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脉冲微分方程m-点边值问题的多重正解

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一
ｍ－２
（ １ ） ＋ ｄ ｘ ， （ １ ）＝∑ｂ ｉ ｘ （ ￣ ） ，
（ １ ）
个锥 ， 对 于任 意 的 ｒ＞ ０， 定义 Ｐ ， ＝｛ ∈Ｐ：
｛ ∈Ｐ：Ｉ ｌ ｌ Ｉ＝ ｒ ｝ ， ≠ ．
ｌ ｌ
＜ ｒ ｝ ． 假设 Ｔ ： 芦 ， 一Ｐ 是全 连 续 算 子 ， 使 得 对 ∈Ｏ Ｐ ，
ｍ 一２
（ １ ） ＝∑６ （ ） ，
其中， Ｊ＝［ ０ ， １ ］ ， ，∈Ｃ （ Ｊ×Ｒ ， Ｒ ） ， Ｉ ｋ ∈Ｃ（ Ｒ ，
Ｒ ） ， ０＜ ｌ ＜ ＜… ＜ 一 ２ ＜１ ， ａ ， ｂ ∈（ ０ ， ＋∞） ， ｉ
Ｊ ｏ ＝［ ｔ ｏ ］ ， Ｊ ＝ ． ， ＼ ｛ ｔ １ ， ｔ ２ ， …， பைடு நூலகம் ｝ ， ｔ １ ， ＾ ＝（ ｔ ＾ ， ｔ …］ ， ｋ
中图分类号 ： ０１ ７ ５ ． ８ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ —８ ３ ９ ５ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４— ４５ ０ ７— ０ ７
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １－ ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ４ ． ０ ０ ５
＝１ ， ２ ， …， ｎ ， 其 中， ｔ ０ ＝０ ， ｔ ＝１ ． Ｐ Ｃ ［ ． ， ， Ｒ］＝｛ ： Ｊ 一 （ ｔ ） 当ｔ ≠ｔ 时 连 续 ， （ ｔ ） ， （ ） 存在 ， 且
＝１ ， ２ ， …， ｍ一２ ， 应 用 锥 上 的 不 动 点定 理 获 得 了多
∈（ ０， １ ） ， ａ ， ｂ ｉ Ｅ（ ０ ， ＋∞ ） ， 且 ≠ｔ ， ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｍ
一
２ ； ｜ ｉ ｝ ＝ｌ ， ２ ， …， ｎ ． Ａｘ Ｉ ： ＝ （ ｔ ）一 （ ｆ ｆ） ， （ ｔ ）
和 （ ￡ ｆ） 分别表示 （ ￡ ） 在ｔ ＝ ｔ 处 的右极限和左 极５ 艮 ．
带有脉 冲的微分方程边值 问题主要描述了一 些现象在某一瞬时时刻的突变过 程 ， 在人 口动态 、 物理学 、 生物学 、 工程学 、 神经网络等学科有着广泛 的应 用 ｎ ］ ． 微 分方 程 作 为一 个 重要 的 分支 有 着 大
Ｒ ） ， ａ ≥０ ， ｂ ≥０， ｃ ≥Ｏ ， ｄ≥Ｏ， ０＜ｔ １ ＜… ＜ｔ ＜１ ，
Ｊ ｕ ｌ ｙ ， ２ ０１ ７
Ｖ ｏ １ ． ４ ０， Ｎ ｏ ． ４
脉 冲 微 分 方 程 一点 边 值 问题 的 多 重正 解
李海艳 ， 王 敏 ， 李利玫
（ １ ．四川 大学 锦城学院 ， 四川 成都 ６ １ １ ７ ３ １ ；２ ． 成都工业学 院 人事处 ， 四川 成都 ６ １ １ ７ ３ ０ ；
＝ ｔ ， （ ｔ ） ） ， ｔ∈Ｊ ， ｔ≠ ｔ ＾ ，
＝ （ （ ｔ ） ） ， ｋ＝ １ ， ２ ， …， ，
ｍ一２
一
Ａｘ ｌ
１ 预备知识及 主要引理
为 了讨论解 的存 在 性 ， 本 文 引入 以 下 空 间． 令
（ ０ ）＝∑ａ ｉ ｘ （ ￣ ） ，
量的研究成果 ， 其中脉冲微分方程在数学方面 有着更加丰富的内容 ｎ 卜＂ ］ ．
文献［ １ １ ］ 研究 了多点边值问题
”
一
当 ： １ ， ａ ＝ ｃ ＝１ ， ｂ＝ ｄ＝ ０时， 边 值问题将退 化为文献 ［ １ １ ］ 研究的方程． 本文利用锥上的不动点 指数定理研究 了一类脉 冲微分方程 的多点边值 问 题， 获得 了该 问题多 重正 解 的存在 性新 结果．
２ ０ １ ７年 ７月 第４ ０卷 第 ４期
四川 师范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
一
Ａｘ Ｉ ： ＝ （ （ ｔ ） ） ， ｋ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ，
ａ ｘ （ Ｏ ） 一 ｂ ｘ ， （ ０ ）＝∑０ （ ） ，
ｌ １
间， Ｐ ｃ 。 ［ ． ， ， ］ 在 ｌ・ｌ Ｉ 下构成一个 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空间． 引理 １ ． １ ［ 墙 － １ 令 Ｐ是实 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 Ｅ中的
３ ．四川师范大学 数学与软件科 学学院 ，四川 成都 ６ １ ０ ０ ６ ６ ）
摘要 ： 利用锥上 的不动 点指 数定 理研 究一类脉冲微分方程 的多点边 值问题 ， 获得 了该问题 多重正解 的
存在性新 结果 ．
关键 词 ： 不动点指数定理 ； 脉冲微分方程 ；ｍ一点边值 问题 ；全连续 ； 正解
（ ｆ ） ＝ （ ｔ ） ， ｋ＝１ ， ２ ， …， ｒ ｔ ｝ ． Ｐ ｃ ［ ． ， ， ］＝｛ ∈
Ｐ ｃ ［ － ， ， Ｒ］ Ｉ ｘ （ ｔ ） 当ｔ ＃ｔ 时连 续 ， （ ｔ ） 和 （ ｔ ｆ ） 存 在， 且 （ ｆ ｆ）＝ （ ｔ ） ， ｋ＝１ ， ２ ， …， ｒ ｔ ｝ ． 引入范 数
ｌ ｌ ｌ ｌ Ｐ ｃ ＝ｓ ｕ ＲＩ （ ） ｌ ，
个正解的存在性定理． 考察 二 阶 脉 冲微 分 方 程 的 多 点 边 值 问 题
（ Ｂ Ｖ Ｐ ）
一
咖 ”＝ ｔ ， （ ｔ ） ） ， ｔ∈． ， ， ｔ ≠ｔ ，
ｍ一 ２
ｌ ｌ ｌ ｌ＝ｍ ａ ｘ ｛ｌ ｌ ｌ ｌ Ｐ ｃ ，Ｉ ｌ ｌ ｌ Ｐ ｃ ｝ ． 显然 ， Ｐ ｃ［ ． ， ， ］ 在 ｌ ｌ・ ｌ ｌ Ｐ ｃ 下构成 一个 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空

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带脉冲的正指数Emden-Fowler方程奇异边值问题的正解

带脉冲的正指数Emden-Fowler方程奇异边值问题的正解


Ｉ 单增 有界 ， 且存 在 正常数 叩 使 （ ）≤ ７Ｙ 。 ， 叩 １ ） （ 对 于 （ ． ） 有关 文 献对 ，ｚ １１ ， （ ）的情况作 了不少研 究 ， 参见 文献 Ｅ ， ， ，Ｊ 例 如 ， 特殊 情 形 ｂ＝ ｄ一 １２ ３４ 。 在 ０ ＞ ０下 ，Ｔ ｌ ｆ ｒｏ在 文献 Ｅ ３中用 打靶 法研 究 了正解 的存在 性 和唯一性 。 对 ｊ ）≠ ０的情 况结 果 ， ａ ｉ ｅｒ ａ ２ 但 （ 还 很少 ， 文献 Ｅ ， ， ，］ 徐 在文献 ［ ，］中利用 不 动点指 数方 法作 了一 些研 究 。 Ｃ＝ １ ｄ： ０的情况 ， 见 ５６ ７８ 。 ５６ 对 ＝ ， ＝
其 中位 Ｉ
一 ｚ 才） ｘ ｔ） （ 一 （１ ，
Ｉ ， Ｘ （ ） ｓ（１ ， （）∈ Ｃ Ｏ １ ， ｆ ０ ｔ （ ， ） ∈ 一 一． ￡） 户 ￡ 于 Ｔ （ ， ） （）≥ ， ∈ ０ １ ，
Ｒ， ａ≥ ０ ｂ≥ ０ Ｃ ０ ｄ≥ ０ ａ ， ，≥ ， ， ＋ｂ＞ ０ Ｃ ， ＋ｄ＞ ０ ｌ一 ＋ａ ， Ｄ ｄ＋ ｂ ＞ ０ 工∈ Ｃ（ ＋， ＋ Ｒ ｃ ， Ｒ Ｒ ） ＋为 正实数 集 ，
设 Ｐ Ｅ ，］Ｒ＋ Ｃ（ｏ１ ， ）一 ｛ ｚ：ｏ １ 一 Ｒ ， （） ｚ Ｉ Ｅ ，］ ＋ ｚ ￡ 除在 ｔ ｔ 点外都 连续 ， ｔ点 左连续 ， 在 ｔ点 的右 — 。 在 且 －
极限存 在 ） Ｐ Ｅ ，］ Ｒ ）一 ｛ ： ｏ １ ； Ｃ （ｏ １ ， ＋ ｚ Ｉ Ｅ ，］一 Ｒ ， （）除在 ｔ ｔ 点 外都 连续 ， ｔ 点 左连 续 ， 在 ｔ ＋ ￡ ＝ 在 且 点 的右 极 限存在 ｝ Ｐ 。 Ｅ ，１ Ｒ ）： ｛ ｚ：ｏ １ 一 Ｒ （）除在 ｔ ｔ ； Ｃ （ｏ １ ，＋ ｚ ｌ Ｅ ，１ ＋， — 点外 都连续 ， ｔ 在 点左 连续 ，
一类n阶m点边值问题三个正解的存在性

一类n阶m点边值问题三个正解的存在性

ｎ ２ －
“ （ 一∑ｋ ‘ （）＝ ‘ １ ） ８ ＝０ “ ＝
＝ ｌ
正 解 的存在 性与非 存 在性．
年来 许多作 者致 力 于 多点 边 值 问题 的研 究 ， 到 了 得 受 以上 文章 的启发 ， 本文 研 究下 列 ”阶 ｍ 点边 关 于多点边 值 问题 正解 存 在 性 的大量 结 果 ， 见 文 参
（ 宁 学院 数 学 系 ，山 东 济 宁 ２ ３ ５ ） 济 ７ １ ５
摘
要 ： 用 Ｉ ｇ ｅｔ ｗｉｉ 不 动 点 定 理 研 究 了一 类 ７阶 Ⅲ 点 边 值 问题 利 ． ｇ ｔ－ ｌａ ｅ ｌ ｍｓ ／
ｆ （）＋ 厂 ｔ “ ｆ ）＝ ０ ０＜ ｔ＜ １ “ （ ， （） ， ＜ Ｊ
第 ２期
李 甫 问 ： 类 阶 点边 值 问题三 个正 解 的存在 性 一
户（ ） ｐ（ ） 户（ ） ｐ（ ） ｆ － Ｏ ＼ １ － Ｏ
ｔ —０ — 一 １ —０ —
３ １
“ 是 边值 问题 （ ） （） １ 的正解是 指 满 足边 值 问题 （ ） １
且 ｕ（）＞ ０ ｔＥ （ １ ． ， ０， ）
ｉ ｌ ＝ ＝１
ｔｙ 三 ｔ（ ） １ ｔａ ｙ ， ） ）三 ａ ｘ ＋（ － ） （ ） 则称 ａ是 锥 ＰHale Waihona Puke 上 的非 ＝ｍ－ ２ －
负连续 凹泛 函． 常数 ６ 口 ０ ａ为锥 ． 非 负 连 设 ＞ ＞ ， Ｐ上 续 凹泛 函 ， 义 凸集 定
（一∑ ｋ 户１＜０ １ ）（ ）
＾ １ ＝
题 三个 正 解 的存 在 性 ，ｏ ｎ ］ 用 Ｋｒｓ ｏ ｅ’ ｉ Ｊｈ 利 ａｎ ｓｌ ｋｌ ｓ ｌ
三 个正 解 的存在 性 ， 中 ｆ∈ Ｃ（ ｏ １ 其 Ｅ ，］×Ｅ ， ｏ ＋ ｃ ） Ｅ ， 。 ） ，ｉ Ｏ ｉ＝ １ ２ … ， 一 ２ ， × ，ｏ ＋ 。 ） ｋ ＞ （ ＝ ， ， 。 ＝ ）
含脉冲的二阶次线性微分方程两点边值问题正解存在的必要条件

含脉冲的二阶次线性微分方程两点边值问题正解存在的必要条件


c f ( t, x ) & f ( t, cx ) & c f ( t, x ), 0< c& ! ( 2)
c f ( t, x ) & f ( t, cx ) & c f ( t, x ), ∀ & c
( 3)
式 ( 2)、式 ( 3) 见文献 [ 4] 。
( H2 ) x + I( x ) ∋ 0。 I# C (R+ , R ), I# C (R + , ( - % , 0 ] ), R + = [ 0,
GONG Q ing, YAN Bao qiang
( D epartm en t of M athem atics, Shandong N orm al U n iversity, Jinan 250014 , P. R. C h ina)
[ Ab stract] A s the m athem atica l theory o f impu lsive d ifferent ia l equat ion of a new theoretical branch has a w ide app lication. But when the tw o operators of x |t= t1 and x |t= t1 are not the sam e tim e, the necessary cond itions for the ex istence o f positive so lution of research are rare. Com bining integra lm ethod to presen t the necessary cond itions for the ex istence o f posit ive so lution of singu lar tw o po int boundary value problem for second order impu lsive sublin ear differentia l equation ism ainly about the two inequalities given。 [ Key word s] boundary va lue problem s sublinearity positive solution im pulsive
具有变号非线性项的脉冲微分方程边值问题的正解

具有变号非线性项的脉冲微分方程边值问题的正解

具有变号非线性项的脉冲微分方程边值问题的正解江卫华;张强;郭巍巍【摘要】运用Avery-Peterson不动点定理,研究了具有变号非线性项的脉冲微分方程边值问题正解的存在性.%By using Avery-Peterson fixed-point theorem, the existence of positive solutions of the boundary value problem of impulsive differential equation with sign-changing nonlinearterm was studied.【期刊名称】《河北科技大学学报》【年(卷),期】2013(034)001【总页数】6页(P1-6)【关键词】脉冲微分方程;边值问题;正解;变号非线性项【作者】江卫华;张强;郭巍巍【作者单位】河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018【正文语种】中文【中图分类】O175.8脉冲微分方程在经济、生物、生态学等领域有着广泛的应用[1-3]，考虑到其影响，很多学者常将微分方程边值问题推广到脉冲微分方程上去，通过运用锥拉伸与锥压缩不动点定理、Leray-Schauder不动点定理、不动点指数理论等方法，得到了脉冲微分方程边值问题解的存在性[4-21]。

在文献[4]中，AGARWAL等利用非线性的Leray-Schauder不动点定理和Krasnoselskii's不动点定理得到了二阶脉冲微分方程边值问题：至少存在1个解和2个解的充分条件。

在文献[5]中，AGARWAL等又利用Legget-Williams不动点定理得出了脉冲微分方程边值问题至少存在3个正解的充分条件。

在文献[6]中，李高山等运用锥拉伸与锥压缩不动点定理，得到了带有变号非线性项的二阶三点微分方程边值问题：其中α,η∈(0,1)，至少1个正解的充分条件。