的平方根，通常“+”省略；用“槡－a”来表示一个正数a的负的平方根，而两个合在一起，“ʃ（）”就表示一个正数a的平方根．为了统一，9的平方根也表示为“ʃ槡9”，而且，我们知道它的值是ʃ3．师：现在你能解决问题情境中的第2个问题吗？生7（脱口而出）：槡50m．师：为什么只有一个？生8：因为这是在实际问题当中，负的要舍去．师：9有平方根吗？有几个？分别是什么？4有平方根吗？0有平方根吗？－4有平方根吗？3有平方根吗？师（连续追问）：你有什么发现？你是按什么来分的？分几组？你得到什么结论？其他同学有什么不同意见？根据学生的回答，教师呈现：9与4分别有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；－4没有平方根．二、教学设计对比分析1.问题引入对比教学设计一直接由平方运算引入，表面上看，教师从学生原有的认知出发，是符合学生的认知发展规律的，但实际上教师忽视了平方根概念的实际背景和实际意义，学生根本不清楚为什么引入这一概念？这样做的意义在于什么？只是一味地在模仿．教学设计二则以本校操场上的正方形场地为背景，引入平方根概念，贴近学生的生活实际，让学生感觉到很亲切，又以“画出一个面积为100m2的正方形场地，这个正方形场地的边长为多少？”为设问，从学生的认知出发，使学生很容易回答，而且能迅速进入教学情境．接着以“画出一个面积为50m2的正方形场地，这个正方形场地的边长为多少？”为设问，学生产生了认知的冲突，激发了学生进一步探究的欲望，同时也揭示了平方根概念的实际背景和意义．而实际上，这样的例子生活中有很多，如“家中10个平方的正方形客厅·92·第3期初中数学教与学边长是多少？”等等实例，能让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程，为知识的自主建构和平方根概念的生成作了必要的铺垫．2.知识建构对比教学设计一中平方根的概念是由教师直接告诉学生的，而且教师只在简单的几个例子之后就归纳出了抽象的、一般性的数学模型，学生其实是难以理解的．从学生的反映和反馈练习中可以看到存在着很多问题，教师采用这种教学方式，学生没有参与到概念的形成过程之中，也就很难理解如此抽象的概念本身，以至于学生会写出“槡4=ʃ2”这样的错误等式来．教学设计二先以一个完全平方数的实际情境揭示平方根的概念，让学生弄清楚平方根概念的本质，并给平方根起“名字”，既有趣又合理，自然亲切．教师紧接着的追问，让学生再次产生认知冲突，激发了学生思维的碰撞，让“ʃ槡4与ʃ2”在学生的认知里达成统一，从而使概念在师生互动中动态生成．3.概念生成对比在对平方根概念进行进一步认识时，教学设计一中的讨论交流其实只是一个形式，教师代替学生进行了分类，学生根本不需要交流就能得出结论．教学设计二中的交流讨论，给学生思考的空间更大了，教师没有直接帮学生分类，而是引导学生自己进行分类，感受分类的思想．并且教师关注了概念的生成过程，体现了学生的概念学习过程是一个建构与生成的过程．可见，只在记忆概念的基础上进行概念的辨析和运用，仅仅只是执行规则的活动，并不是一种认识活动，学生不可能达到对数学概念的深刻理解．三、概念生成的再认识1.情境创设要有“趣”概念的引入是概念课教学的起始步骤，是形成概念的基础．通过创设合理的问题情境，可以使学生明确“概念在生活中的实际背景是什么？”“为什么引入这一概念？”“如何建立概念？”从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，让学生掌握学习的主动权．教学设计二以操场上正方形场地为情境，用“50m2的正方形场地的边长”引发认知冲突，贴近学生的生活实际又充满着浓浓的数学趣味，把学生的兴趣和探究欲望瞬间拉近，为抽象概念的形成作好了充分的铺垫．2.动态生成要有“序”数学概念一般来源于实际问题的解决或数学自身发展的需要．在定理、法则、公式这些冷冰冰的形式化知识展现的背后，都隐藏着原始的、生动活泼的数学思维，教学中讲清概念的来龙去脉，既会让学生感到具体而不抽象，又有利于形成生动活泼的学习氛围．如果忽视概念的形成过程，把形成概念的生动过程变为简单的“条文加例题”，则不利于学生对概念的理解．因此，注重概念的有序生成，可以完整地、内在地揭示概念的本质属性，使学生对理解概念具备思想基础，同时也能培养学生从具体到抽象的思维．3.思想渗透要有“路”概念是数学思维的基础，概念的形成是数学学习的节点而不是终点．引导学生感受概念认识过程中蕴含的的数学思想，在概念的运用和推广中渗透数学思想，是概念生成的重要途径．教学设计二通过“9、4、0、－4、3这些数是否有平方根？有几个？分别是什么？”这一系列交流活动，让学生讨论、分析、概括，这样的教学设计是有效的．综上，概念教学必须关注概念生成的过程，没有过程就等于没有思想．重视概念教学的生成，不仅要让学生明白一些原理，更要让学生学会一种思维方法，一种对数学本质的领悟．·03·初中数学教与学2013年。

思维的要求也是逐步提高 ，使思维的发散性和变异 性都 得 到训 练 ． 第 二步 探究 问题 问题 ３ 提出后 ， 让学生 自己“ 动手” 操作， 在平面
第三步 归纳结论 通 过师 生的 共 同合 作 ，首 先 由学 生根 据 上面 的 探 究 口述 定 理 ，教 师进 行 完 善 归纳 并得 到平 面 向量
引入片段进行教学设计与反思 ． １教学设计 第一步 提出问题 首 先是 复 习向量 的 三种 线 性运 算 及 共线 定 理 ，
接着 马 上设 置 问题 情 境 ，一 步 步 引导 学 生“ 动脑 ” 思 考 、“ 动手” 作 ． 操
到 的只是 向量 ａ方 向 的改 变 ，但 都 能 构造 平 行 四边
２ ６
福建 中学数 学
２ １ 年第 ４期 ０２
概念 的教学要 生“ ’ 动’
— —
“ 面 向量 基 本定理 ” 学片 段 的设计 与反 思 平 教 邱 红霞 浙 江省 湖州 中学 （ ００ ３３ ０ ） １
课 标 课 程对 数 学课 堂 教 学提 出 了更高 的要 求 ， 数 学教 学应 该是 数学 “ 动” 活 的教 学 ． 尤其 是在概 念课 的教 学 中 ，要 让 学 生经 历 知识 发 生 发展 的过 程 ，让 学 生主 动地 理 解 并掌 握 知识 ，同时注 重 学 生思 维 能 力 的培 养 ．因 此 ，概 念 教 学 不是 简 单 的教 师讲 授 、 学 生记录 所能 解决 的 ，教 师要 善于 创设 一定 的情 境 ， 充 分 发 挥 学 生 的 主 体 作 用 ，让 学 生 充 分 的 “ ” 动 起 来 ．下面 就人教 版必 修 ４平面 向量基 本 定理” “ 的概 念
学 生 的“ 心动” ．
追 问 ４ 若 ｅ，ｅ也没 有给 定 ，可以任 取 ， ， 那么 ａ

1．学生准备课前预习回家做作业。其具体步骤是： ①相应知识的系统梳理；②典型例题的摘录；③搜集平 时作业，测验作业中存在的典型错误；④提出针性训练 的练习题；⑤准备思考题，以及家庭作业。学生的准备 可以从中选择一项，学有余力的同学可以多选。
2．学生可以分为出题组、答题组和归纳组（每组 3～4 人），三个小组又可构成一个大的探究组，各小 教学过程 组的角色在其过程中可以互换；教师从旁引导，控制教 学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知冲 突的部分作相应的释疑，最后选出具有代表性的题目和 表达最完整的归纳展示给学生。
迫使学生进行章节的全面复习，对知识进行系统整理，
这一复习环节，却真正达到了学生自觉地学习，使学生
由被动学习转化为主动学习，提高学习效率。 3．组织这样的课堂教学流程，培养了学生口才、
组织能力、逻辑思维能力、应变能力、心理承受能力等 等，促使学生的个性达到良性的发展。
4．由于改变了课堂的传统座位排法，学生得到了 互相帮助的机会，学习较差的学生能直接得到学有余力 的同学的帮助和指导，更容易掌握和理解所学的知识， 调动兴趣，提高了学习能力。互帮互学为学生营造了一 个轻松、愉快的学习氛围。打破教师出题，学生解答的 单调教学模式。通过学生自己变式，充分体现学生的主 体性，使他们对一类问题有根本性地掌握，起到以点带 面的效果。通过以组题的形式让学生通过有目的的联 想，探索习题之间的内在联系，明确问题产生的背景， 领会问题的实质，进而找到相应的解题策略，培养学生 的思维的灵活性和广阔性，进一步完善、深化学生的认 知结构。
高中数学教学课例《平面向量的概念及运算法则》教学设计 及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《平面向量的概念及运算法则》
称
平面向量是高考命题中的热点内容，每年都有命题

章建跃关于概念教学的流程
1. 概念引入，教师首先需要引入要讲解的概念，可以通过引用
实际例子、提出问题或展示相关图片等方式来激发学生对该概念的
兴趣和好奇心。

2. 概念讲解，在引入概念后，教师需要对概念进行详细的讲解，包括概念的定义、特征、分类、相关知识点等内容，以便学生能够
全面地理解该概念。

3. 概念实例，为了帮助学生更好地理解概念，教师可以通过举
例说明的方式，展示概念在实际生活中的应用和具体案例，让学生
通过实例来加深对概念的理解。

4. 概念梳理，在讲解和实例展示后，教师需要对概念进行梳理
总结，强调概念的核心要点和重点，帮助学生理清概念的逻辑结构
和内在联系。

5. 概念拓展，最后，教师可以对概念进行拓展，让学生了解概
念的延伸应用和相关领域的知识，增强学生对概念的全面理解和应
用能力。

除了以上流程，章建跃还强调在概念教学中要注意因材施教，
根据学生的实际情况和认知水平，采取不同的教学策略和方法，引
导学生逐步建立起对概念的深入理解。

同时，概念教学还应该注重
激发学生的学习兴趣和主动性，培养学生的批判性思维和创新能力，使他们能够灵活运用所学概念解决实际问题。

综上所述，章建跃关于概念教学的流程包括概念引入、概念讲解、概念实例、概念梳理和概念拓展等环节，通过这些环节的有机
结合，帮助学生建立起对概念的深入理解和应用能力。

数学课堂教学设计研究章建跃(人民教育出版社中学数学室 100081)1 教育观与教学设计教育需要随着社会发展对人才需求的变化而不断进行改革.随着改革的深入及其出现的种种问题,提出强调人与自然的和谐发展,强调全面、可持续发展的科学发展观,这无疑是非常及时和必要的.对于教育来讲,则要构建学习型社会,强调人的终身学习与发展.为了追求升学率,教学中不惜加班加点,搞机械重复训练,消耗学生大量的时间、精力和体力,牺牲学生其它的兴趣爱好.这种做法在短时间内能够提高考试分数,但学生的心理健康、知识结构、能力结构乃至道德水平等出现或多或少的问题,而且缺乏发展后劲.中学(特别是重点中学)的升学率显然是一个重要的指标,就像经济建设中的GDP指标一样.但社会发展到今天,基础教育的性质在发生变化,由 双重任务 演变为 提高国民素质、面向大众 , 为学生的终身发展奠定基础 的教育.所以,树立以学生为本的教育观是时代发展的要求.以学生为本的教育观,本质与核心是 以学生的发展为本 ,而且应当是全面的、和谐的、可持续的发展.这就要求教师在教学中,不仅要看到所教的学科知识,而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用,在提高人的知识水平的同时,提高他的素质,丰富他的精神世界.以学生为本 的教育观是教学设计的根本指导思想,对教师的专业化水平提出了高要求.只以升学率为评价指标时,教师可以只考虑如何提高考试分数,但从 全面 和谐 可持续 的要求来看,在 以学生为本 教育观下,对教学质量的内涵要有与时俱进的认识,即要把学生得到全面、和谐、可持续发展作为衡量教学质量的根本标准.另外,为了体现以学生的发展为本,就要研究学生的身心发展规律,思考学习与发展的关系,研究学生是如何学习的,等等.对于课堂教学,只有经过精心设计的教学对学生的发展才会产生优质、高效的促进作用.2 教学设计的内涵教学设计就是为达到教学目标,教师对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划.主要解决两个问题:(1)教什么:教学目标的设计,包括显性目标和隐性目标.基于对教学内容、学生情况的分析.(2)怎样教:教学手段的选择、教学过程的设计.基于对教学资源、学生和教师自身情况的分析.教学为什么要设计?有许多理由,但下面两点大概是最重要的.(1)由学校教育的性质决定的.我们知道,学校教育的目的是使学生的身体和心理获得发展.心理发展包括智力发展和个性特征(情感、意志、性格等)的发展.智力发展包括观察力、记忆力、想象力、思维力的发展,其中最主要的是学生思维能力的发展.就智力发展而言,只有科学的、规律性的知识和有目的、有计划、有指导的启发式教学,才能真正产生作用.无数事实证明,学生智力的发展,既不能脱离科学的、系统的知识传授和技能训练,又必须在传授知识和训练技能中有意识地加以培养.掌握 双基 与发展智力是密切相关但又不是同步的,教学中必须有意识地把发展智力(核心是发展思维能力)作为重要任务.也就是说,学生智力的发展是在 双基 教学中经过有意识培养而实现的.这里, 有意识 的含义就是 教学需要设计 .顺便提及,正因为学生的智力发展需要有意识地培养,所以教师在教学中的主导作用是不能否定的.把教师定位在 数学活动的组织者、引导者、合作者 ,否定了教师的主导地位,是不正确的.(2)实现教学过程科学化的需要,其深层次的目的就是提高教学质量和效益 使学生以尽量少的投入(时间、精力等),获得尽量多的收获.教学过程科学化体现了对教师的专业化要求,这就是说,就像医生看病开处方、律师开业打官司一样,当教师也是需要专门的职业训练、有特殊的职业要求的.会加减乘除就可以教数学的现象是不能允许的.对教学设计的专门要求是教师专业化的重要体现.如何提高教学质量和效益?实践中的偏差是:视学生为被动接受的容器,无视学生接受能力而任意拔高教学要求,片面加大知识传授的总量,以此作为学生学习收获的增值途径.但是,任意拔高要求,搞注入式教学,只能导致学生死记硬背,学习效果不会好,因此也就谈不上什么学习效益了.更何况教学目标不仅是知识,还是思维、能力、理性精神等其他东西.教学设计的基础是对学生如何学习的准确把握.在研究学生知识、技能、思维、能力等是如何发展的问题时,除了认真考察知识、能力等的内涵外,必须深入考察它们是如何被学生获得的,即要对 学什么 和 如何学 这两个问题进行科学分析.3 关于教学目标的思考我们知道,教学目标是教学目的的系统化、具体化,是教学活动每一阶段所要实现的教学结果,是衡量教学质量的标准.因此,教学目标几乎成了全部教学设计的依据,其地位是相当重要的.从前面的论述可以看到,准确制定教学目标是提高教学质量和效益的前提,教学目标应当全面、合理,要体现个性差异.另外,既然是一种 质量标准 ,那么教学目标必须是可观测的.对于教学目标问题,国内外都有大量研究.如布鲁姆、加涅等的研究都非常著名.从有利于指导教学的角度考虑,我们认为将教学目标按层级分类 是比较合适的:第一层级,主成分以记忆因素为主要标志,培养的是以记忆为主的基本能力,目标测试应当看基本事实、方法的记忆水平,标准是:获得的知识量以及掌握的准确性.第二层级,主成分以理解因素为主要标志,培养的是以理解为主的基本能力,目标测试看能否对解决常规性、通用性问题,包括能否满意地解决综合性问题.这里,解决问题的前提是理解,是对知识的实质性领会以及经过自己的检验因而具有广泛迁移性的领会.标准是:运用知识的水平,如正确性、灵活性、敏捷性、深刻性等.第三层级,主成分以探究因素为主要标志,培养的是以评判为主的基本能力,目标测试看能否对解决问题的过程进行反思,即检验过程的正确性、合理性及其优劣.标准是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性.数学教学目标应当反映数学学科特点.为了使目标更加具体、实用,应当结合当前的教学内容陈述教学目标,阐述清楚经过教学,学生将会有哪些变化,会做哪些以前不会做的事,以使目标成为有效教学的依据,防止教学中的 见木不见林 ,同时为检查学习效果提供依据.例如:在探索直线与平面垂直的位置关系的过程中,掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,体会几何推理证明的思考方法、基本规则和严谨性,发展空间想象力和逻辑思维能力;在掌握用图解法求最优解的基本方法的过程中,体会线性规划的基本思想,培养数学应用意识.下面从对比的角度再看两个例子.例1 理解函数单调性概念.这一陈述中, 理解 的含义不清,难以作为判断学生是否已经 理解 的标准.实际上, 理解 的基本含义是学生能用概念作出判断.因此可以改述为:能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征;能用函数单调性定义判断一个函数的单调性.在教学目标的陈述中, 了解 理解 掌握 灵活应用 的区分并不容易,需要教师经过较长时间的有意识的经验积累.例2 掌握一元二次方程根的判别式.这个陈述中,没有对 掌握 的内涵给出具体界定,容易引起歧义.例如会陈述判别式还是能写出具体方程的判别式?是否对判别式的来龙去脉要清楚?等等.用判别式判断一个含字母系数的一元二次方程的解的情况(综合应用)与用判别式判断一个具体方程是否有解(单一应用)是不一样的.一般地,对于根的判别式这样的重要数学概顾泠沅.教学改革的行动与诠释,人民教育出版社,2003年8月版,第130页.念,应当对目标进行分解.例如可以作如下表述:(1)在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中,掌握判别式的结构和作用;(2)能用判别式判断一个一元二次方程是否有解;(3)能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解;(4)能灵活应用判别式解决其他情境中的问题.数学教学科学化,从制定教学目标上看,一要全面,二要具有可操作性.这是建立在对教学内容、学生数学学习规律的准确把握基础上的,需要有对细节的不断追求.制定目标的水平是衡量教师专业化水平的重要标志.从当前的实际情况看,许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的 目标分类细目结构图 ,有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的.简言之,教师的数学素养和对数学教材的理解水平都有很大的提高空间,这是提高教师素质急需解决的问题.当前,一个值得注意的问题是,教学目标 高大全 ,一堂数学课所承载的目标太重.有的甚至是目标 远大 、空洞,形同虚设.例如:培养学生的数学思维能力和科学的思维方式;培养学生勇于探索、创新的个性品质;体验数学的魅力,激发爱国主义热情;等等.4 教学设计的基本原则教学设计可以区分为立足于教师主导为主的设计和立足于学生自主活动为主的设计.无论是哪种设计,都需要遵循如下一些原则.(1)激发动机与兴趣 情意原则.如何组织和指导学生,才能使他们以最大的热情、最佳的精神状态投入数学学习?这是一个需要认真考虑的问题.激发动机与兴趣是一个老生常谈的问题,老师们常常觉得 没招 .这个问题的解决,如下三个方面值得关注:问题性:创设问题情境,以问题引导学习,形成认知冲突,激发求知欲,激活思维.同时,通过 追问 等方式,使学生的这种心理倾向保持在一个适度状态.思维最近发展区内的学习任务:采取有步骤地设置思维障碍等方法,铺设恰当的认知阶梯,呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务,可以激发学生的学习热情.不过,一个班级那么多学生,学习基础千差万别,设置的学习任务要适应个别差异,也是一个难题,需要教师的智慧.上述两方面有内在联系.提问的关键是要把握好 度 ,要做到 道而弗牵,强而弗抑,开而弗达 .这是课堂教学的关键,也是衡量教师教学水平的关键之一.使用 反馈 调节 机制:学习任务难易不当,都不利于学生保持高水平学习热情.应通过教学反馈,及时发现问题,通过调整设问方式,增加提示信息或进一步设置障碍等方法调整学习任务的难度.例3 三角函数诱导公式 教学中几种提问的比较.你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗?的终边、 +180 的终边与单位圆的交点有什么关系?你能由此得出sin 与sin( +180 )之间的关系吗?我们可以通过查表求锐角三角函数值,那么,如何求任意角的三角函数值呢?能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数?问题情境:三角函数与(单位)圆是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,例如,同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性:以圆心为对称中心的中心对称图形;以任意直径为对称轴的轴对称图形.你能否利用这种对称性,借助单位圆,讨论一下终边与角 的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角 的关系以及它们的三角函数之间的关系?问题 过于宽泛,没有对 圆的几何性质 与 三角函数 两者的关系作任何说明,指向不明,学生 够不着 ;问题 过于具体,学生只要按照问题提出的步骤进行操作就能获得答案,思考力度不够;问题 与当前学习任务没有关系, 功利 而且肤浅,没有思想内涵,与诱导公式的本质相去甚远,不能导致探究诱导公式的思维活动.问题 体现了如下特点:从沟通联系、强调数学思想方法的角度出发,在学生思维的 最近发展区 内,提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题,所以具有适切性、联系性、思想性,可以直接导致学生探究、发现诱导公式的思维活动.(2)教学内容结构化,保持思想方法的一致性 结构原则.结构化教学内容具有如下特点:核心知识(基本概念及由内容所反映的数学思想方法)为联结点,精中求简,易学、好懂、能懂、会用,能切实减轻学生负担;形成概念的网络系统,联系通畅,便于记忆与检索;具有自我生长的活力,容易在新情境中引发新思想和新方法.有上述理由,所以在考虑课程、教材和教学改革时, 结构化 值得关注.在教学设计中,专家教师与新手教师的重要差别在于教学内容的组织.优秀教师通过深入钻研大纲、教材,对教材的整体把握准确,对各部分内容的地位及其内在逻辑关系了如指掌,他们对数学问题的深层结构很敏感,他们习惯于按问题答案所涉及的数学概念、原理对问题进行分类;他们掌握并善于运用能揭示知识本质的典型材料,能从学生的现状出发重新组织教材,能自然地将学过的知识融入新情境,以旧引新,以新固旧.在对学生进行 双基 训练时也是紧紧围绕这种逻辑关系,有计划地设置障碍,使知识得到前后呼应.总之,优秀教师能根据教材和学生特点,使课堂教学呈现精当的层次序列(优秀教师的这种能力,显然是以他的学科功底、教育心理理论修养以及教学经验的积累为基础的).所以,知识结构化是教学设计应遵循的一个重要原则.根据结构化原则,教学设计中应当做到:(1)教学目标明确,削支强干,重点突出,集中精力于核心内容.(2)教学内容安排注重层次结构,张弛有序,循序渐进.由浅入深,由易到难,先简后繁,先单一后综合.(3)每堂课都围绕一个中心论题而展开和深化,精心组织相关的数学成分,使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体,相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开;课与课之间建立精当的序列关系,保持知识的连贯性,思想方法的一致性.易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正,使知识得到螺旋式的巩固和提高.例4 平面向量的结构化设计.我们知道,位置是空间最基本原始的概念.空间中由A到B的有向线段AB就是A,B两点所标记的两个位置之间的差别的具体化描述.位移向量(自由向量)则是一个将这种 位置差别 加以定量化的基本几何量,其本质内涵是AB的方向与长度,也就是当两个有向线段为同向平行且大小相等时,两者所表达的位移向量定义为相等.与物理学中的位移合成类似,在此基础上,可以通过位移向量的合成定义向量的加法.与数及其运算类似,在定义向量的加法的基础上,可以定义向量的减法和数乘运算.从几何角度考察向量运算,则有如下结果:一个点A、一个方向e可以定性刻画一条直线;引进向量数乘运算k e,那么直线上每一个点X就可以定量表示为k1e;一个点A、两个不平行的方向e1,e2在 原则上确定了平面(定性刻画);引入向量的加法运算e1 +e2,那么平面上每一个点X就可以定量表示为k1e1+k2e2.同样地,引进向量的数量积的定义a b=|a| |b| cos ,几何中讨论的长度、角度、面积等就转化为对向量的表达和运算.另一方面,从代数的角度考虑,引进一个量及其运算就自然要考察其运算律.而从对运算律的几何含义的考察中发现,空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律.例如:向量加法的定义植根于空间的平行性.在欧氏几何中,关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换,而平行四边形定理所转换而得者,就是向量加法的交换律;相似放缩是欧氏空间的特色,这也就是向量的数乘运算的来源.而关于相似形的基本定理,即相似三角形定理,用向量数乘运算来表达就是数乘分配律;关于长度和角度的基本定理,即勾股定理和余弦定理,可以用向量的数量积来有效地计算,而数量积本身又有一套十分简明有力的运算律,特别是分配律. 本质上,数量积的分配律是勾股定理的提升和精简所得,也可以说是勾股定理代数化的最佳形式 .根据上述分析,我们可以这样来构建平面向量教学的结构系列:借助位移、有向线段引入向量概念;借助位移的合成定义向量的加法运算,再类比数的减法、乘法运算引进向量的减法运算和数乘运算;考察向量运算的几何意义,运算律及其几何含义;从度量长度、角度等的需要出发,引入向量的数量积概念,考察其几何意义,运算律;与解析法建立联系,考察向量的分解(平面向量基本定理)及坐标表示,并考察在坐标表示下的一些基本问题(向量运算的坐标表示,向量度量关系的坐标表示,等等).概念是知识结构化的关键 .概念按照从具体形象到表象再到抽象的等级排列,概念的拥有量、抽象水平以及使用概念的灵活性是一个认知行为的基本要素.可以说,课堂教学是形成概念序列的思维活动.因此,从结构化角度加强概念教学,使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列,对于掌握知识、发展能力是至关重要的.下列做法值得关注:概念教学遵循从具体到抽象的原则,采取 归纳式 ,让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动,而不是给出概念定义,举例说明,练习巩固;正确、充分地提供概念的各种变式: 适当应用反例,罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析,是促进学生认识概念的本质、确定概念的外延的有效手段;在概念的系统中学习概念,使学生有机会从不同角度认识概念,建立概念的 多元联系表示 ,这不仅便于发挥知识的结构功能,使概念具有 生长活力 ,有益于知识的获得、保持和应用,而且对发展学生的概括能力有特殊意义;精心设计练习,在应用中强化概念间的联系,巩固概念网络,加深概念理解.(3) 两个过程 有机整合,精心设计概括过程 过程原则.两个过程 就是数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程.改进教师的教学方式和学生学习方式是时代发展的要求.把改革的基点放在使全体学生都能独立思考上,使讲授式教学与活动式教学相结合,接受式学习和发现式学习相结合,形成互补,从而使学生被动接受的局面得到改变.这里, 结合 互补 都是在 两个过程 的有机整合中,不断引导学生的概括活动实现的.贯彻过程原则,必须做好两个还原 .第一个是还原知识的原发现过程,这就要求我们在教学设计中思考数学知识结构的建立、推广和发展过程;数学概念的产生过程;解题思路的探索过程;数学思想方法的概括过程;等等.第二个是学生思维过程的还原,这就要求我们在教学设计中,为学生构建一条 从具体到抽象,由此及彼、由表及里,从个别到一般,从片面到全面 的思维通道.有了这两个还原,概括过程的主导思路也就明确了,以这条思路为依据设置问题情境,引导学生开展类比、猜想、特殊化和推广等思维活动,使他们经历概括过程.显然,强调 过程性 的核心是强调教学过程的思想性,使学生在课堂中有高度的思维参与,经历实质性的数学思维过程.在设计概括过程时,如下措施值得注意:通过分析 两个过程 ,明确概括过程的主导思路,围绕这条思路确定猜想和发现的方案;在把概括的结论具体化的过程中,推动对概念细节的认识;通过变式、反思、系统化,建立概念的联系,形成概念体系;强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用.具体的,我们可以尝试以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程:创设问题情境,引起学生对新知识的注意与思考;开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动,形成假设;利用已有知识进行推理论证活动,检验假设,获得新知识,并纳入到已有认知结构中;曹才翰.曹才翰数学教育文选.人民教育出版社,2005年10月版,第149页.顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第167页.项武义.基础数学讲义丛书 基础几何学.人民教育出版社,2004年9月版,第142页.新知识的应用,加深理解(理在用中方知妙),建立相关知识的联系,巩固新知识.例5 不等式基本性质的猜想、证明和应用.知识的发生发展过程:从等式到不等式;在运算过程中的 不变性 .思维的过程:类比等式的基本性质得到关于不等式基本性质的猜想,并以实数大小的基本事实为依据进行推理论证.因此,概括过程的主导思路是:类比等式的基本性质猜想不等式的基本性质,以实数大小的基本事实为依据进行证明或证伪.教学设计思路如下:引导学生回忆规定实数大小方法(顺序公理,数形结合);引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用(实数大小比较归结为统一的与0的大小比较或判断差的符号问题);引导学生回忆等式基本性质的获得过程及其基本思想(考察运算中的不变性);引导学生类比等式的基本性质提出一些不等式的基本性质的猜想;尝试用实数大小的基本事实证明性质;辨析不等式的基本性质(与等式问题比较,考察异同;不同语言表述性质;等等);尝试从基本性质出发,得出一些新的结论(如a>b,c>d,则a+c>b+d;a>b>0,则1 b >1a>0;等等);概括思想方法(与实数性质、等式性质的联系性;在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理;等等).(4)强调 反馈 调节 机制的应用,有效监控教学活动 调控原则.任何有计划的活动都需要有一个调控机制,这样才能使活动目标有效达成,否则是 脚踩西瓜皮,滑到哪里算哪里 .为了使教学活动维持在最佳状态,追求教学的高效益, 反馈 调节 机制的使用是必须的.实际上就是通过及时调控,始终使学生在自己的思维 最近发展区 内活动.在 反馈 调节 机制的使用中,非常重要的是学生自我监控的参与,因此这是一个涉及 元认知 的问题,对于提高学生的数学能力,特别是思维能力是至关重要的.自我监控能力的培养是一个重要但未被重视的问题.反馈信息要注重差异,调节则要有意识地采取分化性措施 .在课堂教学设计中,下面几个方面值得考虑:给不同需求的学生提供不同类别的专门帮助;布置可选择的作业集合,满足不同学生的不同需求;认真考虑学生的个人爱好,机智地将其纳入课堂教学.5 课堂教学结构的选择在课堂教学设计中,需要根据教学内容和教学条件,选择适当的课堂教学结构.应当说,课堂教学结构并不能一概而论,原因是教学条件复杂多样,学生之间存在个性差异,教学内容也千差万别.因此在教育理论研究中,课堂教学结构历来是风格各异、流派纷呈.不同的教学流派主张的课堂教学结构往往各有千秋.当前要防止千篇一律的 问题情境 建立模型 解释、应用与拓展 的结构模式,应当注意探索教学结构多样化的途径.从扎实搞好 双基 教学,提高学生数学能力,逐步发展学生探索数学规律的能力,培育理性精神的要求出发,我们认为下面的课堂教学结构具有普适性,它包括有层次的五个环节 .(1)创设问题情境,明确学习目标.以问题为教学的出发点,激发学生的好奇心和学习兴趣,使学生产生 看个究竟 的冲动.学习目标一定要让学生非常清楚地知道,只有这样才能使学生把握学习方向.一般的,学习目标中,掌握数学概念的内涵(知识点),领悟概念所反映的数学思想方法,建立相关知识的联系,学会数学地思考与表达等,应当成为基本内容,最重要的是要形成数学的思维方式.(2)指导学生开展尝试活动.在学习目标的指引下,通过适当的问题引导学生回忆已有的相关知识.新的学习建立在已有学习基础上.许多时候,建立已有知识之间的联系就是学习目标.例如,用顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第184页.顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第182页.。

-067-2021年第19期（总第271期）摘 要：在学习一次函数与二次函数之后，学生已经对函数有一定的理解。

由于反比例函数存在着一定的难度，学生在学习反比例函数时，对反比例函数的特点及其所涉及的一些知识与方法，在理解上往往会产生疑惑。

文章将学生在学习反比例函数过程中表现出来的疑惑进行了初步分析，采用“教学反思”的形式记录下来，以期在后面引导学生学习这部分课程时能够有所参考。

关键词：反比例函数；学生疑惑；教学反思中图分类号：G633.6文献标识码：A封思煜（四川省江油市教育发展中心，四川 绵阳 621700）学生在学习反比例函数过程中容易产生的疑惑及分析文章编号：2095-624X（2021）19-0067-02y =y =x 12学生学习反比例函数时，由于反比例函数的特点和学习方法等，存在着一定的复杂性，往往导致学生难以理解。

与一次函数图像的直线相比，反比例函数的图像是两个分支的曲线；与二次函数图像的“轴对称”特点相比，反比例函数图像“中心对称”的特点不易被学生发现与理解；在教学中，反比例函数图像“间断点”与“渐近线”的特征也让学生难以深入认识。

教材在进行教学内容的安排时，将反比例函数安排在一次函数与二次函数之后。

因此，学生通过对一次函数和二次函数的学习，已经对函数具有一定的了解，获得了一定的函数知识和解题方法，将反比例函数的学习安排在一次函数和二次函数的学习之后，有利于学生将研究函数的一般方法运用于反比例函数的学习中，以降低学习反比例函数的难度。

因反比例函数的“个性”特点蕴含了学生不常运用的数学思想与方法，学生在学习中往往会产生疑惑，主要表现在以下几个方面。

一、学生容易混淆反比例关系与反比例函数两个概念在学习人教版初中数学反比例函数后，学生常有这样的疑问：“反比例函数中的自变量x 与函数y 就是‘成反比例’吧？”这个疑问反映学生在反比例函数概念的理解上存在着误区。

误区一：学生对“反比例函数”的概念属性认识不足。

基于“三个理解”的“平面向量基本定理”的教学设计及反思[摘要] 著名教育家章建跃博士在第五届全国优质课评课时曾指出：“理解数学”“理解学生”“理解教学”是进行数学有效教学的三大基石. 笔者对此深有感触. 本文结合笔者所上的一节公开课，谈谈如何践行“三个理解”.[关键词] 理解；平面向量；基底；反思著名教育家章建跃博士在第五届全国优质课评课时曾指出：“理解数学”“理解学生”“理解教学”是进行数学有效教学的三大基石. 笔者对此深有感触，适逢最近参加了宁波市“特级教师带徒示范课”的教研活动，笔者从践行“三个理解”的角度设计了一节公开课--《平面向量基本定理》，获得了一致好评，现将教学片段和反思整理成文，敬请广大同行批评指正.教学片段1. 创设情境，引入课题情境1（展示国歌和校歌的简谱）你能找到阿拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？设计意图：从学生所熟知的歌谱出发，引导学生感受到任何一首曲子都可以用1～7这七个阿拉伯数字作为音符来谱写，这与平面向量基本定理中的“基底”思想是相似的，从而让学生体会到“基本量”的思想，为接下来平面向量基本定理中的基底做铺垫.情境2 对于斜坡上物体所受到的重力，你能分解成哪几个力？设计意图：从学生熟悉的力的分解和合成的物理背景出发，引导学生思考：对于给定平面内任一向量，是否可以类似地进行分解？从而将目标引向教学主题.2. 自主探究，建构定理探究活动1：如图1，已知平面内一向量a，图中的向量b，c，d能用a表示吗？假如能，如何表示？用a还可以表示平面中的哪些向量？它们有什么关系？设计意图：回顾共线向量定理，感受共线向量的“基底”及如何用基底表示共线向量的方法，并追问与其不共线的向量该如何表示.探究活动2：已知两个不共线的非零向量e1，e2（如图2），求作向量a=2e1+e2，b=-3e1+e2.追问：在上述探究活动2中，任意给出一组实数λ1，λ2，使得c=λ1e1+λ2e2，你能在平面内作出相对应的向量c吗？设计意图：通过探究活动让学生体会到不共线的向量可以表示平面内给定的任一向量，为下面的逆向探究做铺垫.探究活动3：对于给定的不共线的一组向量e1，e2（如图3），平面内的任意向量a是否可以用λ1e1+λ2e2来表示呢？请画图说明.师生活动：利用几何画板不断变换向量a，体会在已知基底的情况下可以表示平面内任意向量.探究活动4：不断变换e1，e2的位置，思考要用e1，e2表示任意向量a，e1，e2应该满足什么条件.设计意图：创设具体的问题情境，通过教师的引导，让学生自主思考，参与作图验证等活动，使学生成功地获得平面内任意向量都能用不共线的向量线性表示的感性认识，为下一步概括定理奠定基础.探究活动5：在已知基底e1，e2的情况下，平面内任一向量a的分解式是否唯一？试通过作图加以说明.師生活动：教材没有对“唯一性”加以特别说明和证明，而这一点学生极易忽略，从而导致课后定理的理解应用出现偏差和错误，教师应引导学生从几何和代数两个角度加以理解. 几何方面只需用加法法则即可说明，代数方面用反证法也很好证明.设计意图：让学生感悟实数对λ1，λ2的唯一性.探究活动6：你能从中得到什么结论？师生活动：学生试着通过自己的理解提炼出定理，教师适时引导、补充.3. 学以致用，升华定理例1 如图4，平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且=a，=b，用a，b 表示，，.设计意图：以一个熟悉而简单的问题，使学生初步掌握在具体问题中用基底来表示相关向量，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识.变式1：如图5，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE=BD，且=a，=b，试用a，b表示.变式2：在图5中，设=a，=b，试用a，b表示，.变式3：在图4中确认一组基底，并将其他的向量表示出来.设计意图：通过一组变式题，使学生明白，利用选定的基底来表示平面内任意向量是定理最基本的要求，学生必须熟练掌握. 变式3是一道开放题，如何恰当地选择基底直接影响到解题的繁简程度，使学生从中明白选择恰当基底的重要性，从而深入理解定理的本质和内涵.变式4（拓展与提升）：设=2，点P在线段BN上，若=+m，求实数m的值.设计意图：定理的认识和理解是一个循序渐进、逐步深化的过程，通过本题的训练，能使学生巩固知识、拓展能力、理解和深化对定理的认识与延伸，建构全面、良好的数学认知结构.教学启示与反思1. 理解数学，揭示本质理解数学是实施数学优质课堂教学的前提，在定理教学中，部分教师的“课堂教学”容易重结论及反复训练，轻过程方法的生成和感受，这样势必导致学生“只知其然，而不知其所以然”，从而对知识进行机械记忆与应用.“平面向量基本定理”是数学中为数不多的几个基本定理之一，它是平面向量的核心内容，能否正确理解定理，关系到对整个向量内容的理解和掌握程度. 笔者认为，应从以下几个方面来加以分析.（1）深入理解平面向量基本定理的本质和延伸平面向量基本定理刻画了平面上任意一个向量都可以用两个不共线的基底来表示，表述的是二维向量空间形式，其实它和上一节中的向量共线定理是一脉相承的，同时也是后面空间向量和三维坐标表示的基础. 再推而广之，“平面向量基本定理”其实是n维空间向量定理的一个特例，如果从这个层面来理解，定理就变得明了而简单了，也有利于教学过程中对重难点的分解和突破.（2）平面向量基本定理是一种数与形的综合运算类似于物理学中力的分解和合成，平面向量的分解与合成，既可以从形的角度加以理解，也可以从数的方面进行计算，高考命题者都热衷于从这两个方面进行命题，而且要求比较高，学生对于几何角度的运算都能很好地理解，但如何从数的角度进行运算却是学生的难点. 例如三点共线的数量关系、有关系数的数量比值计算，以及有关向量的几何问题代数化、代数问题几何化等，都是今后学生在学习中的难点，所以教师在进行课堂教学时，要有意识地加以引导和指点，从而为后续学习打下坚实的基础.（3）平面向量基本定理是后续“坐标法”的根把平面向量基本定理中的基底特殊化，即采用x，y轴方向上的单位向量来表示平面内的任一向量，从而可以得到向量的坐标表示，推而广之，也可由空间向量基本定理得到空间向量的坐标表示.2. 理解学生，准确定位在本节课之前，学生已经掌握了向量的基本概念和基本运算，特别是向量的加减法法则和共线向量定理，这些都为本节课的学习提供了必备的知识储备，同时，学生通过物理学科中有关力的合成和分解，作图的习惯也基本养成，这为从形的角度理解定理提供了认知准备. 但学生对于“基底”的理解肯定还存在一定的困难，不会从“基底”“元”“维数”这些角度理解定理的深刻内涵，也就难以认识到这个定理在今后向量方法中的重要作用. 针对这个问题，笔者设计了如下教学流程：生活中“基本量”的理解--物理背景中力的分解和合成--类比到平面向量基本定理的课题导入，并精心设计一连串问题，引导学生正确认识和探究定理的核心与内涵，由此便很自然地帮助学生突破了难点.3. 理解教學，凸显主体平面向量基本定理蕴含了丰富的数学知识和基本思想，它在解决与向量加减法有关的问题时有比较灵活的应用，平面向量基本定理实现了几何问题代数化、代数问题几何化，这种思想方法是高中数学的重要思想方法，在课堂教学中要让学生有所感悟. 在浙江高考试题中，向量是热点问题，试题往往以选择、填空压轴题的形式出现，要求很高，仅凭一节课是教不透的，学生对于平面向量基本定理的认识也不可能一步到位，所以本节课的教学目标是体会平面向量基本定理的重要性和定理的逐步形成过程，深刻理解“基底”的概念及定理的本质和内涵，学会应用定理解决相关问题.所以，在本节课的教学活动中，要充分抓住学生这一主体，注重学生活动，充分发挥学生的主体作用，在定理形成、认识及应用的过程中让学生感知实验，动手操作，思维辩证，带领学生经历知识的整个探究、发生过程，并运用各种教学手段帮助学生理解概念的内涵和本质，实现学生知识体系的自主建构，提高学生运用数学思想方法解决具体问题的意识和能力.结束语通过本节公开课的教学，笔者感触良多. 在课程改革的今天，尤其是浙江新高考的实施，随着十门课程的同时开展，学生的学业负担已经很重了，如何优化数学课堂、提高数学教学的有效性、减轻学生课后负担便显得尤为重要. 对于如何在平时的教学中渗透“三个理解”的基本思想，提高有效性，笔者还在不断地探索和学习，今后，笔者将继续贯彻这一思想，努力提升自己的教学水平，也欢迎广大同仁能够提出宝贵的建议.（弘利教育）。