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积分上限函数计算公式1.等差数列的积分上限函数：对于等差数列，其通项公式可以表示为 an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
那么它的和可以使用以下公式来计算：Sn = (a1 + an) * n / 2这个公式可以直接求得等差数列的和，而积分上限函数则是将n取任意正整数的情况下的函数。
2.幂函数的积分上限函数：幂函数的积分上限函数可以通过求积分的原函数再进行取值来计算。
例如对于函数f(x)=x^n(n≠-1)，可以使用以下公式来计算积分上限函数：∫f(x)dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C其中C为积分常数。
这个公式在计算幂函数的积分上限函数时非常有用。
3.三角函数的积分上限函数：对于三角函数的积分上限函数，可以利用一些特殊的换元法来进行计算。
例如对于sin函数的积分上限函数，我们可以使用以下公式进行计算：∫sin(x)dx = -cos(x) + C其中C为积分常数。
同样地，对于cos函数的积分上限函数，我们可以使用以下公式进行计算：∫cos(x)dx = sin(x) + C4.指数函数的积分上限函数：对于指数函数∫e^x dx = e^x + C其中C为积分常数。
这个公式同样适用于其他以e为底的指数函数。
通过以上的这些公式，可以计算出各种常见函数的积分上限函数。
需要注意的是，积分上限函数与函数的上限有关，对于不同的上限，积分上限函数的计算结果也将不同。
此外，还有一些其他方法可以计算积分上限函数，例如使用数值积分或者利用计算机程序进行计算。
这些方法可以更精确地计算积分上限函数，但需要一定的数学和计算机知识。
总结起来，积分上限函数是一种用来计算数列或者函数的和的数学工具，可以通过一些公式或者数值方法来计算。
而不同的函数有不同的积分上限函数计算公式，需要根据具体情况进行选择和应用。
1.∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx2.∫(f(x)−g(x))dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx3.∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)−∫g(x)df(x)4.∫a x dx=a xln a+C，a≠1，a>05.∫x n dx=x n+1n+1+C，n≠−16.∫1xdx=ln|x|+C7.∫e x dx=e x+C8.∫sin x dx=−cos x+C9.∫cos x dx=sin x+C10.∫sec2x dx=tan x+C11.∫csc2x dx=−cot x+C12.∫sec x tan x dx=sec x+C13.∫csc x cot x dx=−csc x+C14.∫(ax+b)n dx=(ax+b)n+1a(n+1)+C，a≠0，n≠−115.∫dxax+b =1aln|ax+b|+C，a≠016.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1a2(ax+bn+2−bn+1)+C，a≠0，n≠−1,−217.∫xax+b dx=xa−ba2ln|ax+b|+C，a≠018.∫x(ax+b)2dx=1a2(ln|ax+b|+bax+b)+C，a≠019.∫x2ax+b dx=12a3[(ax+b)2−4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C20.∫x2(ax+b)2dx=1a3(ax+b−2b ln|ax+b|−b2ax+b)+C21.∫x2(ax+b)3dx=1a3(ln|ax+b|+2bax+b−b22(ax+b)2)+C22.∫x2(ax+b)n dx=1a3(−1(n−3)(ax+b)n−3+2b(n−2)(ax+b)n−2−b2(n−1)(ax+b)n−1)+C，n≠1,2,323.∫dxx(ax+b)=1bln|xax+b|+C，b≠024.∫dxx2(ax+b)=−1bx+ab2ln|ax+bx|+C25.∫dxx2(ax+b)2=−a(1b2(ax+b)+1ab2x−2b3ln|ax+bx|)+C26.∫x√ax+bdx=215a2(3ax−2b)(ax+b)32+C27.∫x2√ax+bdx=2105a3(15a2x2−12abx+8b2)(ax+b)32+C28.∫(√ax+b)n dx=2(√ax+b)n+2a(n+2)+C，a≠0，n≠−229.∫x n√ax+b dx=2a(2n+3)x n(ax+b)32−2nba(2n+3)∫x n−1√ax+bdx循环计算30.∫√ax+bx dx=2√ax+b+bx√ax+b=2√ax+b−2√b arctanh√ax+bb+C31.x√ax+b =√−b√ax+b−b+C，b<032.x√ax+b =√b|√ax+b−√b√ax+b+√b|+C，b>033.∫√ax+bx2dx=−√ax+bx+a2x√ax+b+C34.∫√ax+bx n dx=−(ax+b)32b(n−1)x n−1−(2n−5)a2b(n−1)∫√ax+bx n−1dx，n≠1循环计算35.n√ax+b =2a(2n+1)(x n√ax+b−bn n−1√ax+b)+C循环计算36.x2√ax+b =−ax+bbx−a2b x√ax+b+C，b≠037.x n√ax+b =−√ax+bb(n−1)x n−1−(2n−3)a2b(n−1)∫√ax+bx n−1dx，n≠1循环计算38.∫x n√ax+bdx=22n+1(x n+1√ax+b+bx n√ax+b−nb∫x n−1√ax+bdx)+C循环计算39. ∫dx a 2+x 2=1a arctan xa +C ，a ≠040. ∫dx(a 2+x 2)2=x2a 2(a 2+x 2)+12a 3arctan xa +C ，a ≠041. ∫dxa 2−x 2=12a ln |a+xa−x |+C =1a arctanh xa +C ，a ≠0，|a |>|x | 42. ∫dx(a 2−x 2)2=x2a 2(a 2−x 2)+14a 3ln |x+ax−a |+C43. ∫1x 2−a 2dx =12a ln |x−ax+a |+C =−1a arccoth xa +C ，a ≠0，|x |>|a | 44. √a 2+x 2=ln(x +√a 2+x 2)+C45. ∫√a 2+x 2dx =x2√a 2+x 2+a 22ln(x +√a 2+x 2)+C46. ∫(√a 2+x 2)3dx =x(√a 2+x 2)34+38a 2x√a 2+x 2+38a 4ln(x +√a 2+x 2)+C 47. ∫(√a 2+x 2)5dx =x(√a 2+x 2)56+524a2x(√a 2+x 2)3+516a 4x√a 2+x 2+516a 6ln(x +√a 2+x 2)+C48. ∫x(√a 2+x 2)2n+1dx =(√a 2+x 2)2n+32n+3+C 49. ∫x2√a 2+x 2dx=x8(a 2+2x2)√a 2+x 2−a 48ln(x +√a 2+x 2)+C50. ∫x 2(√a 2+x 2)3dx =x(√a 2+x 2)56−a 2x √a 2+x 224−a 4x √a 2+x 216−a 616ln(x +√a 2+x 2)+C 51. ∫x3√a 2+x 2dx=(√a 2+x 2)55−a 2(√a 2+x 2)33+C52. ∫x 3(√a 2+x 2)3dx =(√a 2+x 2)77−a 2(√a 2+x 2)55+C53. ∫x 3(√a 2+x 2)2n+1dx =(√a 2+x 2)2n+52n+5−a 2(√a 2+x 2)2n+32n+3+C54. ∫x4√a 2+x 2dx =x 3(√a 2+x 2)36−a 2x(√a 2+x 2)38+a 4x √a 2+x 216+a 616ln(x +√a 2+x 2)+C 55. ∫x 4(√a 2+x 2)3dx =x 3(√a 2+x 2)58−a 2x(√a 2+x 2)516+a 4x(√a 2+x 2)364+3a 6x √a 2+x 2128+3a 8128ln(x +√a 2+x 2)+C 56. ∫x 5√a 2+x 2dx =(√a 2+x 2)77−2a 2(√a 2+x 2)55+a 4(√a 2+x 2)33+C57. ∫x 5(√a 2+x 2)3dx =(√a 2+x 2)99−2a 2(√a 2+x 2)77+a 4(√a 2+x 2)55+C58. ∫x 5(√a 2+x 2)2n+1dx =(√a 2+x 2)2n+72n+7−2a 2(√a 2+x 2)2n+52n+5+a 4(√a 2+x 2)2n+32n+3+C59. ∫√a 2+x 2xdx =√a 2+x 2−a ln |a+√a 2+x 2x|+C =√a 2+x 2−a arcsinh ax +C 60. ∫(√a 2+x 2)3x dx =(√a 2+x 2)33+a2√a 2+x 2−a 3ln |a+√a 2+x 2x|+C61. ∫(√a 2+x 2)5x dx =(√a 2+x 2)55+a 2(√a 2+x 2)33+a 4√a 2+x 2−a 5ln |a+√a 2+x 2x|+C62. ∫(√a 2+x 2)77dx =(√a 2+x 2)77+a 2(√a 2+x 2)55+a 4(√a 2+x 2)33+a 6√a 2+x 2−a 7ln |a+√a 2+x 2x|+C63. ∫√a 2+x 2x 2dx =ln(x +√a 2+x 2)−√a 2+x 2x+C64. 2√a 2+x 2=−a 22ln(x +√a 2+x 2)+x √a 2+x 22+C =−a 22arcsinh xa +x √a 2+x 22+C65. x √a 2+x 2=−1a ln |a+√a 2+x 2x|+C =−1a arcsinh ax +C66. x 2√a 2+x 2=−√a 2+x 2a 2x +C ，a ≠067. √a 2−x 2=arcsin xa +C ，a ≠0，|x |≤|a |68. ∫√a 2−x 2dx =x 2√a 2−x 2+a 22arcsin xa +C ，a ≠0，|x |≤|a |69. ∫√a 2−x 2dx =12(x√a 2−x 2−sgn x arccosh |xa |)+C ，|x |≥|a | 70. ∫x√a 2−x 2dx =−(√a 2−x 2)33+C ，|x |≤|a |71. ∫x 2√a 2−x 2dx =a 48arcsin xa −18x√a 2−x 2(a 2−2x 2)+C ，a ≠0 72. ∫√a 2−x 2x dx =√a 2−x 2−a ln |a+√a 2−x 2x|+C ，|x |≤|a |73. ∫√a 2−x 2x 2dx =−arcsin xa −√a 2−x 2x +C ，a ≠074. 2√a 2−x 2=a 22arcsin xa −x √a 2−x 22+C ，a ≠0，x√a 2−x 275. x √a 2−x 2=−1a ln |a+√a 2−x 2x|+C ，a ≠076. x 2√a 2−x 2=−√a 2−x 2a 2x+C ，a ≠077. √x 2−a 2=ln|x +√x 2−a 2|+C 78. ∫√x 2−a 2dx =x2√x 2−a 2−a 22ln|x +√x 2−a 2|+C79. ∫(√x 2−a 2)ndx =x(√x 2−a 2)nn+1−na 2n+1∫(√x 2−a 2)n−2dx ，n ≠−1 循环计算 80. (√x 2−a 2)n=x(√x 2−a 2)2−n(2−n )a 2+n−3(2−n )a 2∫dx (√x 2−a 2)n−2，n ≠2 循环计算81. ∫x(√x 2−a 2)ndx =(√x 2−a 2)n+2n+2+C ，n ≠−2 82. ∫x 2√x 2−a 2dx =x8(2x 2−a2)√x 2−a 2−a 48ln|x +√x 2−a 2|+C83. ∫√x 2−a 2xdx =√x 2−a 2−a arcsec |xa |+C =√x 2−a 2−a arccos |ax |+C ，a ≠0 84. √x 2−a 2=√x 2−a 2+C 85. ∫x dx (√x 2−a 2)3=√x 2−a 2+C 86. ∫x dx (√x 2−a 2)5=−13(√x 2−a 2)3+C 87. ∫x dx (√x 2−a 2)7=−15(√x 2−a 2)5+C88. ∫x dx (√x 2−a 2)2n+1=−1(2n−1)(√x 2−a 2)2n−1+C89. ∫√x 2−a 2x 2dx =ln|x +√x 2−a 2|−√x 2−a 2x +C90. 2√x 2−a 2=a 22ln|x +√x 2−a 2|+x2√x 2−a 2+C91. ∫x 2(√x 2−a 2)3dx =√x 2−a2ln |x+√x 2−a 2a|+C 92. 4√x 2−a 2=x 3√x 2−a 24+38a 2x√x 2−a 2+38a 4ln |x+√x 2−a 2a|+C93. ∫x 4(√x 2−a 2)3dx =x √x 2−a 22−2√x 2−a 2+32a 2ln |x+√x 2−a 2a |+C 94. ∫x 4(√x 2−a 2)5dx =√x 2−a2x 33(√x 2−a 2)3+ln |x+√x 2−a 2a |+C95. ∫x 2m dx (√x 2−a 2)2n+1=−x 2m−1(2n−1)(√x 2−a 2)2n−1+2m−12n−1∫x 2m−2(√x 2−a 2)2n−1dx +C =(−1)n−ma 2(n−m )∑12(m+i )+1(n−m−1i )x 2(m+i )+1(√x 2−a 2)2(m+i )+1n−m−1i=0，n >m ≥096. ∫dx (√x 2−a 2)3=a 2√x 2−a 2+C 97. ∫dx (√x 2−a 2)5=1a 4(√x 2−a 2−x 33(√x 2−a 2)3)+C98. ∫dx (√x 2−a 2)7=−1a 6(√x 2−a 2−2x 33(√x 2−a 2)3+x 55(√x 2−a 2)5)+C99. ∫dx (√x 2−a 2)9=1a 8(√x 2−a 2−2x 33(√x 2−a 2)3+3x 55(√x 2−a 2)5−x 77(√x 2−a 2)7)+C100. ∫x 2(√x 2−a 2)5dx =−x 33a 2(√x 2−a 2)3+C101.∫x 2(√x 2−a 2)7dx =1a4(x 33(√x 2−a 2)3−x 55(√x 2−a 2)5)+C102. ∫x 2(√x 2−a 2)9dx =−1a 6(x 33(√x 2−a 2)3−2x 55(√x 2−a 2)5+x 77(√x 2−a 2)7)+C103. x √x 2−a 2=1a arcsec |xa |+C ，a ≠0 104. x 2√x 2−a 2=√x 2−a 2a 2x +C ，a ≠0105. ∫dx ax 2+bx+c =√4ac−b 2√4ac−b 24ac −b 2>0106.∫dxax 2+bx+c =√b 2−4ac √b 2−4ac =√b 2−4ac |√b 2−4ac2ax+b+√b 2−4ac |，4ac −b 2<0 107. ∫dxax 2+bx+c =−22ax+b ，4ac −b 2=0108. ∫dxax 2+bx+c =12a ln |ax 2+bx +c |−b2a ∫dxax 2+bx+c +C109.∫mx+nax 2+bx+c dx =m2a ln |ax 2+bx +c |+a √4ac−b 2√4ac−b 2+C ，4ac −b 2>0 110.∫mx+nax 2+bx+c dx =m2a ln |ax 2+bx +c |+a √b 2−4ac √b 2−4ac +C，4ac−b2<0111.∫mx+nax2+bx+c dx=m2aln|ax2+bx+c|−2an−bma(2ax+b)+C，4ac−b2=0112.∫dx(ax2+bx+c)n =2ax+b(n−1)(4ac−b2)(ax2+bx+c)n−1+(2n−3)2a(n−1)(4ac−b2)∫dx(ax2+bx+c)n−1+C113.∫x(ax2+bx+c)n dx=bx+2c(n−1)(4ac−b2)(ax2+bx+c)n−1−b(2n−3) (n−1)(4ac−b2)∫dx(ax2+bx+c)n−1+C114.∫dxx(ax2+bx+c)=12cln|x2ax2+bx+c|−b2c∫dxax2+bx+c+C115.√ax2+bx+c =√aln|2√a2x2+abx+ac+2ax+b|+C，a>0116.√ax2+bx+c =√a√4ac−b2+C，a>0，4ac−b2>0117.√ax2+bx+c =√a|2ax+b|+C，a>0，4ac−b2=0118.√ax2+bx+c =√−a√b2−4ac+C，a<0，4ac−b2<0119.∫dx(√ax2+bx+c)3=(4ac−b2)√ax2+bx+c+C120.∫dx(√ax2+bx+c)5=3(4ac−b2)√ax2+bx+c(1ax2+bx+c+8a4ac−b2)+C121.∫dx(√ax2+bx+c)2n+1=4ax+2b(2n−1)(4ac−b2)(√ax2+bx+c)2n−1+8a(n−1) (2n−1)(4ac−b2)∫dx(√ax2+bx+c)2n−1+C循环计算122.√ax2+bx+c =√ax2+bx+ca−b2a√ax2+bx+c+C123.∫x dx(√ax2+bx+c)3=(4ac−b2)√ax2+bx+c+C124.∫x dx(√ax2+bx+c)2n+1=−1(2n−1)a(√ax2+bx+c)2n−1−b2a∫dx(√ax2+bx+c)2n−1+C125.x√ax2+bx+c =√c(2√acx2+bcx+c2+bx+2cx)+C126.x√ax2+bx+c =√c(|x|√4ac−b2)+C127.∫sin2x dx=x2−sin2x4+C128.∫√1−sin x dx=∫√cvs x dx=2cos x2+sin x2cos x2−sin x2，√cvs x=2√1+sin x，其中cvsx是conversine函数129.∫sin n ax dx=−sin n−1ax cos axan +n−1n∫sin n−2ax dx+C循环计算130.∫sin axx dx=∑(−1)i(ax)2i+1(2i+1)(2i+1)!∞i=0+C131.∫sin axx n dx=−sin ax(n−1)x n−1+an−1∫cos axx n−1dx132.∫cos n ax dx=1an cos n−1ax sin ax+n−1n∫cos n−2ax dx+C，n≥2133.∫cos2x dx=x2+sin2x4+C134.∫cos axx dx=ln|ax|+∑(−1)i(ax)2i2i(2i)!∞i−1，n≠1135.∫cos axx n dx=−cos ax(n−1)x n−1−an−1∫sin axx n−1dx，n≠1136.∫sin ax cos ax dx=12asin2ax137.∫sin ax sin bx dx=sin[(a−b)x]2(a−b)−sin[(a+b)x]2(a+b)+C，a2≠b2138.∫sin ax cos bx dx=−cos[(a+b)x]2(a+b)−cos[(a−b)x]2(a−b)+C，a2≠b2139.∫cos ax cos bx dx=sin[(a−b)x]2(a−b)+sin[(a+b)x]2(a+b)+C，a2≠b2140.∫sin ax cos ax dx=−cos2ax4a+C，a≠0141.∫sin n ax cos ax dx=sin n+1ax(n+1)a+C，a≠0，n≠−1142.∫cos n ax sin ax dx=−cos n+1ax(n+1)a+C，a≠0，n≠−1143.∫tan ax dx=∫sin axcos ax dx=−1aln|cos ax|+C，a≠0144.∫cot ax dx=∫cos axsin ax dx=1aln|sin ax|+C，a≠0145.∫sin n ax cos m ax dx=−sin n−1ax cos m+1axa(m+n)+n−1 m+n ∫sin n−2ax cos m ax dx+C=sin n+1ax cos m−1axa(m+n)+m−1n+m∫sin n ax cos m−2ax dx+C，a≠0，m+n≠0循环计算146.∫sin ax sin bx dx=x sin(a−b)2(a−b)−x sin(a+b)2(a+b)+C，|a|≠|b|147.∫dxsin ax cos ax =1aln|tan ax|+C148.∫dxsin ax cos n ax =1a(n−1)cos n−1ax+∫dxsin ax cos n−2ax，n≠1149.∫dxcos ax sin n ax =−1a(n−1)sin n−1ax+∫dxcos ax sin n−2ax，n≠1150.∫sin axdxcos n ax =1a(n−1)cos n−1ax+C，n≠1151.∫sin2axdxcos ax =−1asin ax+1aln|tan(π4+ax2)|+C152.∫sin2axdxcos n ax =sin axa(n−1)cos n−1ax−1n−1∫dxcos n−2ax，n≠1153.∫sin n axdxcos ax =−sin n−1axa(n−1)+∫sin n−2axdxcos ax+C154.∫sin n axdxcos m ax =sin n+1axa(m−1)cos m−1ax−n−m+2m−1∫sin n axdxcos m−2ax+C=−sin n−1axa(n−m)cos m−1ax +n−1n−m∫sin n−2axdxcos m ax+C=sin n−1axa(m−1)cos m−1ax−n−1 m−1∫sin n−1axdxcos m−2ax+C，m≠1，m≠n155.∫cos axdxsin n ax =−1a(n−1)sin n−1ax+C156.∫cos2axdxsin ax =1a(cos ax+ln|tan ax2|)+C157.∫cos2axdxsin n ax =−1n−1(cos axa sin n−1ax+∫dxsin n−2ax)+C，n≠1158.∫cos n axdxsin m ax =−cos n+1axa(m−1)sin m−1ax−n−m−2m−1∫cos n axdxsin m−2ax+C=cos n−1axa(n−m)sin m−1ax+n−1 n−m ∫cos n−2axdxsin m ax+C=−cos n−1axa(m−1)sin m−1ax−n−1m−1∫cos n−2axdxsin m−2ax+C，m≠1，m≠n159.∫dxb+c sin ax =a√b2−c2|√b−cb+ctan(π4−ax2)|+C，a≠0，b2>c2160.∫dxb+c sin ax =a√c2−b2|c+b sin ax+√c2−b2cos axb+c sin ax|+C，a≠0，b2<c2161.∫dx1+sin ax =−1atan(π4−ax2)+C，a≠0162.∫dx1−sin ax =1atan(π4+ax2)+C，a≠0163.∫x dx1+sin ax =xatan(ax2−π4)+2c2ln|cos(ax2−π4)|+C164.∫x dx1−sin ax =xacot(π4−ax2)+2c2ln|sin(π4−ax2)|+C165.∫sin axdx1±sin ax =±x+1ctan(π4∓ax2)+C166.∫dxb+c cos ax =a√b2−c2|√b−cb+ctan ax2|+C，a≠0，b2>c2167.∫dxb+c cos ax =a√c2−b2|c+b cos ax+√c2−b2sin axb+c cos ax|+C，a≠0，b2<c2168.∫dx1+cos ax =1atan ax2+C，a≠0169.∫dx1−cos ax =−1acot ax2+C，a≠0170.∫x dx1+cos ax =xatan ax2+2a2ln|cos ax2|+C，a≠0171.∫x dx1−cos ax =−xacot ax2+2a2ln|sin ax2|+C，a≠0172.∫cos axdx1+cos ax =x−1atan ax2+C173.∫cos axdx1−cos ax =−x−1acot ax2+C174.∫cos ax cos bx dx=x sin(a−b)2(a−b)+x sin(a+b)2(a+b)+C，|a|≠|b|175.∫dxcos ax±sin ax =√2a|tan(ax2±π8)|+C176.∫dx(cos ax+sin ax)2=12atan(ax∓π4)+C177.∫dx(cos x+sin x)n =1n−1(sin x−cos x(cos x+sin x)n−1−2(n−2)∫dx(cos x+sin x)n−2)+C178.∫dx(cos ax+sin ax)n=179.∫cos axdxcos ax+sin ax =x2+12aln|sin ax+cos ax|+C180.∫cos axdxcos ax−sin ax =x2−12aln|sin ax−cos ax|+C181.∫sin axdxcos ax+sin ax =x2−12aln|sin ax+cos ax|+C182.∫sin axdxcos ax−sin ax =x2−12aln|sin ax−cos ax|+C183.∫cos axdxsin ax(1+cos ax)=−14atan2ax2+12aln|tan ax2|+C184.∫cos axdxsin ax(1−cos ax)=−14acot2ax2−12aln|tan ax2|+C185.∫sin axdxcos ax(1+sin ax)=14acot2(ax2+π4)+12aln|tan(ax2+π4)|+C186.∫sin axdxcos ax(1−sin ax)=14atan2(ax2+π4)−12aln|tan(ax2+π4)|+C187.∫sin ax tan ax dx=1a(ln|sec ax+tan ax|−sin ax)+C188.∫tan n axdxsin2ax =1a(n−1)tan n−1ax，n≠1189.∫tan n axdxcos2ax =1a(n+1)tan n+1ax，n≠−1190.∫cot n axdxsin2ax =1a(n+1)cot n+1ax，n≠−1191.∫cot n axdxcos2ax =1a(1−n)tan1−n ax，n≠1192.∫tan m axcot n ax =1a(m+n−1)tan m+n−1ax−∫tan m−2axcot n axdx，m+n≠1193.∫x sin ax dx=1a2sin ax−xacos ax+C，a≠0194.∫x cos ax dx=cos axa2+x sin axa+C195.∫x n sin ax dx=−x na cos ax+na∫x n−1cos ax dx，a≠0循环计算196.∫x n cos ax dx=x na sin ax−na∫x n−1sin ax dx，a≠0循环计算197.∫tan ax dx=−1aln|cos ax|+C，a≠0198.∫cot ax dx=1aln|sin ax|+C，a≠0199.∫tan2ax dx=1atan ax−x+C，a≠0200.∫cot2ax dx=−1acot ax−x+C，a≠0201.∫tan n ax dx=tan n−1axa(n−1)−∫tan n−2ax dx，a≠0，n≠1循环计算202.∫cot n ax dx=−cot n−1axa(n−1)−∫cot n−2ax dx，a≠0，n≠1循环计算203.∫dxtan ax+1=x2+12aln|sin ax+cos ax|+C204.∫dxtan ax−1=−x2+12aln|sin ax−cos ax|+C205.∫tan axdxtan ax+1=x2−12aln|sin ax+cos ax|+C206.∫tan axdxtan ax−1=x2+12aln|sin ax−cos ax|+C207.∫dx1+cot ax =∫tan axdxtan ax+1=x2−12aln|sin ax+cos ax|+C208.∫dx1−cot ax =∫tan axdxtan ax−1=x2+12aln|sin ax−cos ax|+C209.∫sec ax dx=1a ln|sec ax+tan ax|+C=1aln|tan(ax2+π4)|，a≠0210.∫csc ax dx=−1a ln|csc ax+cot ax|+C=1aln|tan ax2|+C，a≠0211.∫sec n ax dx=sec n−2ax tan axa(n−1)+n−2n−1∫sec n−2ax dx，a≠0，n≠1循环计算212.∫csc n ax dx=−csc n−2ax cot axa(n−1)+n−2n−1∫csc n−2ax dx，a≠0，n≠1循环计算213.∫sec n ax tan ax dx=sec n axna+C，a≠0，n≠0214.∫csc n ax cot ax dx=−csc n axna+C，a≠0，n≠0215.∫dxsec x+1=x−tan x2+C216.∫arcsin ax dx=x arcsin ax+1a√1−a2x2+C，a≠0217.∫x arcsin xa dx=(x22−a24)arcsin xa+x4√c2−x2+C218.∫x2arcsin xa dx=x33arcsin xa+x2+2c29√c2−x2+C219.∫x n arcsin x dx=1n+1(x n+1arcsin x+x n√1−x2−nx n−1arcsin xn−1+n∫x n−2arcsin x dx)+C220.∫arccos ax dx=x arccos ax−1a√1−a2x2+C，a≠0221.∫x arccos xa dx=(x22−a24)arccos xa−x4√a2−x2+C222.∫x2arccos xa dx=x33arccos xa−x2+2a29√a2−x2+C223.∫arctan ax dx=x arctan ax−12aln(1+a2x2)+C，a≠0224.∫x arctan xa dx=a2+x22arctan xa−ax2+C225.∫x2arctan xa dx=x33arctan xa−ax26+a36ln a2+x2+C226.∫x n arctan xa dx=x n+1n+1arctan xa−an+1∫x n+1a2+x2dx+C，n≠1227.∫arccot ax dx=x arccot ax+12aln(1+a2x2)+C228.∫x arccot xa dx=a2+x22arccot xa+ax2+C229.∫x2arccot xa dx=x33arccot xa+ax26−a36ln(a2+x2)+C230.∫x n arccot xa dx=x n+1n+1arccot xa+an+1∫x n+1a2+x2dx，n≠1231.∫arcsec ax dx=x arcsec ax+ax|x|ln(x±√x2−1)+C232.∫x arcsec x dx=12(x2arcsec x−√x2−1)+C233.∫x n arcsec x dx=1n+1(x n+1arcsec x−1n[x n−1√x2−1+(1−n)(x n−1arcsec x+(1−n)∫x n−2arcsec x dx)])+C234.∫arccsc ax dx=x arccsc ax−ax|x|ln(x±√x2−1)+C235.∫sinh ax dx=1acosh ax+C236.∫cosh ax dx=1asinh ax+C237.∫sinh2ax dx=14a sinh2ax−x2+C238.∫cosh2ax dx=14a sinh2ax+x2+C239.∫sinh n ax dx=1an sinh n−1ax cosh ax−n−1n∫sinh n−2ax dx+C，n>0 =1a(n+1)sinh n+1ax cosh ax−n+2n+1∫sinh n+2ax dx+C，n<0,n≠−1240.∫cosh n ax dx=1an sinh ax cosh n−1ax+n−1n∫cosh n+2ax dx，n<0,n≠−1241.∫dxsinh ax =1aln|tanh ax2|+C=1aln|cosh ax−1sinh ax|+C=1aln|sinh axcosh ax+1|+C=1 a ln|cosh ax−1cosh ax+1|+C242.∫dxcosh ax =2aarctan e ax+C243.∫dxsinh n ax =cosh axa(n−1)sinh n−1ax−n−2n−1∫dxsinh n−2ax，n≠1244.∫dxcosh n ax =sinh axa(n−1)cosh n−1ax+n−2n−1∫dxcosh n−2ax，n≠1245.∫cosh n axsinh m ax dx=cosh n−1axa(n−m)sinh m−1ax+n−1n−m∫cosh n−2axsinh m axdx=−cosh n+1axa(m−1)sinh m−1ax +n−m+2m−1∫cosh n axsinh m−2axdx+C=−cosh n−1axa(m−1)sinh m−1ax+n−1 m−1∫cosh n−2axsinh m−2axdx+C，m≠n,m≠1246.∫sinh m axcos n ax dx=sinh m−1axa(m−n)cosh n−1ax+m−1m−n∫sinh m−2axcosh n axdx+C=sinh m+1axa(n−1)cosh n−1ax +m−n+2n−1∫sinh m axcosh n−2axdx+C=sinh m−1axa(n−1)cosh n−1ax+m−1 n−1∫sinh m−2axcosh n−2axdx+C，m≠n,n≠1247.∫x sinh ax dx=1a x cosh ax−1a2sinh ax+C248.∫x cosh ax dx=1a x sinh ax−1a2cosh ax+C249.∫tanh ax dx=1aln|cosh ax|+C250.∫coth ax dx=1aln|sinh ax|+C251.∫tanh n ax dx=−tanh n−1axa(n−1)+∫tanh n−2ax dx+C，n≠1252.∫coth n ax dx=−coth n−1axa(n−1)+∫coth n−2ax dx，n≠1253.∫sinh ax sinh bx dx=a sinh bx cosh ax−b cosh bx sinh axa2−b2+C254.∫cosh ax cos bx dx=a sinh ax cosh bx−b sinh bx cosh axa2−b2+C255.∫cosh ax sinh bx dx=a sinh ax sinh bx−b cosh ax cosh bxa2−b2+C256.∫sinh(ax+b)sin(cx+d)dx=aa2+c2cosh(ax+b)sin(cx+d)−ca2+c2sinh(ax+b)cos(cx+d)+C257.∫sinh(ax+b)cos(cx+d)dx=aa2+c2cosh(ax+b)cos(cx+d)+ca2+c2sinh(ax+b)sin(cx+d)+C258.∫cosh(ax+b)sin(cx+d)dx=aa2+c2sinh(ax+b)sin(cx+d)−ca2+c2cosh(ax+b)cos(cx+d)+C259.∫cosh(ax+b)cos(cx+d)dx=aa2+c2sinh(ax+b)cos(cx+d)+ca2+c2cosh(ax+b)sin(cx+d)+C260.∫arcsinh xa dx=x arcsinh xa−√x2+a2+C261.∫arccosh xa dx=x arccosh xa−√x2−a2+C262.∫arctanh xa dx=x arctanh xa+a2ln|a2−x2|+C，|x|<|a|263.∫arccoth xa dx=x arccoth xa+a2ln|x2−a2|+C，|x|<|a|264.∫arcsech xa dx=x arcsech xa−a arctanx√a−xa+xx−a+C，x∈(0,a)265.∫arccsch xa dx=x arccsch xa+a ln x+√x2+a2a+C，x∈(0,a)266.∫xe ax dx=e axa2(ax−1)+C，a≠0267.∫b ax dx=b axa lnb+C，a≠0，b>0，b≠1268.∫x2e ax dx=e ax(x2a −2xa2+2a3)+C269.∫x n e ax dx=x n e axa −na∫x n−1e ax dx，a≠0270.∫e ax dxx =ln|x|+∑(ax)ii·i!∞i=1+C271.∫e ax dxx n =1n−1(−e axx n−1+a∫e axx n−1dx)+C，n≠1272.∫e ax ln x dx=1ae ax ln|x|−Ei(ax)+C273.∫e ax sin bx dx=e axa2+b2(a sin bx−b cos bx)+C274. ∫e axcos bx dx =e axa 2+b 2(a cos bx +b sin bx )+C 275. ∫e ax sin nbx dx =e ax sin n−1x a 2+n 2(a sin x −n cos x )+n (n−1)a 2+n 2∫e ax sin n−2x dx276.∫eaxcos n bx dx =e ax cos n−1xa 2+n 2(a cos x +n sin x )+n (n−1)a 2+n 2∫e ax cos n−2x dx277. ∫xe ax 2dx =12a e ax 2+C 278. σ√2π−(x−μ)22σ2dx =12σ(1+√2σ+C279.∫e x 2dx =ex 2(∑a 2jx 2j+1n−1j=0)+(2n −1)a 2n−2∫e x2x 2n dx ，n >0 其中a 2j =1·3·5···(2j−1)2j+1=2j!j!22j+1+C280. ∫e −ax 2dx ∞−∞=√πa the Gaussian integral281. ∫x 2n e −x 2a 2dx∞0=√π(2n )!n!(a 2)2n+1282. ∫ln ax dx =x ln ax −x +C283. ∫(ln x )2dx =x (ln x )2−2x ln x +2x +C 284. ∫(ln ax )n dx =x (ln ax )n −n ∫(ln ax )n−1dx 285. ∫dxln x=ln |ln x |+ln x +∑(ln x )i i·i!∞i=2+C286. ∫dx (ln x )n =−x(n−1)(ln x )n−1+1n−1∫dx(ln x )n−1+C ，n ≠1 287. ∫x m ln x dx =x m+1(ln xm+1−1(m+1)2)+C ，n ≠−1 288. ∫x m (ln x )n dx =x m+1(ln x )nm+1−nm+1∫x m (ln x )n−1dx +C ，m ≠−1289. ∫(ln x )n dxx =(ln x )n+1n+1+C ，n ≠−1290. ∫ln xdx x m =−ln x(m−1)x m−1−1(m−1)2x m−1，m ≠1 291. ∫(ln x )n dxx m=−(ln x )n(m−1)x m−1+nm−1∫(ln x )n−1dxx m，m ≠1 292. ∫x m dx (ln x )n=−x m+1(n−1)(ln x )n−1+m+1n−1∫x m dx(ln x )n−1，n ≠1293.∫x n (ln ax)mdx =x n+1(ln ax )mn+1−mn+1∫x n (ln ax )m−1dx ，n ≠−1294.∫(ln ax)mx dx=(ln ax)m+1m+1+C，m≠−1295.∫dxx ln ax=ln|ln ax|+C296.∫dxx n ln x =ln|ln x|+∑(−1)i(n−1)i(ln x)ii·i!∞i=1+C297.∫dxx(ln x)n =−1(n−1)(ln x)n−1，n≠1298.∫sin(ln x)dx=x2[sin(ln x)−cos(ln x)]+C299.∫cos(ln x)dx=x2[sin(ln x)+cos(ln x)]+C300.∫e x(x ln x−x−1x)dx=e x(x ln x−x−ln x)+C。
微积分第三版上册课后练习题含答案微积分是数学的一个分支，它主要研究函数、极限、连续、导数、积分等概念和它们之间的关系。
微积分是自然科学、工程技术和经济管理等领域中不可或缺的数学工具。
本文将介绍微积分第三版上册的课后练习题，以及它们的答案和解析。
章节列表微积分第三版上册共分为12章，分别是：1.函数与极限2.导数及其应用3.曲线图形的相关概念4.定积分5.定积分应用6.不定积分7.不定积分的应用8.微分方程初步9.空间解析几何10.空间直线与平面11.空间曲面12.重积分每一章都包含了大量的练习题，这些题目是对每个章节中理论知识点的考察和巩固，同时也能够帮助读者构建更深入的理解。
练习题样例下面是微积分第三版上册第一章的一组练习题样例：1.1节练习1.求函数$f(x)=\\frac{x-1}{x+1}$在点x0=2处的导数。
2.求极限$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})$。
3.求函数$f(x)=\\sqrt{1+x}-1$的二阶导数。
1.2节练习1.求$f(x)=\\frac{1}{x}$的导函数和导数。
2.已知函数f(x)=x3+3x2+1，求它的单调区间和极值点。
3.求函数f(x)=x4−8x2的导函数和导数。
课后练习题答案微积分第三版上册的课后练习题答案可以在教材的补充练习答案中找到，答案涵盖了书中各章节的所有练习题。
下面是上述练习题的答案和解析。
1.1节练习答案1.$f'(2)=\\frac{2}{9}$2.$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})=+\\infty$3.$f''(x)=\\frac{1}{4(x+1)^{\\frac{3}{2}}}$1.2节练习答案1.$f'(x)=-\\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\\frac{2}{x^3}$2.f(x)在$(-\\infty,-1)$上单调递减，在$(-1,+\\infty)$上单调递增。
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫（1—x）cos2xdx∫(1—x）cos2xdx=∫cos2xdx—∫xcos2xdx=（1/2）∫cos2xd2x—(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2）sin2x—（1/4）∫2xdsin2x=（1/2）sin2x-（1/2）xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=（1/2）sin2x—(1/2)xsin2x-（1/4)cos2x C∫（1-x）cos2xdx求导行：1-x —1 0积分行：cos2x 1/2＊sin2x —1/4*cos2x所以：∫（1—x）cos2xdx =(1—x)*1/2*sin2x—（—1）＊（-1/4＊cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去(那个先反过来求导)？这里遵循一个原则：对，反，幂,三，指.越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/（1 x^4）dx 原式＝1/2（(1 x^2 1-x^2）/1 x^4）=0。
5（1 x^2/1 x^4) 0.5（1—x^2/1 x^4)=0。
5（1 x^—2/x^—2 x^2）〈就是分子分母同除x的平方〉如果是不定积分，两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的，一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通。
第二,对于有独特的因子你要留意。
定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的，方法是拼凑法和化为二元再交换顺序，其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1。
凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑"出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式，另一方面，对于那些不易观察的，则不妨从被积函数中拿出一个表达式，求其微分，从而决定如何凑微分。
EXCEL函数使用方法——积分下载下来的Excel是一种强大的电子表格软件，它提供了丰富的函数库，可以用于进行各种复杂的数学和统计计算。
掌握Excel函数的使用方法，可以大大提高数据分析和处理的效率。
下面是EXCEL函数的使用方法的详细介绍。
一、函数的基本语法Excel函数的一般语法为“=函数名(参数1,参数2,...)”，函数名以英文字母开头，参数以逗号分隔，括号中的参数根据函数的需要可以是常量、单元格引用或其他函数。
例如，要计算两个数的和，可以使用SUM函数，语法为：=SUM(A1,B1)，其中A1和B1是要相加的两个数所在的单元格。
二、函数的常见分类Excel函数按功能可分为数学函数、逻辑函数、文本函数、日期函数、统计函数等多个类别。
1.数学函数Excel提供了众多的数学函数，例如：SUM（求和）、AVERAGE（求平均值）、MAX（求最大值）、MIN（求最小值）、ROUND（四舍五入）、ABS （取绝对值）、SIN（求正弦值）、COS（求余弦值）等。
这些函数可以对数字进行各种计算和处理。
2.逻辑函数逻辑函数帮助我们进行各种逻辑判断和条件计算。
常见的逻辑函数有：IF（条件判断）、AND（与运算）、OR（或运算）、NOT（非运算）、IFERROR（错误处理）等。
通过逻辑函数，我们可以根据特定的条件来进行不同的处理。
3.文本函数文本函数主要用于对文本数据进行处理和操作。
常用的文本函数包括：LEN（计算字符串长度）、LEFT（提取左边的字符）、RIGHT（提取右边的字符）、MID（提取中间的字符）、CONCATENATE（拼接字符串）等。
4.日期函数日期函数用于对日期和时间进行各种计算和处理。
常用的日期函数有：TODAY（返回当前日期）、NOW（返回当前日期和时间）、YEAR（返回年份）、MONTH（返回月份）、DAY（返回日）、HOUR（返回小时）、MINUTE （返回分钟）等。
5.统计函数统计函数用于对数据进行统计分析。
积分上限函数
积分上限函数（integrallimitfunction）是一类函数，用来描述某种函数序列的极限情况，它由一个无穷级数的累积和构成，加快无穷级数的收敛速度，可以让无穷级数在有限情况下更好地近似极限函数。
一般来说，积分上限函数可以用数学积分和渐进表示形式定义。
简单地说，积分上限函数就是通过把一系列函数由小到大求和后逐步收敛到极限函数。
其计算结果可以用下列形式表示：如果有序列（fn），则当n→∞时，`lim``(Σ_(n=1)^Nf_n(x)) = F(x)，或lim_(h→0)Σ_(n=1)^Nf_n(x)h = F(x)`。
积分上限函数的实际应用非常广泛，可以用来描述各种现象的变化规律。
例如，它可以用来表示分子的结构变化，描述力学系统的运动规律，以及描述两种不同质量的粒子的交互作用。
此外，它还可以被应用于复杂系统的数值分析中，可以用来计算系统中的关键参数，为系统的优化提供有效支持。
另外，积分上限函数也可以用来描述统计分布的随机性。
它可以用来模拟随机漫步行为，或者描述某些实际问题中随机变量的分布情况，例如随机变量的期望值、方差等。
有时候也可以用来描述不确定性和分布偏差，以及模拟数据分析等场景。
此外，积分上限函数还可以用来对函数的精确结果进行投影，以此来拟合实际问题。
它可以用来拟合函数中的等式到一个给定的上限或下限，并分析函数的变化情况。
总之，积分上限函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述许多实际问题、实际现象的变化以及解决实际问题的有效支持。
它的计算结果具有一定的可靠性，可以作为支持决策的有力依据。
excel积分公式
1. 整形函数公式：INT、ROUND、FLOOR和CEILING
2. 求和函数公式：SUM、SUMIF和SUMIFS
3. 平均数函数公式：AVERAGE、AVERAGEIF和AVERAGEIFS
4. 最大值函数公式：MAX、MAXA和MAXIFS
5. 最小值函数公式：MIN、MINA和MINIFS
6. 统计函数公式：COUNT、COUNTIF和COUNTIFS
7. 多项式拟合函数公式：LINEST
Excel是一款功能强大的电子表格软件。
使用Excel，您可以完成许多计算任务。
例如，Excel可以进行积分计算。
Excel提供了许多不同的积分函数，以适应不同的需求。
在Excel中，积分函数通常属于工程函数。
这些函数基于微积分学原理，用于
计算各种积分形式的积分值。
积分函数的输出值代表输入函数在指定范围内的积
分值。
例如，积分函数将输出0.3333作为f(x)在该范围内的积分值。
以下是Excel中可用的一些积分函数：
1.整形函数公式：INT、ROUND、FLOOR和CEILING
这些函数用于向下舍入小数。
在积分计算中，这些函数非常有用，因为它们可以帮助您确保使用正确的数值范围。
例如，如果积分区间的下限为1.5，您可以使
用FLOOR函数将其舍入为1。
这样，您就可以确保使用正确的数值范围进行积分
计算。
管理类联考综合—数学知识点汇总完整版一、微积分微积分是运用无限小量的方法研究函数和曲线变化的一门学科，主要包括导数、积分和微分方程三个部分。
许多问题可以通过微积分的方法求解，如求极值、最值、曲线的斜率、曲率等。
1. 导数导数是反映函数变化率和斜率的概念，用符号“f'(x)”表示。
导数的意义在于描述函数在某一点的变化情况，对于一条曲线而言，导数表示该点处的切线斜率。
(1) 导数的定义：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$(2) 导数的性质：- 可导函数的导数连续。
- f'(x)存在的充分必要条件是函数f(x)在该点的左右导数相等。
左导数定义为$$ \lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$右导数定义为$$ \lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$如果两者相等，则该函数在该点可导。
- 导函数的几何意义：导数表示曲线在某一点处的切线斜率，也表示函数的瞬时变化率。
2. 积分积分是导数的逆运算，求解函数与坐标轴之间的面积或者是求函数的定积分值。
积分有两种形式，一种是定积分，另一种是不定积分。
(1) 定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]划分为n个小区间，其长度分别为$\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Deltax_n$，则小区间上的面积为$$ S=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i $$当n趋近于无穷大，区间[a,b]上的面积为$$ S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i $$(2) 不定积分：设函数F(x)在区间I上有导数，则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。
积分上限函数计算公式
积分上限函数是数学中比较常见的一种函数，它的计算方法和意
义都非常重要。
所谓积分上限函数，就是以一个限制条件来计算积分，常见的是以一个变量作为上限进行计算，从而得到一个关于这个变量
的函数。
对于一般的函数f(x)，其积分函数为F(x)，即F(x)= ∫f(t)dt + C。
但是如果我们将积分的上限从t改为x，那么所得到的函数就是积
分上限函数，即F(x) = ∫a~x f(t)dt + C。
在计算积分上限函数时，我们需要掌握积分法和函数的性质，如
基本定理、线性性、分部积分法、换元积分法等。
在使用线性性计算
积分上限函数时，我们需要注意常数C的影响，一般可以利用初值条
件对C进行确定。
在实际应用中，积分上限函数非常有用，常见的例子有速度、加
速度、距离、时间等关系的计算。
比如在物理学中，我们可以通过计
算位移分别得到速度和加速度的函数，而在经济学中，积分上限函数
可以用来计算总收益、总成本等关系。
总之，积分上限函数是一种非常重要的函数，在数学和其他领域
中的应用广泛。
只有掌握其计算方法和应用技巧，才能更好地应对实
际问题的解决。
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
