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y′′′ = − cos x + sin x . 3π 7π , x2 = . 令 y′′ = 0, 得 x1 = 4 4 7π 3π f ′′′( ) = 2 ≠ 0, f ′′′( ) = − 2 ≠ 0, 4 4
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第四节
曲线的凹凸与拐点
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
本节 复习 指导
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曲线的凹凸与拐点
例2 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及
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凹、凸的区间.
解
2 y′′ = 36 x ( x − ). y′ = 12 x − 12 x , 3 2 令y′′ = 0, 得 x1 = 0, x2 = . 3
3 2
Q D : ( −∞ ,+∞ )
x
f ′′( x )
(−∞ ,0) −∞
+
凹的
0 0
拐点
( 0, 2 ) 3 −
凸的
2
3 0
( 2 ,+∞ ) 3 +
凹的
f ( x)
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(0,1)
拐点 ( 2 ,11 ) 3 27
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曲线的凹凸与拐点
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y
y = f (x)
A
B
y
y = f (x)
B
A o
a
b
x
o
a
f ′(x) 递增
y′′ > 0
f ′(x) 递减
b x y′′ < 0
定理1 定理1 如果 f ( x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内具有
二阶导数 ,若在(a, b) 内 (1) f ′′( x) > 0,则 f ( x) 在[a, b] 上的图形是凹的;
第三章 导数的应用
第四节 曲线的凹凸与拐点
本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
一、 曲线的凹凸 二、 曲线的拐点
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曲线的凹凸与拐点
y
一、曲线的凹凸
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(2) f ′′( x) < 0,则 f ( x) 在[a, b] 上的图形是凸的.
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曲线的凹凸与拐点
例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 .
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解 Q y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
定义 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切
线的上方 那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的; , 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切 线的下方 那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的; ,
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曲线的凹凸与拐点
曲线凹凸的判定： 曲线凹凸的判定：
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凹凸区间为 ( −∞ ,0],
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[0, 2 ], 3
[ 2 ,+∞ ). 3
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曲线的凹凸与拐点
方法2: 方法2: 设函数 f ( x ) 在 x 0 的邻域内三阶可导 , 且
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∴ 点(0,0)是曲线 y = 3 x的拐点.
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曲线的凹凸与拐点
小结： 小结：
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曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性 凹凸性的判定. 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法1, 拐点的求法 2.
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曲线的凹凸与拐点
本节的学习目的与要求
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
1． 理解曲线凹凸性判定定理的结论 ． 2． 理解拐点的定义及判定方法 ． 3． 掌握利用定理正确求出简单的多项式 ． 函数的凹凸区间和拐点。 函数的凹凸区间和拐点。
当x < 0时， y′′ < 0,
∴曲线 在(−∞ ,0]为凸的； −∞ 为凸的；
当x > 0时， y′′ > 0,
为凹的； ∴曲线 在[0,+∞ )为凹的；
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注意到, 注意到 点( 0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
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曲线的凹凸与拐点
二、曲线的拐点
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C
B
A
问题:如何研究曲线的弯曲方向 问题 如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
o
xБайду номын сангаас
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
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x1
x2 x
o
x1
x2
x
曲线弧位于任一点的 切线上方
曲线弧位于任一点切 线的下方
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曲线的凹凸与拐点
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曲线的凹凸与拐点
本节的重点与难点
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
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• 重点 1． 判定曲线在某区间上的凹凸性； ． 判定曲线在某区间上的凹凸性； 2． 求曲线凹凸区间和拐点的方法和步 ． 骤。 • 难点 1. 正确理解曲线的凹凸性判定定理； 正确理解曲线的凹凸性判定定理； 2．曲线凹凸区间和拐点的求解 。 ．
1.定义 1.定义
续 线 凹 的 界 称 曲 的 点 连 曲 上 凸 分 点 为 线 拐 .
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 注意 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 2.拐点的求法
点（x0 , f ( x0 ))是曲线拐点的必要条件为f ′′( x0 ) = 0
∴ 在[0,2π]内曲线有拐点为
3π 7π ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 注意: 若 f ′′( x 0 ) 不存在, 点 ( x 0 , f ( x0 )) 也可能
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是连续曲线 y = f ( x ) 的拐点.
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第四节 例4
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
f ′′( x0 ) = 0, 而 f ′′′( x0 ) ≠ 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
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第四节
曲线的凹凸与拐点
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
f (x ) 本节 y ′= xf) (x )0 f ′( = 重点 与难 点
判定曲线的凹凸与拐点的一般方法为：
(1)确定函数的定义域 (2)求其二阶导数； (3)求出满足二阶导数为零的所有点； (4) 以（2）中找出的点为界，把函数的定义域分成 若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区 间的符号，从而判定曲线的拐点。
曲线的凹凸与拐点
求曲线 y = 3 x 的拐点.
2 5
1 −3 4 −3 解 当x ≠ 0时, y′ = x , y′′ = − x , 时 3 9 x = 0是不可导点 , y′, y′′均不存在 .
但在( −∞ ,0)内, y′′ > 0, 曲线在( −∞ ,0]上是凹的; 在(0,+∞ )内, y′′ < 0, 曲线在[0,+∞ )上是凸的 .
